08 Integral Garis Dan Permukaan

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Integral Garis

[MA1124] KALKULUS II

Integral Garis 

Definisi Integral garis  Integral garis di bidang Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di bidang) x=x(t), y=y(t) ; a ≤ t ≤ b b maka f ( x, y) dS = f x ( t ), y( t )

C



a

Integral garis di ruang Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di ruang) x=x(t), y=y(t), z=z(t) ; a ≤ t ≤ b maka

∫ C

2/11/2010

x ' ( t ) + y' ( t ) dt

b

∫

f ( x, y, z) dS = f (x (t ), y( t ), z(t ))

(x' (t ))2 + (y' (t ))2 + (z' (t ))2 dt

a

[MA 1124] KALKULUS II

2

Integral Garis 

Definisi Integral garis  Integral garis di bidang Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di bidang) x=x(t), y=y(t) ; a ≤ t ≤ b b maka f ( x, y) dS = f x ( t ), y( t )

C



a

Integral garis di ruang Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di ruang) x=x(t), y=y(t), z=z(t) ; a ≤ t ≤ b maka

∫ C

2/11/2010

x ' ( t ) + y' ( t ) dt

b

∫

f ( x, y, z) dS = f (x (t ), y( t ), z(t ))

(x' (t ))2 + (y' (t ))2 + (z' (t ))2 dt

a


2

Sifat--sifat Sifat -sifat integral garis 1.

Jika C = C1UC2U … UCn, maka

A C1

C2

Cn B

∫ f (x, y) dS = ∫ f (x, y) dS + ∫ f (x, y) dS + ... + ∫ f (x, y) dS C

2.

C1

C2

Cn

Jika – C adalah adalah kurva C dengan dengan arah berlaw berlawanan anan denga C maka

∫ f (x, y) dS = −∫ f (x, y) dS −C

2/11/2010

C


3

Contoh 1.

Hitung

∫ ( x

3

+ y ) dS , C adalah kurva x =3 =3t ; y=t 3 ; 0≤t ≤1

C

Jawab. x’(t)=3; y’(t)=3t 2

∫ ( x

3

C

+ y ) dS =

1

∫ ((3t )

3

)

2

+ t 3 32 + (3t ) dt

0 1

= 28 t 9 + 9t dt 0 1

= 84∫ t 3 1 + t 4 dt 0

1

3 / 2   1 = 84 (1 + t 4 )   6  0

(

4 3 / 2

= 14 (1 + t 2/11/2010

)

)

1

(

)

= 14 2 2 − 1 0


4

Contoh 2.

Hitung

∫ (2 x ) dS , C adalah terdiri dari busur parabola C

y=x 2 dari (0,0) ke (1,1) diikuti oleh ruas garis vertikal dari (1,1) ke (1,2). (1,2) 2

C1

(1,1)

Jawab. 2.

, , , Persamaan parameter C1: misalkan x = t  y = t 2 1

0≤ t ≤1

x ’(t )=1 y ’(t )=2t

Sehingga 1

1

∫ (2 x ) dS = ∫ 2 t 1 + (2t ) dt = ∫ 2 t 1 + 4 t dt C 1

2/11/2010

0


2

2

0

5

Contoh (Lanjutan) Sehingga

1

∫ (2 x ) dS = ∫ 2 t 1 + 4 t dt 2

2

2 ( ) x dS 2 = + dt 2 0 1 ∫ ∫

0

C 1

1 1 2 2 3 / 2 = . (1 + 4 t ) 0 4 3 1 = (5 5 − 1)

Untuk C2: (1,1)



C 2

2

= 2 t 1 = 2(2 − 1) = 2

,

(1,2)

∫ (2 x ) dS = ∫ (2 x ) dS + ∫ (2 x ) dS 1 = (5 5 − 1) + 2

(berupa ruas garis) Persamaan parameter C1: misalkan x = 1  y = t x ’(t )=0 y ’(t )=1 2/11/2010

1

C

1≤ t ≤2 [MA 1124] KALKULUS II

C 1

C 2

6 1 = (5 5 + 11) 6

6

Latihan 1. Hitung ∫ (2 + x y )dS, C adalah setengah bagian atas C lingkaran lingkaran satuan x 2+y 2=1 2

