STRUKTUR ALJABAR
D I S U S U N
OLEH : KELOMPOK 3
DIK A 2012
MEDAN 2014
A. SUBGRUP DEFENISI A-1:
Suatu subset H tidak kosong dari G disebut subgrup dari grup G jika terhadap operasi di G, H sendiri membentuk grup. Dari defenisi tersebut, pertama harus ditunjukkan bahwa H tidak kosong, H subset dari G, dan berikutnya setiap elemen dari H terhadap operasi di G memenuhi aksioma grup. Contoh 1.
Perhatikan grup Z8 = { 0, 1,2,3,4,5,6,7}. 1,2,3,4,5,6,7}. Dengan table Cayley Ca yley dapat diselidiki himpunan – himpunan bagian H 1 = {0,4} dan H 2 = {0,2,4,6} dari Z 8 dengan operasi penjumlahan modulo 8, masing – masing – masing masing merupakan subgrup dari Z 8. Untuk Z8 sendiri dapat dilihat pada table Cayley berikut ini.
+8 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
Table Cayley dari grup Z 8 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 0 5 6 7 0 1 6 7 0 1 2 7 0 1 2 3 0 1 2 3 4
6 6 7 0 1 2 3 4 5
7 7 0 1 2 3 4 5 6
Perhatikan himpunan bagian dari Z 8 yaitu H1 = {0,4} dan H 2 = {0,2,4,6}. Kemudian dibentuk table Cayley dari H1 dan H2 terhadap operasi yang sama pada Z8 yaitu penjumlahan modulo 8, masing- masing diperlihatkan pada table dibawah ini : Menunjukkan table Cayley dari grup H 1 +8 0 4
0 0 4
4 4 0
Menunjukkan table Cayley dari grup H 2 +8 0 2 4 6
0 0 2 4 6
2 2 4 6 0
4 4 6 0 2
6 6 0 2 4
Tidakkah sulit untuk memperlihatkan bahwa H 1 dan H2 dengan operasi penjumlahan modulo 8 adalah suatu grup. Dengan melihat tabel diatas diperoleh : Aksioma pertama( sifat tertutup ) dipenuhi karena seluruh hasil operasi ada pada
1.
himpunan H1dan H2. 2. Aksioma kedua ( sifat assosiatif ) penjumlahan modulo 8 dipenuhi pada Z 8, karena pada H1 dan H 2 juga dipenuhi. 3. Aksioma ketiga (unsur identitas) dipenuhi : 0 H1 dan H 2 sebagai unsur identitas karena a H1 dan H2 dipenuhi.
a +8 0 = 0 + 8 a = a. 4. Aksioma keempat ( unsur invers ) dipenuhi yaitu : H1 0 inversnya 0 , 4 inversnya 4. H2 0 inversnya 0 , 2 inversnya 6, 4 inversnya 4 dan 6 inversnya 2. TEOREMA A-1:
Suatu subset H yang tidak kosong dari grup merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika: 1. 2.
H maka a*b H (Aksioma pertama dari defenisi grup) H maka a H (Aksioma keempat dari defenisi grup) -1
Bukti teorema di atas dapat diperjelas sebagai berikut: H
G
Akan ditunjukkan: a. Jika H subgrup dari G maka dipenuhi 1 dan 2 b. Jika dipenuhi 1 dan 2 maka H subgrup dari G Berdasarkan hal di atas kita mulai bekerja. Bukti a : Karena H merupakan subgrup dari G maka menurut defenisi sugrup H memenuhi keempat aksioma grup. Dengan demikian, maka H memenuhi sifat 1 dan 2.
Bukti b : Untuk menunjukkan bahwa H subgrup dari G tinggal dibuktikan aksioma kedua dan ketiga. Aksioma kedua:
G merupakan grup berarti setiap unsur di G memenuhi sifat Ass osiatif, sedangkan H
G,
maka setiap unsur di H juga unsur di G, sehingga setiap unsur di H juga memenuhi sifat Assosiatif. Aksioma Ketiga:
Ambil sembarang a H,a-1
H, karena sifat 1 dipenuhi pada H maka a*a H atau e H -1
(Terbukti aksioma ketiga dipenuhi). Dengan demikian, keempat aksioma grup dipenuhi dan H
maka H merupakan subgrup dari G.
