UNIVERSIDAD UNIVERSIDA D NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ALGEBRA LINEAL CÓDIGO. 208046
TRABAJO COLABORATIVO FASE 4
UNIDAD No 3 ESPACIOS VECTORIALES.
Presentado a: ERIK MIGUEL BARRIOS Tutor
Entregado por:
Gearsson Giovany Rincón Cód.: 91161477 José Edier Mera Mina Código: 1061431558 Juan Sebastián Vélez Agudelo Cc: 1036607394 Ismael de Jesus Noriega Puche CC: 1128268935 Dagoberto Jimenez CC
Abril 2017 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingenierías Álgebra lineal
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Introducción
En esta unidad comprenderemos todo lo relacionado con espacios vectoriales, que simplemente se define como conjunto de vectores que junto a operaciones de suma y multiplicación por un escalar satisfacen las propiedades (Asociativa, Elemento neutro, Elemento simétrico y conmutativa), estudiaremos estas propiedades básicas que poseen los conjuntos con dicha estructura.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ALGEBRA LINEAL CÓDIGO. 208046 Mapa conceptual espacio vectorial:
Mapa conceptual subespacio vectorial:
https://drive.google.com/file/d/0ByQcHWxPUufbWW1IZDk3TU5kWmM/view?usp=s haring
https://drive.google.com/file/d/0ByQcHWxPUufbNHhYMkZzREpRZEE/view?usp=sha ring
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2. Demuestre con un ejemplo la siguiente afirmación y justifique la respuesta. “Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si alguno de ellos es combinación lineal de los demás”.
Respuesta:
Como ejemplo tomamos los vectores
3,2,5
= 1,3,4 , = 7,12,23 =
Ahora expresamos el primer vector como combinación lineal de los demás:
= + 1,3,4 =7,12,23 +3,2,5 1,3,4=7,12,23+3,2,5 1 712 +3 2 =1 =3 23 +5 =4
Para saber si es combinación lineal de hallaremos los valores de generando el siguiente sistema de ecuaciones no homogéneo:
La matriz del sistema y la matriz ampliada son:
7 3 =12 2 23 5 7 3 1 ̅ =12 | 2 3 23 5 4
127 23 =22≠0→=2 7 3 1 |1223 25 34|=0→()=2 13 23 11 1 = 7 3 = 22 = 2 12 2
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712 13 33 3 = 7 3 = 22 = 2 12 2 Entonces:
1,3,4= 12 7,12,23+ 32 3,2,5 Podemos ver que el vector 1 es combinación lineal de los demás, porque este es igual a la suma de los otros dos vectores y además son linealmente dependientes ya que sus componentes son diferentes de cero, ósea que
12 7,12,23 + 32 3,2,5 1,3,4 =0 3. Determinar mediante Gauss Jordán dependencia o independencia lineal de los siguientes vectores. (1, 2,1) (2, 1,0) (4, 5,2). Recomendación ubicar las componentes de manera vertical.
Respuesta:
Planteamos la ecuación vectorial:
+ + =0 1,2,1+2,1,0+4,5,2=0,0,0 Se origina el siguiente sistema:
12 +2 +4 =0 +1 +5 =0 1 +0 +2 =0
Ahora sacamos la siguiente matriz:
12 21 45 |00 1 0 20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ALGEBRA LINEAL CÓDIGO. 208046 Solución por método de gauss jordan:
12 21 45 |00221→2 1 0 20 10 32 34 |0031→3 1 0 20 10 32 34 |002÷3 0 2 2 0 10 21 41 |00122→1 0 2 2 0 10 01 21 |00122→1 0 2 2 0 10 01 21 |003+22 0 2 2 0 10 01 21 |00 0 0 00 Se puede evidenciar que los vectores son linealmente dependientes, ya que tiene solución no trivial y ademas tiene escalares diferentes de cero.
++2 == 00 4. Encontrar el rango de las siguientes matrices:
1 1 2 13 01 44
12 24 35 1 6 2
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Respuesta: Matriz 1
23 1 →2 1 1 2 10 04 24 3 1 1→3 10 14 22 ∗3−∗2→3 0 1 6 10 14 22 0 0 5.5
= R/: Hay tres filas no nulas entonces el rango de la matriz 1 es =3 Matriz 2
10 1 10 0 10 0
28 6 28 8 28 0
22 1 →2 31 31 1 →3 2 31 31 2→3 1 31 0
= R/: Hay dos filas no nulas entonces el rango de la matriz 2 es = 2 5. El sistema [(1,0,-1) , (0,2,3) , (1,4,-1) ] es base de
Respuesta:
?
1, 0 , 1 + 0, 2 , 3 + 1, 4 , 1 0, 0 , 0 = 111,01+1 02,2+4 , 11,0 + +2 ,4 , 1 0, 0 , 0 = 2 ,3,21+ 1 3 3 3 + = 0+3 1 = 0,0,0
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| |=
2 +4 = 0 1 +3 1 = 0 ≠0
Por la regla de Cramer el sistema homogéneo tiene como única solución la trivial, , de modo que B es L.I.
= =
Como la dim(R3)=3 y B es un conjunto con 3 vectores L.I. por teorema se tiene que B es una base para R 3.
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Conclusiones La estructura del espacio vectorial es propia de los vectores y es aplicable a matrices y diferentes propiedades que permiten identificar y resolver múltiples problemas geométricos. En diversos conjuntos conocidos, por ejemplo, los de vectores en el plano o en el espacio, o también el de los polinomios, sabemos sumar sus elementos y multiplicarlos por números, con el fin de que estos conjuntos compartan una estructura que denominamos espacio vectorial.
Bibliografía
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Saenz, W. ( 06,07,2016). Introducción Espacios Vectoriales. [Archivo de video]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=ynxAJhELueo Zúñiga, C. y Rondón, J. ( 2016). Módulo Algebra Lineal (E-learning). Bogotá, Colombia: UNAD. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7081
