GEOMETRI Fraktal

GEOMETRI FRAKTAL A.

Pendahuluan

Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku fraktal. Kata fraktal pertama kali dicetuskan oleh Mandelbrot pada tahun 1975 ketika makalahnya yang  berjudul ! A ! A Theory of Fractal Set  !  ! dipublikasikan. "ahasa #nggris dari fraktal adalah fractal  adalah fractal . $edangkan akar kata fraktal berasal dari kata latin frangere latin frangere yang  yang berarti terbelah menjadi fragmen-fragmen yang tidak teratur. %raktal adalah bentuk apa saja yang jikalau bagian-bagian dari bentuk itu diperbesar akan terkuak rincian yang sebanyak-banyaknya seperti bagian fraktal keseluruhannya. "erbeda dengan garis lurus yang biasa kita gambar fraktal tidaklah mudah dibuat dengan goresan tangan. "erbagai jenis fraktal pada a&alnya dipelajari sebagai benda-benda matematis. 'da banyak  bentuk matematis yang merupakan fraktal antara lain Sierpinski triangle triangle Koch snowflake snowflake  Peano curve curve Mandelbrot set  dan Lorenz dan Lorenz attractor  %raktal juga banyak menggambarkan objekobjek di dunia nyata seperti a&an pegunungan turbulensi dan garis pantai yang mempunyai  bentuk geometri yang rumit. $ecara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidak halus) merupakan bentuk yang tidak  berdasarkan linearitas jadi bukan termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional. %raktal memiliki detil yang tak hingga dan dapat memiliki struktur serupa diri pada diri pada tingkat  perbesaran yang berbeda. *ada banyak kasus sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola biasanya dalam proses rekursif  atau  atau iteratif . %raktal bisa membantu menjelaskan banyak situasi yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalam sains sains teknologi teknologi dan seni karya komputer . Karena keindahannya fraktal banyak dipakai dalam co!puter graphics untuk graphics untuk menciptakan bentuk-bentuk yang alami bahkan menakjubkan. Keberadaan geometri fraktal menunjukkan bah&a matematika bukanlah subjek yang kering dan datar tetapi merupakan suatu subjek yang indah dan dapat menghasilkan karya-karya yang memiliki citra seni dan nilai intelektual yang tinggi. $ebagaimana yang dikatakan oleh "arnsley (199+,1) seorang seorang pakar fraktal yang terkenal saat ini bah&a geometri fraktal merupakan bahasa  baru. "egitu terucapkan kita dapat menggambarkan a&an sama persisnya seperti seorang arsitek  dapat menggambarkan rumah. B.

Sejarah Geometri Fraktal

"enda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum kata fraktal muncul. "erbagai jenis fraktal pada a&alnya dipelajari sebagai benda-benda matematis. $ebelum Mandelbrot memperkenalkan istilah fraktal nama umum untuk struktur semacamnya (misalnya bunga salju koch) adalah kura monster. $elanjutnya ide-ide konsepsual fraktal