Contoh 2:
GL (2,R) =
[ ] |
Dengan operasi perkalian matriks, G membentuk grup dengan elemen identitasnya SL (2,Z) =
[ ]
[ ] |
Apakah SL(2,Z) merupakan subgrup dari GL(2,R)? Untuk membuktikan masalah di atas kita gunakan teorema A-1.
karena A = [ ] Ambil sembarang X,Y SL(2,Z) Akan ditunjukkan XY SL(2,Z) ] dan Y = [ ] dengan ad-bc = 1;ru-st = 1; dan a,b,c,d,r,s,t,u Z Andaikan: X = [ ] XY = [ SL(2,Z)
Entri-entri dari XY merupakan bilangan bulat, bagaimana dengan det(XY)? Apakah det(XY)=1. Selanjutnya akan dibuktikan
maka X -1
Ambil sembarang X X-1 =
, andaikan X = [ ] dengan ad-bc = 1; a,b,c,d Z maka
] [
det (X)= ad-bc = 1 Det(XY) = (ar+bt)(cs+du) – (ar+bt)(cs+du) – (cr+dt)(as+bu) = (acrs+adru+bcst+bdtu) – (acrs+adru+bcst+bdtu) – (acrs+bcru+adst+bdtu) (acrs+bcru+adst+bdtu) = adru-adst+bcst-bcru = ad (ru-st) -bc (ru-st) = (ad-bc) (ru-st) = (1) (1) =1
, menurut teorema A-1 terbukti subgrup dari GL (2,R).
Jadi, terbukti X-1
TEOREMA A-2 :
Suatu subset H yang tidak kosong dari grup hanya jika:
〈〉 merupakan subgrup dari G jika dan
maka
Bukti teorema di atas juga terdiri dari dua bagian: ba gian:
1. Jika H subgrup dari G maka berlaku 2. Jika
berlaku maka H subgrup dari G.
Bukti 1:
H subgrup dari G maka H grup berarti memenuhi keempat aksioma grup.
menurut aksioma keempat , selanjutnya dengan aksioma pertama dipenuhi (Terbukti).
Ambil sembarang
Bukti 2:
Ambil sembarang
diperoleh atau dipenuhi aksioma ketiga.
diperoleh atau (aksioma keempat
Ambil sembarang
dipenuhi).
diperoleh ( ) (aksioma
Ambil sembarang
pertama dipenuhi). Dengan dipenuhi aksioma pertama dan keempat menurut teorema A-1 maka H merupakan subgrup dari G. CONTOH 3 :
Z = Himpunan semua bilangan bulat, operasi * didefinisikan sebagai penjumlahan biasa. Dari contoh 1 diketahui bahwa
〈〉 merupakan grup. H adalah himpunan semua bilangan genap.
Tunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari Z. Penyelesaian :
karena 4 adalah bilangan genap maka 4 H. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 〈〉 merupakan grup.
Dari soal diatas H Z dan H
Untuk membuktikan soal diatas dapat digunakan definisi subgrup dan teorema yang berkaitan yaitu teorema A-1 ataupun A-2. Dengan definisi grup dapat dilakukan seperti contoh sebelumnya. Dengan Teorema A-2 :
Ambil sembarang a, b H dari defenisi dapat ditulis a = 2m dan b = 2n; m,n bulat) a-b= a + (-b)
Z (bilangan
= 2m + (-2n)
= 2(m-n), k = (m-n) Z
= 2 k H (Sifat dari teorema A-2 dipenuhi) TEOREMA A-3 :
Suatu himpunan bagian H tidak kosong dari G dikatakan subgrup dari hanya jika : 1. H tertutup terhadap operasi biner * 2. Unsur identitas 3.
, maka a
-1
ada dalam H ( maka )
〈〉 jika dan
Bukti :
Bukti teorema ini terdiri dari dua bagian, yaitu :
a. Jika H subgrup dari G maka berlaku 1, 2, dan 3. b. Jika dipenuhi 1, 2, dan 3 maka H subgrup dari G. Bukti a :
Diketahui H subgrup dari G, maka berdasarkan defenisi subgrup H memenuhi keempat aksioma grup. Dengan demikian 1, 2, dan 3 terpenuhi.
Bukti b :
Diketahui 1, 2, dan 3. Maka untuk menunjukkan H subgrup haruslah dibuktikan
〈 〉 merupakan grup. Karena H telah tel ah memenuhi kondisi 1, 2 dan 3, maka cukup dibuktikan berlaku sifat asosiatif. Diambil sebarang a,b, c H, karena telah diketahui H G, akibatnya a,b, c G. Karena G grup, maka pada G berlaku sifat asosiatif, sehingga diperoleh bahwa a *(b*c) = (a *b)*c. Jadi, terbukti bahwa 〈〉 merupakan grup.Jadi terbukti bahwa H
bahwa
subgrup G. TEOREMA A-4 :
H himpunan bagian yang berhingga dan tak kosong dari grup G. H subgrup dari G jika H memenuhi sifat tertutup. : : Bukti Dengan menggunakan Teorema A-1, yaitu: Suatu subset H yang tidak kosong dari grup
〈〉 merupakan subgrup dari G, jika dan hanya
jika:
maka (Aksioma pertama dari defenisi grup) 2. maka (Aksioma keempat dari defenisi grup) Maka tinggal dibuktikan bahwa a H jika a H. 1.
