BAB IV INTEGRAL GARIS
4.1.Definisi
Jika F(x,y) F(x,y) = M(x,y) M(x,y) i + N(x,y) N(x,y) j
suatu medan medan vektor dan C suatu
lintasan terbuka dari dari titik A ke B maka Intergral vektor F(u) terhadap terhadap lintasan C atau disebut Integral Garis, yaitu :
∫ F ( x, y)• dX
B
dengan dX = dx i + dy j
C
A =
∫ M dx + N dy . C
Contoh 1:
Hitunglah integral garis
∫ xy
2
2 dx + xy dy di sepanjang lintasan
C
C = C 1 U C 2 yang menghubungkan titik (0,2), (3,2) dan (3,5).
(3,5) C2 (0,2)
C1
(3,2)
Jawab:
Pada garis C 1 , y = 2 maka dy = 0 Sehingga
∫ xy
2
2
dx + xy dy = 18
C 1
Pada garis C 2 , x= 3 maka dx = 0 Sehingga
∫ xy
2
2
dx + xy dy = 117.
C 2
Jadi ∫ xy 2 dx + xy 2 dy = 135. C
Jika C adalah busur lengkungan dari A ke B , maka integral garis adalah
∫ F ( x, y) dS C Perhitungannya menggunakan parameter t, dimana x = x(t ) dan y = y (t )
2
2
sehingga ds = [ x ' (t )] + [ y ' (t )]
dt
, maka
∫ F ( x, y) dS = C
b
2 2 ∫ F ( x(t ), y (t )) [ x ' (t )] + [ y ' (t )] dt.
a
Contoh 2:
∫ x
Hitunglah
2
y dS jika C lengkungan persamaan parameter x = 3 cos t
C
, y = 3 sin t , 0 ≤ t ≤
π
2
Jawab: π
∫ x C
2
2
y dS =
∫
(3 cos t ) 2 (3 sin t ) (−3 sin t ) 2 + (3 cos t ) 2 dt = 27
0
4.2. Aplikasi a. Massa (m) Jika rapat massa ρ = ρ ( x, y , z ) , maka m =
∫ ρ dS . C
b. Momen massa ( M ) Terhadap sumbu x : M x =
∫ y ρ dS C
Terhadap sumbu y : M y =
∫ x ρ dS . C
c. Titik pusat massa ( x , y ) = (
M y M x , ) m m
4.3. Tak Tergantung Lintasan ( Bebas Lintasan) Definisi :
Untuk setiap C lengkungan dari titik A ke B. Nilai
∫ F ( X ) dX tetap C
harganya maka dikatakan ∫ F ( X ) dX tidak tergantung lintasan dari A C
ke B. C1
B
A C2
∫ F ( X ) dX = ∫ F ( X ) dX C 1
C 2
Artinya
∫ F ( X ) dX tidak tergantung lintasan dari titik A ke B melalui
C C1 atau C2.
Teorema 1 :
Jika C lengkungan licin dari titik A ke B. fungsi f(x) terdefinisi dan kontinu pada daerah terbuka yang memuat C, maka :
∫∇ f ( x) . dX = f ( B)
− f ( A)
C Teorema 2 :
Jika F(x) medan vector yang kontinu pada daerah tersambung sederhana. Maka ∫ F ( X ) dX tidak tergantung lintasan dari A ke B jika C
dan hanya jika terdapat medan konservatif f sehingga F ( x) = ∇ f ( x)
Untuk menunjukkan F medan konservatif :
1. Jika F ( x, y ) = M ( x, y ) i + N ( x, y ) j maka F konservatif jika memenuhi ∂ M ∂ y
=
∂ N ∂ x
2. Jika F ( x, y , z) = P( x, y , z)i + Q( x, y , z) j + R( x, y , z ) k maka F konservatif
jika
curl F =0 atau
∂Q ∂ x
=
∂P ∂ y
;
∂ R ∂ y
=
∂Q ∂ z
;
∂ R ∂ x
=
∂P ∂ z
Langkah – langkah menunjukkan tidak tergantung lintasan dari
titik A ke B adalah : 1. Tunjukkan F konservatif. 2. Tentukan f agar F ( x) = ∇ f ( x) .
