APLICACIONES ECONÓMICAS DE LA DERIVADA Después de haber presentado diversos acercamientos al Cálculo Diferencial, se sabe que éste es un instrumento importante importante para resolver problemas problemas de economía economía y administración. administración. Desde esta perspectiva, en este material, se abordan diversas aplicaciones de la derivada en relación con problemas de estas disciplinas, aplicaciones que hacen uso de conceptos tales como costo, ingreso y utilidad. Las aplicaciones abordan desde el análisis marginal, el cual hace referencia al estudio de la razón de cambio de cantidades cantidades económicas. Plantear la razón de cambio indica indica que se hace uso de la derivada. En el ámbito de las aplicaciones aplicaciones que aquí se estudian, la derivada permite aproximar aproximar el cambio en una variable dependiente cuando la variable independiente se incrementa en una unidad.
Ingreso marginal El concepto de ingreso marginal plantea la manera como se afectan los ingresos por cada nueva unidad que se produce y se vende. Esto es, se asigna la expresión I(x) a los ingresos que se obtienen al vender x número de artículos, lo que muestra es que el ingreso marginal es el ingreso que se obtiene al vender el artículo x artículo x + 1. Para conocer el ingreso que se obtiene en la venta de la unidad x unidad x + 1 se resuelve la siguiente resta:
( + 1) − () ()
(1)
Lo que se obtiene en la expresión anterior son los ingresos en la venta de x de x artículos, incrementada en 1, menos los ingresos en la venta de x de x artículos. La expresión presentada por la diferencia que se da en (1) corresponde a la razón de cambio de los ingresos cuando se aumenta aumenta la producción en una unidad. unidad. En otras palabras, palabras, lo que se está diciendo con respecto a la relación entre el ingreso y las unidades de artículos es que:
△ △
= ( + 1) − () ()
La expresión anterior indica la razón entre el incremento ∆I con respecto al incremento ∆x y es igual al la diferencia entre el ingreso que produce el aumento x aumento x + 1 y el ingreso de la unidad x. unidad x. Ahora bien, se tiene que la derivada del ingreso I’(x) es el límite de la razón
Δ Δ
cuando ∆x tiende a
cero. Este resultado resultado lo que que permite es utilizar la derivada de la función ingreso como una aproximación del ingreso de producir y vender la unidad x unidad x + 1. De forma simbólica, se tiene:
′ () ≈ ( + 1) − ( )
(2)
El símbolo ≈ indica que son aproximadamente iguales la derivada de la función ingreso y la diferencia entre el ingreso que produce la unidad x unidad x + 1 y el ingreso de la unidad x. unidad x. Ahora, con los elementos antes señalados, se presenta la definición del ingreso marginal.
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La función de ingreso marginal es la derivada de la función ingreso I(x), y se representa como I’(x). El valor que se obtiene de esta derivada es una aproximación del ingreso verdadero cuando se vende una unidad adicional de cierto producto o servicio. La definición muestra que el resultado al calcular la derivada de la función ingreso no es un valor exacto, sino una aproximación.
Ejemplo 1 El ingreso total mensual de un pequeño industrial está representado por () = 3.200 − 0,6 Bolívares, cuando produce y vende x unidades mensuales. Actualmente el industrial produce 100 unidades al mes y planea incrementar la producción en 1 unidad. a) Utilizar la función de ingreso marginal para estimar el ingreso que generará la producción y venta de la unidad 101. b) Utilizar la función de ingreso para calcular exactamente el ingreso que genera la producción y venta de la unidad 101. Solución a) Al calcular el ingreso adicional que genera la producción y venta de la unidad 101, hacemos uso de la parte izquiera dda la expresión (2), es decir, calculamos la derivada de la función ingreso, que es:
′ () = 3.200 − 1,2 Para conocer el caso particular de la unidad 100, evaluemos la derivada de la función en = 100, y obtenemos:
′ (100) = 3.200 − 1,2(100) = 3.200 − 120 = . 3.080 Este resultado es una aproximación al ingreso que se genera al producir y vender la unidad 101. b) El ingreso exacto que se produce por la unidad + 1 lo obtenemos usando la expresión (1):
( + 1) − () = = = =
3.200( + 1) − 0,6( + 1) − (3.200 − 0,6 ) 3.200 + 3.200 − 0,6( + 2 + 1) − 3.200 + 0,6 3.200 − 0,6 − 1,2 − 0,6 + 0,6 3.199,40 − 1,2
Con el procedimiento anterior, se determina una expresión la cual señala el resultado de la diferencia del ingreso de la unidad + 1 y la unidad . Ahora bien, el propósito es calcular el caso del ingreso cuando se produce y vende la unidad 101. Entonces lo que haremos es sustituir x por 100 en la expresión encontrada:
(101) − (100) = ( + 1) − () = 3.199,40 − 1,2 = 3.199,40 − 1,2(100) = . 3.079,40
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Otra expresión de la función ingreso Como el interés de este apartado es estudiar las aplicaciones con respecto a la función de ingreso, se presenta otra forma de expresarla, lo que permite ver mejor el objeto de estudio que se está abordando. En este caso, la función de ingreso se relaciona con la función de demanda de la siguiente forma:
() = ∙ donde p es el precio de venta de cada artículo (precio unitario) y x el número de artículos vendidos. El precio de venta unitario p se relaciona con la cantidad x demandada del artículo.
