Practicas de Calculo Diferencial

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

TECNOLÓGICO TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE JOCOTITLÁN INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

MANUAL DE PRÁCTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL

Número de Práctca !ro!"e#a !or $a a%&'a#"ra( 9 Número de !ráctca !ro!"e#a( 5

ELA)ORÓ( M#ro* Ia%a +á,-"e, +á,-"e, J"áre,

+IGENCIA: e!* ./01 a e!* ./02

Re3%ado 4 A3a$ado !or $a Academ%a de Ing. En Sistemas Computacionales

Nom5re 4 6rma de$ Pre%de'#e de Academ%a M#ra* Er%7a L8!e, Go',á$e,

Nom5re 4 6rma de$ Secre#ar%o de Academ%a M#ro* Juan Carlos Ambriz Polo +o)o

Nom5re 4 6rma de$ Je9e de D%3%%8' Ing. Héctor Hernánez !arc"a

Carretera Toluca-Atlacomulco Km. 44.8, Ej!o !e "a# $ua# % "a# A&u't(#, $ocottl)# E'ta!o !e M*+co, C.. / Tel'. T el'. 01 /123 1211, 1211, 12148 % 121115 121115 e-mal6 co#tacto7te'jo.e!u.m+ co#tacto7te'jo.e!u.m+55 tt96::te'jo.e!ome+.&o;.m+: tt96::te'jo.e!ome+.&o;.m+:


Jocot#$á': Edo* De M;<* A 0/ de a&o#o de$ ./01*

NOM)RE DE LA PRÁCTICA( #esigualaes lineales$ cuará%cas & con 'alor absoluto. Práctca No* ( Fec=a de rea$%,ac%8'( () e agosto el *)(+ A%&'a#"ra( Cálculo i,erencial Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales U'%dad de A!re'd%,a>e( -nia(: los nmeros reales Número de !ráctca( ( O5>et3o( /esol'er esigualaes e primer & seguno grao con una inc0gnita$ & esigualaes con 'alor absoluto$ aplicano un algoritmo e soluci0n.

L"&ar( Aula E-"%!o

T%em!o a%&'ado( * 1 React3o

Ma#er%a$e

calculaora

2ápiz$ 1o3as blancas tama4o carta.



O5er3ac%o'e( 0* I'#rod"cc%8'( -na esiguala es una inecuaci0n 6ue %ene como soluci0n un con3unto e nmeros reales. -na e las aplicaciones entro e la Ingenier"a en Sistemas Computacionales es en la asignatura e in'es%gaci0n e operaciones.

.* Marco Te8r%co( 7eorema. Si a 8 b & c 8 $ entonces a c 8 b . 7eorema. Si a 8 b$ entonces a ; < b. 7eorema. Si a 8 b & c 8 )$ entonces ac ;bc. 7eorema. Si a = )$ entonces a* ;) 7eorema. Si ) >a 8b & ) > c 8 $ entonces ac 8 b. 7eorema. Si a & b %enen el mismo signo$ entonces ab ;). Si a & b son e i,erente signo$ entonces ab 8 ). 7eorema. a<( %ene el mismo signo 6ue a. 7eorema. Si a & b %enen el mismo signo & a 8 b$ entonces a <( ; b<( 7eorema. Si a ? ) & b ?)$ entonces a * ; b*. Si & solo si a ; b. 7eorema. Si b ? )$ entonces a* ; b si & solo si a ; 7eorema. Si b; )$ entonces a*8 @ si & solo si

7eorema.

a

 b s" & solo si

b?) &
-

b o a <

-

b 8a8

b .

b .

oab

Carretera Toluca-Atlacomulco Km. 44.8, Ej!o !e "a# $ua# % "a# A&u't(#, $ocottl)# E'ta!o !e M*+co, C.. / Tel'. 01 /123 1211, 12148 % 121115 e-mal6 co#tacto7te'jo.e!u.m+5 tt96::te'jo.e!ome+.&o;.m+:


a

8 b s" & solo si
a

; b s" & solo si a

?* I'd%cac%o'e( /esol'er los siguientes problemas e esigualaes lineales$ cuará%cas & con 'alor absoluto.

a@ ?<  B  <? 5@ .<.  <  / c@ 3  1  *B 5 x

* Proced%m%e'#o( /esol'er las esigualaes inicaas en el punto  aplicano los teoremas inicaos en B*

la parte *$ e manera manual . D%!o%c%8' de re%d"o( o aplica.