2. Hitung ∫ (sin x + cos y) dS , C adalah ruas garis dari (0,0) C ke (π,2π) 3. Hitun 0≤t ≤1

2/11/2010

2x + 9z dS C adalah kurva x=t

2 z=t 3 =t

C


7

Kerja Misalkan F( x, y) = M( x, y)î + N( x, y)ˆj adalah gaya yang bekerja pada pada suatu titik (x,y) di bidang F Q T r(t) A r

Akan dicari: Berapa kerja (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan sebuah partikel menyelusuri kurva C dari A ke B? Misal r = xî + yˆj adalah vektor posisi Q(x,y) r

r

r

T=

dr

ds

vektor singgung satuan di Q r

r

T=

2/11/2010

dr

ds

r

=

d r dt dt ds

r

=

r ' (t)

r

r ' (t) [MA 1124] KALKULUS II

8

Kerja (2) r

r

r

r

Maka F.T = F T cos θ adalah komponen singgung F di Q Kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel sejauh ∆s adalah r

r

∆W = F.T ∆s

Kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan r

∫

r

r

∫

r

W = F.T ds = F. C

C

d r dt dt ds

∫

r

ds = F.d r

r

C

r

dx ˆ dy ˆ i + j ⇒ dr = dx î + dy jˆ dt dt dt Jadi, didapat W = M(x, y)î + N(x, y) jˆ . dx î + dy jˆ

diketahui

dr

=

r

∫ (

)(

)

C

= ∫ M( x, y) dx + N(x, y)dy C

2/11/2010


9

Kerja (3) Dengan cara yang sama untuk ˆ ˆ + P ( x , y , z )k F ( x , y , z ) = M ( x , y , z )ˆ i + N ( x , y , z ) j r

gaya yang bekerja pada suatu titik di ruang, maka W = ∫ M ( x , y , z ) dx + N ( x , y , z )dy + P ( x , y , z )dz C

2/11/2010


10

Contoh 1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya ˆ dalam memindahkan partikel F ( x , y ) = ( x 3 − y 3 )ˆ i + x 2y j r

sepanjang kurva C : x = t 2, y=t3 , -1 ≤t≤ 0 Jawab. Kerja yang dilakukan medan gaya F adalah ; dx = 2t dt , dy =3t 2 dt W = M dx + N dy C

= ( x 3 − y 3 )dx + x 2 y dy

∫

C

0

=

∫ ((t ) −1 0

2 3

3

)

2

− (t 3 ) 2t dt + t 2 (t 3 ) 3t 2dt 0

0

1 8 1 11 7 10 7 10 10 = t − t ( ) = t − t dt 2 ( ) = ∫ 2t − 2t + 3t dt ∫ 4 11 −1 −1 −1  1 1  − 7 = − − = 4 11   44 2/11/2010


11

Contoh ∫

2 2. Hitung integral garis ydx + x dy dengan kurva C : x = 2t, C y=t2-1 , 0 ≤t≤ 2

Jawab. Kerja yang dilakukan adalah ; dx = 2 dt , dy =2t dt W = ∫ y dx + x 2 dy C 2

2

t 2 − 1 2 dt + 2t 2t dt

= 0 2

2

16 2 − 4 + 32 = ∫ (2t 2 − 2 + 8t 3 ) dt = t 3 − 2t + 2t 4 = 3 3 0 0 16 100 = + 28 = 3 3

2/11/2010


12

Latihan 1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya ˆ ˆ + (y − z )k F ( x , y , z ) = (2 x − y )ˆ i + 2 z j r

dalam memindahkan partikel sepanjang C, dimana C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1) 2. Hitun inte ral

aris

dx + x 2 d

den an kurva C adalah ruas

C

garis dari (1,1) ke (3,-1) 2ˆ 2ˆ F.d r dengan F = xy i + xy j sepanjang 3. Hitung

∫

r

r

C

r

a. C = C1 U C2 b. C = C3

y C3

(3,5) C2

(0,2)

