BAB 27 Integral Garis, Integral Permukaan, dan Integral Volume
Pada Bab 27 ini akan dibahas:
Integral Kurva (Integral Garis) Kebebasan Tapak/Lintasan Integral Permukaan Integral Rangkap 3 (Integral Volume)
27.1 Integral Kurva (Integral Garis) Misalkan suatu kurva C dari titik a sampai titik b di ditentukan oleh persamaan parameter: ⃗r ( t ) =[ x ( t ) , y ( t ) , z(t) ]=x (t ) ⃗i + y ( t ) ⃗j+ z ( t ) k⃗ ; ( a ≤ t ≤ b ) (27−1)
Integral garis dari suatu fungsi vektor b ⃗ ⃗ ⃗ dt ∫ F ( r ) . dr=∫ ⃗F ( r ( t ) ) . dr dt c a
⃗ F ( r) atas kurva C didefinisikan dengan:
(27−2)
dan ⃗ dr=dx i⃗ +dy ⃗j+dz ⃗k
(27−3)
Sehingga
781
F 1 i⃗ ¿ (+ F2 ⃗j ¿ + F 3 k⃗ )∙(dx ⃗i + dy ⃗j+ dz k⃗ ) ⃗ ∫¿ ⃗ F ( r ) ∙ dr= C
∫¿ C
F 1 dx ¿ (+ F2 dy ¿ + F3 dz ) ⃗ F ( r)∙⃗ dr=∫ ¿ C
∫¿ C
F1 x' ¿ ' (+ F2 y ¿+ F 3 z ' ) b
(27−4)
⃗ F (r )∙ ⃗ dr=∫ ¿ a
∫¿ C
b
dx dy dz dr=∫ F1 + F 2 + F 3 dt ∫ ⃗F ( r ) ∙ ⃗ dt dt dt C a
(
)
Integral garis disebut juga sebagai integral kerja, karena dapat diasumsikan sebagai kerja yang dilakukan oleh suatu gaya F untuk menggerakan partikel dari titik A ke titik B sepanjang C. Jika dS menyatakan panjang busur S suatu kurva, maka hubungan dS dengan dt adalah: ⃗ dr S ( t )=∫ √r⃗ ∙ ⃗r ; d ~t r⃗ = ~ dt
(
)
(27−5)
Sehingga:
782
2 2 2 ⃗ dS dr ⃗ dr dx dy dz = ∙ = + + dt dt dt dt dt dt
2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) dS = dt
√(
dx 2 dy 2 dz + + dt dt dt
2
) ( )( )
( √( ) ( ) ( ) )
dS=
dx 2 dy 2 dz + + dt dt dt
2
dt
(27−6)
Contoh 27.1: Hitung Integral garis
∫ ( x 3 + y ) dS ; C C
adalah kurva
3
x=3 t , y=t , 0≤ t ≤ 1
Jawab: dS menyatakan panjang busur S suatu kurva, sehingga
( ) √( dS = dt
2
3
2
) ( )
d (3 t) d (t ) + =√ 9+ 9t 4 =3 √ 1+t 4 dt dt
dS=3 √ 1+ t 4 dt b=1
b=1
a=0
a=0
∫ ( x 3 + y ) dS= ∫ ( ( 3t )3 +t3 ) 3 √ 1+t 4 dt= ∫ ( 84 t3 ) √ 1+ t4 dt C
4
3
misalkan: u=1+t → du=4 t dt , , maka: b=1
1 2
3
3
∫ ( 84 t ) √ 1+ t dt=∫ ( 21 ) u du=21. 32 u 2 =14 u 2 a=0 3
4
783
3 t =1 4 2 t =0
¿ 14 ( 1+t ) |
3 2
=14(2 −1)
27.2 Soal dan Penyelesaian 1. Hitunglah
sampai
dr ∫ ⃗F ( r ) ∙ ⃗ C
, dimana
⃗ F =3 y i⃗ −x ⃗j ,
C: potongan garis lurus dari
( 0,0 )
(2, 12 )
Jawab: 3 y i⃗ ¿ ⃗ ⃗ ⃗ (−x j ¿) ∙ ( dx i + dy j+ dz ⃗k )=∫ 3 y dx−x dy C
⃗ F (r )∙ ⃗ dr=∫ ¿ C
∫¿ C
Persamaan parameter garis lurus dari titik ( 0,0 ) menuju
(2, 12 )
adalah:
⃗r ( x , y )=( 0,0 )+ ( ( 2,1/2 )− ( 0,0 ) ) t ; 0 ≤t ≤1 x=2 t → dx=2 dt y=1/2 t → dy=1/2 dt b=1
1 1 ⃗ F (r ) ∙⃗ dr=¿ ∫ 3 y dx−x dy = ∫ 3 t ( 2 dt )−2 t dt 2 2 C a=0
( )
( )
∫¿ C
784
b=1
b=1
a=0
a=0
t =1
∫ 3 t dt−t dt = ∫ 2 t d t=t2|t =0=1
2. Hitunglah
