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Laboratorio de Ondas y Calor Calor
PRÁCTICA DE LABORATORIO Nº 04 MOVIMIENTO ARMÓNICO. 1. OB OBJE JETI TIV VOS 1) Verifca erifcarr las ecuaci ecuacione ones s corre correso sondi ndient entes es al !o"i! !o"i!ien iento to ar!#ni ar!#nico co si!le. $) %eter ter!inar inar e&eri eri! !ent ental! al!ente nte el eri eriod odo o y la 'recue ecuenc ncia ia de oscilaci#n del siste!a. () Verif erifca carr las las ecua ecuaci cion ones es din din!i !ica cas s y cine cine! !ti tica cas s *ue *ue ri+e ri+en n el !o"i!iento ar!#nico ara el siste!a !asa–resorte. !asa–resorte. ,) Ser caacaa- de conf+ur conf+urar ar e i!le! i!le!ent entar ar e*uios e*uios ara to!a de datos e&er &eri! i!en enta tale les s y reali eali-a -arr un anl anlis isis is +rf +rfco co util utilii-an ando do co!o co!o TM erra!ienta el so't/are so't/are PASCO Capstone . 0) Utili-ar el so't/are PASCO Capston ara "eri "erifc fcac aci# i#n n de Capstone eTM ara ar!etros estadsticos resecto a la in'or!aci#n re+istrada.
. MATE MATERI RIAL ALES ES -
CapstoneTM Co! Co!ut utad ador ora a ers erson onal al con con ro+ ro+ra ra!a !a PASCO Capstone instalado 2$ 3nter'ase US4 Lin5 21 Sensor de !o"i!iento 21 Sensor de 'uer-a 2( Resortes 26 Pesas con orta esas 21 Re+la !etlica 21 4alan-a. 7or a!biente)
!. "#NDAM "#NDAMENT ENTO O TEÓRIC TEÓRICO O 8ay !ucos casos en los cuales el traba9o es reali-ado or 'uer-as *ue act:an sobre el cuero y cuyo "alor ca!bia durante el desla-a!iento; or e9e!lo< ara estirar un resorte a de alicarse una 'uer-a cada "e- !ayor con'or!e au!enta el alar+a!iento< dica 'uer-a es directa!ente roorcional a la de'or!aci#n< sie!re *ue esta ulti!a no sea de!asiado +rande. Esta roiedad de la !ateria 'ue una de las las ri! ri!e eras ras estud studia iada das s cuant uantit ita ati" ti"a!e a!ente nte< y el enunciado< ublicado or Robert 8oo5e en 16=>< el cual es conocido oy co!o ?La Ley de 8oo5e@< *ue en tAr!inos !ate!ticos redice la relaci#n directa entre la 'uer-a alicada al cuero y la de'or!aci#n roducida.
"$%&'
( 1)
donde & es es la constante elstica del resorte y ' es la elon+aci#n del resorte. El si+no ne+ati"o en el lado dereco de la ecuaci#n 71) se debe a *ue la 'uer-a tiene sentido contrario al desla-a!iento. desla-a!iento.
(1
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!.1.
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S*ste+a +asa%,eso,te.
Considere!os un cuero de !asa ! susendido de un resorte "ertical de !asa desreciable< f9a en su e&tre!o suerior co!o se "e en la f+ura (.1.1. si se alica una 'uer-a al cuero desla-ndose una e*ueBa distancia y lue+o se le de9a en libertad< oscilara a!bos lados de la osici#n de e*uilibrio entre las osiciones D y –D debido a la secci#n de la 'uer-a elstica.
"*-,a. !.1.1. Siste!a !asaresorte. Este !o"i!iento se le uede deno!inar ar!#nico< ero se reali-a en ausencia de 'uer-as de ro-a!iento< entonces se defne co!o ?o"i!iento Dr!#nico Si!le@ 7DS). Si alica!os la Se+unda ley de Ge/ton sobre el lado i-*uierdo de la ecuaci#n 71)< ode!os escribirH
%& ' $ + a
()
Lue+o si considera!os *ueH
=
a
dv
(!)
