KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum warahmatullahi warahmatullahi wabarakatuh.
Alhamdulillahirabb Alhamdulill ahirabbilalam ilalamin, in, banya banyakk nikma nikmatt yang Allah berik berikan, an, tetapi sedikit sekali yang kita ingat. Segala puji hanya layak untuk Allah Tuhan seru sekalian alam atas segala berkat, rahmat, taufik, serta hidayahNya yang tiada terkira besarnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah dengan judul !GR"P, S"# GR"P $AN S%&AT S%&ATN'A!. $alam penyusunannya, penulis memper(leh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu penulis mengu)apkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada* +. Kepada ibu 'enni, 'enni, .Pd, selaku d(sem mata kuliah struktur aljabar. -. Rekan rekan mahasi/a matematika 0#eskipun penulis berharap isi dari makalah ini bebas dari kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang kurang. 1leh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar skripsi ini dapat lebih baik lagi. Akhir kata penulis berharap agar makalah ini bermanfaat bagi semua pemba)a. Tangerang, Ta ngerang, 1kt(ber -2+-
Penyusun
DAFTAR ISI
Halaman KATA PENGANTAR .................................................................................................... .................................................................................................... i DAFTAR ISI.................................................................................................... ................................................................................................................. ............. ii BAB I
PENDAHULUAN
A. 3atar #elakang asalah.......................................................... asalah........................................................................... ................. + #. Rumusan asalah.................................................................................... + 4. Tujuan penulisan...................................................................................... + BAB II
PEMBAHASAN PEMBAHAS AN GRUP, SUBGROU SUBGROUP P DAN SIFA SIFAT T - SIFAT SIFATNYA NYA
A. Grup........................................................................................................ #. Sifat sifat grup....................................................................................... 5 4. Subgrup.................................................................................................... 6 $. Sifat sifat subgrup................................................................................. 7 BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan.............................................................................................. 8 #. Saran........................................................................................................ 8 DAFTAR PUSTAKA.................................................................................................... 9
BAB I PENDAHULUAN