muncul saat definisi-definisi tradisional geometri uclid dan kalkulus gagal melakukan berbagai  pengukuran pada benda-benda monster tersebut. $adar atau tidak selama ini telah tertanam pengertian geometri dari suatu bentuk berdasarkan gagasan yang dicetuskan oleh uclid dari 'le/andria (+00 $M) dan escartes dari *erancis (permulaan abad 12). uclid membuat aksioma bah&a garis adalah 3panjang yang tak bertebal3. ari aksioma ini kemudian dapat dibuat aturan -aturan logika konsisten yang dapat menerangkan tentang titik garis lurus dan bentuk-bentuk sederhana. escartes memajukan gagasan bah&a alam raya ini seharusnya dapat diukur melalui tiga buah garis yang tegak lurus satu sama lain. engan tiga garis lurus ini lokasi benda apa saja dapat diketahui dengan tepat. $ebagai konsekuensinya semua benda dapat dilihat sebagai suatu susunan raksasa dari kubus-kubus yang sangat kecil. Gagasan ini telah membentuk suatu pandangan ilmiah modern mengenai dunia. "erdasarkan kesimpulan logis dari pandangan di atas $ir #saac 4e&ton dan "aron Gottfried on eibnit6 menemukan kalkulus diferensial. alam diferensial kalkulus semua bentuk len gkung atau kura berubah menjadi lurus sehingga persamaan linier dapat digunakan untuk kura. eibnit6 mengajukan gagasan bah&a semua kura terdiri dari segmen-segmen yang kecil tidak  berhingga yang disebutnya sebagai 3garis-garis tangen atau diferensial 3. ika sisi suatu kura diperbesar akan semakin terlihat seperti sebuah garis lurus. Kalkulus memberikan suatu 3limit3 untuk proses pembesaran ini yaitu , kura akan menyerupai garis lurus pada perbesaran yang tidak hingga. 8ingga saat ini semua orang menggunakan teknik  3diferensiasi3 dan kebalikannya yaitu integrasi3 untuk merumuskan dan memahami kejadian alam. :alaupun tidak diketahui apakah gagasan eibnit6 itu benar semua orang tetap bersandar dan percaya bah&a sebuah kura tidak lebih dan tidak bukan terdiri dari sejumlah tak berhingga segmen-segmen garis lurus. *encarian kebenaran akan hal ini terus memperdebatkan antara 3limit3 ketika perbesaran 3 mendekati tidak berhingga dan apa yang terjadi ketika terjadi  perbesaran yang tak berhingga. *ada tahun 1;7< Karl =heodor :ilhelm :eierstrass seorang jenius jerman menemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak terdiferensiasi di manapun-grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal di masa sekarang. *erdebatan dimulai ketika pada tahun 1;75 ketika Karl :eirstrass menjelaskan bah&a kura kontinyu tidak dapat dideferensiasi dengan demikian jelas tidak ada g aris-garis tangen. Memasuki abad berikutnya sejumlah kura-kura aneh tiba-tiba muncul ke permukaan. :acla& $ierpinski matematika&an polandia membuat sebuah segitiga sama sisi yang k emudian dibaginya menjadi empat belahan berukuran sama. engan cara yang sama $ierpinski meneruskan pembagian tersebut untuk segitiga-segitiga lain yang lebih kecil. "entuk yang sangat terkenal ini dinamakan orang segitiga $ierspinski. ika pembagian dilanjutkan hingga jumlah yang tak hingga maka sulit untuk membayangkan bentuk detilnya &alau tidak ada satupun hukum-hukum matmatika yang dilanggar. >ang jelas jika salah satu bagian yang gelap diambil dan kemudian diperbesar mendekati tak berhingga maka akan didapatkan bentuk segitiga seperti  bentuk keseluruhanya. $egitiga $ierspinski mungkin adalah bentuk dari 3pra-fraktal3 pertama yang paling terkenal.

$egitiga $ierpinski suatu fraktal bisa dipecah menjadi tiga segitiga $ierpinski (masing-masing diberi &arna berbeda).

?ara lain untuk membuat segitiga $ierspinski adalah dengan mula-mula membuat segitiga yang  berisi kemudian segitiga ini dilubangi di tengah-tengahnya dan di ketiga bagian sudut-sudutnya dengan segitiga yang berukuran lebih kecil. $elanjutnya proses pelubangan yang sama untuk setiap sisa segitiga yang masih berisi diulangi terus hingga jumlah yang tak berhingga. $ehingga akan diperoleh segitiga yang sama yang dikenal dengan nama Gasket $ierspinski. $ierspinski mempertanyakan apakah luas yang ditutupi oleh bentuk tersebut nol atau tidak. #nilah teka-teki yang membingungkan yang mirip dengan ketidakpastian eibnit6 akan gagasannya sendiri tentang kura yang menjadi garis lurus pada perbesaran mendekati tak berhingga. alam setiap langkah hanya @ dari luas daerah berisi saja yang diambil dan A bagian sisanya atau sebagian besar masih tetap berisi. "erapapun banyaknya proses pelubangan yang dilakukan akan tetap didapatkan luas daerah berisi yang lebih besar dari luas yang diambil setiap kalinya. adi luas bentuk ini tidak akan pernah mencapai nol. i tahun 190B 8elge on Koch tidak puas dengan definisi :eierstrass yang sangat abstrak dan analitis memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip. #a menemukan  bentuk yang terkenal dengan Garis *antai Koch. Koch memulai pembentukan garis pantai matematisnya dengan sebuah garis kemudian di atas garis tersebut dibangun sebuh segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1C+ dari garis yang pe rtama. Kemudian pada setiap segmen garis dibangun lagi segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1C+ dari segment garis. *roses ini dilakukan terus hingga kepengulangan yang tidak berhingga. Masih terdapat lagi bentuk-bentuk geometri aneh misalnya ebu ?antor %ournierss Multinuierse dan eil $taircase dan lain-lain. $emua bentuk-ben tuk tersebut pada dasarnya mempertanyakan gagasan uclid dan escartes. "entuk-bentuk tersebut adalah bentuk yang sekarang dikenal dengan nama geometri fraktal. #de mengenai kura-kura serupa diri dikembangkan lebih jauh oleh *aul *ierre Dy yang mengenalkan kura fraktal baru bernama kura Dy ? dalam tulisannya pada tahun 19+;  berjudul Plane or Space "urves and Surfaces "onsisting of Parts Si!ilar to the #hole. Georg ?antor  memberi contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan sifat yang tidak &ajar-himpunan ?antor  tersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal. %ungsi teriterasi di bidang kompleks telah diselidiki pada akhir abad 19 dan a&al abad <0 oleh 8enri *oincarD %eli/ Klein *ierre %atou dan Gaston ulia. 4amun tanpa bantuan grafika komputer modern mereka tidak dapat melihat keindahan isual benda-benda yang mereka temukan. alam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan ?antormatematika&an seperti ?onstantin ?arathDodory dan %eli/ 8ausdorff  menggeneralisasi konsep intuitif dimensi agar memungkinkan nilai nonbulat. #ni termasuk bagian dari gerakan di pertengahan a&al abad kedua puluh yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif  yaitu kelanjutan dari arah

