Koset

Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup Grup G. Akan kita definisikan Koset kanan (kiri) dari H. Misalkan a ada1ah sembarang elemen dari G. Himpunan Ha ={ha: h e H} disebut Koset Kanan dari H. Analog dengan itu, aH ={ah: h e H} disebut Koset Kiri dari H. Berkaitan dengan pengertian di atas, dapat dikemukakan bahwa: .

 Jika (G, ) (G, ) merupakan grup dan H subgroup dari G. misalkan a G sebarang, maka koset  kanan H ditulis H a H a = {h a {h a : h H} dan koset kiri H ditulis aH = { a h a h : h H}.

Berdasarkan pendefinisian koset di atas, patut dipertanyakan “Apakah setiap  grup H dari suatu grup G, selau mempunyai koset kiri atau koset k oset kanan?”. Untuk menjawab m enjawab pertanyaan ini, kita ambil e G, dengan e unsur identitas identitas di G, G, maka He = { he : h H } = { h : h H } = H Dan eH = { eh : h H } = { h : h H } = H Ini berarti H merupakan koset kiri dan koset kanan dari dirinya sendiri di G yang  dibangkitkan oleh e. juga sebelumnya telah ditunjukkan bahwa jika H subgroup dari grup G, dan e unsure identitas di G, G, maka e juga merupakan unsure identitas identitas di H. karena e H maka ea Ha, akibatnya a Ha, dan juga ae aH. Hal ini menunjukkan pada kita, bbahwa koset kanan Ha paling sedikit mempunyai satu anggota yaitu a, demikian juga koset kiri aH. Akibatnya baik koset kanan maupun koset kiri tidak kosong. Pertanyaan selanjutnya, apakah aH = Ha? Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikan contoh berikut. Misalkan G = {1,-1,I,-i} Defenisi operasi perkalian (x) pada G, Maka (G,x) membentuk grup. Ambil H = {-1,1}, jelas H G dan (H,x) meru[akan grup. jadi H subgrup dari G. Selanjutnya perhatikan koset kanan dan koset kiri dari H berikut ini: 1 × H = {-1,1} = H H × 1 = {-1,1} = H -1 × H = {1,-1} = H H ×-1 = {1,,-1} = H 1 × H = {-i,i} H × i = {-I,i}

-1 × H = {i.-i} H ×-i = {i,-i} Contoh di atas koset kiri sama dengan koset kanan. Misalkan S = {a,b,c} Bentuk grup simetri , yaitu semua permutasi yang didefenisikan pada S, maka dapat dinyatakan sebagai berikut: = dengan, =,=,= =,=,= Misalkan H = = , maka H merupakan subgroup dari (kenapa)? Selanjutnya jika kita ambil maka = { , } = , dan H={ , } =  Jelas dalam kasus ini H H. Berdasarkan pada contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa jika H subgroup dari grup G, dan a G sebarang maka koset kanan dan koset kiri yang dibangkitkan dibangkitkan a, umumnya tidak sama, atau aH ≠ Ha. Pertanyaan selanjutnya, adalah sifat apa yang harus dipenuhi oleh G supaya aH = Ha? Berikut ini akan dibahas, dibahas, beberapa sifat dari koset yang  masing-masing disajikan dalam bentuk teorema Beberapa sifat dari koset yang masing-masing disajikan dalam bentuk teorema sebagai berikut: ◦

◦

◦

◦

◦

◦

◦

◦

Jika h anggota sebarang dari H, dan H merupakan subgroup dari grup G, maka Hh = H dan hH = H.

Karena H subgroup dari grup G, maka mak a jelas H ≠ ø. Ambil h H sebarang. Akan ditunjukkan Hh = H dan hH = H Untuk itu ambil ambil sebarang x Hh. Maka x dapat ditulis dalam bentuk:

