SUBGRUP NORMAL DAN GRUP FAKTOR Definisi 1 : Jika N subgroup dari (G,o) maka N disebut Subgroup Normal dari G bila dan hanya bila untuk setiap g ∈ G dan n ∈ N berlaku gonog −1 ∈ N . Definisi 2 : Suatu subgroup N dari G merupakan subgroup normal dari G bila dan hanya bila gNg −1 ⊆ N untuk setiap g ∈ G .
Contoh : 1. Misalkan G grup semua bilangan bulat dengan operasi penjumlahan, H himpunan semua bilangan bulat genap. Dengan operasi penjumlahan H merupakan subgroup dari grup G. Apakah H subgroup normal dari G? apakah untuk setiap g ∈ G dan h ∈ H, gohog −1 = g + h + (-g) ∈ H ?. Karena g bilangan bulat, -g bilangan bulat dan h bilangan bulat genap, maka g + h + (-g) = h , yaitu bilangan bulat genap , dan h ∈ H. Karena untuk setiap g ∈ G dan h ∈ H, gohog −1 = g + h + (-g) ∈ H berarti H subgrup normal dari G. 2. Grup permutasi S 3 = {P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 } = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} dan subgroup K = = {P1 , P2 } . Apakah K merupakan merupakan subgroup normal dari grup S 3 ? apakah untuk setiap Pi ∈ S 3 dan P j ∈ K , Pi P j Pi dan P2 ∈ K maka P5 P2 P5 P2 ∈ K sehingga P5 P2 P5
−1
−1
=
( P5 P2 )6
∉ K
=
P4 P6
=
−1
∈ K ? .
P3 ∉ K . Karena ada P5 ∈ S 3 dan
maka K bukan subgrup normal dari grup S 3 .
Teorema 1 : N adalah subgroup normal dari G bila dan hanya bila gNg
Bukti : (i)
Kalau diambil P5 ∈ S 3
−1
= N untuk setiap g
Pertama dibuktikan bahwa jika N subgroup normal dari G maka gNg untuk setiap g ∈ G . 1 1 Untuk membuktikan gNg − = N , perlu dibuktikan gNg − ⊆ N dan N
⊆ gNg
−1
untuk setiap g
∈ G.
∈ G
−1
.
=N
Jika subgroup normal, maka menurut
definisi 2 , gNg −1 ⊆ N dan juga g −1 N(g −1 )−1 ⊆ N . Karena g −1 Ng ⊆ N, maka 1
1
N = g(g − Ng)g −
⊆ gNg
didapatkan bahwa gNg (ii)
−1
−1
atau terdapat N
⊆ N
dan N
⊆ gNg
⊆ gNg
−1
−1
. Dan karena sudah
berarti terbukti bahwa
gNg −1 = N. Selanjutnya dibuktikan bahwa jika gNg −1 = N untuk setiap g ∈ G maka N merupakan subgrup normal. Jika gNg −1 = N untuk setiap g ∈ G , jelas bahwa gNg −1 ⊆ N . Maka menurut definisi 2, N merupakan subgrup normal dari grup G.
Contoh : Pada grup S 3 = {P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 } = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} , H = {P1 , P5 , P6 } . 1 Jika dicari P2 HP2− didapatkan : P2 HP2−1
= {P2 P1 P2
−1
, P2 P5 P2−1 , P2 P6 P2−1} =
{P2 P1 P2 , P2 P5 P2 , P2 P6 P2 } = {P2 P2 , P3 P2 , P4 P4 } = {P1 , P6 , P5 } . Jelas bahwa himpunan P2 HP2−1 sama dengan himpunan H . atau P2 HP2−1 = H = {P1 , P5 , P6 } . Jadi H subgroup
normal dari S 3 . Teorema 2 : Jika N subgroup dari G maka N adalah subgroup normal dari G bila dan hanya bila gN = Ng untuk setiap g ∈ G.
