Subgrup Normal

BAB I PENDAHULUAN

1.1. .1.

Latar atar Bela elakang kang Masala salah h

Teori ori himp himpun unan an meru merupa paka kan n kajia kajian n yang ang cuku cukup p strat strateg egis is di dala dalam m matematika. Hampir di setiap cabang di dalam matematika, himpunan senantiasa memegang peranan penting, berawal dari himpunan ini dapat di bentuk suatu hubungan atau relasi, struktur aljabar atau sistem matematika dan sebagainya. Strukt Struktur ur atau sistem sistem aljabar aljabar merupa merupakan kan himpun himpunan an yang yang tidak tidak koson kosong g dengan dengan dilengkapi operasi biner dan memenuhi akioma-aksioma tertentu. Pada Pada pertem pertemuan uan-per -pertem temuan uan sebelu sebelumny mnyaa telah telah dibaha dibahass mengen mengenai ai grup grup mulai dari definisi grup, cara menentukan suatu himpunan merupakan grup atau bukan, menentukan finit dan infinit grup, definisi subgrup, syarat-syarat s yarat-syarat subgrup pada suatu grup, menentukan order dari grup dan order dari anggota grup,grup siklik hingga penjelasan tentang koset. Maka pada makalah ini akan dijelaskan kembalimsed kembalimsedikit ikit mengenai mengenai koset dan kemudian kemudian dilanjutkan dilanjutkan mengenai subgrup subgrup normal normal dan grup grup faktor faktor.. alam alam sistem sistem struktu strukturr aljabar aljabar pemaham pemahaman an tentan tentang g subg subgro roup up norm normal al dan dan grup grup fakt faktor or sanga sangatt pent pentin ing g sebag sebagai ai penu penunj njan ang g untu untuk k pemahaman materi-materi selanjutnya dalam perkuliahan mata kuliah struktur aljabar.

1.2.

Rumusan Ma Masalah

!. "pa defini definisi si dari dari subg subgrup rup normal normal # $. %agaimana %agaimana pembukti pembuktian an teorema teorema yang yang terdapat terdapat dalam dalam subgrup subgrup normal normal #

1.3.

Tujuan

!. Menget Mengetahu ahuii definis definisii dari subgr subgrup up norma normall $. apat membuk membuktikan tikan teorema teorema yang yang terdapat terdapat dalam dalam subgrup subgrup normal normal #

1

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





BAB II PEMBAHAAN UB!RUP N"RMAL PETA #"NEP

S&%'(&P )*(M"+

De$%n%s% B&1

Te'rema B&1 (

Suatu subgrup ) disebut subgrup normal dari ' jika aN = Na ∀a ∈ G

Suatu subgrup ) dari ' merupakan subgrup normal dari ' jika dan hanya jika

,

g ) g-! )

∀

g

∈G





2.1 UB!RUP UB!RUP N"RMAL N"RMAL 

De$%n%s% B&1

Suatu Subgrup H dari 'rup ' disebut Subgrup Normal , jika jika aH Ha,

a

',

yakni, jika oset iri dan anan dari H sama.

)'nt'h 1(

 /, 0 1 merupakan merupakan grup, grup, dapat ditunjukka ditunjukkan n bahwa  2/, 0 1 subgrup normal normal dari  /, 0 1 Pen*elesa%an (

oset-koset kiri dari 2/ adalah 3 4 0 2/

 56,-7,-2,4,2,7,68  2/

! 0 2/

 56,-9,-$,! 56,-9,-$,!,:,; ,:,;,68 ,68

$ 0 2/

 56,-:,-!,$,9,<,68

2 0 2/

 56,-7,-2,4,2,7,68  4 0 2/  2/

=-!> 0 2/  56,-:,-!,$,9,<,68  $ 0 2/ an seterusnya sehingga hanya ada 2 koset kiri yaitu 4 0 2/3 ! 0 2/3 dan $ 0 2/ atau /?2/  54 0 2/, ! 0 2/, $ 0 2/8  Himpunan semua bilangan bulat modulo 2.

)'nt'h 2(

!.

Misalkan Misalkan '5 !,$,2,:,9 !,$,2,:,9,7 ,7 8,deng 8,dengan an ' perkalian perkalian mod mod ; adalah adalah grup. an H H 5 !,$,: 8 adalah subgrup dari '. @arilah semua koset kanan dan kiri H dalam ' serta tentukan apakah H subgrup normal dari ' atau bukan#

Pen*elesa%an(

oset kiriA !H  !.5!, $, :8 5!, $, :8 $H  $.5!, $, :8 5$, :, !8 2H  2.5!, $, :8 52, 7, 98 :H  :.5!, $, :8  5:, !, $8





oset kananA H!  5!, $, :8.!  5!, $, :8 H$  5!, $, :8.$  5$, :, !8 H2  5!, $, :8.2  52, 7, 98 H:  5!, $, :8.:  5:, !, $8 H9  5!, $, :8.9  59, 2, 78 H7  5!, $, :8.7  57, 9, 28 SehinggaA !H  H! 5!, $, :8 $H  H$  5$, :, !8 2H  H2  52, 7, 98 H:  H:  5:, $, !8 H9  H9  59, 2, 78 7H  H7  57, 9, 28

arena koset kiri  koset kanan, makaA Subgrup H  5!,$,:8 merupakan Subgrup )ormal dari '.