x = h’h untuk suatu h’ H diketahui H subgroup dan h H, h’ H. akibatnya h’h H atau x H, ini menunjukkan Hh ⊂ H … (i) Selanjutnya ambil sebarang y H Pandang y = ye, dimana e unsur identitas di H = y(h-1h) [h H h-1h = e] = (yh-1)h [assosiatif] Karena y H, h H, maka y H, h -1 H Akibatnya yh-1 H. tetapi y = (yh-1)h Maka y Hh. Hal ini menunjukkan bahwa: H Ha … (ii) Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa Hh = H Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan hH = H. Perhatikan kembali , yaitu G = {1,-1,i,-i} dan (G,x) membentuk grup, H= {-1,1}, merupakan subgroup G. Selanjutnya, ambil -1,1 H maka 1 × H = {-1,1} = H H × 1 = {-1,1} = H -1 × H = {1,-1} = H H ×-1= {1,-1} = H Misalkan H subgroup sebarang dari grup G dan a,b anggota sebarang dari G, maka Ha = Hb jika dan hanya jika ab -1 H

aH = bH jika dan hanya jika b-1a H



Misalkan H subgroup dari grup G

Ambil sebarang a,b G sedemikian sehingga Ha = Hb Karena e H (e unsure identitas) maka ae Ha atau a Ha dari hipotesis diketahui Ha = Hb. Akibatnya diperoleh Ha = Hb a Hb [ karena a Ha dan Ha = Hb]  ab-1 (Hb)b-1 ab-1 H(bb-1) ab-1 He ab-1 H [ karena He = H]  

Misalkan ab-1 H, akan ditunjukkan Ha = Hb, Untuk itu diperhatikan : ab-1 H Hab-1 = H [dari  Hab-1b = Hb Hae = Hb Ha = Hb dengan demikian disimpulkan, Ha = Hb jika dan hanya jika ab-1 H.

 ] 



Misalkan H subgroup dari grup G Ambil sebarang a,b G sedemikian sehingga aH = bH Karena e H (e unsure identitas) maka ea Ha atau a Ha dari hipotesis diketahui aH = bH. Akibatnya diperoleh aH = bH a bH [ karena a Ha dan Ha = Hb]  b-1a b-1(bH) b-1a (b-1b)H b-1a (bb-1)H b-1a eH b-1a H [ karena eH = H]  

Misalkan b-1a H, akan ditunjukkan aH = bH, Untuk itu diperhatikan :

b-1a H

b-1aH = H [dari  bb-1aH = bH eaH = bH aH = bH dengan demikian disimpulkan, aH = bH jika dan hanya jika b-1a H.

 ] 

Untuk sebarang dua koset kanan (kiri) subgroup berlaku salah satu sifat berikut: Keduanya saling lepas atau (ii) keduanya sama

Misalkan H subgroup dari grup G, dan juga misalkan Ha dan Hb merupakan koset kanan dari H yang masing-masing dibangkitkan oleh a dan b. Akan ditunjukkan bahwa salah satu berikut ini yang berlaku Ha  Hb = ø atau Ha = Hb Untuk itu jika dimisalkan Ha  Hb ≠ ø, maka harus ditunjukkan bahwa Ha = Hb. Demikian   juga sebaliknya jika Ha ≠ Hb maka haruslah Ha Hb = ø. Berikut ini salah satunya akan ditunjukkan, yaitu: Misalkan Ha  Hb ≠ ø. Ambil x Ha  Hb, ini berarti x Ha dan x Hb, Sehingga x dapat dinyatakan sebagai berikut: X = a = b untuk suatu H dan H. Karena a = b b = -1 ( a) b =( -1 ) a Hb = H( -1 ) a Hb = (H -1 ) a Hb = Ha [karena -1 H H -1 = H]. Ini berarti dala kasus Ha  Hb ≠ ø maka Ha dan Hb sama.

Sebaagi latihan diharapkan pembaca untuk menunjukkan bahwa jika Ha ≠ Hb, maka Ha Hb = ø . Misalkan G grup dan H subgroup dari G, maka untuk sebarang a, b G dikatakan a kongruen b modulo H ditulis a b (mod H) didefenisikan a b (mod H) jika dan hanya jika ab -1 H Misalkan H subgroup dari G, dan didefenisikan relasi kongruen modulo H, yaitu a b (mod H) jika dan hanya jika ab -1 H a, b G, maka relasi tersebut merupakan relasi ekuivalen.

