ALGEBRA LINEAL Unidad 3: Fase 4- Actividad Grupal 3- Post tarea
Presentado por: HELBER RAFAEL BAHOQUES Código 8781631
Tutor: ERIK MIGUEL BARRIOS MONTES
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS – ECBTI PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL MAYO 14 DE 2017
3. Determinar mediante Gauss Jordan dependencia o independencia lineal de los siguientes vectores. (1, 2,1) (2, 1,0) (4, 5,2). Recomendación ubicar las componentes de manera vertical.
⃗ =⃗0 ⃗ ,
y
⃗ +⃗ +⃗ = 0 121+210+452 = 000 2+2+ ++ 45 = 00 +2 0 2+2+ +4+5 == 00 + 2 = 0 12 21 4500 1 0 20 101 320 342 000 10 32 34 00 0 2 2 0 1 2 4 0 00 21 21 00 10 21 4100 0 0 00
son linealmente independientes si
solamente cuando
. Se reemplazan los valores en la ecuación
==
Se reescribe como una sola matriz
Se escriben las ecuaciones
Se tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, por ende se procede a resolverlo por Gauss-Jordan
Se multiplica la fila 1 por -2 y se suma a la fila 2
Se multiplica la fila 1 por -1 y se suma a la fila 3
Se multiplica la fila 2 por
Se multiplica la fila 2 por 2 y se suma a la fila 3
El sistema tiene infinitas soluciones, ya que la última fila se torna completamente 0. Se sigue resolviendo la matriz. Se multiplica la fila 2 por -2 y se suma a la fila 1
10 01 2100 0 0 00 ++2 ==00 ==2 = =21 1= 2 = = 1 1 = 2 = 1 = 1 1 2 4 221 10+52 = 242 210+452 0 = 00
Para esto se obtienen las ecuaciones
Por lo tanto
Al ser un sistema de infinitas soluciones, si
Teniendo que
,
y
, se reemplaza en la ecuación inicial y se resuelve
Por lo tanto, estos vectores son linealmente dependientes.
[114+141+= [42+4+0 30]][[2+012 112+] 041+431] = [=8]8+14 [14] | 22 |=
4. Encontrar el rango de las siguientes matrices a.
Se calcula el determinante de la matriz
Al ser
| 0 |≠ [142+251=+[8 10+36 43+]651+222] 326] ][[112+308 =[3 |= 4|] [304] | 0 |= 46 52 4=283065 −| = 22 | | −|≠ 0 1 0 20 41 1 3 1 [121+041+[ 2+0+0][ 103] [2+12+0] 121+341+100] =[=210 2][10] | | = 12 | 0 |≠ , esta matriz es de rango 3.
b.
Se calcula el determinante de la matriz
Al ser
, esta matriz no es de rango 3. Se toma un menor 2x2 de la matriz, siendo el
elegido
Se calcula el determinante de este menor
Al ser
, esta matriz es de rango 2.
5. El sistema [(1, 0,-1), (0, 2,3), (1, 4,-1)] es base de
?
Primero se determina si estos vectores son linealmente independientes. Se escriben las ecuaciones en forma de matriz
Se calcula el determinante de la matriz
Al ser
, los tres vectores son linealmente independientes. Se procede a determinar si
los vectores son conjunto de generadores, para esto se tiene que
,,= 1,0,1+0,2,3+1,4,1 ==2 ++4 = +3 1 0 20 41 1 3 1 10 02 14 + 0 3 0 10 01 12 2 0 3 0 + 10 01 12 32 0 0 6 2 + +2+ == 2 3 6 = 2 + 3 + 2 = 6 = 3 212 2 +2(3 122 2) = 2
Obtiene la ecuación para cada término
Se plantea la matriz
Se multiplica la fila 1 por 1 y se suma a la fila 3
Se multiplica la fila 2 por
Se multiplica la fila 2 por -3 y se suma a la fila 3
Se determinan las ecuaciones
Se despeja de la última ecuación
Se reemplaza en la segunda ecuación y se despeja
+ 3 26 2 = 2 = 2 3 26 2 = 36 3 26 2 = 2 +26 = +3 + 3 122 2 = = 3 212 2 = 1212 3 212 2 = 14 312 +2 ,,= 14 312 +2 1,0,1+ +3 0,2,3+ 3 212 2 1,4,1
Se reemplaza en la primera ecuación y se despeja
Por ende, la combinación lineal es
Y el sistema es base de
BIBLIOGRAFIA
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Módulo
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