Interpretación Interpretación geométrica de la derivada parcial
Recordemos que la gráfica de
representa una superficie
entonces el punto
está sobre la superficie
interseca a la superficie
en la curva
superficie
sobre el plano
es la traza de la
. De manera semejante, el plano vertical
en la curva
Observe que la curva
es la gráfica de la función
. Ambas curvas pasan por el punto
en el punt punto o
la gráfica de la función punto
,
. El plano vertical
(es decir,
interseca a la superficie
pend pendie ient ntee de su rect rectaa tange tangente nte
. Si
.
de manera que la
es
La curv curvaa
así que la pendiente de su tangente
es en el
es
LG3D], puede arrastrar el punto P sobre la curva C En las ligas [Ver en 3D - LG3D],
Figura 1: derivada parcial en P respecto a x [Ver en 3D - LG3D] LG3D][Ver en 3D - Jview] Jview]
Figura 1: derivada parcial en P respecto a y [Ver en 3D - LG3D] LG3D][Ver en 3D - Jview] Jview]
Por consiguiente, consiguiente, las derivadas parciales
y
pueden interpretarse
geométricamente geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas el punto , respectivamente.
y
en
Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si
, entonces
cuando de
representa la razón de cambio de
permanece fija. De manera semejante,
con respecto a
, cuando
con respecto a
,
representa la razón de cambio
permanece fija.
Ejemplo Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide paraboloi de
y el plano
, cuando
.
Solución En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por
con
lo
cual,
la
punto
En
la
recta
es
:
,
pero
pasa
por
el
y así
figura
1
se
muestra
la
recta
tangente
parábola Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son:
y
la
La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura 2.
Figura 3: Tangente en P [Ver en 3D - Jview]
Figura 4: Tangente en P
Ejemplo 8
El plano interseca al elipsoide formando una elipse. Determine las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la elipse el el punto
.
Solución
La ecuación e
, entonces :
define a
implícitamente como una función de
Con lo cual la pendiente de la recta tangente esta dada por
Pero como la recta tangente pasa por el punto
De donde su ecuación es :
, entonces
;
y sus ecuaciones paramétricas son
Figura 3: Tangente en P [Ver en 3D - Jview]
Observación : si parciales
y
es una función de dos variables
e
, entonces sus derivadas
también son funciones de dos variables, de modo que podemos
considerar sus derivadas parciales llaman segundas derivadas parciales de
y Si
, las cuales cuales se , utilizamos la siguiente
notación :
La notación
o
significa que primero derivamos con respecto a
con respecto a
, mientras que para calcular
Ejemplo 9
Calcule las segundas derivadas parciales de
Solución Las primeras derivadas parciales están dadas por :
Entonces tenemos que :
el orden se invierte.
y luego
Observación : note que las derivadas parciales mixtas y en el ejemplo anterior, son iguales. Esto no es una casualidad y en la mayoría de los casos prácticos se da. El siguiente teorema, descubierto por el matemático francés Alexis Clairaut (1713 1765), da las condiciones bajo las cuales podemos afirmar que esta igualdad se da.
Teorema (igualdad de las derivadas mixtas)
Sea
una función escalar donde
centro en
y radio
continuas en
entonces
es un disco abierto con
, entonces si las funciones
y
son
Las derivadas parciales de orden 3 o superior también se pueden definir como
y al usar el teorema de Clairaut, se puede demostrar que funciones son continuas.
si estas
Ejemplo 10 Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes físicas.
Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial
se conoce como ecuación de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan un papel fundamental en las aplicaiones relacionadas con conducción de calor, flujo de fluidos y potencial eléctrico.Compruebe que la función de Laplace.
satisface la ecuación
Solución. Las primeras derivadas parciales están dadas por
con lo cual
de donde
Ejemplo 11 La ecuación de onda
donde es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante. Si y función
son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la
satisface la ecuación de onda.
Solución
Las derivadas de
con respecto a
están dadas por :
Las derivadas de
con respecto atestan dadas por :
Sustituyendo obtenemos que
Ejemplo 12 Si y función
son funciones doblemente derivables de una sola variable, compruebe que la
satisface la ecuación diferencial parcial
Solución
Las derivadas de
con respecto a
están dadas por :
Sustituyendo
Ejemplo 13
Si
se
dijera
son
que y
existe
una
función
cuyas
derivadas
parciales
¿usted lo creería?