Misalkan H subgroup dari grup G. Ambil sebarang a, b G, kemudian didefenisikan a b (mod H) ab-1 H relasi di atas memenuhi sifat berikut. Misalkan a G sebarang. Karena H subgroup dari G, Maka aa-1 = e H, a G. sesuai dengan defenisi relasi di atas diperoleh a a (mod H) a G.  Jadi, relasi memenuhi sifat refleksif. Misalkan a, b G sebarang dengan a b (mod H). Ini berarti bahwa jika a b (mod H) maka ab-1 H H [ karena H subgroup ]  ba-1 H b a (mod H)

 Jadi, relasi memenuhi sifat simetri. Misalkan a, b, c G sebarang dengan a b (mod H) dan b c (mod H). Akan ditunjukkan a c (mod H). Karena a b (mod H) maka ab-1 H. Demikian jga, karena b c (mod H) maka bc-1 H. Karena H subgroup dan ab-1 , bc-1 H, maka (ab-1 )(bc-1 ) H atau a(b-1b)c-1 H. karena (b-1b) = e maka aec-1 H ( e unsure identitas).  Jadi, ac-1 H atau dengan kata lain a c (mod H). Hal ini menunjukkan bahwa relasi memenuhi sifat transitif. Karena ketiga sifat di atas dipenuhi oleh relasi “kongruen mod H” maka relasi tersebut merupakan relasi ekuivalen. Telah ditunjukkan di atas bahwa jika H subgroup dari grup G, dan relasi “kongruen mod H” yang didefenisikan, merupakan relasi ekuivalen, maka relasi kongruen tersebut akan membagi G dalam kelas-kelas saling lepas, atau dengan kata lain relasi kongruen akan membagi G menjadi beberapa partisi  yang berbeda. Untuk memahami lebih mendalam pengertian partisi yang diakibatkan oleh relasi“kongruen mod H” di atas, berikut ini akan ditunjukkan bahwa kelas ekuivalen yang  ditentukan oleh a G (ditulis [a]) sama dengan koset kanan Ha. Sesuai dengan defenisi [a] = { x G : x a (mod H)} Akan ditunjukkan bahwa [a] = Ha Untuk itu, ambil x [a] sebarang  x [a] x a (mod H) x a-1 H x a-1 a Ha x Ha ini berarti: [a]⊆ Ha Selanjutnya ambil sebarang y Ha  y Ha y a-1 Haa-1  y a-1 He  y a-1 H  y a (mod H)

… (i)

x

[a]

Ini berarti Ha ⊆ [a] Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa: Relasi ekuivalen menempatkan G ke dalam kelas-kelas yang saling lepas, maka G merupakan gabungan dari semua kelas-kelas ekuivalen yang ditentukan oleh anggota dari G. tetapi setiap kelas ekuivalen yang ditentukan oleh anggota dari G sama dengan koset kanan  yang dibangkitkan oleh anggota tersebut. Juga telah ditunjukkan bahwa koset kanan tidak kosong dan tiap dua koset kanan, akan saling lepas atau akan sama yang satu dengan lainnya, maka G juga akan merupakan gabungan dari semua koset kanan yang berbeda dari H di G. Jika H subgroup dari G, maka terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan emua koset kiri yang berbeda dari H dengan himpunan semua koset kanan yang berbeda dari H.

Misalkan: G’ adalah himpunan semua koset kiri dari H dan G’’ adalah himpunan semua koset kanan dari H Bentuk pengaitan, f : G’ G’’ Definisikan f(aH) = Ha-1 , a G’ (i) f suatu fungsi (ii) f satu-satu (iii) f onto (pada)  Jika H subgroup dari grup terhingga G, maka banyaknya koset kanan (kiri) yang berbeda dari H, sama dengan banyaknya koset kiri (kanan) yang berbeda dari H. hal ini merupakan akibat dari . Jika H subgroup dari grup terhingga G, maka banyaknya koset kanan (kiri) yang berbeda dari H, dikatakan indeks dari H di G dan dilambangkan oleh [G : H].