3.
∫ F ( X ) dX = f ( B)
− f ( A)
C
Latihan Soal.
1. Tentukan
apakah
3
2 2
3
5
F ( x, y) = (4 x + 9 x y )i + (6 x y + 6 y ) j
konservatif, dan jika ya tentukan fungsi f . 2. . Hitunglah
3 x2 y2 dx x3 y y5 dy x ( 4 ) + (6 +9 +6 ) , ∫
dimana
C
adalah
C
sebarang lintasan dari (0,0) ke (1,2). (langkah 1: Tunjukkan F konservatif, langkah 2: hitung menggunakan teorema 1) 3.
∫
2
2
(2 x y + 3 y z + 2) dx+ (2 x y + 3 xz) dy+ (3 xy+ z)dz dimana C adalah
C
sebarang lintasan dari (0,1,1) ke (2,1,2).
4.
∫ C
1 2 1 2 ( xy e z − cos y ) dx+ ( x e z + x sin y + z ) dy+ ( x y e z + y − 3)dz 2 2
dimana C adalah sebarang lintasan dari (1, π ,0) ke ( 2, π ,4)
4.4. Teorema Green pada Bidang Teorema Green :
D
D D C
Jika C lengkungan tertutup sederhana yang merupakan
batas daerah
D dan F ( x, y ) = M ( x, y ) i + N ( x, y ) j suatu medan vector . M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan parsial pada D dan C. Maka :
∂ N ∂ M = − F ( x , y ) . dX ( ) dA ∫ ∫∫ ∂ x ∂ y C D atau
∫ M ( x , y) dx + N ( x , y ) dy C
=
∫∫ ( D
∂ N ∂ x
−
Note : arah positif C adalah berlawanan arah jarum jam.
Latihan Soal:
∂ M ∂ y
) dA
1. Misalkan C adalah batas segitiga dengan titik-titk (0,0), (1,2) dan
2
(0,2), hitunglah ∫ 2 x y dx + 3 x dy
C dengan menggunakan metode langsung dan Teorema Green.
2
2
2. Buktikan kebenaran Teorema Green dari ∫ ( x + y ) dx + x y dy jika
C C
adalah
lengkungan
yang
dibatasi
oleh
x 2 + y 2 = 4 dan
( x − 2) 2 + y 2 = 4 .
4.5. Fluks dan Curl F
a. Fluks Fluks: jumlah (neto) fluida yang meninggalkan D per satuan waktu dari medan vektor F yang menyeberangi kurva C ke arah luar .. Jika n vektor normal satuan yang tegak lurus terhadap D , maka Fluks yang menyeberangi C =
∫ F .n dS
n
C D D D C C
=
∫∫ div F dA =
∫∫[
D
D
∇ . F = Dimana
∂ M ∂ x
+
∂ M
∂ N ∂ y
∂x
+
∂ N ∂ y
] dA
b. Curl F Adalah Sirkulasi / kecenderungan fluida untuk berputar pada titik ( x0 , y0 ) . Jika Curl F = 0 pada D, maka aliran fluida dikatakan tidak
dapat berputar. Curl F =
∫ F .T dS = ∫∫ (Curl F ) . k dA = ∫∫[ C
D
i
Dimana CurlF= ∇ x F =
D
∂ N ∂x
−
∂ M ∂ y
] dA
j ∂
∂
∂ x
∂ y
M
=(
∂ N ∂ x
−
∂ M ∂ y
) k
N
Contoh:
1 1 F ( x , y ) yi x j adalah medan = − + Diketahui Medan vektor 2 2 kecepatan dari roda stabil yang berlawanan dengan arah jarum jam terhadap sumbu z..Hitunglah Fluks dan Sirkulasinya. Jawab: a. Fluks =
∫ F .n dS = ∫∫ div F dA = D C
b. Sirkulasi = Curl F =
∫ F .T dS = ∫∫ (Curl F ) . k dA = ∫∫ [ C
= Luas A.
∂ M ∂ N [ + ] dA = 0 ∫∫ ∂x ∂ y D
D
D
∂ N ∂x
−
∂ M ∂ y
] dA