A. 3atar #elakang asalah $e/asa ini dunia pendidikan mengalami perkembangan yang sangat pesat, dari mulai perk(taan sampai perdesaan, ini di tandai adanya kebutuhan yang sangat meningkat akan adanya perkembangan pendidikan. $alam pr(ses pembelajarannya, ada beberapa anak anak yang rela menghabiskan /aktunya setiap hari demi ilmu yang kurang di dalam kelas, misalnya bimbel, less dan sejenisnya, beberapa mata pelajaran yang di bimbelkan di antaranya matematika, banhasa inggris dan )(mputer. $i dalam matematika banyak sekalai pembahasanya baik setingkat sek(lah dasar, sek(lah menengah pertama dan atas, aljabar merupakan materi yang /ajib di ajararkan kepada sis/a baik tingkatan sek(lah dasar maupun sek(lah menengah. $alam pembahasan struktur aljabar ada materi yang berkaitan tentang aljabar seperti grup, subgr(up dan sifat sifatnya. #. Rumusan asalah $ari penjabaran latar belakang masalah di atas dapat dirumuskan masalah masalah yang akan di bahas, di antaranya sebagai berikut * +. #agaimana )ara mebuktikan suatu himpunan merupakan grup: -. #agaimana sifat sifat yang dimiliki (leh grup: 5. #agaimana hubungan antara subgrup dan grup: 4. Tujuan Penulisan akalah ini di buat bertujuan untuk * +. $apat menjadi salah satu bahan referensi dalam pr(ses pembelajaran -. Sebagai salah satu tugas yang di berikan kepada kel(mp(k kami
BAB II PEMBAHASAN GRUP, SUB GRUP DAN SIFAT – SIFATNYA
A. GR"P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tidak k(s(ng S yang dilengkapi dengan satuatau lebih (perasi biner. ;ika himpunan S dilengkapi dengan satu (perasi biner < maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan =S,<> dan jika S dilengkapi dengan dua (perasi biner < dan ( maka struktur aljabar tersebut dinyatakan =S,<, (> atau =S, (,<>. $efinisi +*
1perasi biner < pada S adalah jika ∀a, b ∈ S berlaku a
disebut Grup!" yaitu struktur aljabar dengan satu (perasi yang tertutup =biner>. 3. 1perasi biner < pada S dikatakan a###!a$!% jika ∀a, b, ) ∈ S, =a<) ? a<=b<)>. 4. Grup(id =S,<> disebut #&m!'rup jika 1perasi biner < pada S ass(siatif S terhadap (perasi < dikatakan m&mpun(a! &l&m&n !"&n$!$a# 5. @impunan & jika ∀e ∈ S, ∀a∈ S, a disebut mn!" jika S terhadap < mempunyai elemen identitas e. 7. @impunan S terhadap (perasi < dikatakan )mu$a$!% jika ∀a, b ∈ S, a disebut Grup jika dipenuhi aksi(maaksi(ma berikiut * a. Tertutup, artinya ∀a, b ∈ G berlaku a* b ∈ G b. As(siatif, artinya ∀a, b, ) ∈ G berlaku =a *b>*) ? a*=b*)> ). empunyai elemen identitas ditulis e, artinya = ∀a ∈ G> a*e ? e*a ?a d. Setiap elemen mempunyai inBers din(tasikan a adalah inBers dari a, artinya =∀a ∈ G> =∀a ∈ G> sehingga a *a ? a*a ? e #. S%&AT S%&AT GR"P Te(rema * ;ika =G,<> merupakan grup maka berlaku * +. Ketunggalan elemen identitas -. Ketunggalan elemen inBers 5. Sifat kanselasi atau pelenyapan atau penghapusan * ∀a, b, ) ∈ G berlaku i. jika a < b ? a < ) maka b ? ) , disebut kanselasi kiri ii. jika a < ) ? b < ) maka a ? b, disebut kanselasi kanan 6. persamaanpersamaan a < C ? b dan y < a ? b mempunyai penyelesaian tunggal 0. ∀a, b ∈ G bersifat * i. =a+>+ ? a dan ii. =a < b> + ? b+ < a+ PE#"KT%AN * 5.i. $iketahui =G,<> adalah grup dan a ∈ G maka ada a +∈ G sehingga a < a+ ? a+ < a ? e, dengan e elemen identitas dari G. menurut ketentuan a < b ? a < ) maka a+ < =a < b> ? a + < =a < )> =a+ < a> < b ? =a + < a> < ) sifat as(siatif + e < b ? e < ) dengan a < a ? e b ? ) Pertama dibuktikan a < C ? b mempunyai penyelesaian $iketahui =G,<> adalah grup dan a ∈ G maka ada a +∈ G sehingga a < a + ? a+ < a ? e, dengan e elemen identitas dari G, dari ketentuan a < C ? b maka a+ < =a < C> ? a + < b + + ⇔ =a < a> < C ? a < b + ⇔ e < C ? a < b + ⇔ C ? a < b ∈ G jadi a+ < b adalah penyelesaian dari persamaan a < C ? b 6. Selanjutnya dibuktikan ketunggalan penyelesaian persamaan a < C ? b. isalkan persamaan a < C ? b mempunyai penyelesaian C + dan C- maka berlaku * 1.
