INTEGRAL BIASA DARI VEKTOR
Misalkan skalar tunggal u, dimana Maka,
sebuahvektor yang bergantung pada variabel kontinu dalam suatu selang yang ditentukan.
Disebut integral tak tentu dari R (u). Bila terdapat sebuah vektor S(u) sehingga
()
maka maka :
()
Dimana c adalah vektor konstan sebarang yang tak tergantung pada u. Integral tentu antara limit-limit u = a dan u = b dalam hal demikian dapat ditulis
() Integral ini dapat juga didefenisikan sebagai limit dari jumlah dalam cara yang analog dengan yang pada kalkulus integral elementer.
Contoh 1:
∫ ∫ ∫[ ] ∫ ∫ ∫
Jika R(u) = (u – (u – u u2)i + 2u3 j -3k, carilah Penyelesaian:
Dimana c adalah vektor konstan
.
1|Integral Garis
Contoh 2:
Hitunglah
∫ ∫ ∫
Dengan mengintegrasi, Contoh 3:
Jika
∫
Carilah
Penyelesaian:
∫ ∫ ∫
Misalkan,
Maka,
INTEGRAL GARIS
Misalkan r(u) = x (u) i + y (u) j + z (u)k, dimana r(u) adalah vektor posisi dari (x, y, z) mendefenisikan sebuah kurva C yang menghubungkan titik-titik P 1 dan P 2, dimana u = u 1 dan u = u2 untuk masing-masingnya. Kita menganggap bahwa C tersusun dari sejumlah berhingga kurva-kurva dimana untuk masing-masingnya r(u) memiliki turunan yang kontinu.
Misalkan sebuah fungsi vektor dari posisi yang didefenisikan dan kontinu sepanjang C. Maka integral dari komponen tangensial A sepanjang C dari P 1 ke P2, ditulis sebagai 2|Integral Garis
Adalah contoh dari integral garis. Jika A adalah gaya F pada sebuah partikel yang bergerak sepanjang C, maka integral garis ini menyatakan usaha yang dilakukan oleh gaya. Jika C adalah kurva tertutup (yang mana kita anggap sebagai kurva tertutup sederhana, yakni kurva yang memotong dirinya sendiri), maka integral mengelilingi C sering ditunjukkan oleh
Dengan kata lain jika ada garis lurus yang menghubungkan maka integral yang mengelilingi C dapat ditunjukkan oleh:
ke (x, y, z)
Dalam aerodinamika dan mekanika fluida, integral ini disebut sirkulasi dari A mengelilingi C, di mana A menyatakan kecepatan dari fluida. Pada umumnya, setiap integral yang dihitung sepanjang sebuah kurva disebut integral garis. Integral-integral demikian dapat didefenisikan dari segi pandangan limit-limit dari jumlah-jumlah seperti halnya integral-integral kalkulus elementer.
Contoh 4:
Jika A =
, hitunglah
∫
dari (0, 0, 0) ke (1, 1, 1)
sepanjang lintasan-lintasan C garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (1, 1, 1).
[ ] Penyelesaian: Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (1, 1, 1) dalam bentuk parametrik diberikan oleh x=t, y=t, z=t. Maka,
3|Integral Garis
Contoh 5:
Jika A =
, hitunglah
∫
dari (0, 0, 0) ke (1, 1, 1)
sepanjang lintasan-lintasan C garis-garis lurus dari (1, 0, 0), kemudian (1, 1, 0) dan kemudian ke (1, 1, 1) Penyelesaian:
[ ] Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) ke (1, 0, 0) y = 0, z = 0, dy = 0 sedangkan x berubah dari 0 hingga 1, maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah
|
Sepanjang garis lurus dari (1, 0, 0) ke (1, 1, 0), x = 1, z = 0, dx = 0, dz = 0, sedangkan y berubah dari 0 hingga 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah
Sepanjang garis lurus dari (1, 1, 0) ke (1, 1, 1) x = 1, y = 1, dx = 0, dy = 0 sedangkan z berubah dari 0 hingga 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah
| Jumlahkan, ∫ TEOREMA
Jika A =
pada semua titik dalam suatu daerah R dari ruang, yang didefenisikan oleh
, dimana turunan-turuna yang kontinu dalam R, maka
berharga tunggal dan memiliki
4|Integral Garis
1.
∫ ∮
tidak bergantung pada lintasan C dalam R yang menghubungkan P 1 dan
P2
2.
mengelilingi setiap kurva tertutup C dalam R
Dalam hal demikian A disebut medan vektor konservatif dan
adalah potensial skalarnya.
Sebuah medan vektor A adalah konservatife jika dan hanya jika , atau juga ekivalen dengan A = . Dalam hal demikian, A . dr = A 1 dx + A 2 dy + A 3 dz = d , suatu diferensial eksak.
SOAL-SOAL
1. Dari Percepatan sebuah partikel pada setiap saat t ≥ 0 diberikan oleh
Jika kecepatan v dan pergeseran r adalah 0 pada t = 0, carilah v dan r pada setiap saat. Penyelesaian: Dengan mengintegrasi,
∫ ∫ ∫ = 6 sin 2t i – 4 cos 2t j +
Dengan mengambil v = 0 bila t = 0, kita peroleh 0 = 0i + 4j + 0k + c 1 dan c 1 = -4j. Maka v = 6 sin 2t i + (4 cos 2t – 4) + 8t2k Sehingga,
∫ ∫ ∫ ∫
Dengan mengintegrasi,
Dengan mengambil r = 0 apabila t = 0, 0 = -3i + 0j + 0k + c 2 dan c2 = 3i Maka, t = (3 – 3 cos 2t)i + (2 sin 2t – 4t)j + 2.
Jika A =
1) sepanjang lintasan-lintasan C x = t, y =
, hitunglah
dari (0, 0, 0) ke (1, 1,
,z=
Penyelesaian:
[ ]
Jika x = t, y = , z = , titik-titik (0, 0, 0) dan (1, 1, 1) masing-masingnya berhubungan dengan t = 0 dan t = 1, maka
5|Integral Garis
∫ [ ] ∫ ∫ |
3. Jika F= , dimana berharga tunggal dan memiliki turunan-turunan parsial yang kontinu, perlihatkan bahwa usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel dari suatu titik dalam medan ini ketitik lainnya tidak bergantung pada lintasan yang menghubungkan kedua buah titik. Penyelesaian:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Usaha yang dilakukan =
Jadi, integral hanya bergantung pada titik-titik menghubungkan mereka. Ini hanyalah benar jika semua titik-titik .
dan tidak pada lintasan yang berharga tunggal pada
6|Integral Garis
DAFTAR PUSTAKA
Purcel, Edwin J. 2003. Kalkulus Jilid 2. Jakarta : Erlangga Spiegel, Murray R. 1988. Analisis Vektor . Jakarta : Erlangga Stewart, James. 1998. Kalkulus Jilid 2. Jakarta : Erlangga http://www.docstoc.com/docs/56602798/analis_vektor
7|Integral Garis