Ejemplo 2 En una fábrica de calculadoras electrónicas, la relación del precio unitario p en bolívares y la cantidad de la demanda x de un modelo de calculadora está dada mediante la siguiente ecuación:
= 650 − 0,03
0 ≤ ≤ 25.000
a) ¿Cuál es la función de ingreso? b) ¿Cuál es la función de ingreso marginal? c) Utilizar la función de ingreso marginal para estimar el ingreso adicional que generará la producción y venta de la unidad 9001. d) Utilizar la función de ingreso para calcular exactamente el ingreso que genera la producción y venta de la unidad 9001. Solución a) La función de ingreso la podemos obtener de la siguiente manera:
( ) = ∙ = (650 − 0,03) = 650 − 0,03
0 ≤ ≤ 25.000
b) La función de ingreso marginal está dada por la derivada de la función de ingreso:
′ () = 650 − 0,06 c) Una aproximación al ingreso generado al producir y vender la unidad 9.001 se obtiene al calcular el ingreso marginal en 9.000:
′ (9.000) = 650 − 0,06(9.000) = 110 Este resultado muestra el ingreso obtenido por la venta de la unidad 9.001, que es aproximadamente Bs. 110. d) El ingreso exacto que se obtiene al producir y vender la unidad 9.001 se determina al calcular la siguiente diferencia: ( + 1) − () = (9.001) − (9.000)
= 650(9.001) − 0,03(9.001) − [650(9.000) − 0,03(9.000) ] = 650 − 540,03 = 109,97 .
Costo marginal El cálculo de las utilidades de una actividad productiva requiere, además de los ingresos, los costos de producción, razón por la cual es de interés abordar el costo marginal. 3
Al igual que en el ingreso marginal, si la producción se incrementa en una unidad, entonces el incremento de x es ∆ x = 1. Así, se tiene que:
∆ = ( + ∆ ) − () = ( + 1) − () Es decir, el costo marginal C’(x) es una aproximación al costo de producir la unidad x + 1. Esto es:
′ () ≈ ( + 1) − () Con los planteamientos anteriores, el costo marginal se obtiene de la siguiente manera:
La función de costo marginal es la derivada de la función costo C(x) y se representa como C’(x). El valor que se obtiene al calcular la derivada de la función costo es una aproximación al costo verdadero cuando se produce una unidad más de cierto producto. La afirmación anterior señala que se desea conocer el costo que genera producir x unidades de un artículo más una unidad, la manera de estimar el costo de este proceso es haciendo uso de la derivada. Si bien, el resultado no es un valor exacto, corresponde a una aproximación muy cercana.
Ejemplo 3 El costo total en bolívares para producir x metros de tela es:
() = 30.000 + 20 + 0,1 + 0,002 a) Hallar la función de costo marginal. b) Calcular C’(100) y analizar su significado. c) Comparar C’(100) con el costo de fabricación del 101 – ésimo metro. Solución a) Tenemos que la función de costo marginal es la derivada de la función costo. Entonces:
′ () = 20 + 0,2 + 0,006 b) El costo marginal en 100 lo determinamos al evaluar la derivada de la función costo en x = 100, por lo que obtenemos la siguiente expresión:
(100) = 20 + 0,2(100) + 0,006(100) = 100 Este resultado es una aproximación al costo de producir el 101-ésimo metro de tela, es decir:
(101) − (100) Es decir:
( + 1) − ( ) = [30.000 + 20( + 1) + 0,1( + 1) + 0,002( + 1) ] − (30.000 + 20 + +0,1 + 0,002 ) = 30.000 + 20 + 20 + 0,1( + 2 + 1) + 0,002( + 3 + 3 + 1) − 30.000 − 20 − −0,1 − 0,002 = 20 + 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,002 + 0,006 + 0,006 + 0,002 − 0,1 − 0,002 4
= 0,006 + 0,206 + 20,102 En esta expresión general, sustituimos x por 100 y esta operación nos permite obtener el costo de producción del 101-ésimo metro de tela:
(101) − (100) = 100,70 .
