Lectura 1: INVESTIGACIÓN OPERATIVA Introducción - Programación Lineal 1.1. INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA 1.1.1. Reseña Histórica La Investigación Operativa (IO) nace como disciplina orgánica, es decir, conjunto de conocimientos que tratan de Guerra Mundial. resolver problemas de ciertas características , durante la Segunda Guerra
En 1937, en Gran Bretaña se reunió a un equipo de investigadores y científicos de diversas áreas del conocimiento para estudiar problemas estratégicos y tácticos relacionados con la defensa del país, para poder determinar la forma más efectiva de utilizar recursos militares limitados. Debido al éxito alcanzado, EE.UU. inicia actividades similares aplicándolo a problemas logísticos complejos, patrones de vuelos de aviones, maniobras navales, etc. Al finalizar la guerra guerra, personas relacionadas con IO se dieron cuenta que muchas de las técnicas y métodos utilizados para resolver problemas de índole militar, se podían aplicar a problemas industriales, como por ejemplo, el control de inventarios y el sistema de transporte. Fueron muy importantes las contribuciones hechas por investigadores norteamericanos, como por ejemplo, el método de simplex de la programación lineal, lineal, desarrollado en 1947 . En 1960 se establecieron programas académicos que ponían énfasis en esta área y los primeros asesores formales de IO comenzaron a aparecer en las organizaciones industriales a finales de esa década. Aunque al comienzo existieron inconvenientes para implantar estas técnicas, con el desarrollo tecnológico de las computadoras se ha ampliado el alcance y la magnitud de los problemas que resulta posible analizar.
CONCEPTO de Investigación Operativa Los problemas que resuelve la IO son problemas de decisión, que consisten en elegir un curso de acción entre varios según los objetivos pautados y/o maximizar o minimizar alguna variable del mismo. La IO es una forma de en frentar la resolución de situaciones situaciones vinculadas al proceso de toma toma de decisiones y no simplemente un conjunto de
técnicas, métodos y modelos particulares para resolver r esolver ciertos problemas.
Es una disciplina (metodología) científica que, a través de la aplicación de procesos p rocesos y procedimientos, ayuda a resolver problemas de índole cuantitativos que se presentan en las organizaciones. En un sentido más amplio, la IO es la aplicación de procedimientos, técnicas y herramientas científicas con el objeto de determinar d eterminar y ayudar a evaluar soluciones.
A la aplicación del método científico en el manejo de sistemas organizados, también se la conoce como “Investig ación de Operaciones” .
Su objetivo, objetivo, como hemos planteado, es determinar por métodos científicos el mejor curso de acción de un problema de decisión, sometido a restricciones. La Investigación Operativa trata de proveer a quienes manejan sistemas organizados, de objetivos y bases cuantitativas para las decisiones. No es una ciencia en sí misma, sino la aplicación de la ciencia y la técnica en la solución de los problemas directivos y administrativos . Una característica destacada es la actuación de equipos interdisciplinarios, así como en una empresa la intervención de los distintos niveles de la misma en todas las etapas. Como metodología, metodología, se utilizan modelos para representar y estudiar el problema de la realidad.
Se puede considerar la Investigación Operativa desde dos puntos de vista: como ciencia y como arte. arte .
Como ciencia: se utilizan técnicas y algoritmos matemáticos, así como programas de computación. Como arte: depende de la habilidad y creatividad de los analistas para la construcción del modelo, su validación e implementación. 1
Vinculación con otras ciencias:
Matemáticas Estadística Lógica Economía Informática
La Investigación Operativa es una disciplina que aporta para la resolución de problemas donde interviene un com plejo conjunto de elementos materiales materiales y humanos. Se los suele denominar: fenómenos de organización. organización. Los fenómenos de organización, organización, se caracterizan porque contienen elementos materiales y humanos que mantienen relaciones entre si y donde es preciso adoptar una decisión d ecisión que producirá ciertos resultados. La Investigación Operativa aporta elementos que permiten efectuar un estudio analítico de este tipo de problemas para evaluar las consecuencias consecuencias de las decisiones y posibilitar posibilitar que se adopte la que mejor resultado resultado produzca. No significa que todo problema pueda ser abordado y resuelto por la Investigación Operativa, sino que, mediante
esta disciplina, se han ido sistematizando los problemas que presentan características similares y se han desarroadministración de inventarios, de asignación llado técnicas conducentes a su resolución. Por ejemplo, problemas de administración de recursos, de reemplazo de equipos, de elección de alternativas de inversión, etc . Casos para los que nuestra materia provee elementos útiles para su resolución y la adopción de la decisión más conveniente. El conjunto de las restricciones, restricciones , es el que que configura las limitaciones a las cuales debe ajustarse cualquier decisión que se adopte. Este aspecto es consecuencia del factor económico subyacente en la toma de decisiones y que obliga a operar con recursos escasos. escasos . Así es como advertimos que el estudio de los procesos de decisión, constituye un tópico central dentro del análisis de los temas que comprende la Investigación Operativa, ya que la necesidad de adoptar una o más decisiones es tarea habitual en tales problemas. La característica de estas decisiones es que deben seleccionarse entre un conjunto de múltiples posibilidades que pueden incluso ser infinitas y entre ellas deben escogerse la (o las) que es (son) más apropiada (s). Se trata del aspecto que también se denomina combinatorio de los problemas de decisión. decisión .
EL CONCEPTO DE SISTEMA – La empresa como un SISTEMA – MODELOS DE SISTEMAS En Investigación Operativa los términos “MODELOS” y “SISTEMAS” están m uy relacionados. Un sistema es un conjunto de elementos con ciertas cualidades e interrelacionados, lo que implica influencias mutuas entre los mismos. Los problemas que resuelve la IO están inmersos en un sistema y dada la complejidad de estos sistemas reales, lo que se pretende es crear un sistema abstracto que sea una versión simplificada y por lo tanto incompleta del real , sobre el que se pueda trabajar obteniendo conclusiones que sean válidas también para el sistema real . Este sistema abstracto es lo que se denomina modelo, modelo, pero al crear este modelo se debe evitar eliminar elementos o relaciones que sean fundamentales .