dt
Entonces 2
d x dt
2
+
k m
x
=0
(4)
En este unto introducire!os la "ariableω< tal *ueH ω
k =
(/)
m
Por lo cual la ecuaci#n 7,) se !odifca< trans'or!ndose en la si+uiente e&resi#nH
($
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2
d x 2
dt
()
+ ω 2 x = 0
La soluci#n de 70) es una 'unci#n sinusoidal conocida y se escribe de la si+uiente !aneraH
$ A 2os ( t 3 ) () donde D< es la a!litud de oscilaci#n. La a!litud reresenta el desla-a!iento !&i!o !edido a artir de la osici#n de e*uilibrio< siendo las osiciones –D y D los li!ites del desla-a!iento de la !asa. 7 ωtδ) es el n+ulo de 'ase y reresenta el ar+u!ento de la 'unci#n ar!#nica. La "ariable ω es la 'recuencia an+ular y nos roorciona la raide- con *ue el n+ulo de 'ase ca!bia en la unidad de tie!o. La cantidad δ se deno!ina constante de 'ase o 'ase inicial del !o"i!iento< este "alor se deter!ina usando las condiciones iniciales del !o"i!iento< es decir el desla-a!iento y la "elocidad inicial< seleccionando el unto del ciclo a artir del cual se inicia la cuenta destie!o 7t I 2). Ta!biAn uede e"aluarse cuando se cono-ca otra in'or!aci#n e*ui"alente. Co!o el !o"i!iento se reite a inter"alos i+uales< se lla!a eri#dico debido a esto se uede defnir al+unas cantidades de interAs *ue 'acilitaran la descrici#n del 'en#!eno.
",e2en2*a 7')< es el n:!ero de oscilaciones co!letas o ciclos de !o"i!iento *ue se roducen en la unidad de tie!o< esta relacionado con la 'recuencia an+ular or !edio de la relaci#nH
$
(5)
f
Pe,*o6o 7T)< es el tie!o *ue e!lea el siste!a ara reali-ar una oscilaci#n o un ciclo co!leto< esta relacionado con ' y ω< or !edio de la relaci#nH T
=
1
f
=
2π
(7)
ω
Las e&resiones ara la "elocidad y aceleraci#n de un cuero *ue se !ue"e con !o"i!iento ar!#nico si!le< ueden ser deducidas a artir de la ecuaci#n 76) usando las relaciones cine!ticas de la se+unda Ley de Ge/ton.
Ve8o2*6a6 6e 8a pa,t928a 7")< co!o sabe!os or defnici#n *ueH
v
=
dx dt
< ode!os usar la ecuaci#n 76)< ara obtener lo si+uienteH
V $ % A sen (
((
t3 )
(10)
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A2e8e,a2*:n 6e 8a pa,t928a 7a)< co!o sabe!os or defnici#n *ueH
a
=
dv dt
< ode!os usar la ecuaci#n 712) ara obtener lo si+uienteH
A
%$ A 2os ( t 3 )
(11)
La ecuaci#n 711) nos indica *ue en el DS< las aceleraci#n es sie!re roorcional y ouesta al desla-a!iento. Resecto al eriodo de oscilaci#n< es osible seBalar al+o adicional; su relaci#n con la !asa y la constante elstica del resorte< la cual uede obtenerse usando la ecuaci#n 7J) y la defnici#n de ω< *ue se e!le# ara lle+ar a la ecuaci#n 76). %ica relaci#n se escribe de la si+uiente 'or!aH T
=
2π
m k
(1)
T,ans;o,+a6a 6e "o,*e, Es un trata!iento !ate!tico ara deter!inar las 'recuencias resentes en una seBal. La co!utadora uede obtener el esectro de 'recuencias< ero no or el uso de fltros< sino or esta tAcnica. %ada una seBal< la trans'or!ada de Fourier da el esectro de 'recuencias. El al+orit!o se lla!a la trans'or!ada rida de Fourier 7FFT< Fast Fourier Trans'or!).
4. PROCEDIMIENTO Dete,+*na2*:n 6e 8a 2onstante 6e e8ast*2*6a6. 3n+rese al ro+ra!a PASCO CapstoneTM< a+a clic sobre el icono ta<8a = -,>?2a y se+uida!ente reconocer el dina!#!etro y el sensor de !o"i!iento< re"ia!ente insertado a la inter'ase 5/0
#n*@e,sa8 Inte,;a2e.
Se+uida!ente arrastre el icono RÁ"ICO sobre el sensor de 'uer-a 7T*,o pos*t*@o< $ deci!ales)< elabore una +rfca 'uer-a "s desla-a!iento. 8a+a el !onta9e de la f+ura ,.1< !anten+a sie!re su9eto con las !anos el !onta9e de los sensores y on+a el sensor de !o"i!iento er'ecta!ente "ertical a fn de *ue no reorte lecturas err#neas. Con el !onta9e de la f+ura s#lo ace 'alta *ue e9ercer una e*ueBa 'uer-a *ue se ir incre!entando +radual!ente acia aba9o< !ientras se ace esta oeraci#n< su co!aBero +rabar dico roceso.
(,
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No est*,e +2o e8 ,eso,te pes pe6e @en2e,8o = e6a, pe,+anente+ente est*,a6o no 6ee e8 e*po sspen6*6o 6e8 ,eso,te.