Bukti : (i)
(ii)
Dibuktikan N subgroup normal dari G → gN = Ng untuk setiap g ∈ G. N subgroup normal dari G maka gNg −1 = N untuk setiap g ∈ G. (gNg −1 )g = Ng gN(g −1 og) = Ng gN = Ng untuk setiap g ∈ G. Dibuktikan untuk setiap g ∈ G , gN = Ng → N subgrup normal dari G. Ambil g ∈ G dan e ∈ N maka goe = g ∈ gN dan g ∈ Ng pula, serta tak ada koset kanan lain dari N yang memuat g, sebab koset-kaset kanan yang berbeda selalu saling asing. Oleh karena itu Ng tunggal untuk suatu g ∈ G . Karena gN = Ng untuk setiap g ∈ G, maka gNg −1 = (Ng)g −1 gNg −1 = N(gog −1 ) gNg −1 = N untuk setiap g ∈ G. Ini berarti bahwa N subgroup normal dari G.
Contoh : Pada grup S 3 = {P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 } = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} , H = {P1 , P5 , P6 } . Koset-koset kanan dari H dalam S 3 adalah H (1) = H (123) = H (132) = H. Mengapa koset-koset kanan itu selalu sama dengan H ? perhatikan bahwa elemen-elemen S 3 yang diambil yaitu (1),(123),(132) adalah elemen-elemen dari H . Koset-koset kanan dari H lainnya adalah : H (12) = {(1)(12),(123)(12),(132)(12)} = {(12),(13),(23)} H (13) = {(1)(13),(123)(13),(132)(13)} = {(13),(23),(12)} H (23) = {(1)(23),(123)(23),(132)(23)} = {(23),(12),(13)}. Koset-koset kiri dari H dalam S 3 adalah : (1) H = (123) H = (132) H = H (12) H = {(12)(1),(12)(123),(12)(132)} = {(12),(13),(23)} (13) H = {(13)(1),(13)(123),(13)(132)} = {(13),(23),(12)} (23) H = {(23)(1),(23)(123),(23)(132)} = {(23),(13),(12)} Ternyata untuk setiap elemen S 3 , koset kanan sama dengan koset kirinya. Jadi H adalah subgrup normal dari S 3 .
Teorema 3 : Jika N suatu subgrup dari G, maka N adalah subgrup normal G bila dan hanya bila hasilkali dua koset kanan dari N dalam G adalah koset kanan dari N dalam G pula.
Bukti : (i)
(ii)
Dibuktikan N subgroup normal dari G maka (Na) (Nb) = N (aob) untuk setiap a,b ∈ G N subgrup normal dari G maka Na = aN untuk setiap a ∈ G . Untuk setiap a,b ∈ G , (Na) (Nb) = N(aN)b = N(Na)b = NN(aob) = N(aob) a,b ∈ G dan (G,o) suatu grup maka (aob) ∈ G, berarti N(aob) adalah koset kanan dari N dalam G. Jadi hasil kali dau koset kanan dari N adalah koset kanan dari N dalam G pula. Dibuktikan untuk a,b,c ∈ G, (Na)(Nb) = Nc maka N subgrup normal dari G. e ∈ N , karena (Na)(Nb) = Nc maka (eoa)(eob) = eoc maka aob = c. Sehingga dari ketentuan (Na)(Nb) = Nc diperoleh (Na)(Nb) = N(aob) untuk setiap a,b ∈ G . Ambil b = a −1 , maka Na Na −1 = N(aoa −1 ) Na Na −1 = Ne 1 Na Na − = N , karena NN = N 1 Na Na − = NN a Na −1 = N untuk setiap a ∈ G Ini berarti bahwa N adalah subgroup normal dari G.
Jika G/N (dibaca N factor G) menyatakan koleksi koset kanan dari N dalam G maka dapat dibuktikan G/N merupakan suatu grup. Teorema 4 : Jika G grup, N subgroup normal dari G, maka G/N merupakan suatu grup. Grup G/N ini disebut Grup Faktor dari G oleh N.
