KONSULT SI KE – 4 STRUK STRUKTUR TUR ALJA ALJABAR BAR 1
SOAL KO
SULTASI STRUKTUR ALJABAR 1 “SUBGRUP NORMAL” ( Matris orde 2 x 2 )
KONSULTA KONSULTASI SI KE – 4 STRUKTU STRUKTUR R ALJABAR ALJABAR 1
a 1. E = 0
0
b
a, b R, ab 0
c d c, d , e, f R, cf de 0 e f
H
a Ambil 0 a Karena 0
0
a 0 E adit 0 b H b 0
a dengan a b 0 0 ab, ab 0 maka b 0
0
H
b
Ini berarti E H Karena E grup, H grup dan E H maka E subgrup H .
H grup, E
subgrup H
Apakah E subgrup normal dari H ?
a Ambil 0
0
c E , b e
d
c d a 0 c d H adit f e f 0 b e f 1
c d a 0 c d ac e f 0 b e f = ae
bd
f 1 bf cf de e
1
d c
=
acf bde cf de aef bef
acd bcd bcf ade
=
acf bde cf de ef a b
cd b a
1
1
bcf ade
Misalkan ef(a-b) = 0 (a- b) =
0 ef
a - b = 0, maka a = b
E
KONSULTA KONSULTASI SI KE – 4 STRUKTU STRUKTUR R ALJABAR ALJABAR 1
=
acf ade cf de ef a a
cd a a
=
a(cf de) cf de ef 0
cd 0
1
1
acf ade
a (cf de)
a cf de 0 cf de = a cf de 0 cf de =
a 0
0
E
a 1
c d a 0 c d Karena 0 b e f E maka E subgrup normal dari H e f
a
2. H =
c
I =
a, b, c, d R, ad bc 0 d
b
e f , , , , 1 e f g h R eh fg g h
e Ambil g
f
e I adit g h
e Karena g
f
H
h
dengan eh – fg = 1
h
e
f
g
h
Maka
f
H
Ini berarti I H
KONSULTA KONSULTASI SI KE – 4 STRUKTU STRUKTUR R ALJABAR ALJABAR 1
Karena I grup, H grup dan I
H ,
maka I subgrup H.
H grup, I subgrup H
Apakah I subgrup normal dari H ?
e f a I Ambil , c g h
b
a b e f a b H adit c d g h c d d 1
a b e f a b ae bg c d g h c d ce dg
ae bg ad bc ce dg 1
af bh
I
d cf dh ad bc c 1
af bh
d cf dh c
ade bdg acf bch ad bc cde d 2 g c 2 f cdh 1
ade acf bdg bch ad bc cde c 2 f d 2 g cdh 1
1
a(de cf ) b(dg ch) ad bc c( de cf ) d ( dg ch) 1
a(de cf ) b(dg ch) ad bc c(de cf ) d (dg ch) ad bc
b a
b a
abe b 2 g a 2 f abh bce bdg acf adh a f abe abh b g 2
2
acf bce adh bdg a ( af be) b( ah bg )
c( af be) d (ah bg )
a( af be) b(ah bg )
ad bc I c( af be) d (ah bg ) ad bc
1
a b e f a b Karena g h c d I maka I bukan subgrup normal dari H c d
Contoh penyangkal :
2 4 3 4 2 4 3 I , H adit ambil 1 3 2 3 1 3 2 2 1
4 3
4 2
3 2
3 1
1
6 8 3 6 3 4
4 2
4
3 1
3
8 12 1 3
4 9 2 1
1
I 4 2
KONSULTA KONSULTASI SI KE – 4 STRUKTU STRUKTUR R ALJABAR ALJABAR 1
3 20 2 13 1 2
=
14 9
=
21 10 27 13 2 2
=
11 7
2 1
28 20 18 13
8 I 5
Jadi, I bukan subgrup normal H
1 x x R 3. C = 0 1 a b , , , , 0 a b c d R ad bc c d
H
1 Ambil 0 1 Karena 0 1 Maka 0
x
1 x C adit 0 1 H 1 x
dengan 1 1 0 x
1
≠0
x
H
1
Ini berarti C H Karena C grup, H grup dan C H maka C subgrup H.