Solución
Por el teorema de Clairaut, puesto que y en todo debieran ser iguales. Por lo tanto no existe tal función.
son continuas
Ejemplo 14 Una barra de metal de un metro de largo se calienta de manera irregular y de forma tal que a metros de su extremo izquierdo y en el instante minutos, su temperatura en
grados centígrados esta dada por
con
1. Trace la gráfica de
para
y
2. Calcule y ¿Cuál es la interpretación práctica (en términos de temperatura) de estas derivadas parciales?. Explique por qué cada una tiene el signo que tiene.
3. Calcule temperatura?
¿Cuál es su signo?. ¿Cuál es su interpretación en términos de
Solución
1. La gráfica de las funciones
y
se muestran en la figura 2.
Figura 6
Observe que la figura nos indica la temperatura inicial en cada punto de la barra y la temperatura después de un minuto. Note que el punto más caliente de la barra en cualquier instante está a 0.5 metros del extremo izquierdo (! !).
2. La derivada parcial respecto a al evaluar obtenemos que
esta dada por
y
como esta derivada parcial es decreciente conforme cualquier valor de
crece y positiva para
concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las
pendientes de las rectas tangentes a son positivas y van siendo más pequeñas conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.2 metros del extremo izquierdo. El signo positivo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura aumenta.
Por otro lado,
observe que en este caso tenemos como la derivada parcial es creciente conforme crece y negativa para cualquier valor de , concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de las rectas tangentes a son negativas y van siendo más grandes conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.8 metros del extremo izquierdo. El signo negativo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura disminuye. Las siguientes tablas de valores y la gráfica 1 nos permiten observar con claridad lo explicado antes.
0
254.16
58.7785
10
93.5003
21.6234
20
34.3968
7.95641
30
12.6539
2.92641
40
4.65511
1.07657
50
1.71252
0.39605
3. La derivada parcial respecto a
está dada por
0 10 20 30 40 50
-254.16 -93.5003 -34.3968 -12.6539 -4.65511 -1.71252
58.77 21.62 7.956 2.926 1.076 0.396
Observe
que
para
y
cualquier
valor
de
y para y cualquier valor de lo cual nos permite concluir que la temperatura va aumentando desde cero hasta llegar a la mitad de la barra y luego va disminuyendo hasta cero, es decir, que la parte más caliente de la barra es la mitad.
Ejemplo 15 Las ecuaciones
definen a y en términos de
como funciones de las variables independiente y .
Solución Para calcular
derivemos las ecuaciones (4) respecto a
Ahora usemos la regla de Cramer para hallar
e
. Exprese
De
donde
Ejemplo 16
Compruebe que la función de Laplace en derivadas parciales
Solución Calculemos las derivadas parciales
satisface la ecuación diferencial
y al sumar (5), (6) y (7) obtenemos el resultado deseado.
Definición (vector gradiente)
Sea gradiente de
Observación: si
una función escalar de dos variables, entonces el es la función vectorial
definida por
es una función escalar de tres variables su gradiente esta dado por
Ejemplo 17
Si
Solución El gradiente está dado por :
calcule
y evaluando
CAPITULO IIIg
Derivadas parciales En las aplicaciones de las funciones de varias variables surge una pregunta: ¿Cómo será afectada la función por una variación de una de las variables independientes?. Podemos responder esta interrogante considerando cada vez una variable independiente. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico llevaría a cabo el experimento varias veces usando cantidades
Leonhard Euler
distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales como la temperatura y la presión. Seguimos un procedimiento parecido para determinar la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes. Esto es, hacemos la derivada de f cada vez con respecto a una variable independiente, manteniendo constantes las demás. Este proceso se conoce como derivada parcial, y su resultado se refiere como la derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida. La introducción de las derivadas parciales tardó varios años en seguir a los trabajos de Newton y Leibniz. Entre 1730 y 1760, Leonhard Euler y Jean Le Rond d´Alembert (1717-1783) publicaron separadamente varios artículos de dinámica, en los cuales establecieron gran parte de la teoría de las derivadas parciales. Estos artículos usaban funciones de dos o más Jean Le Rond d´Alembert
variables para estudiar problemas que trataban
del equilibrio, el movimiento de fluídos y las cuerdas vibrantes.