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1.1.2. Modelos Matemáticos o formales Problemas determinísticos y estocásticos (no deterministas) MODELOS - Generalidades
Un modelo es una representación simplificada e idealizada de la realidad . Un modelo es una abstracción selectiva de la realidad .
⁄
Como ejemplo, un modelo que representa la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre (d) está dado por la siguiente fórmula matemática:
Siendo g la aceleración de la gravedad y t el tiempo trascurrido. Es una representación selectiva de la realidad, ya que características como la masa, el peso, la forma, la textura, etc., no son tomadas en cuenta y se enfoca únicamente en la relación entre el tiempo y la distancia. A pesar de su simplicidad, es un modelo sumamente útil y práctico que no perdió vigencia con la evolución de la ciencia y de las nueva s tecnologías.
Modelos de decisión: “Resume” un problema de decisión, para que permita identificar y evaluar en forma sistem ática todas las opciones de decisión del problema. Componentes básicos:
Variables de decisión: controladas por el decisor . Representan magnitudes o cantidades como pesos, horas, personal, unidades de producción, etc. Objetivo: cantidad usada para medir la efectividad de una política determinada y se expresa como una función de las variables de decisión. Restricciones del problema: condiciones que deben cumplir las variables de decisión para obtener una solución aplicable.
La selección de una decisión equivale a determinar valores numéricos de las variables de decisión. Las decisiones están basadas en una evaluación de datos numéricos.
Los modelos evalúan datos numéricos y proporcionan datos numéricos adicionales.
TIPOS DE MODELOS Según la disponibilidad de datos:
Modelos determinísticos: cuando todos los datos relevantes se conocen con certeza Modelos probabilísticos o estocásticos: Cuando algunos (o todos los) datos se consideren inciertos, aunque debe especificarse la probabilidad asociada a tales datos.
Según el tipo de cálculo:
Modelos matemáticos: en los que tanto el objetivo como las restricciones del sistema se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión. En general, cálculos de ti po iterativo. Simulación: más complejo, en donde se divide el sistema en módulos básicos o elementales que se enlazan con relaciones lógicas. Modelos heurísticos: basados en reglas o métodos prácticos que llevan a una “buena” (no necesariamente óptima) solución.
En las Ciencias Naturales, la resultante de un cierto fenómeno puede ser estudiada mediante la reproducción de aquél, en condiciones muy cercanas a lo que es la realidad. Este método de investigación, ha permitido enormes progresos, facilitado siempre por las ventajas que otorga poder estudiar, a través de las reproducciones empíricas, el comportamiento de los procesos naturales y, a partir de los mismos, deducir las relaciones básicas que los gobiernan y las relaciones de causalidad entre sus diferentes partes.
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Así es como el estudio empírico de los fenómenos ha permitido desarrollar el análisis experimental y, al mismo tiempo, esas elaboraciones han servido para nuevos desarrollos teóricos que posibilitaron las construcciones lógicas y formales que hoy constituyen el asiento de estas ciencias. En las Ciencias Sociales, no siempre es posible llevar a cabo la experimentación, por la misma naturaleza de los fenómenos que acontecen en este campo; resultaría prácticamente imposible construir mediante un experimento, por ejemplo, un sistema económico o desarrollar un modelo que nos reproduzca acabadamente la reacción que tendría la competencia, o los competidores de una empresa, frente a ciertas o determinadas políticas que se adopten. No obstante estas, los ensayos, trabajos e investigaciones realizados, han permitido establecer que existe para muchos aspectos de las Ciencias Sociales, la posibilidad de llevar a cabo este tipo de construcciones que denominamos modelos. Su validez, está sujeta a un carácter mucho más relativo del que poseen para el campo de las Ciencias Naturales. En este aspecto, digamos que la imposibilidad de llegar a producir un fenómeno social en condiciones exactamente iguales a la realidad, ha hecho que la elaboración de estos modelos deba apoyarse en un aspecto que cobra gran importancia dentro de la formulación de los modelos y es el de las hipótesis o supuestos de trabajo. Los modelos, entonces, son construcciones teórica-empíricas. En su formulación se tienen en cuenta las relaciones que la teoría indica y, por su carácter empírico, sus principales aspectos son extraídos de la realidad bajo estudio. Como herramienta de apoyo se utilizan las Matemáticas, que proveen el instrumental necesario para plantear , con todo el rigor propio de estas disciplinas, las relaciones que se necesitan para representar una determinada realidad . De esta forma, los modelos pueden ser representados utilizando el poderoso herramental de la lógica simból ica, que facilita enormemente la búsqueda de soluciones y la interpretación de resultados. Modelos son construcciones teórico-empíricas resultantes de la aplicación de cierta teoría y la observación de una determinada realidad, sobre la base de la adopción de supuestos de trabajo o hipótesis con lo que se trata de representar un determinado fenómeno .
Luego habrá que verificar si el modelo refleja adecuadamente o no la realidad que intenta representar. Contrastación de las hipótesis y las relaciones empíricas . Para establecer si, el modelo es útil o no para cumplir su objetivo.
