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FACTOR INTEGRANTE DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
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Unidad 1. Las Ecuaciones
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factor integrante
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FACTOR INTEGRANTE DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
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Sea la ecuación diferencial no exacta:
Podemos introducir un factor integrante que tenemos:
para convertirla en exacta, con lo
Y a partir de ahí podemos poner:
El factor integrante se define como una función (x,y) tal que al multiplicar la ecuación diferencial dada por ella, se transforma en una ecuación diferencial exacta. Aplicando el factor integrante se debe tener:
En principio, la ecuación resultante es una ecuación en derivadas parciales, más difícil que la que deseamos resolver; no obstante, como no nos interesa conocer todos los factores integrantes sino solo algunos, podemos determinar los casos más sencillos como, por ejemplo (x) para el que se tiene:
Y la integral se podrá resolver si se cumple: Sign up to vote on this title
Así, por ejemplo, para la ecuación:
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De forma análoga podemos calcular los factores integrantes que sólo dependan de y, para lo cual se ha de cumplir:
Otro caso sencillo para calcular el factor integrante es aquel que cumple:
Es decir, que es solo función de una función que liga de forma sencilla a la variables, tal como por ejemplo x+y ó x.y. En este caso se tiene:
Los casos anteriores son casos particulares de este. Así en el caso de que v(x,y) = x tenemos: You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Para los otros dos ejemplos que hemos considerado tenemos: Download With Free Trial
Si la función U(x,y) = C es una solución de la ecuación diferencial
Entonces la función
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Recíprocamente, podemos decir que si la ecuación diferencial anterior tiene factor integrante, este será de la forma dada por (*).
Una vez hallado un factor integrante, (x,y) y determinado con su auxilio el haz integral en la forma U(x, y) = C, es fácil ver que el producto (U) , donde es una función integrable cualquiera, es también un factor integrante En efecto:
Y esta última expresión corresponde a la diferencial exacta de una nueva función de U y, por tanto, de x e y, que nos da (x, y) = C. Queda así probad la existencia de infinitos factores integrantes (dependientes de una función arbitraria). Cuando hacemos la integración por distintos métodos puede ocurrir que lleguemos a resultados diferentes, no obstante, el haz de curvas es el mismo en ambos casos. Si la ecuación:
Es diferencial exacta y (x, y) es una función que la mantiene exacta, You're Reading a Preview entonces (x, y) = C es una solución de la ecuación. En efecto, tenemos: Unlock full access with a free trial.
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Si multiplicamos la ecuación diferencial por
y
o por
x
nos queda:
Pero teniendo en cuenta (A): Sign up to vote on this title
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Si tenemos una ecuación diferencial y’ = f(x,y) de la que conocemos dos soluciones :
Entonces existe una relación funcional entre las dos constantes, es decir F(C C2) = 0. Esto es así pues tenemos:
Para que este sistema tenga solución, el determinante debe ser nulo:
Y, por lo tanto, el jacobiano verificará:
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Como queríamos demostrar.
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