*

Re"$#ado( aD

 ;
bD

;

cD

<

3 2

0

B 8 <*

4 5

& G.

1* A'á$%% de Re"$#ado( /epresentar geométricamente los resultaos obtenios. 2* C"eto'ar%o( aD bD

c) D

EBplica el concepto e esiguala Cuantos %pos e esigualaes conoces Escribe una propiea e las esigualaes. ué se ob%ene como soluci0n e una esiguala

* Co'c$"%o'e(



NOM)RE DE LA PRÁCTICA( peraciones entre ,unciones Práctca No* * Fec=a de rea$%,ac%8'( () e agosto el *)(+ A%&'a#"ra( Cálculo i,erencial Carrera( Ing. En Sistemas Computacionales U'%dad de A!re'd%,a>e( -nia*: Kunciones Número de !ráctca( * O5>et3o( Comprener el concepto e ,unci0n real & %pos e ,unciones$ as" como estuiar sus propieaes & operaciones.

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Ma#er%a$e

Calculaora


T%em!o a%&'ado( * 1 React3o 

O5er3ac%o'e( 0* I'#rod"cc%8'( En la 'ia co%iana se relacionan os o más 'ariables$ como pueen ser peso & estatura. Posici0n e un ob3eto con el %empo$ o bien$ temperatura en algn punto el espacio. En la presente prác%ca se presenta el concepto e ,unci0n real e 'ariable real$ los %pos e ,unciones$ propieaes & las operaciones entre ,unciones.

.* Marco Te8r%co( -na ,unci0n es un con3unto e pares orenaos e elementos tales ningunos os pares is%ntos %enen el mismo primer elemento. El con3unto e los primeros elementos e los pares orenaos se llama ominio e la ,unci0n$ & el con3unto e los segunos elementos se llama rango e la ,unci0n. 2a gráLca e una ,unci0n real e 'ariable real es una cur'a en un plano$ un punto o ningn lugar geométrico. Se %enen otros %pos e ,unciones como son: las ,unciones 'ectoriales e 'ariable real$ cu&a gráLca es una cur'a en un plano o en el espacioM ,unciones reales e 'ariable 'ector$ cu&a gráLca es una superLcie$ & otras. Esta prác%ca se limita a las ,unciones reales e 'ariable real. Carretera Toluca-Atlacomulco Km. 44.8, Ej!o !e "a# $ua# % "a# A&u't(#, $ocottl)# E'ta!o !e M*+co, C.. / Tel'. 01 /123 1211, 12148 % 121115 e-mal6 co#tacto7te'jo.e!u.m+5 tt96::te'jo.e!ome+.&o;.m+:


#entro e las ,unciones reales e 'ariable real se estuian las ,unciones algebraicas & trascenentes Ntrigonométricas$ logar"tmicas & eBponencialesD. 2as operaciones eLnias entre ,unciones reales e 'ariable real son las siguientes: Aici0n & mul%plicaci0n$ cociente & composici0n e ,unciones.

De6'%c%8'* Si , & g son ,unciones reales con ominio #, O #g respec%'amente$ entonces ,  g & ,g son ,unciones con ominio #,  #g & reglas e corresponencia ,  gQ NBD  ,NBD  gNBD ,gQNBD  ,NBDgNBD

De6'%c%8'* Si , es una ,unci0n real$ entonces ,NBD =) & regla e corresponencia 

1

f

QNBD 

1

f

es la ,unci0n con ominio los elementos B R#, tales 6ue

1 f ( x)

De6'%c%8'* Si , & g son ,unciones$ entonces 1

f

1

 ,

g

#eLnici0n. 2a composici0n e , con g$ es la ,unci0n cu&o ominio consiste en los elementos B R#g tales 6ue gNBD R#, & cu&a regla e corresponencia es ,gNBDQ.

3.

I'd%cac%o'e( #aas las ,unciones algebraicas FH<@ 
4.

Proced%m%e'#o( /ealizar la operaciones entre ,unciones inicaas en el punto  aplicano la parte conceptual e la parte *.