Suatu pedoman yag sering digunakan untuk menentukan banyaknya subgroup  yang berbeda dari suatu grup terhingga, yaitu banyaknya anggota dari subgroup selalu membagi banyaknya anggota dari grupnya. Teorema tersebut dikenal sebagai berikut.  Jika G grup terhingga dan H subgroup dari G maka (H) | (G) (order H membagi order G)

Misalkan G grup terhingga dan H subgroup dari G. Maka jelas H juga tergingga. Sebut (H) = m dan (G) = n Karena (H) = m, maka H mempunyai m anggota yang berbeda. Tulis m anggota dari H tersebut, yaitu h1, h2, h3, …, hm Oleh karena itu, untuk sebarang a G, koset kanan Ha yaitu: Ha = { h1a, h2a, …, hma}  Jelas hia ≠ h  ja untuk i ≠ j. (karena jika diandaikan hia=h  ja, maka hokum pencoretan kanan memberikan hi=h  j, yang  kontradiksi dengan asumsi bahwa h i ≠ h  j untuk i ≠ j).  Jadi, Ha mempunyai m anggota yang berbeda. Sehingga setiap koset dari H di G memuat m anggota yang berbeda. Selanjutnya , misalkan G memuat k koset kanan yang berbeda itu. Akibatnya k koset kanan akan mempunyai mk anggota yang berbeda. Oleh karena itu, G mempunyai mk anggota, dengan kata lain:

(G) = mk atau n = mk atau =k atau =k ini berarti (H) membagi (G). Karena n = mk, maka = m atau = m, akibatnya indeks subgroup dari grup terhingga, membagi orde grup tersebut. Kebalikan Teorema Lagrange tidak selalu benar, dalamarti jika (G) = n dan ada m bilangan bulat positif sehingga m|n (m membagi n) tidak selamanya ada subgroup H dari G dengan (H) = m. Pandang grup simetri P4 yaitu semua permutasi berderajat 4. Maka (P 4) =4!=24. Misalkan A4 grup permutasi genap yang berderajat 4 maka, (A4) = = = 12 Sekarang ambil 6 adalah bilangan bulat positif, jelas 6 membagi 12 tetapi tidak ada subgroup proper dari yang A4  yang berorde 6.  Jika G suatu grup terhingga maka t (a) | (G), a G

Telah diuraikan sebelumnya bahwa jika G suatu grup dan H subgroup dari G dan a G. aH dan Ha masing-masing dikenal sebagai koset kiri dan koset kanan. Juga telah ditunjukkan oleh beberapa contoh bahwa tidak selamanya koset kiri sama dengan koset kanan. Dalam kasus koset kiri sama dengan koset kanan maka subgroup tersebut dikaatakan subgroup normal. Misalkan G grup dan H subgroup dari G, H disebut subgruo normal jika koset kiri dari H sama dengan koset kanan dari H di G.

Berdasarkan dengan defenisi di atas, dapat dituliskan bahwa, H subgroup normal jika dan hanya jika xH = hx, x G. Misalkan G grup komutatif, dan H subgroup sebarang dari G, maka H normal karena x G berlaku xH = {xh : h H} = {hx : h H} [karena G komutatif, dan x, h h G]  = Hx a. Misalkan G grup, maka x G berlaku: xG = Gx = G ini berarti, bahwa: G merupakan subgroup normal dari G. b. Pandang H = {e} dimana e identitas di grup G jelas H subgroup dari G dan x G, xH = Hx = {x}.  Jadi, H juga subgroup normal dari G. Contoh 5.6 di atas menunjukkan bahwa jika G grup maka G dan {e} selalu merupakan subgroup normal dari G. Dalam hal ini G dan {e} disebut subgroup normal trivial (subgroup normal taksejati). Suatu grup dinamakan grup Hamilton jika setiap subgrupnya normal.

Suatu grup tanpa grup noemal sejati (nontrivial) dinamakan grup sederhana.  Jadi setiap grup komutatif, merupakan grup Hamilton.

Defenisi 5.12 di atas dapat diartikan sebagai berikut. G grup sederhana jika dan hanya jika G tidak mempunyai subgroup normal selain G dan {e}.

