BAB II RING DAN TEOREMA-TEOREMA DASAR PADA RING
A. Ring dan Teorema Sederhana dari Ring
Dalam teori grup telah dipelajari tentang suatu himpunan dengan satu operasi.Sebagai kelanjutan dari grup akan dipelajari suatu himpunan dengan dua operasi dan bentuk tersebut dinamakan ring. Definisi a.1. Suatu ring adalah suatu himpunan R tak kosong beserta dua operasi pada R, yang disebut penjumlahan (a+b) dan pergandaan (a.b), sedemikian sehingga sehingga setiap aksioma berikut dipenuhi : R dengan penjumlahan merupakan grup Abelian memenuhi 1.
∀ a,b ∈ R, ∃ c ∈ R sedemikian sehingga a+b = c.
2.
∀ a,b,c ∈ R, (a+b)+c = a +(b+c)
3.
∀ a ∈ R, ∃ 0 ∈ R , a+0 = 0+a = a
4.
∀ a∈ R, ∃ -a ∈ R , a+(-a) = (-a)+a = 0
5.
∀ a,b ∈ R, a+b = b+a
R dengan pergandaan memenuhi : 1.
∀ a,b ∈ R, ∃ c ∈ R sedemikian sehingga a.b = c.
2.
∀ a,b,c ∈ R, (a.b).c = a.(b.c)
R dengan komposisi kedua operasi memenuhi : ∀ a,b,c ∈ R, a.(b+c) = a.b+a.c dan (a+b).c = a.c+b.c
Contoh : 1. Himpunan bilangan
bulat membentuk
ring dengan
operasi
penjumlahan dan pergandaan. Demikian juga pada himpunan bilangan rasional, bilangan real dan bilangan bulat genap.
STRUKTUR ALJABAR II
1
2. Untuk suatu bilangan bilangan bulat positif positif n, Z n bilangan bulat modulo n, membentuk sebuah ring dengan operasi
⊕
dan
⊗
yang
didefinisikan sebagai berikut : untuk [a],[b] ∈ Zn , [a] ⊕ [b] = [a+b] dan
[a] ⊗ [b]= [ab]. Dapat ditunjukkan bahwa Z n dengan ⊕
merupakan grup Abelian dan Z n dengan ⊗ memenuhi sifat asosiatif.
3. Diberikan S adalah himpunan semua bilangan real berbentuk x+y√2 , dengan x,y∈Z, dengan operasi penjumlahan dan perkalian. Dapat dibuktikan bahwa S tertutup terhadap kedua operasi tersebut. S adalah ring komutatif dengan elemen satuan.
4.
Diberikan K = {a,b,c,d} dengan penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan oleh tabel berikut (+)
a
b
c
d
A
a
b
c
d
B
b
a
d
c
C
c
d
a
b
D
d
c
b
a
(.)
a
b
c
d
A
a
a
a
a
B
a
b
c
d
C
a
a
a
a
D
a
b
c
d
Ring K bukan ring komutatif. Dari operasi pergandaan terlihat, sebagai contoh, contoh, cd = a dan dc = c.
STRUKTUR ALJABAR II
2
5. Diberikan L, himpunan ZxZxZ, ZxZxZ, L adalah himpunan himpunan (a,b,c) dengan a,b,c ∈ Z dan didefinisikan (a,b,c) + (d,e,f) = (a+d, b+e, c+f) (a,b,c)(d,e,f) = (ad,bd+ce,cf) Dapat ditunjukkan bahwa L bukan ring Komutatif. Karena suatu ring merupakan grup terhadap, sifat-sifat dasar dari ring yang berkaitan dengan penjumlahan termuat dalam sifat-sifat dasar grup terhadap penjumlahan. -1 -1
Sebagai contoh, hukum kanselasi dan hukum (a )
= a karena –(-a)=a.
Teorema berikut memberikan ringkasan dari sifat tersebut. Sesuai kesepakatan dalam grup : jika n adalah bilangan bulat positif, maka na = a+a+…+a (n suku) dan (-n)a = -(na) Teorema a.1. Diberikan R ring. Elemen nol dari R adalah tunggal. Bukti : Misal x,y ∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a ∈R berlaku a+x = a dan a+y=a. Jika diambil x∈R dengan y elemen nol maka x+y=x. Jika diambil y∈R dengan x elemen nol maka y+x=y. Karena x+y = y+x maka x=y.
g
Teorema a.2. Setiap elemen dari R mempunyai negatif tunggal. (Invers penjumlahan dari setiap elemen dalam ring R adalah tunggal). Bukti : Misalkan a+x = 0 dan a+y = 0 Maka a+x = a+y dengan kanselasi diperoleh x=y.