Costo marginal (costo promedio marginal) Con el propósito de complementar el análisis de la función costo, en este apartado se estudia el costo promedio como otro elemento de discusión del análisis marginal. El costo medio o promedio está relacionado con el costo total C(x) de producción de x unidades de un artículo. El costo medio de x unidades de este artículo se obtiene al dividir el costo total de producción entre el número de unidades producidas:
( ) =
()
La derivada de la función costo medio es llamada la función de costo medio marginal y mide la razón de cambio de la función de costo medio con respecto al número de unidades producidas.
Ejemplo 4 El costo total de producción de x envases para refrescos en una compañía embotelladora está dado por:
() = 200 + 20 + 0,5 Se pide: a) Calcular la función de costo promedio. b) Determinar la función de costo promedio marginal. Solución a) La función de costo medio para este caso es:
() =
()
=
200
+ 20 + 0,5
b) La derivada de la función costo medio es la función costo promedio marginal , esto es:
′ ( ) = −
200
+ 0,5
Utilidades marginales Luego de conocer los ingresos y el costo de una actividad productiva, se pueden determinar las utilidades que se obtienen.
Utilidad marginal Como la derivada depende de una variable independiente discreta, la utilidad marginal se determina de igual forma que se hizo con el ingreso y los costos. Se tiene que:
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La función de utilidad marginal es la derivada de la función utilidad U’(x). El resultado de la derivada es una aproximación a la utilidad que se obtiene de la producción y venta de una unidad adicional de un cierto artículo. Nótese que la definición permite ver que la derivada de la función utilidad se aproxima a la utilidad que se obtiene al producir y vender la unidad x + 1.
Ejemplo 5 Un fabricante estima que cuando se producen x número de artículos, el costo total en miles de bolívares está dado por ( ) = 0,2 + 4 + 200, y que el precio por unidad en miles de bolívares está dado por la función ( ) = 0,5(100 − ). Por ejemplo, si se venden 10 unidades, el precio de cada una es de (10) = 0,5(100 − 10) = 0,5(90) = 45, esto es, Bs. 45.000. Se pide: a) Calcular la función utilidad. b) Determinar la función de utilidad marginal. c) Calcular la utilidad de producir y vender la novena unidad con ayuda de la función utilidad marginal. Solución a) La función utilidad se obtiene restando los costos de los ingresos. Es decir:
() = () − () Como los ingresos se calculan multiplicando el número el número de unidades vendidas por el precio de venta unitario, tenemos que:
() = () ∙ = [0,5(1 0 0 − )] Luego, la utilidad está dada por:
() = 0,5(1 0 0 − ) − (0,2 + 4 + 200) = −0,7 + 46 − 200 b) La utilidad marginal es la derivada de la utilidad:
′ ( ) = −1,4 + 46 c) Para determinar la utilidad aproximada que se obtiene al producir la novena unidad basta sustituir x por 8 en U(x), lo que da:
′ (8) = −1,4(8) + 46 = 34,8 í Es decir, Bs. 34.800. d) La utilidad exacta al producir la novena unidad está dada por:
(9) − (8) = 157,3 − 123,2 = 34,10 í Es decir, Bs. 34.100.