"*-,a. 4.1. Pri!er !onta9e. La relaci#n de la +rfca 'uer-a "s desla-a!iento es ob"ia!ente lineal< de la endiente de esta +rfca obten+a el "alor de 5. Reita el roceso ara los otros $ resortes. Dnote el "alor de la constante 5 en la tabla ,.1.
TABLA 4.1. Coefcientes de elasticidad 5. Reso,te Nº
1
!
Constante & te:,*2a (NF+)
/ NFM
5 NFM
0 NFM
Constante & (NF+)
/.! NFM
.7 NFM
!.1 NFM
E(G)
G
0.!G
.4G
(0
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Dete,+*na2*:n 6e8 pe,*o6o = 8a ;,e2en2*a 6e os2*8a2*:n. 3n+rese al ro+ra!a PASCO CapstoneTM< a+a clic sobre el icono ta<8a = -,>?2a y se+uida!ente reconocer el sensor de !o"i!iento re"ia!ente insertado a la inter'ase 5/0 #n*@e,sa8
Inte,;a2e.
Se+uida!ente arrastre el icono RÁ"ICO sobre el sensor de !o"i!iento< elabore una +rfca osici#n< "elocidad y aceleraci#n "s tie!o. 8a+a el !onta9e f+ura ,.$.1< deber acer oscilar la !asa susendida del resorte< !ientras ace esta oeraci#n su co!aBero +rabar los datos resultantes de acer dica oeraci#n. asa adicional ara el resorte 1H asa adicional ara el resorte H docente) asa adicional ara el resorte !H
,J.0K + ,J.0K + 7Consultar al K +
Cuide de no estirar !uco el resorte ues con la !asa adicional corre el eli+ro de *uedar er!anente!ente estirado< cuide *ue la !asa susendida no cai+a sobre el sensor de !o"i!iento.
"*-,a. 4..1. Se+undo !onta9e. %eten+a la to!a de datos desuAs de 12 se+undos de iniciada. Es i!ortante *ue la !asa s#lo oscile en direcci#n "ertical y no de un lado a otro. Reita la oeraci#n ara cada resorte y co!lete las tablas ,.$.1. al ,.$.J. 3dentif*ue y alle las "ariables solicitadas con la ayuda del icono pntos 2oo,6ena6os .
(6
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4orre los datos err#neos< no acu!ule in'or!aci#n innecesaria.
RESORTE 1 &$ /NFM
TABLA 4. Mrafca osici#n "s tie!o. asa susendi da 75+)H D!litud 7!) Periodo 7s)
1
$
(
Pro!edio total
2.2$!
2.2$!
2.2$!
22.2$!
2.6(s
2.6$s
2.6s
2.626s
Periodo te#rico 7s)
2.6$0
&7t)
EN
(.2,N
7t)I2.2$ cos76.26)
TABLA 4.! Mrafca "elocidad "s tie!o asa susendid a 75+)H D!litud 7!Qs) Periodo 7s)
1
$
(
Pro!edio total
2.$!Qs
2.$!Qs
2.$!Qs
2.$!Qs
2.6s
2.6s
2.6s
2.6s
D!litud te#rica 7!Qs)
2.1J=!Qs
EN
1.0$N
"7t)
TABLA 4.4 Mrafca aceleraci#n "s tie!o asa susendid a 75+)H D!litud 7!Qs$) Periodo 7s) D!litud te#rica 7!Qs$)
1 $.1(!Q s$ 2.6
$
(
Pro!edio total
$.1(!Q $.1,!Q s$ s$ 2.6$s
2.6s
$.1(!Qs$ 2.626s ,.J1N
$
$.$,!Qs
a7t)
(=
EN
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RESORTE & $ 5NFM
TABLA 4./ Mrafca osici#n "s tie!o. asa susendid 2.2=2 a 75+)H D!litud 7!) Periodo 7s)
1
$
(
Pro!edio total
2.21!
2.21!
2.21!
2.21!
2.6s
2.6$s
2.6s
2.626s
Periodo te#rico 7s)
2.0>s
&7t)
EN
,.,>N
V7t)I2.21cos 76.,= )
TABLA 4. Mrafca "elocidad "s tie!o asa susendid 2.2= a 75+)H D!litud 7!Qs) Periodo 7s)
1
$
(
Pro!edio total
2.120! 2.11!Q 2.120! Qs s Qs 2.0>s
2.6$s
D!litud te#rica 7!Qs)
2.6s
2.16!Qs 2.6s 0.(0
2.11$!Qs
"7t)
EN
V7t)I1.1Jsen776.(> )
TABLA 4. Mrafca aceleraci#n "s tie!o asa susendi 2.2= da 75+)H D!litud 7!Qs$) Periodo 7s) D!litud te#rica 7!Qs$) a7t)
$
(
Pro!edio total
1.2=!Q s$
1.2=!Q s$
1.2>!Q s$
1.2=!Qs$
2.66s
2.6$s
2.6$s
2.61(s 1.>(N
$
1.2J!Qs
EN
D7t)1$$.$cos7=2
(>
)
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RESORTE ! &$ 0nF+
TABLA 4.5 Mrafca osici#n "s tie!o. asa susendid a 75+)H
2.,01(
D!litud 7!) Periodo 7s)
1 2.210!