riset ?antor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik pada ruang uclid. efinisi dimensi 8ausdorff  secara alami adalah geometris &alaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis. *endekatan ini digunakan oleh beberapa orang termasuk "esicoitch yang berbeda dengan inestigasi logis yang membangun sebagian besar teori himpunan deskriptif masa 19<0an dan 19+0-an. Kedua bidang tersebut ditelusuri selama beberapa &aktu setelahnya terutama oleh para spesialis. C.

Kontriu!i Mandelrot

Beno"t B. Mandelrot (lahir di :arsa&a *olandia <0 4oember 19ahudi namun kemudian bermigrasi ke *erancis. *ada tahun 1920-an "enot Mandelbrot mulai menyelidiki keserupa dirian dalam berbagai tulisannya seperti $ow Long %s the "oast of &ritain' Statistical Self(Si!ilarity and Fractional  )i!ension. *enyelidikannya merupakan pengembangan dari penelitian e&is %ry Hichardson. engan pendekatan yang sangat isual Mandelbrot mendapatkan hubungan dari berbagai topik matematika yang sebelumnya tidak berkaitan. *ada tahun 1975 Mandelbrot menggunakan kata  fractal  untuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak memiliki dimensi yang jelas. ia menurunkan kata fractal  dari kata atin fractus yang artinya !patah3 !rusak3 atau !tidak teratur3. Kata fractal  bukan diturunkan dari kata fractional  (pecahan) seperti yang dipercaya  banyak orang. Kata fractional  sendiri juga diturunkan dari fractus. $etelah isualisasi komputer diaplikasikan pada geometri fraktal dapat disajikan argumenargumen isual nan ampuh untuk menunjukkan bah&a geometri fraktal menghubungkan banyak  bidang matematika dan sains jauh lebih besar dan luas dari yang sebelumnya diperkirakan. "idang-bidang yang terhubungkan oleh geometri fraktal terutama adalah dinamika nonlinier  teori chaos dan kompleksitas. $alah satu contoh adalah menggambar metode 4e&ton sebagai fraktal yang ternyata menunjukkan bah&a batas antara penyelesaian yang berbeda adalah fraktal dan penyelesaiannya sendiri adalah atraktor aneh. Geometri fraktal juga telah digunakan untuk kompresi data dan memodel sistem geologis dan organis yang kompleks seperti pertumbuhan  pohon dan perkembangan lembah sungai. #.

#e$ini!i Fraktal

Karakteristik fraktal &alaupun mudah dimengerti secara intuitif ternyata sangat susah untuk dibuat definisi matematisnya. =erdapat beberapa definisi fraktal beberapa definisi diantaranya memakai ketentuan matematik dan statistik yang sukar dimengerti pe mbaca a&am. Mandelbrot mendefinisikan fraktal sebagai !himpunan yang dimensi 8ausdorff "esicoitchnya lebih besar