OTRA CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS Un modelo puede ser: MENTAL O IMPLÍCITO EXPLÍCITO VERBALES o FÍSICOS o FORMALES O MATEMÁTICOS o Modelo Mental o Implícito: es el que crea el ser humano en su mente para poder resolver un problema planteado, utilizando normalmente la intuición. Modelo Explícito: es la representación del modelo mental, logrando una mejor definición y que se los pueda comunicar y criticar. Modelo Verbal: describe el sistema a través del lenguaje corriente, escrito u oral. El inconveniente de este tipo de modelos es que es poco preciso y no adecuado cuando se tiene que explicar la interacción de muchos factores. Modelo Físico: representa el sistema a estudiar por medio de objetos naturales o artificiales, como sería un modelo a escala hecho por un diseñador. Son pocos utilizables. Modelos Matemáticos o formales: se elaboran usando símbolos matemáticos para representar los distintos componentes del problema y son los más utilizados en relación a la toma de decisión. Las letras o símbolos representan variables (cantidades que no tienen un valor constante), parámetros (cantidades constantes que se presentan dentro del modelo) operaciones y relaciones que vinculan entre sí a dichos elementos. Las variables no deben ser necesariamente numéricas y las relaciones pueden ser de cualquier naturaleza.
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Relaciones en los Modelos Formales o Matemáticos 1) Relaciones de comportamiento: ponen de manifiesto la manera de actuar, por lo general, de los seres humanos dentro del sistema que se pretende imitar , como por ejemplo, la función oferta y demanda. 2) Relaciones institucionales y/o legales: son los que se establecen entre las variables por leyes, decretos o reglamentos establecidos por las organizaciones que pertenecen al sistema , por ejemplo, el % que se debe mantener disponible de los depósitos de 3ros dentro del mercado financiero, relacionando de esta forma los depósitos de terceros dentro del mercado financiero, relacionando la disponibilidad promedio de la entidad financiera durante un período, el volumen promedio de depósitos de terceros en dicho período y el coeficiente fijado por el Banco Central de la República Argentina (BCRA) (efectivo mínimo). 3) Relaciones tecnológicas: surgen cuando se aplica una determinada tecnología dentro de una estructura productiva. 4) Relaciones de definición e identidades: se platean cuando se define un concepto a través de vinculaciones con otros, por ejemplo, el activo total es igual al pasivo total más el patrimonio neto. 5) Relaciones de equilibrio: son aquellas que se imponen dentro del sistema para analizar qué ocurre cuando se logra esta situación de equilibrio dentro del mismo o qué se debe llevar a cabo para que el sistema tienda a esta situación. Por ejemplo, decimos que el mercado está en equilibrio cuando oferta = demanda. 6) Relaciones de objetivo: representan la finalidad a la que se debe o se desea llegar , por ejemplo, el nivel máximo de producción fijado por la empresa.
CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES
Variables endógenas: son aquellas que forman parte del sistema y por lo tanto sus valores se determinan en función de la relación que existe con las restantes variables y con las variables exógenas. Endógenas objetivo: aquellas a las cuales se les fija una condición que debe cumplir el sujeto que o toma la decisión, por ej., que sean mayor o menor a un valor fijado, que sea máximo o mínimo. Endógenas no objetivo: no se les impone ninguna condición. o
Variables exógenas: sus valores se determinan fuera del sistema. Exógenas controlables: su valor puede ser determinado por el sujeto que toma la decisión, por o ejemplo, en una explotación agrícola, la superficie destinada a cada cultivo, la cantidad de semillas a sembrar, etc. Exógenas no controlables: no interviene el sujeto decisor , por ejemplo, la inflación, la sequía. o
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METODOLOGÍA CIENTÍFICA EN EL ANÁLISIS DE LOS PROBLEMAS DE DECISIÓN Comprende las siguientes etapas:
Planteamiento del problema: consiste en enunciar correctamente cuál es el problema que queremos explicar, es decir, señalar con toda precisión cuál es la pregunta a la que debemos dar respuesta con el estudio de la realidad, que llevaremos a cabo. Análisis de los hechos: significa realizar un estudio de la realidad para extraer de la misma todos los elementos que puedan servirnos para formular nuestras hipótesis de trabajo y plantear las relaciones básicas con las cuales luego trabajaremos. Construcción (propiamente dicha) del modelo y su análisis: se trata de establecer de forma matemática todas las relaciones que nos interesan y que serán planteadas teniendo en cuenta las hipótesis adoptadas en base al análisis de los hechos y las preguntas a las que debemos responder, según el planteamiento del problema. Aquí la teoría cumple un papel fundamental , en tanto que nos permitirá respaldar aquellas ela-
boraciones que realicemos.
Control de las hipótesis: significa extraer a examinar si las hipótesis adoptadas verdaderamente responden a la realidad en estudio, pues de lo contrario, el modelo no va a explicar de ninguna manera esa realidad y mientras esas hipótesis se encuentren alejadas de aquellas, menos útil será el modelo para explicar dicha realidad. Es un aspecto fundamental, porque un modelo muy interesante, realizado con elaboraciones de muy avanzada matemática, pero con supuestos que se alejan demasiado de la observación empírica de la realidad, nos encontramos con que ese modelo pasa a ser una simple elaboración o construcción teórica sin ninguna aplicación práctica. Crítica y presentación de las conclusiones: una vez elaborado el modelo y resueltos todos los aspectos que nos interesan deducir del mismo, corresponde entrar a la crítica, consistente en analizar detenidamente las conclusiones obtenidas y ver si se corresponden de alguna manera con la realidad en estudio , a la luz de las hipótesis adoptadas. Las conclusiones del modelo serán las que, teniendo en cuenta los objetivos que se persiguen, han de permitir después escoger las decisiones que nos interesan. Entonces, las conclusiones del modelo unidas a los objetivos, determinan las decisiones o políticas a seguir .
Planteamiento del Problema
Análisis de los Hechos
Construcción y Análisis del Modelo
Control de la Hipótesis
Crítica y presentación de las conclusiones.
Digamos por otra parte, que con ello no acaba el estudio, porque además debe darse un seguimiento permanente del modelo para tratar de averiguar constantemente si las políticas adoptadas, teniendo en cuenta las conclusiones del modelo, conducen a los resultados esperados o bien se manifiestan desviaciones respecto a la realidad. En ese sentido, se presenta la necesidad de llevar a cabo lo que se denomina el control administrativo del modelo , que permitirá introducir los correctivos del caso cuando se observe que el modelo no está respondiendo correctamente, según lo que se esperaba del mismo. Ello será un indicio de que en el modelo deben introducirse correctivos para que éste refleje la realidad que se pretende representar muestre fehacientemente las reacciones probables ante determinadas decisiones.