$
Pro!edio total
2.210! 2.210!
2.6s
Periodo te#rico 7s)
(
2.6s
2.210!
2.6s
2.6s 0.$6N
EN
2.0=s
7t)
7t)I2.210cos7=.,= )
TABLA 4.7 Mrafca "elocidad "s tie!o asa susendid a 75+)H
2.,01(
D!litud 7!Qs) Periodo 7s)
1 2.1=!Q s 2.6s
D!litud te#rica 7!Qs)
$
(
Pro!edio total
2.10!Q 2.1,!Q s s 2.6s
2.6s
2.10!Qs 2.6s
2.1$>!Qs
V7t)
$.$N
EN
V7t)I10Jsen7=.,=
)
TABLA 4.10 Mrafca aceleraci#n "s tie!o asa 2.,01 susendi ( da 75+)H D!litud 7!Qs$) Periodo 7s)
$
(
Pro!edio total
1.61!Q s$
1.0=!Q s$
1.06!Q s$
1.0>!Qs
2.6s
2.6s
2.6s
2.6s
D!litud te#rica 7!Qs$) a7t)
EN D7t)$01cos7J(.26
/. C#ESTIONARIO
(J
)
16.$ N
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0.1
8alle la 'recuencia natural te#rica del resorte. Con la ayuda de la Trans'or!ada rida de Fourier alle la 'recuencia e&eri!ental 7realice un +rafco ara cada resorte). Calcule el error orcentual.
0.$
Utili-ando la calculadora alle la "ariable elongación desde la osici#n de e*uilibrio< Realice un dia+ra!a de 'ase 7+rafca "elocidad "ersus elongación) ara cada uno de los resortes e interrete cada uno de los +rfcos y sus di'erencias debido a la constante de los resortes.
0.(
Realice el a9uste senosoidal a la osici#n y "elocidad ara cada uno de los resorte y escribe sus ecuaciones cine!ticas.
0.,
Cul es el "alor de la aceleraci#n de un oscilador con a!litud A y 'recuencia ; cuando su "elocidad es !&i!a
0.0
uA !a+nitud caracteri-a el eriodo de un siste!a resorte
0.6
Co!are el sentido de la aceleraci#n con la "elocidad y osici#n ara un !o"i!iento ar!#nico si!le. Tiene el !is!o sentido o sentidos ouestos E&li*ue.
0.=
Realice un anlisis te#rico las condiciones necesarias ara *ue el Andulo sea un Andulo si!le y su se!e9an-a con el siste!a !asa resorte.
0.>
En la e&eriencia reali-ada se consider# un siste!a !asa resorte en la direcci#n "ertical< se ob"io la 'uer-a +ra"itacional 7eso del ob9eto susendido) Por *uA no se consider# E&li*ue.
0.J
Cul es la i!ortancia de estudio de !o"i!iento ar!#nico si!le E&li*ue con e9e!los de alicados en el e9ercicio de su ro'esi#n.
,2
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PROBLEMAS 6.1 D !ass m I $., 5+ is attaced to t/o srin+s< and te srin+s are 'astened to t/o /alls as so/n in Fi+ure. Te srin+s bot a"e k I ,22 GQ! and are bot in teir rela&ed states 7unstretced and unco!ressed) /en te !ass is centered bet/een te t/o /alls. at is te 're*uency o' tis si!le ar!onic oscillator 7Consider only te ori-ontal !otion and i+nore te eect o' +ra"ity.) 6.$ Un tubo de "idrio en 'or!a de U con un rea de secci#n trans"ersal< D< est arcial!ente lleno con un l*uido de densidad ρ. Una resi#n incre!entada se alica a uno de los bra-os< lo cual resulta en una di'erencia en la ele"aci#n de L entre los dos bra-os del tubo< co!o se !uestra en la f+ura. Entonces< se retira el incre!ento de resi#n y el Wuido oscila en el tubo. %eter!ine el eriodo de la oscilaci#n de la colu!na de Wuido. 7Usted tiene *ue deter!inar cules son las cantidades desconocidas.)
OBSERVACIONES =.1
=.$
5 CONCL#SIONES >.1
>.$
,1
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7 BIBLIORA"IA (se-Hn ;o,+ato 6e 8a APA)
,$