5.

D%!o%c%8' de re%d"o( o aplica.



*

Re"$#ado( a@ K?  <. 0/< 5@ KB .< 2
7.

A'á$%% de Re"$#ado( 7razar la gráLca e caa resultao obtenio.

2* C"eto'ar%o( aD bD cD D eD ,D

EBplica el concepto e ,unci0n real e 'ariable real. ué se ob%ene como gráLca e una ,unci0n real e 'ariable real. Cuantos %pos e ,unciones conoces$ escr"belos. A 6ue se conoce como ominio e una ,unci0n. A 6ué se conoce como rango e una ,unci0n. enciona e3emplos e la 'ia co%iana$ en one se relacionen os o más 'ariables.

* Co'c$"%o'e(

NOM)RE DE LA PRÁCTICA( 2"mites & con%nuia e ,unciones Práctca No*  Fec=a de rea$%,ac%8'( () e agosto el *)(+ A%&'a#"ra( Cálculo i,erencial Carrera( Ing. En Sistemas Computacionales Carretera Toluca-Atlacomulco Km. 44.8, Ej!o !e "a# $ua# % "a# A&u't(#, $ocottl)# E'ta!o !e M*+co, C.. / Tel'. 01 /123 1211, 12148 % 121115 e-mal6 co#tacto7te'jo.e!u.m+5 tt96::te'jo.e!ome+.&o;.m+:


U'%dad de A!re'd%,a>e( -nia: 2"mites & con%nuia e ,unciones Número de !ráctca(  O5>et3o( Comprener el concepto e l"mite e ,unciones & aplicarlo para eterminar anal"%camente la con%nuia e una ,unci0n en un punto o en un inter'alo & mostrar gráLcamente los i,erentes %pos e iscon%nuia.

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Ma#er%a$e

Calculaora

T%em!o a%&'ado( * 1 React3o




O5er3ac%o'e( 0* I'#rod"cc%8'( El concepto e l"mite es primorial para muc1os problemas e Tsica$ ingenier"a & ciencias sociales. @ásicamente la pregunta es ésta: U6ué pasa con la ,unci0n ,NBD cuano B se acerca a alguna constante c eBisten 'ariaciones e este tema$ pero la iea básica es la misma en muc1as circunstancias.

.* Marco Te8r%co( De6'%c%8'* El nmero 2 se ice 6ue es el l"mite e la ,unci0n , en B o si para caa nmero V ; )$ eBiste un nmero W ; ) tal 6ue siempre 6ue B esté en el ominio e , &

)8 x  xo 8 W Entonces f ( x )

 L

8V

De6'%c%8'* #ecir 6ue l"m ,NBD  2 signiLca 6ue cuano B está cerca pero i,erente e c$ X

C

Entonces ,NBD está cerca e 2.

Teorema o5re $m%#e de 9"'c%o'e Sean ,NBD$ gNBD ,unciones reales & c una constante$ entonces aD

2im c  c Carretera Toluca-Atlacomulco Km. 44.8, Ej!o !e "a# $ua# % "a# A&u't(#, $ocottl)# E'ta!o !e M*+co, C.. / Tel'. 01 /123 1211, 12148 % 121115 e-mal6 co#tacto7te'jo.e!u.m+5 tt96::te'jo.e!ome+.&o;.m+:


bD

2im cB c limB

cD

2im N, X gD  lim , X lim g

D

2im

f g



lim f lim g

Co't'"%dad de 9"'c%o'e -na ,unci0n ,NBD es con%nua en Si: aD bD

X

C

KN c D eBiste. 2im ,NBD $ también eBiste.

X

C

CD 2im ,NBD  ,Nc D.

T%!o de d%co't'"%dad a@ E3%#a5$e * F(x) F(x)

X= c

bD

x

#e salto

F(x) F(x) Carretera Toluca-Atlacomulco Km. 44.8, Ej!o !e "a# $ua# % "a# A&u't(#, $ocottl)# E'ta!o !e M*+co, C.. / Tel'. 01 /123 1211, 12148 % 121115 e-mal6 co#tacto7te'jo.e!u.m+5 tt96::te'jo.e!ome+.&o;.m+:


x

X= 0

?* I'd%cac%o'e( Encontrar el l"mite en caa caso. a) 2im N *B* <B (D X

b) 2im X

3

x

2

 x  6 x  3 3

c) #eterminar si la ,unci0n mostraa en el inciso a es con%nua

* Proced%m%e'#o( Calcular los l"mites & con%nuia e las ,unciones inicaas en el punto  aplicano la parte conceptual e la parte *.