Setiap grup yang berorde prima merupakan grup sederhana, karena jika G grup dan orde G prima, maka subgroup dari G hanya G dan {e}, dengan kata lain G tidak mempunyai subgroup sejati. Akibatnya G juga tidak mempunyai subgroup normal sejati. Jadi G grup sederhana. Suatu subgroup H dari grup G adalah normal jika dan hanya jika xHx -1 ⊆ H,



Bukti dari kiri ke kanan 

Misalkan H subgroup normal dari grup G, maka xH = Hx x G pandang xH = {xh : h H} Hx = {hx : h H}   jika xh xH dan hx Hx, maka xh = h0 x untuk suatu h0 H. ambil sekarang y xHx-1 maka y = (xh) x-1 untuk suatu h H. xh xH = Hx  y = (xh) x-1 = (h0 x) x-1 = h0 (xx-1) = h0e = h0 H Karena pengambilan y sebarang di xHx -1, maka xHx-1 ⊆ H 

Bukti dari kanan ke kiri 

Misalkan H subgroup dari grup G dan mememuhi xHx-1 ⊆ H x G akan ditunjukkan H normal. Ambil sekarang x G, h H. Pandang xh xH dan xh = (xhx-1) x. Karena xhx-1 xHx-1⊆ H, maka xhx-1 = h0 H untuk suatu h0 H. akibatnya xh = h0 x Hx   jadi xH ⊆ Hx … (i)

xG

selanjutnya, ambil sekarang y Hx, maka  y = hx, untuk suatu h H  y = hx = x(x-1hx). Karena (x-1hx) x-1Hx ⊆ H, Maka x-1hx = h0, untuk suatu h0 H Akibatnya y = hx = x(x-1hx) = x h0 xH  Jadi Hx ⊆ xH … (ii) Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa xH = Hx, x G. Berdasarkan , maka H subgroup normal di G. Misalkan G grup dan N subgroup dari G, N normal jika dan hanya jika gNg -1 = N g G.

(i) (ii) (iii)

 Jika G grup dan N subgroup normal dari G maka pernyataan berikut ekuivalen: Ng = gN, g G  gNg -1 ⊆ N, g G  gNg -1 = N, g G.  Jika N subgroup normal dari grup G dan K subgroup dari G sehingga N ⊆ K ⊆ G, maka N uga subgroup normal dari K.

Karena N subgroup normal dari grup G, maka jelas N subgroup G. Dengan demikian N, K masing-masing subgroup dari G. Karena N ⊆ K maka N merupakan subgroup dari K. Perlu ditunjukkan bahwa N normal di K.

Untuk itu, ambil sebarang k K Karena k K dan K ⊆ G maka k G. Akibatnya kNk-1 N, (karena N normal di G). Hal ini menunjukkan kNk-1 ⊆ N k K Dengan demikian, berdasarkan Disimpulkan bahwa N merupakan subgroup normal dari K.  Jika N, M subgroup normal dari grup G dengan N M = G dan N  M = {e} maka G grup komutatif (e identitas di G).

Ambil n, m sebarang dengan n N, m M. Karena N⊆ G dan M ⊆ G, maka n, m G. Akan ditunjukkan bahwa nm = mn Untuk itu, pandang N subgroup normal dari G, Dan n N, m M ⊆ G, Maka mnm-1 N … (i) Selanjutnya pandang M subgroup normal dari G, Dan m M, n N ⊆ G, Maka nmn-1 M. … (ii) Perhatikan nmn-1m-1 = n(mn-1m-1) = (nmn-1)m-1 … (iii) Dari (i) mnm-1 N dan n N, maka n(mn-1m-1) N … (iv) Dari (ii) nmn-1 M dan m-1 M, maka (nmn-1)m-1 M … (v) Gunakan kenyataan (iv) dan (v) disimpulkan bahwa: nmn-1m-1 N  M = {e}.  Jadi, nmn-1m-1 = e atau nm = mn, n, m G. Dengan kata lain G merupakan komutatif.