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Ejemplo 6 Un fabricante determinó su utilidad mediante la siguiente función:
() = 3 + 3.900 − 130.000 Donde x representa el número de artículos producidos y vendidos. Se pide: -
Calcular el valor aproximado y el valor exacto de la utilidad que se obtiene al producir y vender la unidad 201
Solución La utilidad marginal es la derivada de U(x):
′ () = 6 + 3.900 El valor aproximado de la utilidad al producir y vender la unidad 201 está dado por U’(200), que es igual a:
′ (200) = 6(200) + 3.900 1.200 + 3.900 = . 5.100 La utilidad exacta que se obtiene al producir y vender la unidad 201 es:
(201) − (200) = 775.103 − 770.000 = . 5.103
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1 1. En una fábrica se determinó que el ingreso está determinado por () = 2.300 − 0,8 bolívares, cuando se vende x unidades de un cierto artículo al mes. Actualmente se producen 175 unidades y se planea incrementar la producción en una unidad. a) ¿Cuál es el ingreso marginal al producir la unidad 176? b) ¿Qué ingreso real generará la venta de la unidad 176? 2. El ingreso de una pequeña empresa está dado por ( ) = 4.400 + 24 + 920 bolívares, cuando se producen x unidades mensuales. Para este tiempo se producen 185 unidades y se proyecta un incremento de producción en una unidad. a) Hallar la función de ingreso marginal. b) Utilizar la función de ingreso marginal para determinar el ingreso que se obtendrá al vender la unidad 186. c) Hallar el ingreso real que se obtendrá con la venta de la unidad 186. 3. El ingreso total de una pequeña fábrica de estantes está dado por () = 480 + 0,1 bolívares, cuando se producen x unidades durante un mes. Actualmente se producen 160 unidades al mes y se planea aumentar la producción mensual en una unidad. Calcular, utilizando el análisis marginal, el ingreso adicional que genera la producción y venta de la unidad 161. 4. En el departamento de artículos de sonido de una tienda se tiene que el ingreso total por una clase de artículo que se vende mensualmente es de ( ) = −0,04 + 500 bolívares, donde x es el número de artículos vendidos. Actualmente se venden 1.999 unidades y se planea incrementar la producción y venta en una unidad cada semana. a) Hallar la función de ingreso marginal. b) Utilizar la función de ingreso marginal para determinar el ingreso obtenido en la venta de la unidad 2.000. c) Hallar el ingreso real en la venta de la unidad 2.000. 5. Si la función de ingreso total de una empresa está dada por () = 15 − 0,01 bolívares, donde x es el número de artículos vendidos. a) Determinar el ingreso marginal en x = 200, x = 500, x = 750, x = 950 y x =1.350. b) Analizar los resultados del ingreso marginal encontrados antes. 6. Una compañía de transporte terrestre tiene un ingreso mensual de () = 10.000 − 125 bolívares, cuando el precio por pasajero es x bolívares. a) Determinar la función de ingreso marginal. b) Calcular el ingreso marginal cuando x = 38, x = 40 y x = 42. c) Interpretar los resultados. En los ejercicios 7 a 9, dada la ecuación de demanda: a) Hallar la función de ingreso marginal.
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b) Utilizar la función de ingreso marginal para calcular el ingreso obtenido en la venta de la unidad señalada. c) Calcular el ingreso real obtenido en la venta de la unidad señalada. Donde x es el número de unidades y p el precio. 7. La ecuación de demanda es + 2 = 1.600 en la unidad 65. 8. La ecuación de demanda es 200 − 2.000 + = 0 en la unidad 300. 9. La ecuación de demanda es + 70 = 1.400 en la unidad 6. 10. El departamento de producción y desarrollo de una compañía que produce artículos para el hogar desarrolla un programa de comercialización de refrigeradores y determinó que su demanda es de:
= −0,05 + 900
0 ≤ ≤ 20.000
Donde p denota el precio unitario del refrigerador en bolívares y x la cantidad de demanda. a) ¿Cuál es la función de ingreso? b) =Cuál es la función de ingreso marginal? c) Hallar el ingreso marginal cuando x = 7.500.
Ejercicio 2 En los ejercicios 1 a 5, halle la función de costo marginal de las funciones de costo siguientes:
1. ( ) = − 3 + 580 + 970
2. − 2 + 400 + 2.000 3. ( ) = 320 + 20 4. ( ) = 0,006 − 0,2 + 35 + 3.500 5. () = 0,1 − 0,5 + 500 + 200 6. En una fábrica se determinó que cuando se produce x número de cierto vehículo, el costo total es de ( ) = + 6 + 128 bolívares. a) Determine la función de costo marginal. b) Emplee la función de costo marginal para calcular el costo de fabricar la cuarta unidad. c) ¿Cuál es el costo real de fabricar la cuarta unidad? 7. El costo total en bolívares de fabricar mensualmente x grabadoras en una compañía está dado por ( ) = 18.000 + 480 + 25 a) Hallar la función de costo marginal. b) Emplear la función de costo marginal para calcular el costo de fabricar la unidad 101. c) ¿Cuál es el costo real de fabricar la unidad 101?