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1.1.3. Alcance de la INVESTIGACIÓN OPERATIVA USO E IMPLEMENTACIÓN DE MODELOS EN LA EMPRESA En el diagrama se detallan las fases de un estudio de IO, así como la interacción entre el modelo y el administrador. Definición del problema (Identificación de variables objetivo y restricciones) Construcción del Modelo Solución del Modelo (Análisis de Sensibilidad)
Validación del Modelo (criterio del administrador) Revisión del Modelo
Implementación del modelo
Importante: La solución óptima del modelo puede ser o no una buena respuesta en el contexto real . El modelo no sustituye la experiencia, el criterio o la intuición del administrador. Un aspecto de su rol consiste en evaluar el modelo mismo.
Jerarquía de modelos en la empresa: Mayores niveles: proporcionan datos e información, no decisiones. Se utilizan como herramientas de planeación estratégica. Menores niveles: generalmente producen decisiones. Los elementos que conforman el modelo (variable, objetivo y restricciones) son más claros y fácilmente cuantificables.
En la empresa, se utilizan para definir políticas de tipo: Financieras Organizativas
Siendo los objetivos buscados: Beneficios Manejo de costos y tiempos
Comerciales Producción
Expansión volumen de venta Mercado
Informar para proyección futura
Funciones del Departamento de Investigación Operativa: Planificar Proponer mejoras Ejemplo de aplicaciones (largo plazo): Elaboración de presupuestos Ubicación de plantas
Ejemplo de aplicaciones (corto plazo): Programación de la producción Programación de la fuerza de trabajo Administración de inventarios Programación de máquinas Control de vuelos Diseño de productos
Estrategia de mercado Estrategia de inversiones Selección de medios Estimación estadística Mezcla de productos Distribución de gastos Programación de proyectos de construcción
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El campo para los analistas de investigación de operaciones está creciendo. Los servicios de un “Analista de Operaciones” se requieren en la mayoría de las industrias (manufactureras de químicos, maquinaria y equipo de transporte; empresas que proveen servicios de transporte y telecomunicaciones; bancos; agencias de seguros; empresas de servicios públicos; y agencias gubernamentales de todos los niveles). Algunos analistas trabajan en agencias de consultoría administrativa que desarrollan aplicaciones de I.O para empresas que no tienen personal de este tipo. La demanda y las oportunidades de trabajo para los analistas de I.O ha crecido mucho más rápido que el promedio de las ocupaciones desde el año 2000 debido a la importancia que está cobrando el análisis cuantitativo en la toma de decisiones y la cada vez mayor disponibilidad de recursos computacionales. El mayor crecimiento de las actividades de I.O. se da en los sectores de transporte, manufactura, finanzas y servicios.
¿Cuáles son las ideas que pueden ayudarme en la Investigación de Operaciones? Enmarcar el problema Se necesita tener una manera organizada de abordarlo. Para poder determinar la acción apropiada con rapidez y eficacia para obtener el resultado deseado. La optimización restringida y la toma de decisiones bajo riesgo son dos marcos importantes y útiles para una amplia variedad de problemas. En los libros de texto se presentan como modelos matemáticos, junto con los procedimientos (algoritmos) para solucionarlos. En estos casos, más que en las propias Matemáticas, necesitará la habilidad para enmarcar. Sin embargo, no es posible simplemente describir los marcos y suponer que la gente los usará de forma correcta. Se debe comprender muy bien cómo se crean los modelos y las relaciones entre las decisiones y los resultados, antes de que logren utilizar los marcos intuitivamente. Tiene que aprender sobre los modelos y las formas de usarlos en diversas situaciones ante de aplicarlos por sí mismos. Se necesita práctica. Escepticismo saludable Es importante ser escéptico. Hay que aprender a cuidarse de los expertos, de las soluciones proporcionadas por los modelos y, desde luego, de las propias intuiciones. El trabajo con modelos de optimización ensancha su habilidad para analizar y estudiar a fondo la ruta, desde las superposiciones hasta las conclusiones. Las Tareas para Diagnóstico serán diseñadas especialmente para demostrar este concepto. Si se desea encontrar una buena solución, el primer paso es hacer la pregunta correcta. Se tendrá entonces la oportunidad de trabajar en el desarrollo de esta habilidad. Concepto de costo Fijo, marginal, de oportunidad . Conocemos sus definiciones. Sin embargo, responder correctamente las preguntas
sobre costos que vienen en los exámenes de estos cursos y utilizar los mismos conceptos en la práctica con eficacia son dos cosas distintas. En este texto, los enfoques se basan, primero en la asignación de costos e ingresos a situaciones individuales y, después, en el uso de la matemáticas para encontrar buenas estrategias. En este caso resulta crucial determinar las relaciones de costos apropiadas. Es una habilidad que ayudará en cualquier carrera. Optimalidad y sensibilidad ¿Qué significa la optimalidad en un modelo? ¿Qué significa en el problema real? ¿Qué relación hay entre ambos? ¿Tiene importancia? ¿Qué tan sensible es el resultado de un modelo a las suposiciones que se hicieron y a los estimados de costo? Se enfrentarán a estos problemas cada vez que haga un cálculo; observe los resultados y tome una decisión. Estos temas se tratan de manera organizada y consistente en todo el desarrollo de la materia.