dr , ∫ ⃗F ( r ) ∙ ⃗
⃗ F = y 4 ⃗i−x 4 ⃗j , dan C: ⃗r =t ⃗i−t −1 ⃗j , 1≤ t ≤ 3
dengan
C
Jawab: ∫ ⃗F ( r ) ∙ d r⃗ =∫ ( y 4 i⃗ −x 4 ⃗j ) ∙ ( dx i⃗ +dy ⃗j +dz ⃗k ) C
C
¿∫ y 4 dx−x 4 dy C
⃗ −1 ⃗ Persamaan parameter adalah: : ⃗r =t i−t j , 1≤ t ≤ 3 x=t → dx=dt y=t −1 → dy=−t −2 dt b=3
∫ ⃗F ( r ) ∙ d r⃗ =∫ y 4 dx−x 4 dy = ∫ t−4 dt−t 4 ( −t−2 dt ) C
C
a=1
b=3
[
1 1 2+1 ¿ ∫ ( t +t ) dt= t −4 +1+ t −4+1 2+1 a=1 −4
2
[
−1 −3 1 3 ¿ t + t 3 3
¿
[(
]
t=3
[
1 −1 3 = +t 3 t3 t=1
t =3
]
t =1
t =3
]
t =1
]
1 −1 26,96 +27 −(−1+1 ) = 3 27 3
)
3. Hitunglah Integral garis: titik ( 0,1 ) ke titik ( 1,2 )
∫ [ ( x 2− y ) dx +( y 2 −x ) dy ] C
dengan lintasan C menghubungkan
berbentuk:
a. Garis lurus dari titik ( 0,1 ) ke titik ( 1,2 ) b. Garis lurus dari titik ( 0,1 ) ke ( 1,1 ) kemudian dari titik ( 1,1 ) ke ( 1,2 ) c. Parabola
x=t
dan
y=t 2 +1 785
Jawab : a. Persamaan parameter dari garis lurus dari titik ( 0,1 ) ke titik ( 1,2 ) adalah: r ( x , y )=( 0,1 ) + [ ( 1,2 )− ( 0,1 ) ] t ; 0 ≤ t ≤ 1 x=t → dx=dt y=1+t → dy=dt t=1
∫ [ ( x − y ) dx +( y −x ) d y ]= ∫ [ ( t2− (1+t ) ) dt+ ( ( 1+t )2−t ) dt ] 2
2
C
t=0
t=1
¿ ∫ [ ( t 2−t−1 ) dt+ ( 1+2 t+t 2−t ) dt ] t=0 t=1
¿ ∫ [ ( t 2−t−1 ) dt+ ( 1+t +t 2 ) dt ] t=0
t=1
¿ ∫ ( 2 t 2 ) dt t=0
¿
t=1
[ ] 2 3 t 3
=
t=0
2 3
b. Garis lurus dari titik ( 0,1 ) ke ( 1,1 ) kemudian dari titik ( 1,1 ) ke ( 1,2 )
∫ [ ( x 2− y ) dx +( y 2 −x ) dy ] C
x=1
y=2
x=0
y=1
¿ ∫ ( x 2− y )|y=1 dx + ∫ ( y 2−x )|x=1 dy x=1
y=2
¿ ∫ ( x 2−1 ) dx + ∫ ( y 2−1 ) dy x=0
¿
¿
¿
(
1 3 x −x 3
y=1
x=1
) ( +
x=0
1 3 y −y 3
)
y=2 y=1
1 8 1 −1 −0 + −2 − −1 3 3 3
(( ) ) (( ) ( )) ( ) (( ) ( )) −2 2 −2 2 + − = 3 3 3 3
786
c. Parabola
x=t
dan
2
y=t +1
x=t → dx=dt ; 0 ≤ x ≤1 sehingga 0 ≤t ≤1
y=t 2 +1→ dy=2 t dt
∫ [ ( x 2− y ) dx +( y 2 −x ) dy ] C
t=1
2
¿ ∫ ( t 2− ( t 2 +1 ) ) dt+ ( ( t 2 +1 ) −t ) ( 2 t ) dt t=0
t=1
¿ ∫ −1 dt+ ( 2t 5+ 4 t 3−2 t 2+2 t ) dt t=0 t=1
¿ ∫ ( 2 t 5+ 4 t 3−2 t 2+2 t−1 ) dt t=0
2 6 4 2 3 2 t +t − t +t −t 6 3
t =1
( ) 1 2 2 ¿ ( +1− +1−1)= 3 3 3 ¿
4. Tentukan
besarnya
t =0
usaha
yang
dilakukan
medan
vektor
(gaya),
⃗ F ( x , y )= ( X +2 y ) i⃗ + ( x− y ) ⃗j , untuk memindahkan partikel sepanjang kurva/lintasan C
yang diberikan dengan persamaan
x=2 cos t , y=4 sin t
dengan
0 ≤t ≤
π . 4
Jawab: Besarnya usaha yang dilakukan medan vektor (gaya),
⃗ F ( x , y )= ( X +2 y ) i⃗ + ( x− y ) ⃗j
untuk memindahkan partikel sepanjang kurva/lintasan C yang diberikan dengan persamaan. x=2 cos t → dx=−2 sint dt y=4 Sint t → dy=4 cos t dt 787
0 ≤t ≤
Dengan batas:
Jadi:
π . 4