TE"REMA B&1

Suatu Subgrup ) dari ' merupakan subgrup normal dari ' jika dan hanya jika . "da dua pernyataan di atas yang perlu dibuktikan yaituA !. Bika ) subgrup normal dari grup ' maka $. Bika Bika %ukti(

, maka maka ) subgru subgrup p normal normal dari dari grup grup '.





) subgrup normal dari ' menurut definisi subgrup normal maka g )  ) g ,

dari g )  ) g berarti g n  n g ,

Terbukti Terbukti Bika ) subgrup normal dari grup ' maka

$. Bika Bika

, maka maka ) subgru subgrup p normal normal dari dari grup grup '.

=g)  ) g , g,

dari g )  ) g berarti berarti g n  n

> ,

arena g )  ) g

, maka ) merupakan subgrup normal dari grup '.

Terbukti Terbukti jika

ari

teorema

, maka ) subgrup normal dari grup '.

di

atas

dapat

diartikan

)'nt'h 1(

ari ari contoh contoh sebelu sebelumn mnya ya ' himpun himpunan an semua semua bilang bilangan an bulat bulat dengan dengan operasi operasi penjumlahan biasa, dan ) himpunan semua bilangan bulat genap, diperoleh





"kan ditunjukkan

∀

g

∈ ',

dan

∀

n

∈ )

berlaku g n g-! ∈ )

"mbil g ∈ ' dan n ∈ ) sebarang ita ketahui bahwa dengan dengan operasi penjumlahan inCers dari g yaitu g-!  -g. ita perhatikan g n g -! g n g-!

 g 0 n 0 g -!  g 0 n 0 =-g>  n ∈ )

g n g -! ∀

g

∈ ),

∈ ',

karena pengambilan g dan n sebarang maka terbukti g n g -!

dan n

∈ ),

∈ ).

)'nt'h 2(

Misalkan '  54,!,$,28 merupakan grup, dengan operasi penjumlahan modulo :. an H54,$8 dimana H adalah subgrup dari '. "pakah H merupakan subgrup normal dari '#

Pen*elesa%an (

"kan

ditunjukkan

,

dioperasikan dengan operasi penjumlahan modulo : sebagai berikut A •

"mbil h  4 , dan g  4 maka  4 0404  4 mod : 4

akan







4 •

"mbil h  4 , dan g  $ maka  $ 040$  : mod : 4

•

"mbil h  4 , dan g  2 maka  2 040!  : mod : 4

•

"mbil h  $ , dan g 4 maka  4 0$04  $ mod : $

•

"mbil h  $ , dan g ! maka  ! 0$02  7 mod : $

•

"mbil h  $ , dan g $ maka  $ 0$0$  7 mod : $

•

"mbil h  $ , dan g 2 maka  2 0$0!  7 mod :





3.1. #es%m+ulan !. Suatu Suatu Sub Subgr grup up H dari dari 'ru 'rup p ' diseb disebut ut Subgrup Normal , jika jika aH Ha, untuk

setiap a D ', yakni, jika oset iri dan anan dari H sama.. $. Suatu Subgru Subgrup p ) dari ' merupak merupakan an subgrup subgrup normal normal dari ' jika dan hanya hanya jika . 2. Bika ) Subgrup Subgrup )ormal )ormal dari dari grup grup ', %angun %angun Himpuna Himpunan n didefinisikan operasi E sebagai berikut A maka

merupakan 'rup.

:. %ila %ila ' adalah adalah suatu suatu 'rup 'rup terhing terhingga ga dan ) adalah adalah merupaka merupakan n Subgrup Subgrup dari dari ' makaA

3.2.

aran

"gar "gar strateg strategii pembela pembelajara jaran n Struk Struktur tur "ljab "ljabar ar F berjala berjalan n dengan dengan baik, baik, harusnya kita sebagai mahasiswa membahas dan memahami setiap materi dengan sedetail mungkin, agar perkuliahan ini berjalan dengan lancar.





Saragih, Sahat. $4!:. $4!: . Struktur Aljabar I . MedanA +"(FSP" F)*)DSF" httpA??fadlibae.files.wordpress.com?$4!4?42?grup-faktor.pdf

Idiakses pada tanggal $4 "pril $4!7J httpA??dohnmath4G.wordpress.com?$4!!?49?!7?contoh-soal-subgrup-normal?

Idiakses pada tanggal $4 "pril $4!7J

Subgrup Normal

Recommend Documents