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1.2. Programación LINEAL INTRODUCCIÓN A pesar de los grandes adelantos en la optimización computacional ocurridos durante los últimos 20 años (por ejemplo, los avances en los métodos de punto interior), el método Simplex inventado por George B. Dantzig en 1947 es aún la herramienta principal en casi todas las aplicaciones de la programación lineal. Dantzig es considerado como uno de los tres fundadores de la programación lineal , compartiendo dicho honor con Von Neumann y Kantorovich. El científico computacional Laszlo Lovasz dijo en 1980, "Si se tomaran estadísticas acerca de cuál problema matemático usa la mayoría del tiempo computacional en el mundo (sin incluir problemas de manejo de bases de datos, como la búsqueda y ordenamiento), seguramente la respuesta sería la programación lineal." En ese mismo año Eugene Lawler de Berkeley dijo lo siguiente: "La programación lineal se usa para asignar recursos, planear l a producción, planear el horario de trabajadores, planear la cartera de inversión y formular estrategias de mercado (y militares). La versatilidad e impacto económico de la programación lineal en el mundo industrial actual es realmente impresionantes."
1.2.1. Un problema de Programación Lineal - Estructura general MODELOS de Optimización Restringida Formulación general:
Optimizar (maximizar o minimizar) una función que depende de varias variables, llamada
Sujeta a las restricciones /s.a):
Siendo:
¿Por qué existen restricciones?
La razón de ser de las restricciones se remite a varios motivos, por ejemplo:
Tecnología inmutable a corto plazo: las restricciones tecnológicas a corto plazo son inevitables. Por ejemplo, en la elaboración de un determinado bien, la maquinaria utilizada tiene una determinada capacidad de producción, así como limitaciones en cuanto a costos de tiempos. Leyes de la naturaleza: evidente al tratarse de producción agrícola y/o ganadera. Si bien se puede acelerar el desarrollo de una especie y mejorar el rendimiento con tecnología, hay un límite dado por la naturaleza. Cuellos de botella: situaciones inesperadas o fuera de control que restringen nuestro abanico de alternativas. Ejemplos: huelgas, demoras en una importación, catástrofes naturales. Costos de la investigación: para conocer ciertas respuestas (demanda futura, situación económica general, evolución de los mercados, etc.), los costos de la investigación pueden ser desproporcionados, por lo que una política muy empleada es imponer restricciones para reducir dichos costos. Incertidumbre y análisis paramétrico: el valor futuro de la tasa de interés es fundamental para decidir la conveniencia de una inversión, pero suele ser un parámetro difícil de pronosticar. Por ello, se imponen límites (superior e inferior) a dichas tasa y se hace un análisis paramétrico (o de sensibilidad) para tratar con la incertidumbre. 9
Objetivos sustitutos: esta situación ocurre cuando no es posible cuantificar un objetivo deseado y se recurre a otro sustituto. Si, por ejemplo, el Ministerio de Defensa quiere maximizar la disuasión en las zonas limítrofes, para expresar dicho objetivo en un modelo puede sustituirlo por otro, como puede ser maximizar la presencia militar (personal y armamento) en los pasos fronterizos. Intereses particulares por sobre los de la empresa: esta cuestión puede derivar en situaciones ilegales o, por lo menos, que rozan el límite de lo ético. Un funcionario (que puede ser de cualquier rango) puede imponer restricciones a, por ejemplo, una licitación pública o una selección de personal que favorecen “c asualmente” a determinadas empresas o individuos, con quienes tiene una relación “especial”.
Estructura jerárquica y delegación de la autoridad: un caso típico se da en las compañías que tienen sucursales en varias localidades. La casa central suele imponer restricciones a los responsables de cada una de las filiales, ya sea en la contratación de servicios o las compras a proveedores. Ecuaciones de definición o de balance: son sumamente restrictivas. Como ejemplo, un modelo logístico puede tener una restricción de balance de material como:
1.2.2. Identificación de Variables de decisión Función Objetivo – Restricciones
La Programación Lineal (PL) es un modelo de optimización restringida, o de toma de decisiones restringidas, en la cual tanto la función objetivo como las funciones de restricción son funciones lineales (o de 1º grado) de las variables de decisión. Otra definición: El problema de asignar recursos limitados para optimizar un objetivo de interés, utilizando únicamente funciones lineales en su formulación matemática . Es un modelo de tipo determinístico. Recordemos que en Estadística, un fenómeno determinístico es aquel que obtiene siempre el mismo resultado bajo las mismas condiciones iniciales . La relación causa - efecto se conoce en su totalidad y es siempre la misma. Ejemplo: todos los fenómenos que siguen las leyes de la física clásica, como puede ser la caída de un cuerpo. Lo contrario de un fenómeno determinístico es un fenómeno aleatorio. Elementos de un problema de PL
Pasos para la construcción del modelo
Identificar las variables de decisión (incógnitas): ¿Qué hay que determinar?
Definir el objetivo en palabras y después en lenguaje matemático, en términos de las variables de decisión:
¿Cuál es la meta u objetivo que se quiere alcanzar? Expresar las restricciones del problema , primero verbalmente y luego en símbolos matemáticos, en función de las variables de decisión: ¿Cuáles son las limitaciones y/o requerimientos del problema? Verificar la existencia de las unidades y del modelo elaborado .
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1.2.3. Restricciones: Holguras y Excesos Las restricciones pueden ser: activas o inactivas
Activas:
Las restricciones de igualdad Las de desigualdad
son siempre activas.
lo son cuando el primer miembro es igual al lado derecho.
Geométricamente, las restricciones activas son aquellas que pasan por la solución óptima.
Inactivas:
En las restricciones inactivas de tipo menor o igual (son limitaciones al problema), se llama holgura a la diferencia entre el lado derecho y el primer miembro de la desigualdad . En las restricciones inactivas de tipo mayor o igual (son requerimientos del problema), se llama exceso o excedente a la diferencia entre el lado derecho y el primer miembro de la desigualdad . Las restricciones redundantes son aquellas que, si se suprimen, el conjunto factible no se modifica. La determinación de una restricción como activa o pasiva se hace en referencia a la solución óptima , mientras que el criterio para decir si es necesaria o redundante es la consideración de toda la región factible.