∫ ⃗F ( r ) ∙ d r⃗ =∫ ( ( x +2 y ) i⃗ +( x− y ) ⃗j ) ∙ ( dx ⃗i+ dy ⃗j+ dz ⃗k ) C
C
¿∫ ( x+2 y ) dx+ ( x− y ) dy C
t=π /4
¿
∫
( ( 2 cos t+ 8 sint ) (−2 sin t dt ) ) + ( ( 2 cos t −4 sin t ) ( 4 cos t dt ) )
t=0
t=π /4
¿
∫
(−4 cos t sin t−16 sin2 t ) dt + ( 8 cos 2−16 sin t cos t ) dt
t=0
2
2
t −16 sin t+8 cos t −20 cos t sin ¿ dt ¿ ¿ t =π / 4
¿
∫
¿
t =0
−20 cos t sin t−16 sin 2 t +8( 1−sin2 t)dt ¿ t =π / 4
¿
∫
¿
t=0
t−16 sin2 t−8 sin 2 t +8 −20 cos t sin ¿ dt ¿ ¿ t= π / 4
¿
∫
¿
t =0
788
2
t −24 sin t +8 −20 cos t sin ¿ dt ¿ ¿ t =π / 4
¿
∫
¿
t=0
t t =π / 4
−cos ¿−
∫
t=0
t =π / 4 2
24 sin t dt+
∫
8 dt
t=0
¿ td¿ −20 cos ¿ t =π / 4
¿
∫
¿
t=0
t=π /4
¿
|
20 cos2 t − 2 t=0
t= π /4
∫
t=0
24
( 12 − 12 cos 2 t ) dt + 2 π
π 1 11 ¿ 10 cos 2 −cos2 0 −24 t− sin 2t 4 2 22
(
¿ 10
) (
t =π / 4
)
+2 π
t =0
( 12 −1)−24( 12 π4 − 12 12 )+2 π
¿−5−3 π +6+2 π
¿ 1−π 5. Hitung integral garis berikut: ∮ [ ( x 2− y 2 ) dx + xdy ] C ≡ x 2+ y 2=9 C
Jawab:
789
Persamaan parameter dari kurva
2
2
x y C ≡ x + y =9 ⇒ + =1, diperoleh dari persamaan 9 9 2
2
cos 2 t+ sin 2 t=1, ( 0 ≤ t ≤2 π ) , sehingga 2
x =cos 2 t ⇒ x 2=9 cos2 t ⇒ x=3 cos t ⇒ dx=−3 sin t dt 9 y2 =sin 2 t ⇒ y 2=9 sin2 t ⇒ y=3 sin t ⇒ dy=3 cos t dt 9
Jadi:
∮ [ ( x 2− y 2 ) dx + x dy ] C
t 3 cos ¿ dt ¿ t¿ ( 9 cos 2 t−9 sin 2 t ) (−3 sin t ) dt +3 cos ¿ t =2 π
¿
∫
¿
t=0
t=2 π
¿9
∫
( cos 2 t−sin 2 t ) (−3 sin t ) dt +9 cos 2 t dt
t =0
t=2 π
¿−27
∫ ( cos 2 t−(1−cos 2 t)) ( sin t ) dt+9 cos 2 t dt
t=0
t=2 π
¿−27
∫
t=0
t=2 π
(−1+ 2cos t ) ( sin t ) dt + ∫ 9 cos 2 t dt 2
t =0
t=2 π
¿−27
∫
t=0
t =2 π
(−1+ 2cos 2 t ) d (−cos t ) dt+
∫
t=0
9
( 12 + 12 cos 2t )dt 790
t=2 π
∫
¿ 27
t =0
[
(−1+2 cos t ) d (−cos t ) dt+ 9 1 t+ 1 . 1 sin 2t 2 2 2 2
[
2 ¿ 27 −cos t+ cos3 t 3
t=2 π
] [ 9
t=0
1 1 1 t + . sin 2 t 2 2 2
t =2 π
]
t =0
t=2 π
]
t=0
[( ) ( ) ]
¿ 27 −1+
2 2 − −1+ +9 [ ( π +0 )− ( 0+0 ) ] 3 3
¿ 27 ( 0 ) +9 π ¿9π
27.3 Kebebasan Tapak/Lintasan Nilai dari suatu integral garis umumnya akan tergantung pada F, titik-titik ujung A dan B dari lintasannya, dan sepanjang lintasan mana integrasi itu dilakukan dari A ke B. Syarat apa yang harus dipenuhi agar integral garis dari suatu medan vektor F atas kurva C bernilai sama, walaupun bentuk kurvanya berbeda asal ujung-ujungnya tetap? (nilai integral
C1
garisnya sama untuk semua lintasan C dari A ke B)
D A B C2
C3
791
Gambar 27.1 Kebebasan Lintasan Untuk medan vektor di ⃗ F ( x , y )=f ( x , y ) ⃗i + g ( x , y ) ⃗j
R
2
, misal D merupakan daerah pada bidang XOY dan
dengan medan skalar f (x , y ) dan
g( x , y )
kontinu pada D.