C1

(3,2) x

2/11/2010


13

Integral Garis Bebas Lintasan PENDAHULUAN Hitung F.d r dengan F = yî + x jˆ atas lintasan

∫

r

r

r

C

a. C garis y = x dari (0,0) ke (1,1) b. C garis y = x2 dari (0,0) ke (1,1) c. C garis y = x3 dari (0,0) ke (1,1) TEOREMA A: DASAR INTEGRAL GARIS Misalkan F( x, y) = M( x, y)î + N( x, y)ˆj dengan C adalah kurva mulus sepotong-potong dengan titik pangkal (x 0,y0) dan titik ujung (x1,y1). r

r

r

Jika F( x, y) = ∇f (x, y) maka

∫

r

F.d r = f ( x 1 , y1 ) − f ( x 0 , y 0 ) r

C

2/11/2010


14

Integral Garis Bebas Lintasan(2) r

r

r

Jika F( x, y) = ∇f ( x, y) makaF disebut gaya konservatif dan f(x,y) disebut fungsi potensial F r

r

∇f =

Contoh: = ˆ r

ˆ

,

F = yî + x jˆ = ∇f r

maka

∂f ˆ ∂f ˆ i+ j ∂x ∂y

r

∫

,

dengan fungsi potensial f = xy

r

F.d r = f (1,1) − f (0,0) = 1.1 − 0.0 = 1 r

C

Masalah: Bagaimana mengetahui bahwa F konservatif? (F(x,y)=gradien dari suatu fungsi f). Bagaimana memperoleh f(x,y) jika F(x,y) konservatif? 2/11/2010


15

Integral Garis Bebas Lintasan(3) ˆ DEFINISI: Misal F = M î + N jˆ + P k maka Curl F = rot F = ∇ x F r

r

r

=

r

î

jˆ

ˆ k

∂ ∂x

∂ ∂y

M

N

∂  ∂P ∂N ˆ  ∂M ∂P ˆ  ∂N ∂M  ˆ i +  k =  − −  j +  − ∂z y z z x x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂      

ˆ Misalkan F = M î + N jˆ + P k r

r

P

r

maka F konservatif jika dan hanya jika Curl F = rot F = 0 atau jika dan hanya jika r

r

∂N ∂M ∂P ∂N ∂M ∂P , , = = = ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x Khusus jika F = M î + N ˆj maka F konservatif jika dan hanya jika ∂N ∂M = ∂x ∂y r

2/11/2010

r


16

Contoh: ˆ i + (1 + 3 x 2 y 2 ) j 1. Diketahui F = 2 xy 3 ˆ a. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan f b. Hitung F .d r dengan C sebarang kurva dari (1,4) ke (3,1) r

∫

r

r

C

Jawab. r

a. (i) F Konservatif M=2 xy 3

⇒

N=1+3 x 2y 2

⇒

∂ M ∂ N = ∂ y ∂ x

⇔

∂ = 6 xy 2 ∂ y ∂ N = 6 x y 2 ∂ x

∂ M ∂ N = ∂ y ∂ x

r

Jadi F Konservatif ∂ f ˆ ˆ = ∂ f ˆ (ii) F = 2 xy 3 ˆ i + (1 + 3 x 2 y 2 ) j i + j = ∇ f r

r

∂ x

∂ f = 2 x y 3 ……. (1) ∂ x 2/11/2010


∂ y

∂ f = 1 + 3 x 2 y 2 ……. (2) ∂ y 17

Contoh (Lanjutan) Integralkan (1) terhadap x, diperoleh f ( x , y ) =

∫ 2 x y

3

dx

f ( x , y ) = x 2 y 3 + C ( y ) ……. (3)

Turunkan (3) terhadap y, diperoleh ∂ y

= 3 x 2 y 2 + C ' ( y )

……. (4)

Dari (2) dan (4), diperoleh ∂ f = 3 x 2 y 2 + C ' ( y ) = 1 + 3 x 2 y 2 ∂ y C ' ( y ) = 1 C ( y ) = y + C

Jadi fungsi potensialnya adalah f ( x , y ) = x 2y 3 + y + C 2/11/2010


18

Contoh (Lanjutan) b.