dari dimensi topologisnya!. Intuk fraktal yang serupa diri secara persis dimensi 8ausdorffnya sama dengan dimensi Minko&si "ouligandnya. "ransley seorang pakar fraktal ternama saat ini enggan mendefinisikan apa itu fraktal. ia hanya mengatakan bah&a fraktal adalah subset (sub himpunan) dari sebuah set (himpunan). $et  biasanya dari geometri euclidean yang sederhana seperti bentuk segibanyak lingkaran kubus  bola sedangkan subset berbentuk yang sangat 3rumit3. $elanjutnya "ransley mendefinisikan bah&a suatu ruang J adalah set (himpunan). =itik-titik  pada ruang adalah anggota himpunan tersebut. alam bukunya yang berjudul 3%ractal ery&here3 "ransley membahas secara detil mengenai ruang metrik yang terkait dengan geometri fraktal. 8al-hal yang dibahas pada ruang metrik meliputi ekialen pada ruang metrik topologi pada ruang metrik serta transformasi pada ruang metrik. $elain itu "ransley juga mengkaji mengenai dinamical chaostik dimensi fraktal interpolasi fraktal himpunan ulia *arameter ruang dan himpunan mandelbrot pengukuran pada fraktal aplikasi untuk komputer grafis dan sistem fungsi iterasi yang dapat digunakan untuk membangun suatu fraktal. E.

#imen!i Fraktal.

*ersoalan membandingkan panjang yang tidak berhingga dan luas yang kecil tidak berhingga sebenarnya adalah seperti persoalan membandingkan dua sisi dari sebuah uang logam yang sama. 'bad ke <0 telah memba&a pemikiran manusia kepada kebutuhan yang sangat mendesak terhadap suatu cara baru dalam mengukur ruang dan dimensi. ua orang matematika&an yaitu %eli/ 8ausdroff dan 'bram $. "esicoith telah menja&ab persoalan pelik ini. Mereka bukan saja secara harfiah menguak dimensi yang baru tetapi juga telah mendefinisikan ulang dimensi itu sendiri. $etiap bentuk oleh karena tradisi yang dilandasi oleh gagasan escartes memiliki dimensi misalnya 0 (titik) 1 (garis lurus dan kura) < (bidang) atau + (ruang). $ecara teoritis dimensi ini telah diperluas termasuk dimensi keempat dan dimensi-dimensi yang lebih tinggi yang sulit untuk dibayangkan. engan memperluas karya dari 8ausdroff "esicoitch memajukan gagasan bah&a sebuah bentuk sebenarnya dapat memiliki 3dimensi  pecahan3 seperti misalnya 1.5 atau <.+. imensi kura-kura seperti segitiga $ierspinski dan garis pantai Koch harus dinyatakan dengan dimensi pecahan. engan demikian tingkah laku yang ganjil dari kura-kura tersebut dapat dijelaskan. imensi pecahan ini dapat dihitung dengan tepat berdasarkan pengukuran dari sebuah kura. imensi 8ausdroffC"esicoith didefinisikan sebagai nisbah dari logaritma jumlah salinan ukuran dari bentuk benih relatif terhadap setiap salinan. Karena ada B salinan (B segmen garis ) dan setiap salinan memiliki ukuran 1C+ ukuran benih maka menurut definisi ini dimensi garis pantai Koch adalah log(B)Clog (+)  0.20<1C0.B771  1.<2<. ika ada dua bentuk yang memilki dimensi pecahan yang berbeda misalnya 1.<2 dan 1.B2 maka tidak dapat dikatakan bah&a bentuk yang pertama 3memiliki panjang yang tak berhingga lebih  panjang3 atau 3mengisi luasan yang kecil tak berhingga lebih banyak3 dari yang kedua. Intuk lebih mudah dipahami hal itu hanya dapat dinyatakan bah&a dimensi bentuk itu 3lebih dekat

dengan dua dimensi3. ebih lanjut lagi dapat dikatakan sampai seberapa jauh bentuk itu 3mengisi bidang3. alam kenyataannya penggunaan gagasan dimensi pecahan telah melangkah lebih jauh dari apa yang dibayangkan oleh pencetusnya. Karena alam berlimpah dengan bentuk-bentuk s&a-reflektif  (self-reflecif) seperti garis pantai. Maka kebanyakan dari alam sekitar dapat dicirikan dengan indeks yang baru ini. *egunungan a&an pohon-pohon dan bunga-bunga semuanya memiliki dimensi antara dua dan tiga dan ciri dari suatu bentuk dapat dibaca dari dimensinya. Garis pantai  pulau $ula&esi yang kasar memiliki dimensi pecahan yang lebih besar dari pada garis pantai "ali yang halus. Gumpalan a&an3mengisi ruang3 lebih banyak dari kabut tipis dan bangunan indah seperti "orobudur memiliki dimensi pecahan yang lebih besar dari pencakar lagit di akarta. #stilah dimensi pecahan kemudian oleh "enoit Mand elbrot diganti menjadi3dimensi fraktal3. imensi ini jauh lebih penting artinya bagi matematika&an k arena mereka mendadak saja mampu mengukur keseluruhan bentuk-bentuk dalam jagad raya yang sebelumnya tidak bisa diukur. Intuk pertama kalinya sejak escartes sebuah meter pengukur ruang yang baru telah tercipta meskipun apa yang telah diukur tetap belum diketahui secara pasti. >ang pasti $ierspinski Koch dan 8ausdroff tidak mengira bah&a perjalanan mereka ke tempat tak  berhingga dari bentuk-bentuk abstrak dan 3tidak alamiah3 akan kembali kepada 3geometri alam3 sejati yang pertama. F.