Bebearapa sifat subgroup normal dari suatu grup telah diberikan di atas, dan berikut ini akan dimanfaatkan sifat tersebut untuk koleksi dari semua koset kiri dari subgroup normal. Misalkan N subgroup normal N dari G. maka koset kanan Ng dan koset kiri gN sama. Jadi untuk subgrupnormal tidak ada perbedaan antara koset kiri dengan koset kanan. Bentuk himpunan G/N = {Ng : g G} yaitu himpunan semua koset dari subgroup normal N di G. maka G/N memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: (i)   jelas G/N ≠ ø (ii) akan ditunjukkan G/N tertutup. Ambil sekarang x, y G/N x = Na untuk suatu a G  y = Nb untuk suatu b G xy = (Na) (Nb) = N (aN) b = N (Na) b [karena aN = Na]  = (NN) ab [N subgroup, NN = N]  = Nab Karena a, b G dan G grup maka ab G. Dengan demikian xy G/N, ini berarti G/N tertutup. (iii) Akan ditunjukkan G/N assosiatif   Jika kita ambil Na, Nb, Nc anggota sebarang dari G/N, Maka {(Na)(Nb)}(Nc) = (Nab)(Nc) = N(ab)c = Na(bc) = Na(Nbc) = (Na){(Nb)(Nc)}. Ini berarti perkalian koset bersifat assosiatif atau G/N memenuhi sifat assosiatif. (iv) Akan ditunjukkan, ada unsure identitas.   jika kita pilih e G, unsur identitas di G, maka Ne = N G/N Untuk sebarang Na G/N berlaku (Na) (Ne) = Nae = Na Dan (Ne) (Na) = Nea = Na  Jadi (Na) (Ne) = (Ne) (Na) = Na, Na G/N Ini berarti Ne = N merupakan identitas di G/N (v) Setiap anggota mempunyai invers di G/N

Ambil sekarang Ng G/N, Maka Ng -1 G/N [karena g G maka g -1 G]  Dan memenuhi: (Ng) (Ng -1) = Ngg -1 = Ne = N Dan (Ng -1) (Ng) = Ng -1 g = Ne = N  Jadi invers dari ng adalah Ng -1 G/N. Dari uraian (i) - (v) di atas dapat disimpulkan bahwa: G/N = {Ng : g G} membentuk grup terhadap perkalian koset. Misalkan N subgroup normal dari grup G, dan G/N = {Ng : g G} dengan perkalian koset membentuk grup. G/N disebut grup faktor (Grup Quotient) dari G atas N.

Misalkan Z= himpunan bilangan bulat. (Z, +) membentuk grup. Ambil sebarang m Z, dan bentuk H = (ma : a Z) Dapat ditunjukkan bahwa, H merupakan subgroup normal dari Z. selanjutnya jika kita ambil sebarang a Z, maka menurut algoritma pembagian, hubungan bilangan bulat m dan a adalah: A = mq + r dimana 0 ≤r < m, untuk suatu q, r Z. Tinjau kasus demi kasus untuk r sebagai berikut: . untuk r = 0 maka a mq Akibatnya, a + H = mq + H [karena mq H mq + H =H]    jadi, a + H = H untuk a = mq. Untuk r = 1, maka a = mq + 1 dalam kasus ini: a + H = (mq + 1) + H = (mq + H) + (1 + H) = H + (a + H) = 1 + H [(H + (1 +H) = (0+H) + (1+H) = (1+H)] 

 Jadi, a+H = 1+H untuk a = mq +1 Selanjutnya dengan cara yang sama diperoleh: a+H = 2+H untuk a = mq+2 a+H = 3+H untuk a = mq+3 … . … …. …= … ..+ … a+H = (m-1)+H untuk a = mq+(m-1).  Jadi, koset-koset yang berbeda dari H di Z adalah H, 1+H, 2+H, 3+H, …, (m-1)+H. Dengan demikian grup faktor  Z/N = {H, 1+H, 2+H, …, (m-1)+H}  Jika H subgroup normal dari grup hingga G, maka berlaku (G/H) =

1. 2. 3. 4.

Adapun kesimpulan dari makalah yang kami buat adalah sebagai berikut: Koset kanan Ha maupun koset kiri aH memiliki paling sedikit satu anggota sehingga baik dari koset kanan maupun koset kiri tidak kosong,  Jika H subgroup dari grup terhingga G, maka banyaknya koset kanan (kiri) yang berbeda dari H, sama dengan banyaknya koset kiri (kanan) yang berbeda dari H. hal ini merupakan akibat dari Teorema 5.6. Teorema lagrange adalah banyaknya anggota dari subgroup selalu membagi banyaknya anggota dari grupnya.  Jika koset kanan sama dengan koset kiri maka subgroup tersebut dinamakan subgroup normal.