STRUKTUR ALJABAR II
g
3
Teorema a.3. Hukum Kanselasi penjumlahan Jika a,b,c ∈ R maka berlaku i). Jika a+c = b+c maka a=b ii). Jika c+a = c+b maka a=b Bukti : Akan dibuktikan untuk (i). Diberikan a+c = b+c Menurut
definisi
grup,
untuk
c ∈R,
ada
t∈R
sedemikian
sehingga c+t = 0. Maka untuk a+c = b+c diperoleh (a+c)+t = (b+c)+t Tetapi (a+c)+t = a+(c+t) = a + 0 = a. Akibatnya, (b+c)+t = b+(c+t) = b+0 = b Maka a=b.
g
Teorema a.4. Jika a dan b adalah elemen dari suatu ring R, persamaan a+x=b mempunyai penyelesaian tunggal x = b-a dalam R. Bukti : a+x = a +(b-a)= a+((-a)+b) = (a+(-a))+b = 0+b = b Ketunggalan dari penyelesaian tersebut ditunjukkan dengan hukum kanselasi berikut. Jika a+x = b dan a+y= b maka a+x = a+y. Mengakibatkan x=y.
g
Karena setiap elemen a ∈R mempunyai tepat satu invers penjumlahan, maka dapat disingkat b+(-a) dengan b-a. Karena a+(-a) = 0, dapat dilihat bahwa a adalah invers penjumlahan dari –a, yaitu –(-a) = a. Maka dapat diuraikan diuraikan teorema berikut : Teorema a.5. Untuk a,b,c elemen-elemen ring R berlaku i). –(-a) = a STRUKTUR ALJABAR II
4
ii). –(a+b) = -a–b iii). –(a-b) = -a+b iv). (a-b)-c = a-(b+c) Teorema a.6. Suatu ring mempunyai tepat satu elemen satuan.
Bukti : Misal e,e’∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a ∈R, berlaku ea = ae = a ……..(1) dan juga e’a = ae’ = a ………(2) Dengan cara yang sama, dari persamaan (1) berlaku juga untuk a=e’ sehingga dipunyai ee’ = e’e = e’ ……..(3) Dan untuk a=e dari persamaan (2) diperoleh e’e = ee’ = e ………(4) Dari persamaan (3) dan (4) menyebabkan e=e’, sehingga hanya ada satu elemen satuan.
g
Definisi a.2. Diberikan a elemen dari ring R dengan elemen satuan e. Jika ada elemen s dari R sedemikian sehingga as = sa = e, maka s disebut invers perkalian dari a. Terdapat perbedaan antara invers penjumlahan dan invers perkalian pada ring. Dalam ring dari himpunan bilangan real, setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian. Dalam ring bilangan bulat, ada tepat dua elemen yang mempunyai invers perkalian, yaitu 1 dan –1. Teorema a.7. Jika a elemen ring R dengan elemen satuan e mempunyai invers perkalian, maka invers perkalian tersebut tunggal.
STRUKTUR ALJABAR II
5
Bukti : Misalkan bahwa s dan t adalah invers perkalian dari elemen a. Maka,dari definisi sa = e dan hukum asosiatif dari perkalian, maka s(at) = (sa)t = et = t. Karena at = e, maka s(at) = se = s. g
Jadi s = t. Bila
a
mempunyai
invers
perkalian,
maka
menandakan
invers
-1
perkaliannya perkaliannya dengan a . Teorema a.8. Untuk setiap elemen a dari suatu ring R, dipunyai a.0 = 0.a = 0 Bukti : Karena a+0 = a, maka a(a+0) = a.a Dari hukum distributif didapat a(a+0) = a.a + a.0 Sehingga a.a + a.0 = a.a. Dengan Dengan kanselasi kanselasi maka a.0 = 0.
g
Bila R adalah ring komutatif, maka dapat dibuktikan juga bahwa a.0 = 0. Jika R tidak komutatif,bukti bahwa 0.a = 0 dapat dengan mudah menggunakan bentuk lain dari hukum distributif. Teorema a.9. Diberikan R ring, 0 elemen nol dari R dan a,b,c ∈R. i). a(-b)= (-a)b = -(ab) ii). (-a)(-b) = ab iii). a(b-c) = ab – ac dan (a-b)c = ac – bc Bukti : i). Diberikan a(b+(-b)) = a.0 = 0……(1) Dengan hukum distributif, diperoleh a(b+(-b)) = ab + a(-b) ……..(2) Dari (1) dan (2) diperoleh ab + a(-b) = 0.