B* D%!o%c%8' de re%d"o( o aplica.

*

Re"$#ado( a@ 0/ 5@ B c@ S% e co't'"a



1* A'á$%% de Re"$#ado( 7razar la gráLca e caa resultao obtenio. 2* C"eto'ar%o( a) EBplica el concepto e l"mite e una ,unci0n. b) Escribe os propieaes e l"mites. cD D

Cuáles son las coniciones 6ue se eben e cumplir para 6ue una ,unci0n sea con%nua. Cuantos %pos e iscon%nuia e ,unciones conoces. Escr"belos.

* Co'c$"%o'e(

NOM)RE DE LA PRÁCTICA( Cálculo e eri'aas Práctca No* F Fec=a de rea$%,ac%8'( () e agosto el *)(+ A%&'a#"ra( Cálculo i,erencial Carrera( Ing. En Sistemas Computacionales U'%dad de A!re'd%,a>e( -nia F: #eri'aas Número de !ráctca( F



O5>et3o( Comprener el concepto e eri'aa para aplicarlo como la 1erramienta 6ue estuia & analiza la 'ariaci0n e una 'ariable con respecto a otra.

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Ma#er%a$e

Calculaora



O5er3ac%o'e( 0* I'#rod"cc%8'( En matemá%cas$ la eri'aa e una ,unci0n es una meia e la rapiez con la 6ue cambia el 'alor e ic1a ,unci0n matemá%ca$ segn cambie el 'alor e su 'ariable inepeniente. 2a eri'aa e una ,unci0n es un concepto local$ es ecir$ se calcula como el l"mite e la rapiez e cambio meia e la ,unci0n en un cierto inter'alo$ cuano el inter'alo consierao para la 'ariable inepeniente se torna caa 'ez más pe6ue4o. Por ello se 1abla el 'alor e la eri'aa e una cierta ,unci0n en un punto ao. En esta prác%ca se consieran nicamente ,0rmulas para eri'ar ,unciones algebraicas.

.* Marco Te8r%co( Si , es una ,unci0n$ entonces ,Y$ la eri'aa e ,$ es la ,unci0n con regla e corresponencia.

KYNBD  lim

h

f ( x  h)  f ( x ) h 0

ue %ene como ominio el con3unto e toos los nmeros el ominio e , para los 6ue eBiste tal l"mite.

7eoremas sobre eri'aas Si , & g son i,erenciables en un inter'alo$ & es una constante.

aD bD

#, gQ  #, #g #,gQ  , #g g#, Carretera Toluca-Atlacomulco Km. 44.8, Ej!o !e "a# $ua# % "a# A&u't(#, $ocottl)# E'ta!o !e M*+co, C.. / Tel'. 01 /123 1211, 12148 % 121115 e-mal6 co#tacto7te'jo.e!u.m+5 tt96::te'jo.e!ome+.&o;.m+:


cD

#cgQ  c #g

d) #

f g

gDf  fDg 

2

g

e) #, n  n, n<(#, ,D

#c  )

?* I'd%cac%o'e( #aas las ,unciones algebraicas FH<@ 
GH<@ 

2 x



5x

x 1 HK@  HK0@ ? De#erm%'ar* a@ F 5@ G c@ 

* Proced%m%e'#o( Calcular las eri'aas inicaas en el punto  aplicano la parte conceptual e la parte *.

B* D%!o%c%8' de re%d"o( o aplica.

*

Re"$#ado( a@ ?K.0<



2

5@

2 x

c@

?H<0@.



4x  5 2

( x 1)

1* A'á$%% de Re"$#ado( 7razar la gráLca e caa resultao obtenio. 2* C"eto'ar%o( aD

EBplica la interpretaci0n geométrica e la eri'aa.