1.3. Interpretación del Principio de PROGRAMACIÓN LINEAL Ejemplo PL: Fábrica de Maquinaria pesada Se producen dos tipos de maquinarias pesadas (equipos E y F), utilizando los mismos recursos (departamentos, personal y equipamiento). Se considera que, para el próximo mes, será posible vender todos los equipos E y F que se puedan producir. Se deben considerar los siguientes aspectos.
La utilidad por cada E que se venda es de $5.000 y por cada F, de $4.000. Ambos equipos pasan por operaciones mecánicas en los departamentos A y B. Departamento A: 150 horas disponibles. Cada E consume 10 horas y cada F, 15 horas. Departamento B: 160 horas disponibles. Cada E consume 20 horas y cada F, 10 horas. Departamento de verificación: Por un compromiso laboral, no se pueden emplear menos del 10% de la meta establecida de 150 horas en el control y verificación de los productos terminados (=135 horas). Cada E requiere de 30 horas y cada F, de 10. Debido a la política comercial de la empresa, se debe construir por lo menos un F por cada 3 E. Existe un pedido en firme por 5 equipos (en cualquier combinación de E y F).
Consigna: ¿Cuántos E y cuántos F se deben producir? En términos técnicos, ¿cuál es la mezcla óptima de productos, o el plan óptimo de producción?
Variables de decisión:
Restricciones: Departamento A:
10 (horas por cada E) x (número de E producidos) + 15 (horas por cada F) x (número de F producidos) = total de horas usadas en A, que no podrán superar las 150 horas disponibles.
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Departamento B: Departamento de verificación: Mezcla de producción: Construir por lo menos un F cada tres E se expresa matemáticamente:
Total de unidades: No negatividad:
Normalmente se aplica una condición de “No Negatividad”, ya que no tiene sentido físico la producción de un núm e-
ro negativo de equipos. Los valores de las variables de decisión que satisfagan todas las restricciones del modelo constituyen una solución factible (o decisión factible).
Función objetivo:
Solución óptima: La solución factible que optimice la función objetivo -en este caso, que maximice la utilidad total-. Esto es:
Problema resuelto: Fábrica de Maquinaria pesada En el ejemplo anterior, el modelo PL formal es:
Sujeto a (s.a): Las siguientes restricciones
1.3.1. El Método GRÁFICO (SOLUCIÓN GRÁFICA al problema planteado) Es posible determinar gráficamente debido a que tiene dos variables de decisión. Para modelos que no sean bidi-
mensionales, este método es impráctico o imposible. Sin embargo, las conclusiones que extraerán serán extrapolares o problemas de dimensiones y servirán de base para el método de solución general. En primer lugar, se graficará el espacio de soluciones (factible), que satisfaga todas las restricciones en forma simultánea. También se lo llama conjunto factible, región factible o conjunto restringido. Esto será el espacio delimitado por la totalidad de las restricciones. Para dibujarlo, se seguirán los siguientes pasos con cada restricción:
Cambiar la desigualdad por igualdad y graficar la recta que representa dicha ecuación. Tomar un punto de ensayo y verificar si cumple o no la desigualdad. Si la recta no pasa por el origen (0,0), éste será el punto de más fácil comprobación. Indicar con una flecha el semiplano correcto.
A continuación, se desarrollará el citado ejemplo paso a paso, a partir del modelo PL formal ya obtenido:
Sujeto a (s.a): Las restricciones presentadas
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1.3.2 . Interpretación Gráfica de restricciones Espacio de soluciones factibles
A la primera restricción ( ) se la transforma en igualdad ( ) y se grafica la recta determinando los puntos en donde ella corta a cada eje. Para averiguar los puntos de intersección con cada eje, se anula (se hace cero) la otra variable:
Como en realidad se trata de una desigualdad, para determinar cuál es el semiplano correcto, se toma (por comodidad) el origen de coordenadas (0,0) ya que la recta no pasa por él.
Para verificar si cumple con la desigualdad, se reemplazan las variables por las coordenadas del origen :
→ ¡VERIFICA la desigualdad!
Por lo tanto, el punto analizado se encuentra en el lado factible, lo cual se indica con una flecha direccional asociada con la primera restricción que apunta hacia el origen de coordenadas. Asimismo, se indica en el gráfico con un rayado los puntos que verifican la desigualdad (el semiplano que cumple con la primera restricción). De la misma manera, se dibujan superpuestas todas las restricciones del problema.
La segunda restricción ( ) es muy similar a la primera en su tratamiento, obteniéndose entonces el siguiente gráfico: Al rayar en sentido opuesto el semiplano que verifica la segunda desigualdad, se observa que los puntos que cumplen simultáneamente con ambas restricciones son aquellos que se encuentran en el área donde se superponen los rayados (rayado doble), por lo que se reduce la cantidad de soluciones factibles.
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Al dibujar la tercera restricción ( ), se notará que al utilizar el origen de coordenadas (0,0) para determinar el semiplano correcto, no verifica la desigualdad:
(ERROR) → NO VERIFICA
Por lo tanto, la flecha direccional apunta en sentido contrario al origen de coordenadas (arriba y a la derecha) y los puntos que verifican la tercera restricción se muestran con un rayado vertical. De esta manera, a medida que se agregan restricciones, la región factible (o sea, los puntos que cumplen con las restricciones) se va acotando, siendo ahora el área donde se superponen los tres rayados. A fin de aclarar el dibujo, se quitará el rayado de los gráficos a continuación.
Para graficar la cuarta restricción ( ), se procede de la misma manera que con las anteriores, pero en este caso, al querer determinar el semiplano correcto, no se puede utilizar el origen de coordenadas, porque la recta pasa por ese punto. Se toma otro punto cualquiera, pero para simplificar, es preferible verificar con alguno que tenga una coordenada nula ( ). En este ejemplo se adopta el punto (10,0) sobre el eje xE. entonces:
(ERROR) → NO VERIFICA
De acuerdo a esto, la flecha direccional apunta “hacia arriba”, en sentido opuesto al punto considerado.