STRUKTUR ALJABAR II
6
Karena ab mempunyai invers penjumlahan tunggal yaitu –(ab) maka a(-b) = -(ab). Dengan cara yang sama dapat dibuktikan (-a)b = -(ab). ii).
Dengan menggunakan teorema 9.i) di atas maka (-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) Karena ab adalah invers penjumlahan dari –(ab) maka –(-(ab)) = ab.
iii).
Perhatikan bahwa b-c adalah notasi untuk b+(-c). Dan menggunakan teorema 9.i) dan hukum distributif maka diperoleh a(b-c) = a(b+(-c)) = ab+a(-c) = ab + -(ac) = ab-ac Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan untuk (a-b)c = ac – bc.
g
Suatu elemen e dalam ring R disebut elemen satuan (identitas terhadap operasi perkalian) perkalian) dari ring jika ea = ae = a untuk setiap a ∈R. Dalam keadaan tersebut elemen satuan adalah elemen identitas untuk perkalian. Bilangan 1 adalah elemen satuan untuk ring dari bilangan bulat. Ring dari himpunan bilangan bulat ganjil tidak mempunyai elemen satuan. Suatu ring R disebut komutatif jika ab = ba untuk setiap a,b ∈R. Jika ab ≠ ba untuk suatu a,b ∈ R, maka R tidak komutatif.
Definisi a.3. Jika R dan S adalah ring, suatu ring dengan elemen-elemennya adalah elemen dari himpunan hasilkali RxS, dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan sebagai berikut : (r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2) (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2) untuk r1,r2 ∈R , s1,s2 ∈S maka RxS disebut jumlahan langsung dari ring R dan S.
STRUKTUR ALJABAR II
7
Contoh : Diberikan R dan S adalah ring dan RxS hasilkali Cartesius dari R dan S, yaitu himpunan dari semua pasangan terurut (r,s) dengan r ∈R, s∈S. Maka RxS menjadi suatu ring dengan operasi berikut (r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2) dan (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2) untuk setiap r1,r2 ∈R , s1,s2 ∈S. Dalam contoh di atas ring RxS tidak komutatif. Ring RxS akan komutatif bila hanya bila R dan S keduanya komutatif.
Soal Latihan
1. Buktikan bahwa suatu suatu elemen (a,b,c) dari ring L dalam contoh contoh 5, mempunyai invers perkalian perkalian bila dan hanya bila a = ±1 dan c = ±1. 2.
Diberikan ring dengan 4 anggota a,b,c,d. Operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan sebagai berikut : (+)
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
a
d
c
c
c
d
a
b
d
d
c
b
a
(.)
a
b
c
d
a
a
a
a
a
b
a
b
c
d
c
a
a
a
a
d
a
b
c
d
STRUKTUR ALJABAR II
8
Buktikan bahwa setiap elemen taknol dari ring tersebut mempunyai invers perkalian. 3. Diberikan R ring dengan elemen satuan. satuan. Jika a dan b adalah elemen dari R yang mempunyai invers perkalian, tunjukkan bahwa ab mempunyai invers perkalian dengan -1
-1 -1
membuktikan bahwa (ab) = b a . 2
2
4. Buktikan bahwa a – b = (a+b)(a-b) untuk setiap a,b elemen ring R bila dan hanya bila R ring komutatif. 2
2
2
5. Buktikan bahwa (a+b) = a + 2ab + b untuk setiap a,b dalam ring R bila dan hanya bila R komutatif.
B. Sifat-sifat Bersahaja dari Ring Definisi b.1. 0
Misalkan R mempunyai elemen satuan e maka dengan a dimaksud e. m
Jika m bilangan bulat positif maka a dimaksud a.a…a dengan m faktor. Jika a∈R mempunyai invers maka dengan a
-m
-1 m
dimaksud (a ) .
Teorema b.1. Diberikan suatu ring R dengan elemen satuan e dan untuk setiap a ∈R mempunyai invers. Maka berlaku -m
i). a
m -1
= (a ) untuk setiap bilangan bulat m.
m
n
m+n
ii). a . a = a m n
iii). (a ) = a
mn
untuk setiap bilangan bulat m dan n.
untuk setiap bilangan bulat m dan n.
