ALGEBRA LINEAL (E-LEARNING) 208046A_471
Fase 5 – Post-tarea
Tutor:
CARLOS ANDRES VEGA CARDENAS
Yeison Vargas Mendoza Fabián Enrique Niño Wilson Hernando Largo Johan Javier Triana
Grupo: 208046_190
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA. D ISTANCIA. UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS. B ASICAS. INGENIERIA INGENIERIA INDUSTRIAL
Actividades a desarrollar
1.
Dados:
X = < 1,3,5 >; Y = < 2,4,5>; Z= <1,0,2> vectores que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 2 denominado Ley conmutativa de la suma de vectores.
Solución:
,, + ,, +,, ,, +,, = + + + = ,, ,, = ,, +,, = ,, Sumar los elementos en las posiciones que coincidan
= + + + + = ,,
1.1
Siendo α y β variables β variables escalares, demuestre el séptimo y octavo axioma para espacios
vectoriales usando los vectores del espacio vectorial V del punto anterior. Use valores de 3 y 4 para α y β respectivamente. β respectivamente. α (X + Y + Z) = α X + α Y+ α Z (Primera ley distributiva)
(α + β) X = α X + β X (Segunda (Se gunda ley distributiva)
2.
Dado el conjunto
donde Demostrar que
genera a
Solución:
S/: Un conjunto dado, S en este ejercicio, genera gener a un espacio vectorial si todos los elementos del espacio vectorial pueden ser expresados como una combinación lineal del conjunto. Adicionalmente, es necesario que todos los elementos del conjunto sean parte del espacio vectorial.
Para demostrar que el conjunto
puede generar
se intentará demostrar
que puede ser expresado como una combinación lineal de los vectores y
. Nótese que dichos vectores, expresado en términos de coordenadas,
pertenecen a bien, si
y
, de manera que ya se cumple cump le una de las condiciones. Ahora
generan
= +
un vector arbitrario
poder expresarse como combinación lineal de
, con coordenadas i y j, debe y
:
Expresado en términos de componentes,
O bien,
, = , + −,− , , = = , −+ −, −,−
Esto puede ser expresado en un sistema de ecuaciones:
− =
− =
El problema ahora se reduce a determinar si el sistema es consistente para los valores de
y
. Para ello la matriz de coeficientes, del sistema de
ecuaciones propuesto, debe ser invertible y por tanto su determinante diferente de cero. Sea la matriz de coeficientes A,
= 51 −3−2 = |51 −3−2| = 5∗−2 − 1∗−3 = −1−10 + 3 = −7
Puesto que el determinante de A existe, existe un conjunto de valores
,
y
que satisfacen el sistema de ecuaciones, y por tanto existen valores de
y
2.1
,
, que permiten expresar el conjunto . Por tanto, los vectores
como una combinación lineal de
generan al espacio vectorial
.
Expresar el polinomio
como una combinación lineal de los polinomios
y .
2.2
Dados los vectores
correcto afirmar que el vector y
3.
¿es es una combinación lineal de
? Justificar la respuesta.
De la siguiente matriz que agrupa a tres vectores de un espacio
vectorial, calcule
a)
y
Determinante
Solución:
= 7 ∗ −134 −10−1 − −9−943 −10−1 −11∗43 −134 −134 −10−1 = −53 43 −10−1 = −26 43 −134 = −55 7−53 −53 − −9 −9−26−26 −1155
=0
Es una matriz independiente linealmente
b)
Rango
Solución:
73 −94 −11 − 1 4 −13 −10 7 −9 −11 55 = 43 −137 −10267
73 −955 −1126 = 4 557 −726 7 7 7 −9 −11 = 30 5570 2670 7 −9 −11 = 30 10 26550 37155 7 0 − = 3 1 2655 00 0 5355 1 0 − = 0 1 2655 00 0
Reducir matriz en su forma escalonada e scalonada por renglones
=
Es una matriz linealmente dependiente
c)
Matriz escalonada usando Gauss Jordán
Solución:
73 −94 −11 − 1 4 −13 −10
7 −9 −11 = 40 −13557 −10267 73 −955 −1126 = 0 −755 −726 ( 7 7 ) 7 −9 −11 = 00 5570 2670
Es una matriz linealmente dependiente
4.
Determine independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores.
a.
V1= (0,2,2). (0,2,2). V2= (3,3,3). V3= (0,0,4). (0,0,4).
Solución:
Reescribimos la ecuación vectorial en la forma de matriz y la resolvemos por el método de Gauss 0 2 2
3 3 3
0 0 4
cambiemos de lugares 1-ésimo y 2-ésimo 2 0 2
3 3 3
0 0 4
Dividamos 1-ésimo por 2 1
1.5
0
0
3
0
2
3
4
de 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 2 1 0 0
1.5 3 0
0 0 4
Dividamos 2-ésimo por 3 1 0 0
1.5 1 0
0 0 4
de 1 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 1.5 1 0 0
0 1 0
0 0 4
Dividamos 3-ésimo por 4 1 0 0
0 1 0
0 0 1
Resultado:
El sistema de vectores dado (el sistema de vectores linealmente independiente), así que todas xi = 0
b.
V1= (6,-2, 8). V2= (1/2, 4, 0). V3= (-10, ( -10, 6, 2). V4= (2,1,4).
Reescribimos la ecuación vectorial en la forma de matriz y la resolvemos por el método de Gauss 6 -2
1/2 4
-10 6
2 1
8
0
2
4
0
0
0
0
Dividamos 1-ésimo por 6 1 -2 8 0
1/12 4 0 0
-5/3 -5/3 6 2 0
1/3 1 4 0
de 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por -2; 8 1 0 0 0
1/12 -5/3 25/6 8/3 -2/3 46/3 0 0
1/3 5/3 4/3 0
Dividamos 2-ésimo por 25/6 1 0 0 0
1/12 1 -2/3 0
-5/3 16/25 46/3 0
1/3 2/5 4/3 0
de 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 1/12; -2/3 1 0 0 0
0 1 0 0
-43/25 16/25 394/25 0
3/10 2/5 8/5 0
Dividamos 3-ésimo por 394/25 1 0 0 0
0 1 0 0
-43/25 16/25 1 0
3/10 2/5 20/197 0
de 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por -43/25; 16/25 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
187/394 66/197 20/197 0
Resultado: El sistema de vectores dado no es una base (el sistema de vectores linealmente dependiente), así que existen xi ≠ 0
5. Usando el siguiente par de vectores, compruebe porque no son base generadora de U=
V=