∫ C

( 3 ,1 ) r

F .d r = r

3 2 2 ( ) dy x y dx x y 2 1 3 + + ∫

(1 , 4 )

= f ( 3 , 1 ) − f (1 , 4 )

, f ( x , y ) = x 2y 3 + y + C

= (3 2. 1 3 + 1 ) − (1 2. 4 3 + 4 ) = 10 − 68 = − 58

2/11/2010


19

Contoh ˆ ˆ + xy k 2. Diketahui F ( x , y , z ) = (e x cos y + yz )î + ( xz − e x sin y ) j r

a. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan f b. Hitung ∫ F .d r dengan C sebarang kurva dari (0,0,0)ke (1,0,1) r

r

C

Jawab. a. (i) F Konservatif r

⇔

∂ M

=

∂ N

,

∂ P

=

∂ M

,

∂ P

=

∂ N

∂ M ∂ M x = y = − e sin y + z ⇒ z ∂ ∂ y ∂ N ∂ N N=xz – ex siny ⇒ = x = − e x sin y + z ∂ z ∂ x ∂ P ∂ P P=xy = x ⇒ = y ∂ y ∂ x ∂ P ∂ M ∂ P ∂ N = = , Sehingga diperoleh, bahwa ∂ M = ∂ N , ∂ z ∂ y ∂ z ∂ y ∂ x ∂ x

M=e x cosy+yz

r

Jadi F Konservatif 2/11/2010


20

Contoh (lanjutan) ∂f ˆ ∂f ˆ ˆ= ∂f ˆ ˆ + xy k (ii) F = (e x cos y + yz )ˆ i + ( xz − e x sin y ) j i + j + k = ∇ f r

r

∂ x

∂f = e x cos y + yz ……. (1) ∂ x ∂f ……. (3) = x y ∂ z

Inte ralkan 1 terhada f ( x , y , z ) =

∫ (e

x

∂y

∂y

∂f = xz − e x sin y ……. (2) ∂y

x di eroleh

cos y + yz ) dx

f ( x , y , z ) = e x cos y + xyz + C (y , z ) ……. (4)

Turunkan (4) terhadap y, diperoleh ∂f = −e x sin y + xz + C y (y , z ) ……. (5) ∂y

2/11/2010


21

Contoh (Lanjutan) Dari (2) dan (5), diperoleh ∂f = −e x sin y + xz + C y (y , z ) = xz − e x sin y ∂y C y ( y , z ) = 0 C ( y , z ) = C ( z ) ……. (6)

, f ( x , y , z ) = e x cos y + xyz + C ( z ) ……. (7)

Turunkan (7) terhadap z, diperoleh ∂f = xy + C ' (z ) ……. (8) ∂ z

Dari (3) dan (8), diperoleh ∂f = xy + C ' ( z ) = xy ∂y C ' ( z ) = 0 C ( z ) = C ……. (9) 2/11/2010


22

Contoh (Lanjutan) Masukan (9) ke (7), diperoleh f ( x , y , z ) = e x cos y + xyz + C

Jadi fungsi potensialnya adalah f ( x , y , z ) = e x cos y + xyz + C (1,0,1) r

.

. C

r

=

−

(0,0,0)

= f (1 , 0 ,1 ) − f ( 0 , 0 ,0 )

, f ( x , y , z ) = e x cos y + xyz + C

= e 1 cos 0 + 1 . 0 . 1 − e 0 cos 0 + 0 = e −1

2/11/2010


23

Penyataan berikut ekivalen 1. F = ∇ f untuk suatu f (F konservatif) r

r

∫ bebas lintasan 3. ∫ F .d r = 0 r

2.

r

F .d r

C

r

r

C

Sudah Jelas???

2/11/2010


24

Latihan Tentukan apakah F konservatif? Jika ya, tentukan f (F = ∇f ) 4. F = (2e y − yex )î + (2xe y − e x ) jˆ 1. F = (10x − 7 y )î − (7 x − 2y ) jˆ r

r

r

r

2.