maka integral garis:
∫ ( f ( x , y ) dx+ g ( x , y ) dy ) C
B
∫ f ( x , y ) dx + g ( x , y ) dy
(27−7)
A
Bebas lintasan di D, bila terdapat fungsi
∅(x , y )
yang disebut fungsi potensial (fungsi skalar)
sehingga berlaku: ∂∅ ( x , y ) ∂ ∅( x , y ) =f ( x , y ) dan =g ( x , y ) (27−8) ∂x ∂y Syarat di atas dapat juga dituliskan bahwa integral garis bebas lintasan bila berlaku: ∂f (x, y) ∂g(x , y) = (27−9) ∂y ∂x
Medan vektor F sehingga integral garis dari F atas lintasan C bebas lintasan dinamakan konservatif. Untuk medan vektor di
3
R:
⃗ F ( x , y , z ) =f ( x , y , z ) i⃗ + g ( x , y , z ) ⃗j+h ( x , y , z ) ⃗k ⃗ disebut konservatif jika dan hanya jika: ∇ × F =0
792
|
|
⃗j i⃗ k⃗ ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z ( ) ( ) ( f x , y, z g x, y ,z h x , y ,z)
(27−10) ⃗i ∂h (x , y , z ) − ∂ g( x , y , z ) − ⃗j ∂h ( x , y , z ) − ∂ f ( x , y , z ) + ( k⃗ ) ∂ g ( x , y , z ) − ∂ f ( x , y , z ) =0 ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y
) (
(
) (
)
∂h ( x , y , z ) ∂ g( x , y , z ) ∂ h (x , y , z ) ∂ f (x , y , z) ∂ g (x , y , z ) ∂ f (x , y , z) = , = , = ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y
Bila C merupakan kurva tertutup dan medan vektor
⃗ F
di
R2 dan
R3 konservatif maka:
∫ ( f ( x , y ) dx+g ( x , y ) dy ) =0
(27−11)
C
Atau
∫ (f ( x , y , z ) dx + g ( x , y , z ) dy +h ( x , y , z ) dz )=0 C
(27−12)
TEOREMA ⃗ Jika F =∇ ∅
berlaku
a1 ≤ x ≤ a2 , b 1 ≤ y ≤ b2 , c 1 ≤ z ≤ c 2
di
daerah
R
di
dalam
ruang,
ditentukan
oleh
dengan ∅ ( x , y , z ) bernilai tunggal dan mempunyai turunan
kontinu di R, maka: P2
1.
∫ ⃗F ∙ d ⃗r P1
Tidak tergantu pada lintasan C di R yang menghubungkan
793
2.
∫ ⃗F ∙ d ⃗r =0 C
Dalam kasus ini,
⃗ F
Sekeliling sembarang lintasan tertutup C di R
disebut medan vektor konservatif dan
Sebuah medan vektor disebut konservatif jika dan hanya jika
∅
adalah skalar potensial.
∇×⃗ F =0
atau ekuivalen
⃗ F =∇ ∅ .
Contoh 27.2: Selidiki apakah medan vektor
⃗ F ( x , y )= y i⃗ +x ⃗j
konservatif. Bila ya, tentukan P (fungsi
potensial). Jawab: ⃗ F ( x , y )= y i⃗ + x ⃗j⇒ f ( x , y )= y dan g ( x , y )=x
Karena
Misal
∂f ∂ g ⃗ = =1 maka F ∂y ∂x
konservatif
P( x , y ) fungsi potensial. Maka
P ( x , y )=∫ f ( x , y )dx =∫ y dx = yx+ C( y ) ∂ =g ( x , y ) ∂ x+ C ( y )=g(x , y)
x+ C ' ( y )=x
794
C ' ( y )=0 C ( y )=C
Jadi:
P ( x , y )=xy +C
795