* Co'c$"%o'e(

NOM)RE DE LA PRÁCTICA( áBimos & m"nimos e una ,unci0n Carretera Toluca-Atlacomulco Km. 44.8, Ej!o !e "a# $ua# % "a# A&u't(#, $ocottl)# E'ta!o !e M*+co, C.. / Tel'. 01 /123 1211, 12148 % 121115 e-mal6 co#tacto7te'jo.e!u.m+5 tt96::te'jo.e!ome+.&o;.m+:


Práctca No* 5 Fec=a de rea$%,ac%8'( () e agosto el *)(+ A%&'a#"ra( Cálculo i,erencial Carrera( Ing. En Sistemas Computacionales U'%dad de A!re'd%,a>e( -nia 5: Aplicaciones e la eri'aa Número de !ráctca( 5 O5>et3o( Aplicar el concepto e la eri'aa para la soluci0n e problemas e op%mizaci0n & e 'ariaci0n e ,unciones & el e i,erencial en problemas 6ue re6uieren e aproBimaciones.

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Ma#er%a$e

Calculaora



O5er3ac%o'e( 0* I'#rod"cc%8'( 2a eri'aa es un concepto 6ue %ene 'ariaas aplicaciones. Se aplica en a6uellos casos one es necesario meir la rapiez con 6ue se prouce el cambio e una magnitu o situaci0n. Es una 1erramienta e cálculo ,unamental en los estuios e K"sica$ u"mica & @iolog"a$ o en ciencias sociales como la Econom"a & la Sociolog"a. Por e3emplo$ cuano se reLere a la gráLca e os imensiones e $ se consiera la eri'aa como la peniente e la recta tangente el gráLco en el punto . Se puee aproBimar la peniente e esta tangente como el l"mite cuano la istancia entre los os puntos 6ue eterminan una recta secante %ene a cero$ es ecir$ se trans,orma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretaci0n$ pueen eterminarse muc1as propieaes geométricas e los gráLcos e ,unciones$ tales como conca'ia o con'eBia.

.* Marco Te8r%co( De6'%c%8'. 2os puntos máBimos o m"nimos e una ,unci0n son los puntos en los cuales la eri'aa es igual a cero.

De6'%c%8'. 2os puntos cr"%cos e una ,unci0n son los 'alores e las abscisas$ para los cuales la eri'aa e la ,unci0n es cero. Proceimiento para calcular máBimos & m"nimos e una ,unci0n: Cr%#er%o de $a e&"'da der%3ada

a) btener la primera eri'aa e la ,unci0n. b) Igualar la eBpresi0n matemá%ca e la primera eri'aa a cero.

c)

btener los 'alores cr"%cos. Carretera Toluca-Atlacomulco Km. 44.8, Ej!o !e "a# $ua# % "a# A&u't(#, $ocottl)# E'ta!o !e M*+co, C.. / Tel'. 01 /123 1211, 12148 % 121115 e-mal6 co#tacto7te'jo.e!u.m+5 tt96::te'jo.e!ome+.&o;.m+:


d) btener la seguna eri'aa e la ,unci0n. eD

E'aluar caa uno e los 'alores cr"%cos en la ,unci0n e la seguna eri'aa. Si ,YYN Bo D ; ) eBiste un m"nimo e la ,unci0n en B  B o. EBiste un máBimo en caso contrario.

?* I'd%cac%o'e( #aas las siguientes ,unciones$ obtener los puntos máBimos & m"nimos en caa caso.

a@ FH<@  <.  2 < . /: ? 5@ GH<@  <  . <. ? .: . c@ HK@  Se' <  co < /: .Q * Proced%m%e'#o( Calcular las eri'aas inicaas en el punto  aplicano la parte conceptual e la parte *.

B* D%!o%c%8' de re%d"o( o aplica. *

Re"$#ado( a@ Má<*  . b) Má<*  0: 0 : m'*  / c) Má<* ).9: m'*  ?*

1* A'á$%% de Re"$#ado( 7razar la gráLca e caa resultao obtenio. 2* C"eto'ar%o( aD EBplicar ,unci0n creciente bD EBplicar ,unci0n ecreciente cD EBplicar punto e inZeBi0n. D EBplicar cuano ,YYNBoD  )

* Co'c$"%o'e(


Practicas de Calculo Diferencial

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