Derivadas parciales Definición 3.1 Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funciones f xy f y respectivamente, definidas mediante
siempre y cuando existan los límites. Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para calcular f x consideramos que y es constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para obtener f y consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y. Ejemplo 3.1 Calcular f x y f y para la función Solución Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta
Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta
Existen notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A continuación damos una lista de las más comunes: Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras f x y f y se denotan
Ejemplo 3.2 Para la función
encontrar f x y f y y evaluar cada una de ellas en el
punto (1, ln2) Solución
Como
la derivada parcial de f con respecto a x en (1,
ln2) es
Como
la derivada parcial de f con respecto a y en (1,
ln2) es
Las derivadas parciales de una función de dos variables, z=f(x,y), tienen una interpretación geométrica útil. Si y=c, entonces z=f(x,c) representa la curva formada por la intersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=c, como muestra la figura 3.1. Por lo tanto,
figura 3.1 representa la pendiente de esta curva en el plano y=c (observar que tanto la curva como la tangente pertenecen al plano y=c). De forma similar,
representa la pendiente de la curva obtenida por la intersección de z=f(x,y) y el plano x=c como se observa en la figura 3.2.
figura 3.2 Se dice que los valores de f x y f y en el punto (x0,y0,z0) denotan la pendiente de la superficie en las direcciones x e y respectivamente. Ejemplo 3.3
Encontrar la pendiente de la superficie dada por
en el
punto (1/2,1,2) en las direcciones x e y. Solución En la dirección x, la pendiente viene dada por (ver figura 3.3)
En la dirección y, la pendiente viene dada por
(ver figura 3.4)
Independientemente de cuántas variables estén involucradas, las derivadas parciales pueden interpretarse como razones de cambio.
figura 3.3
figura 3.4
Derivadas parciales de orden superior
Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y). 1. Derivar dos veces respecto de x:
2. Derivar dos veces respecto de y:
3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:
4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:
Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial
Orden de derecha a izquierda indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial (f y)x=f yx Orden de izquierda a derecha indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas notaciones se driva primero respecto de la variable que está más cercana a f . Ejemplo 3.4 Encontrar las derivadas parciales segundas de
y
calcular el valor de f xy(-1,2) Solución Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:
Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta
Finalmente, f xy(-1,2)=12-40=-28 Se observa que las derivadas parciales cruzadas son ig uales. Esto sucede frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.
Teorema 3.1 Si f es una función de x e y tal que f, f x, f y, f xy y f yx son continuas en la región abierta R, entonces para cada (x,y) en R,
Ejemplo 3.5 Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para l a función Solución Las parciales primeras son,
Y las parciales cruzadas son,
Ejercicios Ejercicio 3.1 Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a x e y 1. 2. 3.
4.
5. 6.
7.
Ejercicio 3.2 Evaluar f x y f y en el punto que se indica
1.
, (2,-2)
2.
, (1,0)
3.
4.
, (2,-2)
, (1,0)
Ejercicio 3.3 Encontrar las segundas derivadas parciales f xx, f yy, f xy y fyx 1. 2.
3.
4.
Ejercicio 3.4
Demostrar que f xy=f yx 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Ejercicio 3.5 Verificar que la función satisface la ecuación de Laplace
Ejercicio 3.6 Utilizar la definición mediante límites de las derivadas parciales para encontrar f x(x,y) y f y(x,y)
Ejercicio 3.7 Dibujar la curva de intersección de la superficie y del plano dados. Encontrar la pendiente de la curva en el punto que se especifica superficie
plano x=2 y=1
punto (2,3,6) (2,1,8)
y=3 x=1
(1,3,) (1,3,0)
Evaluación 1) Se N el número de candidatos a una universidad, p es el costo de alimentación y alojamiento y t el precio de la matrícula. Supongamos que N es una función de p y de t talque Np<0 y Nt<0. ¿Cómo interpretaría el hecho de que ambas derivadas parciales fueran negativas? 2) El alcance de un proyectil disparado con un ángulo de elevación
sobre la
horizontal y con velocidad
Evaluar
cuando v0=2000 m/s y
=5º
3) La temperatura en todo punto (x,y) de una placa metálica viene dada por
donde x e y se miden en metros. En el punto (2,3), encontrar la razón de cambio de la temperatura respecto de la distancia al movernos sobre la placa en las direcciones de los ejes x e y. 4) Según la ley de los gases ideales, PV=kT, donde P es la presión, V el volumen, T la temperatura y k una constante de proporcionalidad. Hallar 5) Consideremos la función definida por
a) Encontrar f x(x,y) y f y(x,y) para (x,y) distinto de (0,0) b) Utilizar la definición de derivadas parciales p ara hallar f x(0,0) y f y(0,0) c) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar f xy(0,0) y f yx(0,0