-1
Jika a = e maka a -1= a. Lalu jika a
e maka ada beberapa kemungkinan yaitu, a, a ,a ,…. 2
3
Karena H terbatas dan tertutup di bawah operasi te rhadap G untuk setiap a bilangan positip dalam H, tidak semua anggotanya berbeda. Kemudian, a i = a j dan i> j maka ai-j = e, dan
karena a e , i-j > 1. ai-j = a . ai-j-1 = e ai-j-1 = a-1. Tetapi i-j-1
1 mengakibatkan a H. (Terbukti) i-j-1
TEOREMA A-5 :
Jika S dan T masing-masing subgrup dari G maka S
T subgrup dari G.
Bukti : S
T karena ada e S dan e T jadi e S T. T maka x S dan x T sehingga x G jadi S T G.
Ambil sebarang x S
T maka x, y S dan x, y T karena S dan T subgrup dari G S dan xy T jadi xy S T. Maka berdasarkan Teorema A-2 S T
Ambil sebarang x, y S maka xy-1
-1
-1
merupakan subgrup dari G. TEOREMA A-6 :
Jika
{ } suatu koleksi subgrup dari G maka S=
merupakan subgrup dari G.
Sa
a
Bukti :
Diketahui
{ } suatu koleksi subgrup dari G berarti S , S 1
2,
S3 , S4... , S α merupakan
subgrup-subgrup dari G. Dengan menggunakan Teorema A-5, jika dua buah subgrup diiriskan maka irisannya adalah subgrup, dengan demikian untuk
S=
Sa a
= S1 S2 S3 S4 ...
S
α
Karena S1 S 2 merupakan subrup, demikian juga S 3 S 4 merupakan subgrup, hingga
Sα-1 Sα juga merupakan grup, grup, maka jika diteruskan irisannya adalah subgrup dari G.
DEFENISI A-2 :
{ | }
Center dari grup G ditulis Z (G) =
TEOREMA A-7 :
Z(G) merupakan subgrup dari G. Gunakan teorema A-1 Bukti :
karena ada e G yang memenuhi e x = x e, , jadi e Z(G) Z(G) G (dari defenisi) Ambil sembarang a,b Z(G) menurut definisi a x = x a dan b x = x b, . Akan ditunjukkan a,b Z(G) artinya akan ditunjukkan ab x = xab dan a,b G Z(G)
Perhatikan : abx = axb = xab dan a,b G (berlaku sifat tertutup pada G). Jadi ab Z(G) (Terbukti)
Ambil a Z(G) menurut definisi ax = xa, Perhatikan:
, karena G grup maka a -1
ax = xa a-1(ax) a-1 = a-1 (xa) a-1 (a-1a)x a-1 = a-1 x(a a-1) ex a-1 = a-1xe x a-1 = a-1 x
Terbukti a-1 Z(G), Karena kedua sifat dari teorema A-1 dipenuhi maka terbukti bahwa Z(G) merupakan subgrup dari G. DEFINISI A-3 :
{ | }
Centralizer dari a dalam grup G ditulis C (a) = TEOREMA A-8 :
C(a) merupakan subgrup dari G Bukti : C(a)
karena ada e
G yang memenuhi eg = ge, x G , jadi e C(a)
C(a) G (dari defenisi)
Ambil sembarang a,b C(a), menurut definisi (ab)g = a(bg) = a(gb) = (ag)b = (ga)b, g G . Akan ditunjukkan ab C(a) berarti ab g = g ab. Perhatikan : abg = a gb = g ab dan ab G (berlaku sifat tertutup pada G). Jadi ab C(a) (terbukti).
Ambil sembarang a C(a) menurut definisi ag = ga, g G , karena G grup maka a -1 G Perhatikan:
ag = ga a-1(ag) a-1 = a-1 (ga) a-1 (a-1a)g a-1 = a-1 g(a a-1) eg a-1 = a-1ge g a-1 = a-1g
Terbukti a-1 C(a), Karena kedua sifat dari teorema A-1 dipenuhi maka terbukti bahwa C(a) merupakan subgrup dari G.