Pen%elom&okan Fraktal

%raktal bisa dikelompokkan menjadi tiga kategori luas. *engelompokan berikut didasarkan pada cara pendefinisian atau pembuatannya. •

$istem fungsi teriterasi-?ontohnya adalah himpunan ?antor karpet $ierpinski kura *eano garis pantai Koch kura naga 8arter-8eigh&ay kotak = dan spons Menger.

•

%raktal &aktu lolos-?ontohnya adalah himpunan Mande lbrot dan fraktal yapuano.

•

%raktal acak dihasilkan melalui proses stokastik misalnya landskap fraktal dan  penerbangan ey.

%raktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan k eserupa diriannya. 'da tiga tingkat keperupa dirian pada fraktal, •

$erupa diri secara persis-#ni adalah keserupa dirian yang paling kuat. %raktalnya terlihat sama persis pada berbagai skala. %raktal yang didefinisikan oleh sistem fungsi teriterasi  biasanya bersifat serupa diri secara persis.

•

$erupa diri secara lemah-#ni adalah keserupa d irian yang tidak terlalu ketat. %raktalnya terlihat mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang berbeda. %raktal jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam bentuk yang terdistorsi maupun rusak.

•

$erupa diri secara statistik-#ni adalah keserupadirian yang paling lemah. %raktalnya memiliki ukuran numeris atau statistik yang terjaga pada skala yan g berbeda. Kebanyakan definisi fraktal yang &ajar secara triial mengharuskan suatu bentuk keserupa dirian statistik. imensi fraktal sendiri adalah ukuran numeris yang nilainya terjaga pada berbagai skala. %raktal acak adalah contoh fraktal yang serupa diri secara statistik tapi tidak serupa diri secara persis maupun lemah.

*erlu dicatat bah&a tidak semua benda yang serupa diri adalah fraktal-misalnyagaris riil (garis uclid lurus) bersifat serupa diri tapi argumen bah&a benda-benda uclid adalah fraktal merupakan minoritas. Mandelbrot berargumen bah&a definisi !fraktal3 sepatutnya menyertakan tidak hanya fraktal !sebenarnya3 namun juga benda-benda uclid tradisional karena bilangan irasional di garis bilangan memiliki sifat-sifat kompleks dan tidak berulang. G.

Contoh'(ontoh Fraktal

"eberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandlebrot fraktal yapuno himpunan ?antor  segitiga $ierpinski karpet $ierpinski spons Menger  kura naga kura *eano dan kura Koch. %raktal bisa deterministik  maupun stokastik . $istem dinamikal chaotis sering (bahkan mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal. "enda-benda yang mendekati fraktal bisa ditemukan dengan mudah di alam. "enda-benda tersebut menunjukkan struktur fraktal yang kompleks pada skala tertentu. ?ontohnya adalah a&an gunung jaringan sungai dan sistem pembuluh darah. *ohon dan pakis juga merupakan contoh fraktal di alam dan dapat dimodel pada komputer menggunakan algoritma rekursif . $ifat rekursifnya bisa dilihat dengan mudah-ambil satu cabang dari suatu pohon dan akan terlihat  bah&a cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara keseluruhan (tidak sama persis tapi mirip). "erikut adalah contoh fraktal baik yang alami maupun yang dimodel dengan komputer.

 pakis

a&an

gunung

terumbu karang

ulia set

ulia set for f c

ulia set

Mandelbrot set

c0.<;5L0.01i

 c-0.;L0.152i

f(6)  e/p(6+) E  0.2<1

$ecara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidak halus) jadi bukan termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional. #ni berarti bah&a fraktal cenderung memiliki detail yang signifikan terlihat dalam skala berapapun saat ada ke serupa dirian ini bisa terjadi karena memperbesar fraktal tersebut akan menunjukkan gambar yang mirip. 8impunan-himpunan tersebut biasanya didefinisikan dengan rekursi.