Bukti : Akan dibuktikan untuk yang kedua. Untuk m>0, n<0 dan |m| < |n|.
STRUKTUR ALJABAR II
9
Apabila n<0 maka n=-p dengan p positif. m
n
m
-p
Sehingga a . a = a . a m
-1 p
= a . (a )
-1
-1
-1
= a.a……a.a .a …. a m-p
=a
m+n
=a
g
Definisi b.2. Misalkan R suatu ring , a ∈R dan m bilangan bulat positif. Maka ma didefinisikan didefinisikan sebagai a+a+…+a dengan m suku.
Perhatikan bahwa ma tidak didefinisikan sebagai pergandaan dari m dengan a, sebab m adalah bilangan bulat positif (belum tentu m ∈R) dan a∈R, yang belum tentu suatu bilangan. Pergandaan bilangan bulat positif m dengan a ∈R tidak didefinisikan. m di atas adalah lambang untuk menjumlahkan a dengan dirinya sendiri sebanyak m suku. Definisi b.3. Dengan (-m)a dimaksud invers dari ma terhadap t erhadap jumlahan yaitu –(ma). Perhatikan bahwa (-m)a = -(ma) = -( a+a+...+a) = (-a)+(-a) +...+(-a) = m(-a). Sehingga didapat (-m)a = -(ma) = m(-a). Definisi b.4. Dengan 0a, di mana 0 bilangan bilangan bulat, adalah elemen elemen netral (elemen nol) dari ring R. Jadi 0a = 0. Perhatikan bahwa dalam rumus 0a = 0, 0 di ruas kiri adalah bilangan bulat sedangkan 0 pada ruas kanan adalah elemen netral dari R terhadap penjumlahan. Teorema b.2. STRUKTUR ALJABAR II
10
Untuk setiap a,b ∈R dan m,n bilangan bulat berlaku i). ma + na = (m+n)a ii). m(na) = (mn)a iii). m(a+b) = ma + mb iv). m(ab) = (ma)b = a(mb) v). (ma)(nb) = (mn)(ab)
Bukti : Akan dibuktikan dibuktikan untuk m>0, n>0 . Karena ma = a + a + …. + a sebanyak sebanyak m suku dan na = a + a + …. …. + a sebanyak n suku , maka ma + na = a + a + …. + a sebanyak m+n suku. Dan dapat ditulis ditulis sebagai ma + na = (m+n)a. (m+n)a. Akan dibuktikan untuk m>0, n<0 dan |m| < |n|. Apabila n<0 maka n = -p dengan p positif. m(na) = m((-p)a) = m(-(pa)) = -(pa) + (-(pa)) + ...+(-(pa)) ... +(-(pa)) = -(a+a+...) + .... + -(a+a+....+a) = (mp)(-a) = (-(mp))a = (m(-p))a (m(-p))a = (mn)a Bukti untuk bagian iii) dengan m>0, n>0 sebagai berikut. m(a+b) = (a+b) + (a+b) (a+b) + ….. + (a+b), sebanyak m suku. = ( a + a + … + a ) + ( b + b + …. + b ) = ma + mb Adapun bukti untuk (v) adalah (ma)(nb) = (a+a+....+a)(b+b+.....+b) = (a+a+....+a)b + (a+a+....+a)b + ......+ (a+a+...+a)b = (ab + ab + ...+ ab) + ....+ ... .+ (ab + ab+...+ab) Dalam setiap kelompok terdapat m suku, sedangkan ada n kelompok maka hasilnya adalah (mn)(ab).
STRUKTUR ALJABAR II
g
11
(ma)(nb) = (mn)(ab) bukan hukum komutatif dari pergandaan mn dengan ab. Sebab ma tidak berarti pergandaan dari m dengan a.
Soal Latihan
1.
Buktikan bahwa bahwa jika jika R ring, maka sifat-sifat berikut berlaku untuk ∀a,b,c ∈R, yaitu
i). –(a+b) = (-a) + (-b) ii). (a-b) + (b-c) = a-c iii). (a-b)c = ac - bc 2. Buktikan bahwa bahwa jika R adalah adalah ring a,b ∈R dan ab = ba, maka a(-b) = (-b)a (-b)a dan (-a)(-b) = (-b)(-a) 2
3. Suatu ring R disebut ring Boolean jika a = a untuk setiap a ∈R. Jika R adalah ring Boolean dan a ∈R, buktikan 2a = 0. 2
Kemudian buktikan bahwa R komutatif. (Gunakan (a+b) ).
