TEOREMA FERMAT DAN TEOREMA WILSON
A. Teorem oremaa Ferm Fermat at Teorema 1 Jika (a,m) = 1 maka resid!resid terke"i# mod#o m dari $arisa% & a , 2 a , 3 a , … … … . , ( m−1 ) a ada#a' sat ermitasi dari 1,2,3, … … … . , ( m −1 ) .
De%a% kata #ai%, teorema 1 daat dikataka% $a'*a +ika (a,m) = 1 maka setia $i#a%a% $#at ko%re% mod#o mod#o m de%a% teat sat dari a , 2 a , 3 a , … … … . , ( m− 1 ) a . i%at $a'*a setia $i#a%a% $#at aka% ko%re% mod#o m de%a% teat sat dari 1,2,3, … … … . , ( m −1 ) . o%to'& -er'atika% $arisa% $i#a%a% $erikt& 4,8,12,16,20,24. Reside!resid terke"i# mod dari masi%!masi% sk $arisa% ada#a'& 4 ≡ 4 ( mod 7 ) 8 ≡ 1 ( mod 7 ) 12 ≡ 5 ( mod 7 ) 16 ≡ 2 ( mod 7 ) mod 7 20 ≡ 6 ¿ 24 ≡ 3 ( mod 7 ) Tamak Tamak $a'*a resid!resid terke"i# mod#o dari sk!skk ada $arisa% 4,8,12,16,20,24 ada#a' sat ermtasi dari
1,2,3,4,5,6. JIka sema $i#a%a%
ada ras kiri dari / keko%re%a% i%i dika#ika%, dika#ika%, maka 'asi#%0a aka% ko%re% mod de%a% 'asi# ka#i sema $i#a%a% ada ras ka%a%%0a, 0ait& 4.8.12.16.20.24 ≡ 4.1.5.2.6.3 ( mod 7 ) 4
6
(1.2 1.2 .3 .4.5.6 ) ≡ 1.2.3.4.5.6 ( mod 7 )
4 .6 ! ≡ 6 ! ( mod 7 ) 6
4
6
≡ 1 ( mod 7 )
De%a% "ara seerti ada 'a#ama% 1, t%+kka%& •
• •
mod 7 ) 6 5 ≡1 ¿ − 10 3 ≡ 1 ( mod 7 ) 16 13 ≡ 1 ( mod 7 )
o%to'!"o%to' terse$t meraka% e%eraa% dari teorema ermat $erikt&
Teorema 2
Jika sat $i#a%a% rima da% (a,) = 1 maka
p− 1
a
≡ 1 ( mod p ) .
Teorema ermat terse$t daat di%0ataka% #e$i' mm de%a% me%iadaka% kete%ta% (a,) = 1, s$$&
Teorema 3 p a ≡ a ( mod p ) %tk setia $i#a%a% $#at a.
Jika sat $i#a%a% rima, maka o%to'& 1. 4eraaka' sisa em$aia% Me%rt teorema ermat, 10.3+ 8
38
5 ≡5
≡5
10.3 + 24
≡ (5
38
5 10
5
10 3
o#e' 115 ≡ 1 ( mod 11 ) , se'i%a 2 4
) . (5 )
≡ 1 . ( 25 ) ≡ 1 . ( 3 ) ( mod 11) ≡ 81 ( mod 11 ) ≡ 4 ( mod 11) 3
4
3
4
Jadi, 538 : 11 bersisa 4. 2. Ta%a me%%aka% teorema ermat, t%+kka% $a'*a Ja*a$& 3 3 ≡ 27 ≡ 10 ( mod 17 )
3
16
≡ 1 ( mod 17 ) .
( 3 ) ≡ ( 10 ) ( mod 17 )❑ 3 2
2
6
3 ≡ 100 ( mod 17 ) 6
3
≡ 15 ( mod 17 )
6 2
(3 )
2
≡ 15 ( mod 17 )
3 ≡ 225 ( mod 17 ) 12
≡ 4 ( mod 17 ) 12 3 3 ≡ 3 . 3 .3 ( mod 17 ) ≡ 4.10.3 ( mod 17 ) ≡ 120 ( mod 17 ) ≡ 1 ( mod 17 ) terbukti 12
3
16
Teorema 6 Jika da% 7 ada#a' $i#a%a%!$i#a%a% rima 0a% $er#ai%a% sedemikia% 'i%a p q pq a ≡ a ( modq ) dana ≡ a ( mod p ) ,makaa ≡a ( mod pq ) .