PENGERTIAN KOSET

Jika H suatu subgrup dari grup (G; o) dan a ϵ G maka Ha = {h.a | h ϵ H} disebut koset kanan dari H dalam G, sedangkan aH = {a .H | h ϵ H} disebut koset kiri dari H dalam G. Subgrup dapat dinyatakan dengan H atau S atau huruf yang lain. Dalam contoh berikut H dan S dua-duanya muncul tetapi dalam pembahasan koset selanjutnya akan digunakan S. Apabila (G, +) merupakan grup, dan S subgrup dari G, maka aS = {a+ s|s ϵ S} dan Sa = {s + a | s ϵ S} apabila (G, x) grup dan S subgrup dari G maka aS = {a x s | s ϵ S} dan Sa = {s x a | s ϵ S} Secara umum a.s ditulis as dan s .a ditulis sa Contoh 1. Misalnya G = {...., -2, -1, 0, 1, 2, .... } sedangkan (G, +) merupakan grup. Misalnya S = { ..., -6, -3, 0, 3, 6, ....} Maka S2 = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ....} adalah koset kanan dari s S3 = {..., -3, 0, 3, 6, 9, ....} adalah koset kanan dari s 1S = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...} adalah koset kiri dari s. Contoh 2. Misalkan B adalah himpunan semua bilangan bulat. Maka B dengan operasi penjumlahan merupakan suatu grup. H 5 adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan 5. Maka H5 dengan operasi penjumlahan juga merupakan semua suatu grup. H 5 H5 merupakan subgrup dari B. Koset kanan di mana H 5 dalam B untuk 4 ϵ B adalah H54 B = { ....., -2, -1, 0, 1, 2, ...} H5 = {....., -10, -5, 0, 5, 10, ...} H54

= {h + 4 | h ϵ H5

H54 = {...., -6, -1, 4, 9, 14, ...}

3H5 = {3 + h | h ϵ H5} 3H5 = {...., -7, -2, 3, 8, 13, ...} 3H5 koset kiri dari H5 dalam B Contoh 3. Misalnya G = {i, a, b, c, d, e } sedangkan (G, o) adalah grup dengan i = (1) (2) (3) c = (2 3) a = (1 2 3) d = (1 3) b=(132) e = (12), dan o adalah perkalian permutasi Hasil kali anggota G disajikan dalam tabel berikut ini o a b c d e i i a b d e a a b i c d b b i a e c c c d e a b d d e c i a

B, jadi

e e c d b i Subgrup dari G adalah {i, a, b}, {i, c}, {i, d}, {i, e}

Misalnya S ={i, c} Koset kanan dari S dalam G adalah Si ={i, c} Sc ={c, i} Sa ={ia, ca} = {a, d} Sd ={id, cd} = {d, a} Sb = {ib, cb} = {b, e} Se = {ie, ce} = {e, b} Koset kiri dari S dalam G adalah iS= {i, c} cS = {c, i} aS= {ai, ac} = {a, e} dS= {di, de} = {d, b} bS= {bi, bc} = {b, d} eS= {ei, ec} = {e, a} Perhatikan lagi definisi koset, misalkan S adalah subgrup dari (G; o). Misalkan anggota dari S adalah h 1, h2, h3, ...., yang semuanya berlainan. Jika a ϵ G dan a S, maka anggota dan koset kanan Sa adalah h1oa, h2oa, h3oa, ....., yang semuanya berlainan pula. Sebab jika ada anggota dalam Sa yang sama, yaitu h i o a = h j o a dengan sifat ... diperoleh h i = h j. Hal ini tidak mungkin karena anggota dari S semuanya berlainan begitu pula anggota dari koset kanan Sa tidak ada yang sama dengan anggota dari S. Sebab andaikan ada yang sama, misalkan hi o a = h j o a dengan hi, h j ϵ S, yang berarti -1 -1 hi o (hi o a) = hi o h j -1 -1 (hi o (hi) o a = hi o h j -1 (i o a) = hi o h j -1 a = hi o h j