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8. Una fábrica de partes para juguetes estima que el costo total en bolívares de producir x unidades de un prototipo está dado por () = 0,001 + 0,06 + 400. a) Hallar la función de costo marginal. b) Emplear la función de costo marginal para calcular el costo de fabricar 250, 400, 800 y 1.200 unidades. En los ejercicios 9 a 13 calcular el costo promedio marginal de las funciones costo total siguientes: 9. () = 0,0004 + 0,06 + 1.200 10. ( ) = 0,0003 + 8,5 + 8.400 11. ( ) = 2.500 + 130 + 0,001 12. () = 13. ( ) =
+
+ 400
+ 50 +
Ejercicio 3 En los ejercicios 1 a 3, C(x) es el costo total de producir unidades de un determinado artículo, y () es el precio por unidad en que se venderán las unidades. Determinar la función de utilidad marginal. 1. ( ) = 0,4 + 8 + 114
() = 0,25(2 6 − )
2. () = 0,2 + 6 + 230
() = 0,4(90 − )
3. () =
+ 4 + 630
() =
(78 − )
4. Una compañía de televisión por cable, luego de un estudio de sus utilidades, ha determinado que la relación que describe su utilidad anual () en bolívares en función de la tarifa de renta mensual en bolívares, es la siguiente:
() = −60.000 + 2.500.000 − 6.000.000 a) Hallar la función de utilidad marginal. b) Utilizar la función de utilidad marginal para calcular la utilidad aproximada cuando la renta es de Bs. 10. 5. En una empresa existe el estimativo de que al producir unidades de un determinado artículo, el costo total está dado por () = + 8 + 320 bolívares. El precio por unidad en bolívares depende del número de unidades producidas, y está dado por la función:
(1 5 0 − ) a) Hallar la función de utilidad marginal. b) Emplear la función de utilidad marginal para calcular la utilidad aproximada luego de producir y vender la unidad 15. () =
10
6. Una agencia de bienes raíces tiene en alquiler apartamentos de 3 habitaciones. La utilidad mensual en bolívares obtenida por el alquiler de apartamentos es:
() = −10 + 2.600 − 60.000 a) Hallar la utilidad marginal cuando se han alquilado los 50 primeros apartamentos. b) ¿Cuál es la utilidad real obtenida al alquilar el apartamento 51?
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Ejercicio 1 1. a) Bs. 2.020. b) Bs. 2.019,20. 2. a) ′ () = 4.400 + 48. b) Bs. 13.280. c) Producir la unidad 186 genera Bs. 13.304. 3. Bs. 448. 4. a) ′ () = −0,08 + 500 bolívares. b) Bs. 340,08. c) Bs. 340,04. 5. a) Bs. 11, Bs. 5, Bs. 0, Bs. -4, Bs. -12. b) El ingreso es máximo cuando se venden 750 artículos. 6. a) ′ ( ) = 10.000 − 250 b) Bs. 500, Bs. 0, Bs. -500. c) Los ingresos son máximos cuando la tarifa es aproximadamente de Bs. 40 por pasajero.+ 7. a) ′ ( ) = 6 4 −
b) Bs. 58,88. c) Bs. 58,84. 8. a) ′ () = 1 0 −
b) Bs. 7,01. c) Bs. 7,005. 9. a) ′ () = 2 0 −
b) Bs. 19,86. c) Bs. 19,84. 10. a) () = −0,05 + 900
b) ′ () = −0,1 + 900
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Ejercicio 2 1. ′ () = − 6 + 580 2. ′ () = 3 − 4 + 400 3. ′ () = 40 4. ′ () = 0,018 − 0,4 + 35 5. ′ () = 0,3 − + 5 0 0 6. a) ′ () = 2 + 6 b) . 12. c) . 13. 7. a) ′ () = 480 + 50 b) Bs. 5.480. c) Bs. 5.505. 8. a) ′ () = 0,002 + 0,06 b) Bs. 0,56; Bs. 0,86; Bs. 1,66 y Bs. 2,46. 9. () = 0,0004 − 10. ( ) = 0,0003 − 11. ( ) = −
.
2.500 + 0,002 2
12. () = − 13. ( ) = −
.
−
Ejercicio 3 1. ′ () = −1,3 − 1,5 2. ′ () = −1,2 + 30 3. ′ () = −1,66 + 35 4. a) ′ () = −120.000 + 2.500.000 b) Bs. 1.300.000. 5. a) ′ () = −1,4 + 67 b) Bs. 47,40. 6. a) Bs. 1.600. b) Bs. 1.590. 12