4. Diberikan A menyatakan menyatakan himpunan himpunan bilangan bulat genap. Buktikan bahwa dengan operasi penjumlahan biasa dan perkalian yang didefinisikan sebagai m*n = (1/2) mn, A adalah ring. Apakah A mempunyai elemen satuan ? 2
2
5. Buktikan bahwa a – b = ( a + b ) ( a – b ) untuk setiap a,b elemen ring R bila dan hanya bila R ring komutatif.
STRUKTUR ALJABAR II
12
C. Subring ( Ring Bagian ) Definisi c.1. Suatu himpunan bagian tak kosong S dari ring R disebut subring dari R jika S adalah ring terhadap kedua operasi pada R. Contoh : Ring dari bilangan bulat genap adalah subring dari ring himpunan bilangan bulat. Dan ring dari bilangan bulat adalah subring dari ring bilangan rasional. Syarat perlu cukup agar S merupakan subring diberikan dalam teorema berikut.
Teorema c.1. Diberikan R ring dan S suatu himpunan bagian tak kosong dari R. Maka S merupakan subring dari R bila dan hanya bila syarat berikut dipenuhi : Untuk a,b∈R , ab ∈S dan a-b ∈S. Bukti : Bila S merupakan subring dari ring R, berarti S adalah ring terhadap kedua operasi dari R. Maka dipenuhi : 1). Untuk setiap a,b ∈S, ab∈S. 2). Untuk setiap a,b ∈S, a+b ∈S 3). Untuk setiap a ∈S, -a ∈S
g
Contoh : Diberikan F = M (R) melambangkan melambangkan himpunan semua fungsi f : R → R. Diberikan (f+g) (x) (x) = f(x) + g(x) ; untuk setiap x∈R. (fg) (x) = f(x) g(x) ; untuk setiap x ∈R.
STRUKTUR ALJABAR II
13
Dapat dibuktikan bahwa M(R) dengan kedua operasi tersebut merupakan ring. Misalkan terdapat S yang merupakan himpunan dari semua f ∈F sedemikian sehingga sehingga f(1) = 0. Maka S adalah subring dari F. Karena memenuhi definisi subring. Himpunan S tak kosong karena 0 F∈S. Karena 0F(x) = 0 untuk setiap x∈R. Demikian juga 0 F(1) = 0 maka 0 F∈S. Dan jika f dan g elemen dalam S maka (f+g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0 (fg) (1) = f(1)g(1) = 0.0 = 0 Berarti f+g dan fg dalam S. Akhirnya, jika f(1) = 0 maka (-f)(1) = -f(1) = -0 = 0. Hal tersebut berarti, negatif dari setiap elemen S juga berada dalam S. Contoh lain : Diberikan R dan S ring. Jika R ⊕ S = { (a,b) | a ∈ R, b ∈ S }, dan didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian sebagai berikut : ( a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = ( a1 + a2 , b1 + b2 ) ( a1 , b1 ) (a2 , b2 ) = ( a1 a2 , b1 b2 ) Maka T = { ( a , 0 ) | a ∈ R } adalah subring dari R ⊕ S.
STRUKTUR ALJABAR II
14
Soal Latihan
1. Buktikan bahwa { a+b
3
2
+c
3
4
| a,b,c ∈Z } adalah subring dari R.
2. Center dari ring R didefinisikan didefinisikan sebagai sebagai { c ∈R | cr = rc untuk setiap r ∈R }. Buktikan bahwa center dari suatu ring adalah subring. Apakah center tersebut merupakan ring komutatif ?
3. Jika R dan S adalah ring, ring, buktikan bahwa bahwa himpunan dari elemenelemenelemen
dalam jumlahan langsung R ⊕ S yang berbentuk (a,0) dengan
a ∈R dan 0 adalah elemen nol dari S adalah subring dari R ⊕ S. 4.
Jika diketahui diketahui bahwa S dan T masing-masing adalah subring subring dari ring R. Buktikan bahwa S ∩ T adalah subring dari R.
5. Diberikan R ring dan a ∈ R. Jika S = { x ∈ R | ax = 0 } , buktikan bahwa S adalah subring R.
STRUKTUR ALJABAR II
15