o%to'& T%+kka% $a'*a
2
340
≡ 1 ( mod 341)
Ja*a$& 341=11.31
Diketa'i
ari $i#a%a% 2 $era%kat 0a% me%a%d% erka#ia% 31 10
2
=1024 =31.33 + 1, sehingga
2 ≡ 1 ( mod 31 ) 10
2
11
≡ 2 ( mod 31 )
Diero#e' dari 2 2 2 2
10
=31.33 + 1
10+ 1
=31.66 + 2
11
=31.66 + 2 = 2 ( mod 31 )
11
4erdasarka% teorema 3 diero#e' 2 ≡ 1 ( mod 11 ) 10
10 3
( 2 ) ≡ 1 ( mod 11 ) 3
2 ≡ 1 ( mod 11 ) 30
2
31
≡ 2 ( mod 11 ≡ )
4erdasarka% teorema 6 maka Jika jika 211 ≡ 2 ( mod 31 ) dan 231 ≡ 2 ( mod 11) maka 2
2 2
2
11.31
≡ 2 ( mod 11.31 )
341
≡ 2 ( mod 341 )
341
≡ 2 ( mod 341 ) ,lalubagi kedua ruasdengan2
340
≡ 1 ( mod 341 ) .
terbukti
4. Teorema Wi#so% Teorema 8 Jika sat $i#a%a% rima, maka keko%re%a% μ2 ≡ 1 ( mod p ) mem%0ai teat 2 so#si 0ait, 1 da% !1. Soa#& Se#esaika% erko%re%a%!erko%re%a% $erikt i%i. 2 1) μ ≡ 1 ( mod 7 ) 2 2) μ ≡ 24 ( mod 23 ) Teorema / (teorema Wi#so%) Jika sat $i#a%a% rima, maka ( p −1 ) ! ≡−1 ( mod p ) o%to'& 4ktika% 12 ! ≡−1 ( mod 13 ) Ja*a$& -a%da% erko%re%a% a μ2 ≡ −1 ( mod 13 ) da% a9 ada#a' so#si%0a se'i%a
' a a ≡ 1 ( mod p ) . -er'atika% ta$e# '$%a% $erikt.
a a9 aa 9
1 2 3 6 8 / : ; 1< 11 12 1 ; 1< : 11 2 8 3 6 / 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4erdasarka% ta$#e, ter#i'at $a'*a ada 8 asa%a% $i#a%a%!$i#a%a% $er$eda 0a% 'asi# ka#i%0a ko%re% mod 13 de%a% 1, 0ait& 2.7 ≡ 1 ( mod 13 ) 3.9 ≡ 1 ( mod 13 ) . 4.10 ≡ 1 ( mod 13 ) 5.8 ≡ 1 ( mod 13 ) 6.11 ≡ 1 ( mod 13 ) Li'at 'asi# ka#i $i#a%a% $i#a%a% ada ras kiri da% ka%a%.
( 2.7 ) ( 3.9 ) ( 4.10 ) ( 5.8 ) ( 6.11 ) ≡ 1 ( mod 13 ) 2.3 .4.5.6 .7.8 .9.10.11 ≡ 1 ( mod 13 ) lalu kalikankedua ruas dengan12 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12 ≡ 12 ( mod 13 ) 12 ! ≡− 1 ( mod 13 ) terbukti Teorema Jika sat $i#a%a% rima, maka erko%re%a% μ2 + 1 ≡ 0 ( mod p ) mem%0ai so#si $i#a da% 'a%0a $i#a
p≡ 1 ( mod 4 )
o%to'& Se#esaika% erko%re%a% μ2 + 1 ≡ 0 ( mod 13 ) Ja*a$& >are%a 13 ada#a' rima $er$e%tk 6k?1, se'i%a 13 ≡ 1
( mod 4 ) ,makaμ + 1 ≡ 0 ( mod 13 ) 2
( − ) =( p 1 2
!
13−1 2
)= !
12 2
memi#iki so#si 0ait&
!= 6 ! =720
720 ≡ 5 ( mod 13 ) , maka sa#a' sat so#si%0a ada#a'
μ ≡ 5
-eriksa ke$e%ara% de%a% s$stitsi μ ≡ 5 ke μ2 + 1 ≡ 0 ( mod 13 ) Diero#e' 52 + 1=26 ≡ 0 ( mod 13 ) . Aaka'
− 5 =8 juga solusi ? ( periksa ) .
13
TEOREMA FERMAT DAN TEOREMA WILSON
>ELOM-O> 1 1. 2. 3. 6. 8. /. . :.
Ama%ds Sot Ei$erts @ar0o%o @e#e%a J. @a% >aro#i%a Le%i >risti%a >r%iati Maria D. Sr0a%i Maria Irma0ati Am# Maria S. a%%
;. Maria S. Nda+i 1<. Oktaia%s Sams 11. -is Eko -r%omo a'irati 12. Teodosis Lesi% 13. Bi%se%sis Mi% 16. Wo#rads >. Laam 18. Co'a%a D. N. Sa%# 1/. Casi%ta Im%
SE>OLA@ TINI >ERAN DAN ILM -ENDIDI>AN SANT -ALS RTEN 2<18
