UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSÍ FACULTAD DE INGENIERÍA ÁREA MECÁNICA ELÉCTRICA
Laboratorio de
MODELADO Y SIMULACIÓN
Práctica #10 Solución de una ecuación diferencial Solución
“
ordinaria en Simulink
”
Nombre: Antonio Sanjuanero Herrera Carrera: Electricidad y automatización Instructor: Luis Armando Gaviño Rivera Fecha de entrega: 31 de octubre de 2016
Introducción
Una ecuación diferencial ordinaria se puede representar mediante un diagrama de bloques. Los diagramas de bloques se pueden usar para representar cada uno de los subsistemas que conforman el modelo de un sistema más complejo. Cada uno de estos subsistemas tiene su propia función de transferencia. Los elementos del diagrama de bloques utilizados en esta práctica son: sumador, deslizador de ganancia, bloques de entrada, función matemática y producto. La forma de visualizar la respuesta de la ecuación diferencial es a través de un “scope” en el cual se puede visualizar la gráfica del comportamiento del sistema, como se hizo en la práctica anterior. Para representar la ecuación diferencial en diagrama de bloques es necesario despejar la derivada de mayor orden de la EDO para posteriormente poder determinar qué términos corresponden a cada elemento del diagrama de bloques. Para determinar la función de transferencia, es necesario aplicar la transformada de Laplace a la ecuación diferencial.
Actividad
La actividad realizada en el laboratorio fue la siguiente.
Representación de
0.4 = 0.6 en diagrama de bloques
Visualización de la respuesta de la ecuación diferencial
En esta primera parte de la actividad se puede ver que el bloque “add” suma las señales. Con los bloques “gain” se multiplica las señales que entran a estos. Con los bloques “integrator” la derivada disminuye su orden, obteniendo así la primer derivada y la variable dependiente. A la entrada se tiene un “step” que corresponde a un pulso, y a la salida esta el “scope” en el cual se visualiza la respuesta de este sistema.
Representacion de la funcion
58 en diagrama de bloques
Visualización de la funcion
En esta segunda parte no se representó una EDO, sino una función exponencial. En el diagrama de bloques se puede notar que ahora se utiliza el bloque “product” el cual realiza la multiplicación de sus dos entradas. Además, ahora a la entrada se tiene una rampa en lugar de un escalón (step).
Desarrollo Representar gráficamente la corriente del inductor en función del tiempo i(t) para 0
1. Diagrama de bloques.
Diagrama de bloques obtenido a partir de la EDO.
Visualización de la respuesta a la entrada escalón de la EDO.
Observaciones
Con este diagrama se da solución a la EDO planteada para el circuito RL. Se puede observar en la gráfica que, efectivamente, la respuesta corresponde al efecto transitorio de un inductor. Después de un determinado tiempo el sistema se estabiliza hasta llegar a un valor constante.
2. Función de transferencia del sistema de primer orden. La función de transferencia obtenida a partir del circuito RL y aplicando la transformada de Laplace para condiciones iniciales nulas, es decir, corriente en el inductor igual a cero en tiempo igual a cero ( ) es la siguiente:
0 = 0
1 = 1.3+4
Diagrama de bloques para la función de transferencia obtenida.
Visualización de la función de transferencia para una entrada escalón.
3. Ecuaciones que determinan la corriente del inductor para todo tiempo. Las ecuaciones que determinan la corriente del inductor son las siguientes:
= (1 ) 0 < < 0.5 = − . 1 0.5 <
1 2
Para los valores de voltaje, resistencia e inductancia dados:
1
= 31 .77
2
= −.773. 1 0.5 <
0 < < 0.5
Ecuación (1).
Diagrama de bloques de la ecuación (1).
Observaciones.
Se inicia con una rampa la cual representa una pendiente positiva que en este caso es igual a “t”. La señal de la rampa pasa a una ganancia de 3.077, por lo tanto, hasta aquí tenemos: 3.077*t.
Esta señal (3.077*t) pasa a tomar el lugar del argumento de “math function”, que en este caso
corresponde a una función exponencial. Por lo tanto, hasta aquí tenemos:
.77 .
Después, la señal que tenemos pasa a un “add” con el cual se obtiene la diferencia entre un escalón (1) y .77 la señal actual. A la salida del “add” se tiene: Por último, esta nueva señal entra al bloque “product” donde es multiplicada por la constante “3”, para .77 La salida del bloque “product” entra al scope donde que finalmente de esta forma tener: 3(
se podrá visualizar la respuesta.
1 1 .
.
Ecuación (2). Segunda parte
Primera parte
Diagrama de bloques de la ecuación (2).
Observaciones.
Primera parte.
Se comienza con una rampa que designa el valor de la pendiente “t”. La señal de esta rampa pasa a un “gain” con valor de 1.538. Con esto se obtiene: 1.538*t. Esta señal pasa a la entrada del bloque “math function” el cual corresponde a una función exponencial.
A la salida de este bloque se tiene:
..
La salida del bloque “math function” pasa, junto con un escalón, a la entrada de un “add” donde se realizará la diferencia entre “math function” y el escalón (step). Por ahora se deja la señal como esta y se
pasa a analizar la otra parte de la ecuación. Segunda parte.
Para la siguiente parte, se comienza, de igual forma que en la anterior, con una rampa la cual designa el valor de “t”.
Esta señal pasa a un gain con valor de -3.077 con lo cual se tiene: -3.077*t. -3.077*t pasa a la entrada de otro bloque “math function” con la función exponencial seleccionada. De esta forma, -3.077*t se convierte en el argumento del bloque “math function” con lo cual se tiene a la salida del mismo lo siguiente: −.77 . Ahora, esta señal pasa, junto con la constante “3”, a la entrada de un bloque “product”, por lo tanto, se −.77 . tiene a la salida: Por último, se retoma la señal de la primera parte, la cual entra junto con la señal obtenida en el paso . . anterior, a un bloque “product” para que de esta manera se tenga finalmente: −.77
3
Esta señal entra a un “scope” donde podrá ser visualizada la respuesta de la ecuación.
3
1
Ecuación (1).
Visualización de la respuesta de la ecuación (1).
Ecuación (2).
Visualización de la respuesta de la ecuación (2).
Conclusiones
El uso de Simulink para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias resulta muy utilitario ya que ésta herramienta permite expresar la ecuación diferencial de una manera mucho más sencilla a que cuando se ingresa la misma ecuación diferencial en la ventana de comandos de Matlab utilizando alguno de los comandos de resolución de ecuaciones diferenciales tales como los “ ODE”.
Tanto en la gráfica de la ecuación diferencial como en la gráfica de la función de transferencia, se puede observar claramente cómo el sistema se estabiliza hasta llegar a un valor constante. Ambas graficas son iguales, puesto que provienen del mismo modelo. Las gráficas de respuesta de la ecuación diferencial corresponden a intervalos de tiempo distintos, por lo tanto, ambas graficas tienen que ser distintas. Para obtener la función de transferencia fue necesario hacer uso de la transformada de Laplace. Como es sabido, para utilizar la transformada de Laplace, es necesario conocer las condiciones iniciales del sistema, mismas que no son mencionadas en el manual pero pueden deducirse debido a que el circuito inicialmente se encuentra con un voltaje de fuente de alimentación igual a cero, debido a que la fuente es un escalón, esto quiere decir que en un tiempo antes de cero y en tiempo igual a cero el valor del voltaje de la fuente es cero y ,como no se menciona tampoco que el inductor esta inicialmente cargado, se supone una corriente inicial igual a cero, esto es,
0 = 0.