+
+
+
+
a < C+ ? b dan a < C - ? b sehingga a < C + ? a < C+ + ⇔ a < =a < C +> ? a < =a < C -> + + ⇔ =a < a> < C + ? =a < a> < C ⇔ e < C+ ? e < C⇔ C+ ? C0. $itunjukkan ∀a ∈ G, =a+>+ ? a =G,<> adalah grup dan a ∈ G maka ada a +∈ G sehingga a < a+ ? a+ < a ? e DDD=+> dengan e elemen identitas dari G. Karena a +∈ G maka ada =a +>+∈ G sehingga =a+> + < a+ ? a + < =a+>+ ? eDD...=-> dari =+> dan =-> diper(leh * a+ < a ? a + < =a+>+ dengan sifat 0.i. diper(leh a ? =a+>+ 4. S"#GR"P +. Pengertian subgrup $efinisi * isalkan =G,<> suatu grup, @ disebut subgrup dari G jika @ dan =@,<> merupakan suatu grup. @ subgrup dari grup G jika dan @ juga suatu grup terhadap (perasi yang sama pada G. 4(nt(h * +. G ? =+, +, i, i dengan i ? F+ maka =G,C> merupakan grup dan @ ? +, + adalah subgrup dari G karena @ H I, @ ⊂ G sehingga @ k(mpleks dari =@,C> juga suatu grup. -. =J,> merupakan subgrup dari =L,> 5. =L 2,C> merupakan subgrup dari =R 2,C> 6. isalkan -J ? C M C ? -n, n ∈ J ? D, -, 2, -, D maka =-J,> subgrup dari =J,> -. Te(rema tentang Subgrup Te(rema + * isalkan G adalah grup dan @ k(mpleks dari G @ subgrup dari G jika dan hanya jika = ∀a, b ∈ @> berlaku i. ab ∈ @ dan ii. a + ∈ @. #ukti $iketahui G adalah grup dan @ k(mpleks dari G =⇒> @ subgrup dari G maka @ juga merupakan grup sehingga = ∀a, b ∈ @> pasti berlaku i. ab ∈ @ dan ii. a +∈ @ =⇐> ∀a, b ∈ @ berlaku i. ab ∈ @ dan ii. a +∈ @. Akan ditunjukkan @ subgrup dari G berarti @ merupakan grup, sebagai berikut * • Tertutup diketahui dari i • As(siatif * ambil sebarang C, y, ∈ @ maka C, y, ∈ G karena @ ⊂ G dan G adalah grup maka berlaku =Cy> ? C=y> + • ∀a ∈ @ berlaku a ∈ @ dan menurut i. Ada elemen satuan * dari ii. diketahui berlaku aa+∈ @ dan aa+ ? e maka e ∈ @ • Setiap elemen dalam @ mempunyai inBers diketahui dari ii. Te(rema - * isalkan G adalah grup dan @ k(mpleks dari G @ subgrup dari G jika dan hanya jika ∀a, b ∈ @ berlaku ab +∈ @. #ukti * $iketahui G adalah grup dan @ k(mpleks dari G
=⇒> @ subgrup dari G sehingga @ juga merupakan grup Akan ditunjukkan ∀a, b ∈@ berlaku ab+∈ @, sebagai berikut * Ambil sebarang a, b ∈ @, karena @ grup maka terdapat b +∈ @ sehingga a, b +∈ @ dan @ mempunyai sifat tertutup maka ab +∈ @ =⇐> ∀a, b ∈ @ berlaku ab +∈ @. Akan ditunjukkan @ subgrup yakni @ merupakan grup, sebagai berikut * Ambil sebarang ) ∈ @ maka ))+∈ @ =diketahui> ))+ ? e maka e ∈ @ DDDDDDDDDDDDDDDDDD =<+> e, ) ∈ @ maka e)+ ? )+∈ @ =diketahui>...DDDDDDDDDD =<-> Ambil sebarang a, b ∈ @, menurut =<<> b +∈ @, jika a, b +∈ @ maka a=b+>+∈ @. Karena a=b+>+ ? ab maka ab ∈ @, jadi @ tertutup DDDDDD.. =<5> ;elas bah/a @ mempunyai sifat as(siatif karena @ ⊂ G maka ∀C, y, ∈ @ pasti C, y, ∈ G dan G adalah grup maka berlaku =Cy> ? C=y> D =<6> $ari =<+>, =<->,=<5>, dan =<6> terbukti @ merupakan grup yang berarti @ subgrup dari G. $. S%&AT S%&AT S"#GR"P Te(rema + * isalkan G suatu grup ;ika @ subgrup dari G maka i. @@ ? @ dan ii. @ +? @ #ukti * $iketahui G grup dan @ subgrup dari G, harus dibuktikan i. @@ ? @ = @@ ⊂ @ dan @ ⊂ @@> • Ambil sebarang C ∈ @@ berarti C ? ab untuk suatu a, b ∈ @ dan karena @ subgrup maka ab ? C ∈ @. ;adi ∀ C ∈ @@ ⇒ C ∈ @ atau @@ ⊂ @ • Ambil sebarang h ∈ @, dan @ subgrup maka e ∈ @ sehingga h ? he ∈ @@. ;adi ∀h ∈ @ ⇒ h ∈ @@ atau @ ⊂ @@ ii. #ukti bah/a @+ ? @ Te(rema - * isalkan G suatu grup, sedangkan @ dan K masing masing subgrup dari G, maka * @K merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika @K ? K@. #ukti * $iketahui G grup, @ subgrup dari G dan K subgrup dari G = ⇒> @K juga subgrup dari G ditunjukkan @K ? K@ =@K ⊂ K@ dan @K ⊂ K@> • enurut te(rema +. ii . @K subgrup maka =@K> + ? @K DDDD.= > Ambil C ∈ @K ? =@K>+ maka C ? t+ untuk setiap t ∈ @K berarti t ? hk untuk setiap t ∈ @, k ∈ K. karena @ dan K subgrup maka h + ∈ @, k +∈ K, sehinga C ? t + ? =hk>+? k +h+∈K@ ;adi ∀C ∈ @K ⇒ C ∈ K@ atau @K ⊂ K@. • enurut te(rema +.ii, @ dan K subgrup maka @ +? @ dan K +? K Ambil sebarang y ∈ K@ ? K +@+ maka y ? )d untuk suatu ) ∈ K +, d ∈ @+ berarti ) ? O + untuk suatu O ∈ K dan d ? r + untuk suatu r ∈ @, sehingga y ? O +r +? =rO>+ ∈ =@K>+? @K menurut = > ;adi ∀ y ∈ K@ ⇒ C ∈ @K atau K@ ⊂ @K =⇐> @K ? K@ ditujukan @K sugrup dari G. Karena @ dan K masingmasing sugru maka setip ∈ @K, ? u untuk sutu u ∈ @, B ∈ K, seinga u, B ∈ G, ? u B ∈ G. jadi @K ⊂ G. DDDDDDDDDDDDDDDDDD =a> $isamping itu e ∈ @ dane ∈ K maka e ? ee ∈ @K. ;adi @K H I D =b $aria> dan b dipr(leh @K kmpleks dari G
h-+ + - > K@ ? @K
Ambil sembarang C, y ∈ @K ⇒ C ? h+k +,y ? h-k -u suatu h+, h- ∈ @, k +, k - ∈ K Cy+ ? h+k +=h-k -> ? h+k +=k -+h-+> sifat sederhna grup + + ? h+=k +k - >hsifat as(siatif ? =h+k<>h-+> k< ? k +k -+ ∈ K h+k< ∈ @K ? K@ maka h +k< ? k (h(, k (∈ K, h(∈ @ sifat as(siatif jadi @K k(mpleks dari G dan ∀C, y ∈ @K maka Cy+ ∈ @K. $engan kata lain @K subgrup dari G
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan $ari penjabaran materi atas dapat di tarik kesimpulan sebagai berikut +. Suatu himpunan dikatakan grup jika memenuhi syarat syarat di antaranya bersifat tetutup, bersifat as(siatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai inBers. -. Sifat sifat sederhana dari grup yaitu sifat pengapusan atau karelasi atau pelenyapan baik yang berada di kanan maupun yang berada di sebelah kiri. 5. Subgrup merupakan bagian dari grup. #. Saran $alam penulisan makalah ini penulis menghimbau dapan penulisan makalah alngkah baiknya memenuhi aturan dalam penulisan.