ˆ 5. F = (2xy + z 2 )î + x 2 jˆ + (2xz + π cos πz )k r

F = (12x + 3y + 5y )î + (6xy − 3y 2 + 5x ) jˆ r

2

2

3. F = (4 y 2 cos(xy 2 ) )î + (8x cos(xy 2 ) ) jˆ r

( π ,π , 0 )

( 3,1)

6.

∫ (y

2

+ 2xy )dx + (x 2 + 2xy )dy

∫ (cos x + 2yz)dx + (sin y + 2xz)dy + (z + 2xy)dz

( 0,0 ,0 )

( −1, 2 )

(1,1, 4 )

(1,π ) 2

7.

9.

∫ (e sin y)dx + (e x

x

cos y )dy

∫

10. (yz − e −x )dx + (xz + e y )dy + (xy)dz ( 0 , 0, 0 )

(0,0)

∫

(3x 2 − 6yz)dx + (2y + 3xz)dy + (1 − 4xyz2 )dz 11. 8. (6xy + 2z )dx + (9x y )dy + (4xz + 1)dz C (1,1,1)

∫

3

( 0 ,0,0)

2/11/2010

2

2

2

C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1)


25

Teorema Green di Bidang 

y

C4

Misalkan C kurva mulus sepotong-potong, tertutup sederhana yang membentuk batas dari suatu daerah di bidang XOY. Jika M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan kontinu pada S dan batasnya C maka  ∂ N ∂ M  = − ∂ x ∂ y  C S  Bukti. C = C1 U C2 U C3 U C4 Perhatikan S = {(x,y)|a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)} C3 y=f(x) S C1

a

2/11/2010

C2

∫ M dx = ∫ M dx + ∫ M dx + ∫ M dx + ∫ M dx C

C1 b

C2

C3 a

C4

b b  M dx = M ( x , g ( x )) dx + M ( x , f ( x )) dx = − M ( x , f ( x )) dx − M ( x , g ( x )) dx   y=g(x)   C a b f ( x ) b a a b f ( x )   ∂ M ( x , y) ∂M x b M dx = −  dydx = − dA ∂ y ∂ y   C a g(x)  a g(x) 

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫


26

Teorema Green di Bidang Sama halnya dengan memperlakukan S sebagai himpunan x sederhana, kita peroleh

∫

N dy =

C

∂N dA ∂x

∫∫ S

Sehingga diperoleh S

2/11/2010

 ∂ x − ∂ y dA = M dx + N dy   C


27

Contoh Hitung

∫

2

y dx + 4xydy

dengan C adalah kurva tertutup yang terdiri

C

dari busur parabola y = x2 dari titik asal (2,4) dan segmen garis (2,4) ke titik (0,0) Jawab. Akan kita coba mengerjakan dengan dua cara, yaitu dengan Integral garis biasa dan teorema Green 1. Integral garis Untuk C1: (0,0)  (2,4) , berupa busur y = x2. Persamaan parameter C1: misalkan x = t  y = t 2 (2,4) 0≤ t ≤2 x ’(t )=1 y ’(t )=2t C 2

Sehingga

C1 (0,0)

2/11/2010

2

2 2

∫ y dx + 4 xy dy = ∫ (t ) 2

C 1

2

dt + 4.t .t 2.2t dt =

0 [MA 1124] KALKULUS II

∫ (t

4

+ 8 t 4 ) dt

0 28

Contoh (Lanjutan) 2

2

288 9 = ∫ 9 t dt = t 5 = 5 5 0 0 4

Untuk C2: (2,4)