-1

S suatu subgrup maka S suatu grup. Sehingga, apabila h j ϵ S maka hi -1

ϵ

-1

S pula. Hi o hi

ϵ

S

-1

...(h i o hi ) S (karena sifat tertutup). Karena a = hi o hi maka a ϵ S. Hal ini pun tidak mungkin sebab tadi mengambil a ϵ G dengan a ϵ S. Sekarang ambil b ϵ G dengan b = a, dan b ϵ S. Maka anggota dari koset kanan S dalam G adalah b ϵ G, yaitu Sb, adalah h 1 o b, h2 o b, h3 o b, ..... Tentu anda dapat menunjukkan bahwa anggota .... dalam Sb ini tidak ada yang sama. Begitu pula anggota dari Sb tidak ada yang sama dengan anggota dari S. Peryataan ini dapat ditunjukkan melalui contoh 3, yaitu S = {i, c}. 1. Jika i ϵ S dan c ϵ S maka Si = S dan Sc = S 2. Jika a

S dan b

S maka Sa

S dan Sb

S. -1

-1

Untuk memahami sifat  –  sifat koset, perlu anda perhatikan bahwa (Sa)a = Si = S dan (Sb)b = Si = S.

-1

-1

Dalam contoh 3 diketahui bahwa a dan b saling invers, yaitu a = b dan b = a Ambil Sa = {a, d} dan Sa = {b, e}. -1 (Sa)a = (Sa)b = {ab, ad} = {i, c} = S -1 (Sb)b = (Sb)a = {ba, ca} = {i, c} = S

B. SIFAT  –  SIFAT KOSET Teorema 7.1 jika S adalah subgrup dari grup G, dan a ϵ S, maka Sa = S Bukti : Sa adalah koset kana dari S, yang anggotanya adalah hasil kali anggota S dan a, dari kanan. Karena S adalah subgrup yang memenuhi sifat tertutup, dan a ϵ S, maka hasil kali setiap anggota S dengan a merupakan anggota S pula. Jadi Sa

S. -1

-1

Karena a ϵ S maka a ϵ S. Jadi S = {(Sa ) a/s ϵ S} Sa Jadi Sa = S Teorema 7.2 Jika G adalah grup dan S adalah subgrup dari G, maka Sa = Sb jika dan hanya jika -1 ab ϵ S Bukti :

-1

1. Akan dibuktikan : Sa = Sb ab ϵ S Misalkan Sa = Sb -1 -1 Maka (Sa)b = (Sb)b -1 Sab = Si -1 -1 -1 Sab = S . karena i ϵ S, maka ab = i (ab ) ϵ S Jadi Sa = Sb

2. Akan dibuktikan ab-1 ϵ S Misalkan ab-1 ϵ S.

-1

ab

Sa = Sb -1

Menurut teorema di atas Sab = S -1 Maka (Sab )b = Sb -1 (Sa)(b b)Sb Sai = Sb Sa = Sb

ϵ

S.

Jadi ab-1 ϵ S

Sa= Sb -1

Dari (1) dan (2) di peroleh Sa = Sb Teorema 7.3 Bukti :

ab

ϵ

S.

Jika S adalah subgrup dari grup G, maka b ϵ Sa jika dan hanya jika Sa = Sb. 1. Akan dibuktikan b ϵ Sa Sa = Sb Dapat dilakukan dengan dua cara. Cara 1. -1

-1

a ϵ Sb ab ϵ Sbb atau ab menurut teorema -1

ab

ϵ

S

-1

ϵ

S

-1

Sab = S -1 Sab b = Sb Sai = Sb Sa = Sb

Cara 2. Misalnya b ϵ Sa. Maka b = s j . a untuk suatu s j ϵ S -1 -1 b a = (s j a ) a -1 -1 b a = s j (a a ) -1 b a = s j i 1 b a- = s j, -1 maka b a ϵ S -1 menurut teorema, jika b a ϵ S maka Sa = Sb 2. Akan dibuktikan Sa = Sb Cara 1 b ϵ Sa

-1

b ϵ Sa.

-1

ba ϵ Saa -1 ba ϵ S -1 menurut teorema Sba = S -1 Sba a = Sa Sbi = Sa Sb = Sa Atau Sa = Sb Cara 2 b ϵ Sb, sebab S memuat i sehingga ib = b b ϵ Sb dan Sa = Sb. Maka b ϵ Sa  jadi Sa = Sb

b ϵ Sa

dari (1) dan (2) diperoleh b ϵ Sa

Sa = Sb