H grup, C subgrup H Apakah C subgrup normal dari H ?
1 x Ambil C , 0 1
a c
b
a b 1 x a b H adit c d 0 1 c d d 1
a b 1 x a b a b 1 x d b 1 c d 0 1 c d c d 0 1 ad bc c a
1
C
KONSULTA KONSULTASI SI KE – 4 STRUKTU STRUKTUR R ALJABAR ALJABAR 1
a ax b d b ad bc c cx d c a 1
ad (acx bc) ad bc cd (c 2 x cd ) 1
ab a 2 x ab bc acx ad
2 acx (ad bc) a x ad bc ad bc c 2 x (ad bc) acx ad bc ad bc
acx ad bc c 2 x ad bc a b 1 x a b Karena c d 0 1 c d
ad bc C acx ad bc a 2 x
1
C maka C bukan subgrup normal dari H
1 x x R 4. C = 0 1 a b , , , , 1 a b c d R ad bc c d
I
1 Ambil 0 1 Karena 0 1 Maka 0
x
1 x C adit I 1 0 1 x
dengan 1 1 0 x = 1
1 x
I
1
Ini berarti C I Karena C grup, I grup dan C I maka C subgrup I.
I grup, C subgrup I Apakah C subgrup normal dari I ?
KONSULTA KONSULTASI SI KE – 4 STRUKTU STRUKTUR R ALJABAR ALJABAR 1
1 x a C , Ambil 0 1 c
b
a b 1 x a b I adit d c d 0 1 c d
1
C
1
a b 1 x a b a b 1 x d b 1 c d 0 1 c d c d 0 1 ad bc c a , ad bc 1 a ax b d b c cx d c a ad (acx bc) cd (c 2 x cd ) ad bc acx c 2 x 1 acx 2 c x
ab a 2 x ab bc acx ad ad bc acx a 2 x
2 a x
1 acx 2
Misalkan -c x =0, maka c = 0 atau x = 0 1
1 a b 1 x a b c d 0 1 c d 0 a b 1 x a b Karena c d 0 1 c d
a 2 x
1 0 C atau 0 1 C 1
1
C maka C subgrup normal dari I
Contoh penyangkal :
1 Ambil 0 3 1
2
C ,
1
3 5 1 2 I
5 1
2 3
5
2 0
1 1
2
1
3 adit 1
3 0 1 0
5 1
2 3
5
2 0
1 1
2
65 1 2
2 2 1 1
5 4 1 3
=
3 1
11 2
=
6 11 24
15 33 5 12
5 3
1
C
KONSULTA KONSULTASI SI KE – 4 STRUKTU STRUKTUR R ALJABAR ALJABAR 1
=
5 2
18
C
7
Jadi, Jadi, C bukan bukan subgrou subgroup p normal normal I
Table Kesimpulan No
Pasangan Matriks
1
E=
2
0 0
⎸ , ∈ ,
Kesimpulan E
≠0
grup, H grup, dan E H maka E
subgrup H .
H=
⎸ , , ,
∈ ,
−
≠0
H=
⎸ , , ,
∈ ,
−
≠0
E
subgrup normal dari H .
I grup, H grup
dan I
H ,
maka I
subgrup H.
I= 3
C= H=
4
C= I=
ℎ
⎸ , , ,ℎ ∈ , ℎ −
=1
subgrup H.
∈ ,
−
≠0
C bukan subgroup normal dari H. C grup, I grup dan C I maka C
1 ⎸ ∈ 0 1 ⎸ , , ,
bukan bukan subgrup subgrup normal normal dari H.
C grup, H grup dan C H maka C
1 ⎸ ∈ 0 1 ⎸ , , ,
I
subgrup I.
∈ ,
−
=1
C bukan bukan subgru subgrup p normal normal dari I.
Tidak semua subgrup subgrup merupakan subgrup subgrup normal. Untuk matriks 2x2, suatu subgrup merupakan subgrup normal jika dan hanya jika elemen-elemen yang tidak terdapat pada diagonal utama bernilai 0 dan elemen-elemen pada diagonal utama memiliki nilai yang sama.