(0,0) (berupa ruas garis) Persamaan parameter C2: misalkan ,

=



,

,

-

x = 2 – 2t, y = 4 – 4t

Sehingga

1

, ⇒ x ’(t )=-2 , y ’(t )=-4

0≤ t ≤1

∫ y dx + 4 xy dy = ∫ (4 − 4t ) (− 2)dt + 4(2 − 2t )(4 − 4t )(− 4)dt 2

2

C 2

0

1

= − ∫ (160 − 320t + 160t 2 )dt 0

2/11/2010


29

Contoh (lanjutan) 1

∫ y dx + 4 xy dy = −∫ (160 − 320t + 160t )dt 2

2

C 2

0

1

  160 =− 3

= − 160 t −

,

320 2 160 3  t + t  2 3  0

2 y ∫ dx + 4 xy dy =

2 y ∫ dx + 4 xy dy +

C

C 1

2 y ∫ dx + 4 xy dy C 2

288 160 − 5 3 64 = 15

=

2/11/2010


30

Contoh (Lanjutan) 2. Teorema Green. 2 y ∫ dx + 4 xy dy =

y

C

2 2 x

(2,4)

4

=

y=2x

∫ ∫ (4y − 2y ) dy dx 0 x 2 2

S

= ∫ y 2

y=x2

(0,0)

 ∂ N ∂ M   dA − ∫∫ ∂ x ∂ y  S 

2

0 2

x

x 2

dx

∫

= 4 x 2 − x 4 dx 0

Dengan: M=y2

⇒

N=4 yx

⇒

∂ M = 2 y ∂ y ∂ N = 4 y ∂ x

2

4 1 32 32 64 = x 3 − x 5 = − = 3 5 0 3 5 15

S={( x,y )| 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 2x} 2/11/2010


31

Latihan 1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya F( x, y) = (sin x − y)î + (e y − x 2 ) jˆ dalam menggerakkan suatu obyek mengitari satu kali x 2 + y2 = 4 dalam arah positif. r

∫

2. Hitung

2

2xy dx + y dy

dengan C kurva tertutup yang terbentuk

C

oleh y = x/2 dan x = y2 antara (0,0) dan (4,2) -

. C

(0,0), (2,0), dan (0,1) 4. Hitung

∫

(e 3x + 2 y) dx + ( x 2 + sin y) dy

dengan C persegipanjang yg titik

C

titik sudutnya (2,1), (6,1), (6,4) dan (2,4) 2 2 5. Hitung (x + 4x y) dx + (2x + 3y) dy dengan C ellips

∫ C

9x2 2/11/2010

+ 16 y2 = 144 [MA 1124] KALKULUS II

32

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Integral Permukaan

[MA1124] KALKULUS II

G Gi

Luas Permukaan

c

d

a

R

b 

Ri

Misalkan diketahui partisi permukaan G berupa grafik z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z ∆Ti

ˆ ∇F. k r

∆Si

k

cos γ i =

∇F

γ γ

,

ˆ dengan ∇F = f x î + f y jˆ − k

−1

cos γ i =

∆Ri γ γ

ˆ ∇F k r

r

f x2 + f y2 + 1

=

1 f x2 + f y2 + 1

sec γ i = f x2 + f y2 + 1

∆Si~ ∆Ti = ∆Ri sec γ i ∆Si = luas Gi dan ∆Ri = luas Ri = ∆xi∆yi ∆Ti = luas bidang singgung yang

Jadi ∆Si = f x2 + f y2 + 1 ∆R i

terletak diatas Ri γ i = sudut antara Ri dan Ti

∫∫ ∫∫

Luas Permukaan G adalah dS =

G

2/11/2010


f x2 + f y2 + 1 dA

R

34

Contoh Hitung luas permukaan G : z = x2 + y2 dibawah bidang z=4 Jawab. Bagian G yang dimaksud diproyeksikan pada daerah S (daerah yang dibatasi oleh lingkaran x2+y2=4).

Z

z=4

G

x2+y2=4

S

x

y

Misalkan f ( x,y )= x 2+y 2. Maka didapat f x, f y =2y x = 2 Sehingga luas permukaan G adalah

∫∫ dS = G

∫∫

2

2

f x + f y + 1 dA =

S

∫∫

4 x 2 + 4y 2 + 1 dA

S

dengan S={( x,y )| -2≤ x ≤ 2, − 4 − x 2≤y ≤ 4 − x 2 } 2/11/2010


35

Contoh (Lanjutan) Dengan koordinat polar, batasan S berubah menjadi S={(r,θ )|0 ≤ r ≤ 2, 0≤