$ebagai perbandingan ambil benda uklid biasa misalnya lingkaran. engkung pada lingkaran akan terlihat semakin datar jika diperbesar. *ada perbesaran tak terhingga tidak mungkin lagi terlihat perbedaan antara lengkung lingkaran dengan garis lurus. %raktal tidak seperti ini. #de konensional kuratur  yang merupakan resiprokal dari jari-jari lingkaran aproksimasi tidak bisa digunakan. *ada fraktal meningkatkan perbesaran akan menunjukkan detail yang tidak terlihat sebelumnya. ).

A&lika!i Fraktal

$etelah isualisasi komputer diaplikasikan pada geometri fraktal dapat disajikan argumenargumen isual yang ampuh untuk menunjukkan bah&a geometri fraktal menghubungkan  banyak bidang matematika dan sains jauh lebih besar dan luas dari yang sebelumnya diperkirakan. "idang-bidang yang terhubungkan oleh geometri fraktal terutama adalah dinamika nonlinier  teori chaos dan kompleksitas. $alah satu contoh adalah menggambar metode 4e&ton sebagai fraktal yang ternyata menunjukkan bah&a batas antara penyelesaian yang berbeda adalah fraktal dan penyelesaiannya sendiri adalah atraktor aneh. Geometri fraktal juga telah digunakan untuk kompresi data dan memodel sistem geologis dan organis yang kompleks seperti  pertumbuhan pohon dan perkembangan lembah sungai. %raktal banyak diaplikasikan pada bidang, •

Klasifikasi slide histopatologi di ilmu kedokteran

•

*embuatan musik  jenis baru

•

*embuatan berbagai bentuk karya seni baru

•

Kompresi data dan sinyal

•

$eismologi

•

Kosmologi

I.

Pro%ram Pen%ha!il Fraktal

%raktal biasanya digambar oleh komputer dengan perangkat lunak fraktal. "erikut ini adalah  beberapa soft&are yang dapat digunakan untuk menghasilkan program fraktal. Multi'&lat$orm •

 Jaos-Generator realti!e N :indo&s Mac inu/ dll

•

%ractint-=ersedia untuk sebagian besar platfor!

•

%'M+-Intuk mendesain dan merender iterated function syste! (#%$) tersedia untuk semua platfor!

•

%ract-*rogram berbasis web untuk mengeksplorasi fraktal

•

Fnline %ractal Generator 'Membutuhkan plugin aa

Linu*. •

GnfractBd'*enyunting interaktif yang bisa menggunakan banyak rumus %ractint

+indo,! •

%ractoiass listing of fractal generators-"erisi daftar yang cukup lengkap tentang  program penghasil fraktal gratis

•

Iltra %ractal- *erangkat lunak populer untuk Microsoft :indo&s

•

?haos*ro

•

M$*lotter-*rogram :indo&s gratis yang menggunakan fraktal untuk membuat gambar  bitmap dan klip ideo 'O#

•

%ractal/plorer 

•

$terling %ractal- *rogram penghasil fraktal tingkat lanjut oleh $tephen %erguson.

•

Kta6a, free&are by $. %erguson.

Ma( •

'ltiec %ractal ?arbon-*rogram bench!ark  untuk Mac menggunakan fraktal untuk mengukur kemampuan.

•

Pone /plorer-dapat membuat rumus dan pe&arnaan sendiri

#AFTAR P-STAKA %itrianingrum. <007. Fractal(*eo!etry. http,CCfitrianingrum.&ordpress.comC<007C09C1;C (iakses tanggal 9 anuari <01+)

http,CCen.&ikipedia.orgC&ikiCuliaQset (diakses tanggal 12 anuari <01+) http,CCid.&ikipedia.orgC&ikiC%raktal (diakses tanggal 9 anuari <01+) http,CC&&&.mandelbrotset.netC (diakses tanggal 9 anuari <01+) http,CCid.&ikipedia.orgC&ikiC"enoR?+R'tQMandelbrot (diakses tanggal 9 januari <01+) Hefi lfira >uliani.<00; . http,CCrefi07.&ordpress.comCmelanjutkan-tentang-keindahan-geometrifraktalC (diakses tanggal 12 anuari <01+)