Fungsi Bilinear Makalah Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fungsi Kompleks yang dibimbing Oleh Ibu Indriati N. H
Oleh: 1. Dyah Setianingrum
(309312417505) (309312417505)
2. Adi Santo Prasetyo
(309312422760) (309312422760)
3. Isrokah
(309312422764)
4. Dwi Susanti
(309312426744) (309312426744)
Universitas Negeri Malang Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Matematika Oktober 2011
PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu. Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangant diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris. Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Bilinear dalam bilangan kompleks.
1.2
Rumusan Masalah
1. Apa definisi dari fungsi bilinear? 2. Apa saja yang termasuk contoh dan bukan contoh fungsi bilinear? 3. Teorema apa saja yang terdapat dalam fungsi bilinear?
1.3
Tujuan
1. Mengetahui definisi fungsi bilinear. 2. Mengetahui contoh dan bukan contoh dari fungsi bilinear. 3. Mengetahui teorema yang ada dalam fungsi bilinear.
PEMBAHASAN
Fungsi Bilinear
adalah konstanta komplek maka fungsi dinamakan fungsi menyeluruh. Misalkan dan adalah dua fungsi menyeluruh. Maka berdasarkan teorema 2.9 fungsi dengan , Jika n bilangan bulat tak negatif dan
merupakan fungsi rasional analitik yang penyebutnya tidak sama dengan nol.
Fungsi yang berbentuk
dinamakan fungsi bilinear. Karena merupakan fungsi rasional yang analitik
. Jika , maka pemetaan bilinear menjadi menyatakan fungsi 1-1 fungsi linear. Persamaan dimana-mana kecuali di
yang memetakan bidang z perluasan ke bidang w perluasan.
sehingga dipetakan ke titik dan untuk . Untuk mencari solusinya, digunakan tingkah fungsi pada yang akan disamakan dengan tingkah laku pada titik yang terdapat pada fungsi balikan, sebagai berikut Jadi, pada , . Untuk titik
Pemetaan bilinear merupakan gabungan dari fungsi-fungsi
sehingga diperoleh yang dapat dijabarkan sebagai berikut
Dengan demikian, fungsi bilinear merupakan gabungan dari fungsi linear diikuti dengan fungsi kebalikan dan dilanjutkan dengan fungsi linear lagi.
Contoh :
2. 1.
Bukan contoh:
2. 3. 1.
Jika
adalah fungsi bilinear maka invers fungsi , juga
bilinear. Bukti:
Jadi, invers fungsinya merupakan fungsi bilinear.
Jika S dan T masing-masing fungsi bilinear maka fungsi komposisinya juga fungsi bilinear. Bukti:
Misalkan
dan
dengan . Jadi, merupakan fungsi bilinear. dengan . Jadi, merupakan fungsi bilinear.
Sehingga fungsi komposisi merupakan fungsi bilinear.
Contoh:
Penyelesaian: Untuk menyelesaikannya digunakan tingkah laku khusus disamakan dengan tingkah laku
pada yang
pada titik yang terdapat pada fungsi
balikan, yaitu
untuk , menghasilkan . Jadi, pada , fungsinya bernilai .
Daftar Pustaka
Irawati, Santi, 2001. Analisis Kompleks. Malang: UM Press. Irawati, Santi, 2001. Fungsi Kompleks Lanjut. Malang: Universitas Negeri Malang. Paliouras, John D., 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur . Jakarta : Erlangga.