Bukti : (i)
(ii)
Dibuktikan untuk setiap X,Y ∈ G/N maka XY ∈ G/N Ambil sebarang X,Y ∈ G/N Untuk X,Y ∈ G/N maka X = Na dan Y = Nb untuk suatu a,b ∈ G . XY = NaNb = Nab = Nc , untuk c = ab ∈ G Karena Nc ∈ G/N berarti bahwa XY ∈ G/N. Dibuktikan untuk setiap X,Y,Z ∈ G/N maka (XY)Z = X(YZ) Ambil sebarang X,Y,Z ∈ G/N maka X = Na , Y = Nb dan Z = Nc untuk suatu a,b,c ∈ G . (XY)Z = (NaNb)Nc =NabNc = N(ab)c = Na(bc) = Na(NbNc) = X(YZ).
(iii)
(iv)
Dibuktikan ada I ∈ G/N sehingga untuk setiap X ∈ G/N , XI = IX = X Ambil I = Ne ∈ G/N Untuk X ∈ G/N , X = Na untuk suatu a ∈ G IX = NeNa = Nea = Na = X XI = NaNe = Nae = Na = X Jadi ada elemen identitas di G/N yaitu I = Ne = N sehingga untuk setiap X ∈ G/N, XI = IX = X. 1 Dibuktikan untuk setiap X ∈ G/N ada X − ∈ G/N sehingga 1 1 X X − = X − X = I. X ∈ G/N maka X = Na untuk suatu a ∈ G Na −1 ∈ G/N , a −1 ∈ G Na Na −1 = Na a −1 = Ne = I Na −1 Na = Na −1 a = Ne = I 1 1 Jadi untuk setiap X = Na ∈ G/N ada X − = Na − ∈ G/N sehingga 1 1 X X − = X − X = I. Dari (i),(ii),(iii) dan (iv) terbukti bahwa G/N merupakan grup.
SOAL-SOAL LATIHAN A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar ! 1. Jika N subgroup normal dari (G,o) maka untuk setiap g ∈ G berlaku … a. gon = nog untuk setiap n ∈ G b. gonog −1 = n untuk setiap n ∈ G c. gonog −1 ∈ N untuk setiap n ∈ G 2. Pernyataan-pernyataan berikut ini manakah yang benar ? a. Jika N subgrup sejati dari G dan G grup siklik, maka N subgrup normal dari G b. Setiap grup siklik mempunyai subgrup normal sejati c. Jika N subgrup normal dari G maka G suatu grup abelian. 3. G adalah suatu grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan N adalah grup bilangan bulat kelipatan 3 dengan operasi penjumlahan pula. Elemen-elemen dari G/N adalah … a. N, N+4 dan N+11 b. N0, N4 dan N6 c. N+0, N+5 dan N+15 4. Jika G suatu grup siklik dengan generator q dan o(G) = 21 , maka … a. N = {e, q 7 , q 15 } adalah subgrup normal dari G b. N = {q 3 , q 6 , q 9 , .... , q 21} adalah subgrup normal dari G
c. N = {q, q 3 , q 5 , q 7 , .... , q 21} adalah subgrup normal dari G. 5. Jika N dan H masing-masing adalah subgroup normal dari G , maka … a. N ∩ H = φ b. N ∩ H = {e} c. N ∩ H merupakan subgroup normal dari G pula.
B. Selesaikan soal-soal berikut ini !
1. Jika (G,o) suatu grup , H adalah subgroup dari G dan i G (H) = 2 , maka buktikan bahwa H suatu subgroup normal dari G. 2. Jika (G,o) suatu grup, N dan H masing-masing adalah subgroup normal dari G , maka buktikan bahwa N ∩ H suatu subgroup normal dari G !. a b a, b dan d bilangan − bilangan real dengan ad ≠ 0 terhadap 3. G = 0 d
1 b b bilanganreal 0 1
operasi perkalian matriks suatu grup N =
Buktikan bahwa : (i) N subgroup normal dari G (ii) G/N adalah grup abelian .