Luego, el trazado de la quinta restricción ( presenta mayores inconvenientes.
) no
Las dos últimas restricciones (de no negatividad) indican los semiplanos positivos de cada una de las variables, o sea:
será positivo desde el eje será positivo desde el eje
hacia la derecha (6). hacia arriba (7).
Así, quedan graficadas todas las restricciones.
La región factible será el área delimitada por la totalidad de las restricciones (rayado doble). Cualquier punto que se encuentre dentro de esa zona será una solución factible al problema planteado. Esto significa que existen infinitas soluciones al problema, siempre y cuando se encuentren dentro de la región factible. El gráfico muestra la región factible correspondiente al problema planteado.
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1.3.4. Interpretación Gráfica de la Función Objetivo Solución Óptima Lo que realmente se pretende averiguar es cuál es la solución óptima, esto es, cuál es el punto que maximiza los beneficios para la empresa, se pasa entonces a la segunda parte de la solución gráfica, en donde se considera la función objetivo z, que representa una familia de rectas paralelas, cada una de ellas con distinto valor objetivo. Se determinará cuál es el sentido creciente de dicho valor (en el caso de maximización) o el decreciente (minimización), hasta el punto en que cualquier incremento (máx.) o decremento (min.) produciría una solución infactible (fuera del espacio de soluciones). Se procede a graficar dicha función hace:
, para lo cual es necesario valorizarla. En este caso, se
Por lo tanto, los puntos donde dicha recta cortará a los ejes serán:
en en
(se puede apreciar esto en el siguiente gráfico) El sentido creciente para esta función es “hacia arriba y hacia la derecha” , lo cual se puede comprobar valorizando, como se mues-
tra en la figura siguiente (z = 40.000). Nótese que esta última es paralela a la anterior.
Se busca entonces el punto límite para el cual cualquier incremento adicional se encontrará fuera del conjunto restringido. Esto se da en el punto donde se intersecan las rectas que definen la primera y la segunda restricción (solución óptima).
Para resolver cuáles son las coordenadas de dicho punto, hay que resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, correspondientes a las dos primeras restricciones.
Resolviendo por cualquier método conocido el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas nos queda:
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La utilidad asociada se obtiene reemplazando en la función objetivo z los valores de
y de
por los calculados.
Ejemplo de PL: Fábrica de pinturas
Se producen pinturas para exteriores y para interiores utilizando dos materiales básicos:
a y b, cuya disponibilidad máxima es de 6 y 8 toneladas diarias, respectivamente. Para obtener 1 Tn de pintura para exteriores se necesitan 1 Tn de A y 2 Tn de B; para 1 Tn de pintura para interiores, 2 Tn de A y 1 Tn de B.
De un estudio de mercado se determinó que:
La demanda diaria de pintura para interiores no pude ser mayor que la de pintura para exteriores en más de 1 Tn. La demanda máxima de pintura para interiores es de 2 Tn por día. El precio por tonelada es de $3.000 para la pintura de exteriores y de $2.000 para la de interiores.
¿Cuánta pintura de cada tipo se debe producir para maximizar el ingreso bruto?
Modelo PL formal:
s.a. (restricciones):
Problema resuelto: Fábrica de pinturas
Para resolver el ejemplo planteado, los pasos a seguir son los mismos que para el problema anterior.
Para comenzar a graficar el conjunto factible, a la primera restricción ( ) se la transforma en igualdad ( ) y se grafica la recta determinando los puntos en donde ella corta cada eje:
en en
Para determinar cuál es el semiplano correcto, se toma el origen de coordenadas (0,0) ya que la recta no pasa por él. Para verificar la desigualdad, se reemplazan las variables por las coordenadas del origen
Por lo tanto, el punto analizado se encuentra en el lado factible, lo cual se indica con una flecha direccional asociada con la primera restricción.
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De la misma manera, se dibujan las demás restricciones, superpuestas en el gráfico de la página siguiente. Todas las rectas establecidas como restricciones delimitan el conjunto factible, que es el área sombreada en color sepia. En el ejemplo, está dibujada la función objetivo valorizada en:
La función objetivo está graficada como una línea levemente más gruesa que las demás líneas rectas que representan restricciones. El sentido creciente para esta función es “hacia arriba y hacia la derecha”, lo cual se puede comprobar valorizando la función objetivo “z” en otros valores (mayores que 6). Se busca entonces el punto límite para el cual cualquier i n-
cremento adicional se encontrará fuera del conjunto restringido.
En el gráfico anterior se muestra la solución del problema. Se observa que la solución óptima ocurre en el punto C, intersección de las rectas 1 y 2, por lo que los valores de y de surgen de resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Resolviendo:
y
(solución óptima)
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El ingreso asociado se obtiene reemplazando en la función objetivo z los valores de xE y de xI por los calculados:
Resumiendo, el modelo de PL determina que la producción óptima es fabricar 3,333 Tn de pintura para exteriores y 1,333 Tn de pintura para interiores, lográndose de esta manera el máximo ingreso bruto posible de $ 12.666 por día, sujeto a las restricciones analizadas. Importante:
La solución del problema se da en un vértice de la región factible , también llamado punto extremo. La determinación del vértice depende de la pendiente (relación entre los coeficientes) de la función objetivo. Se puede demostrar que en un problema de PL, si existe una solución óptima, hay por lo menos un vértice óptimo.
Ejercicios propuestos para resolver Resuelva por el método gráfico los ejemplos planteados en Fábrica de televisores y Mezcla de Alimentos. Tome en cuenta que este último problema es un caso de minimización, por lo que se determinará el sentido decreciente de la función objetivo. Asimismo, dos de las restricciones pasan por el origen y para determinar el semiplano que verifica la desigualdad, será necesario tomar otro punto de ensayo (cualquiera, preferentemente con una de las coordenadas nulas para simplificar el cálculo). Las respuestas a estos problemas se encuentran en forma de tabla al final del planteo.