θ

≤ 2π }

Jadi

∫∫ dS = ∫∫ G

4 x 2 + 4y 2 + 1 dA

S π

=

∫ ∫

4r 2 + 1 r dr d θ

0 0 2π

2 3 / 2 1 2 2 = ∫ . (4r + 1) d θ 0 8 3 0

=

2/11/2010

π 2π 1 ( 17 17 − 1).θ 0 = (17 17 − 1) 6 12


36

Latihan Luas Permukaan 1. Hitung luas permukaan G : z = x 2 + y2 dibawah bidang z =4 2. Hitung luas permukaan G : z = 4 − y 2 yang tepat berada di atas persegi panjang dengan titik sudut (1,0),(2,0), (2,1),(1,1) .

= I yang dipotong oleh bidang x =2, y = 1, y = 3

4. Hitung luas permukaan G : silinder z2 + y2 = 9 di oktan I antara y =x, y = 3x

2/11/2010


37

Integral Permukaan Misalkan g(x,y,z) terdefinisi pada permukaan G Misalkan permukaan G berupa grafik z G z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z -Misalkan R proyeksi G pada bidang (x , y , z ) Gi XOY 

i

i

i

-Partisi R menjadi n bagian; R1, R2,…,Rn

c

a (x i , y i )

b x

dy R

-

i

,

i

i

,

i

,

i

i

(partisi G yang bersesuaian dgn R) -Bentuk jumlah riemann n

∑ g(x , y , z )∆G , i

Ri

i

i

i

i

dengan ∆G i =luas G i

i=1

Integral permukaan dari g atas G=f(x,y) adalah n

∫∫ g(x, y, z) dS = lim ∑ g(x , y , z )∆G ∫∫ g(x, y, z) dS = ∫∫ g(x, y, z) f + f + 1 dA P →0

atau 2/11/2010

G

G


R

i

i

i

i

i=1

2

2

x

y

38

Integral Permukaan (2) Dengan cara yang sama diperoleh 1. Jika permukaan G berupa grafik x = f(y,z), (y,z)∈ R (Proyeksi G pada bidang YOZ), maka

∫∫

g( x, y, z) dS =

G

.

∫∫

g(f ( y, z), y, z) 1 + f y2 + f z2 dA

R

a permu aan erupa gra y = x,z , x,z ∈ (Proyeksi G pada bidang XOZ), maka

∫∫ g(x, y, z) dS = ∫∫ g(x, f (x, z), z) G

2/11/2010

f x2 + 1 + f z2 dA

R


39

Contoh 1. Hitung Jawab. z =

∫∫

z dS

, G adalah permukaan z = 4 − x 2 − y 2

G

4 − x 2 − y 2

⇒

z 2 = 4 − x 2 − y 2

z 2 + x 2 + y 2 = 4

G bagian atas kulit bola dengan jari-jari 2. R (proyeksi G pada XOY) berupa lingkaran x2+y2=4. G Kita punya z = 4 − x 2 − y 2 , maka −1 / 2 1 − x y 2 f x = (4 − x 2 − y 2 ) . − 2 x = x2+y2=4 2 2 4 − x 2 − y 2 x −1 / 2 − y 1 f y = (4 − x 2 − y 2 ) . − 2y = 2 4 − x 2 − y 2 4 − x 2 − y 2 4 x 2 y 2 2 2 + + = f x + f x + 1 = 4 − x 2 − y 2 4 − x 2 − y 2 4 − x 2 − y 2 4 − x 2 − y 2 Z

R

2/11/2010

2


40

Contoh (lanjutan) Jadi

∫∫ z dS = G

∫∫ z f x + f y + 1 dA 2

2

R

=

∫∫

4 − x 2 − y 2

R

=2

4 dA 2 2 4 − x − y

dA R

dimana daerah R={(r,θ )|0 ≤ r ≤ 2, 0≤

θ

≤ 2π }, sehingga

∫∫ z dS = 2∫∫ dA G

R 2π 2

= 2 ∫ ∫ r dr d θ = 8π 0 0

2/11/2010


41

08 Integral Garis Dan Permukaan

Recommend Documents