Ejemplo de PL: Fábrica de televisores Una compañía produce dos tipos de televisores, el modelo P y el modelo R. Hay dos líneas de producción, una por cada tipo, con una capacidad limitada a 70 unidades P y a 50 unidades R por día. Ambos modelos pasan por dos departamentos, A y B, los cuales disponen de un máximo de 120 y 90 horas de trabajo diarias, respectivamente. En el A, cada P requiere 1 hora de trabajo, y cada R, de 2 horas. En el B, ambos modelos demandan 1 hora de trabajo cada uno. La utilidad por cada P es de $20 y de $10 por cada R. considerando que la compañía puede vender toda la producción, ¿cuál es el plan diario? Modelo PL formal:
s.a. (restricciones):
(Departamento A) (Departamento B) (Capacidad de producción del modelo B) (Capacidad de producción del modelo R) (No negatividad)
La solución es: Ejemplo
Fábrica de Televisores
Solución Óptima
Valor óptimo
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Ejemplo de PL: Mezcla de alimentos Un productor ganadero utiliza diariamente por lo menos 800 kg de alimento especial, preparado con una mezcla de maíz y semilla de soja, con las siguientes composiciones: Alimento para ganado
Kg/kg de alimento para ganado
Costo
Proteínas
Fibra
($/kg)
Maíz
0,09
0,02
0,3
Semilla de soja
0,60
0,06
0,9
Los requerimientos dietéticos estipulan, por lo menos, un 30% de proteínas y, como máximo, un 5% de fibra. Se pretende determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimentos. Modelo PL formal:
s.a. (restricciones)
La solución es: Ejemplo
Solución Óptima
Valor óptimo
Mezcla de alimentos
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Casos especiales
Problema no acotado:
Se da cuando el conjunto factible no está acotado y la función objetivo se puede incrementar (en el caso de una maximización) o decrementar (minimización) ilimitadamente. En la práctica, esto es imposible, ya que no es posible obtener beneficios (máx.) o costos negativos (min.) infinitos. Esto quiere decir que hay un error en la formulación del modelo , posiblemente debido a que no se incluyeron en el mismo una o varias restricciones que, justamente, acotan la región factible.
Problema no factible:
Es el caso de un conjunto factible vacío (no existe ninguna solución posible). Al igual que en el caso anterior, se produce por un error en la formulación del problema, ya sea por una cantidad excesiva de restricciones o la inclusión de restricciones incorrectas.
Degeneración:
Es un caso particular que influye principalmente cuando se hace análisis del problema por computadora, ya que entra en un bucle o ciclo que retrasa notablemente los cálculos. Se da cuando por un vértice de la región factible pasan más de dos restricciones, por lo que una de ellas es redundante y el punto está determinado en exceso.
Óptimos múltiples u opciones óptimas:
Ocurre cuando la función objetivo z es paralela a una restricción no acotada. Entonces, la función objetivo tendrá el mismo valor óptimo en más de un punto del conjunto factible, pudiendo seleccionar varias alternativas sin deterioro de dicho valor óptimo.
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ANEXO - Problema resuelto: Fábrica de pinturas ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ¿Cómo afecta a la solución óptima los cambios en los parámetros del modelo de PL? El análisis de sensibilidad estu-
dia principalmente las modificaciones en los coeficientes de costo/ganancia (de la función objetivo) y en las cantidades de recursos disponibles (lado derecho de las restricciones).
Cambios en los coeficientes de la función objetivo
Se puede expresar la función objetivo como:
En el ejemplo analizado, son los precios por Tn de la pintura para exteriores y para interiores respectivamente. Lo que se quiere determinar es cuál es la variación que puede sufrir estos valores sin que se modifique la óptima encontrada anteriormente. Matemáticamente, el punto C será óptimo m ientras se cumpla:
Ambos coeficientes pueden modificarse simultáneamente, lo cual implica el problema, o se puede mantener uno de ellos fijo, estableciendo así el rango de variación del otro:
Si
Si
Dentro de los valores indicados, el punto C seguirá siendo óptimo, por lo que no será necesario re-calcular la producción.
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Cambios en los lados derechos de las restricciones Los lados derechos de las restricciones se refieren a los recursos disponibles y a los requerimientos del problema. Un cambio en el lado derecho de una restricción hará que la recta asociada se desplace paralela a sí misma.
En
En
Restricción 1: ( puntos K y B.
): Disponibilidad de materia prima A: será activa mientras se mueva entre los
y 1 representa el valor unitario de la materia prima A.
Técnicamente, se lo denomina precio dual y muestra la mejoría en el valor óptimo del objetivo cuando el lado derecho de la restricción asociada aumenta a una unidad, con los demás datos fijos .
En el ejemplo, si se dispusiera de una Tn más de materia prima A, el ingreso asociado (función objetivo) aumentaría en .
Restricción 2: rando en forma similar:
: disponibilidad de materia prima B: Será activa entre los puntos D y J . Ope-
Restricción 3:
: Será inactiva mientras su lado derecho se encuentre en el intervalo (-2, infi-
nito)
Restricción 4: (
): Será inactiva mientras su lado derecho se encuentre en el intervalo (4/3, infinito)
Estrechar: Una desigualdad significa hacerla más difícil de satisfacer, al aumentar (para restricciones de tipo ≥) o disminuir (para restricciones de tipo ≤) su lado derecho.
Relajar: Es lo contrario: se la hace más fácil de satisfacer. Hemos llegado al final del módulo, espero se hayan comprendido bien los conceptos, ejercicios y ejemplos. Luego de la lectura comprensiva del contenido, observa si puedes realizar la ejercitación planteada. Ésta será tu referencia para saber si el tema se ha aprendido. ¡Éxito y adelante!
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