∞
f ( x )= a o +
a cos ( nx ) + b sin ( nx ) ∑ = n
n
n
1
4 4 π 4 cos ( 3 x ) + cos ( 5 x ) f ( x )= + cos ( x ) + 2 π 9 π 25 π
%rfca de la unción con $ armónicos!
Ejercicio 17
Defnición de la unción en orma matemtica !
{
f ( x )= 0,∧− π < x < 0 x ,∧ 0 < x < π &lculo de los coefcientes de la serie ! π
( )∫ ( )
ao =
1
2 π − π
f x dx
π
( )∫ ( )
an =
1
π
f x cos ( nx ) dx
−π
asignamos "alores a n desde # hasta $ an
correspondientes a an 1=
−2 π
, an 2= 0, a n 3=
para obtener los coefcientes
!
−2
−2
, an 4 =0, an 5= 9 π 25 π
π
( )∫ ( )
bn =
1
π
f x sin ( nx ) dx
−π
De igual orma asignamos "alores a n desde # hasta $ coefcientes de bn 1=1, b n2 =
−1 2
bn
para obtener los
! 1
−1
3
4
, b n3 = , bn 4 =
, b n5 =
1 5
Finalmente con los coefcientes calculados procedemos a armar la serie de Fourier! ∞
f ( x )=a o +
a cos ( nx ) + b sin ( nx ) ∑ = n
n 1
n
π 2 1 2 1 1 2 1 f ( x )= − cos ( x ) + sin ( x )− sin ( 2 x ) − cos ( 3 x ) + sin ( 3 x ) − si n ( 4 x ) − cos ( 5 x ) + sin ( 5 x ) 4 π 2 9 π 3 4 25 π 5
Ejercicio 20
Defnimos la unción en orma matemtica !
{
− π
f ( x )=
2
, ∧−π < x <
−π 2
π π x , − < x < 2
2
π π , < x < π 2 2
&oefcientes de la serie ! π
( )∫ ( )
ao =
1
2 π − π
f x dx
π
( )∫ ( )
an =
1
π
f x cos ( nx ) dx
−π
π
( )∫ ( )
bn =
1
π
f x sin ( nx ) dx
−π
'signamos "alores a n desde # hasta $ para obtener los coefcientes de bn 1=
2 + pi
pi
, bn 2=
−1 2
1
−1
3
4
, bn 3= , b n 4=
, bn 5=
bn
!
1 5
Finalmente con los coefcientes calculados procedemos a armar la serie de Fourier! ∞
f ( x )= a o +
a cos ( nx ) + b sin ( nx ) ∑ = n
n
f ( x )=
2 + pi
pi
n
1
sin ( x )−
1 2
(
si n ( 2 x ) +
1 3
−
2 9 pi
)
sin ( 3 x ) −
1 4
(
sin ( 4 x ) +
2 25 pi
+
1 5
)
sin (5 x )
%rfca de la unción obtenida con la serie de Fourier!
Sección 11.2
(ncuentre la serie de Fourier de la unción )*+, con periodo p2-, y dibuje o grafque las tres primeras sumas parciales. )Muestre los detalles de su trabajo.+
(jercicio f ( x )=
πx
3
2
(−1 < x <1 ) , p=2
pre"iamente al clculo de los coefcientes de la serie y tomando en cuenta que es una unción que no tiene periodo de 2 π , entonces calculamos el "alor de -! p=2 L=2 L=2
' continuación procedemos al clculo de los coefcientes tomando en cuenta las órmulas correspondientes, como sigue! L
( )∫ ( )
ao =
1
2 L − L
f x dx
L
( )∫ ( ) ( )
an =
1
L
f x cos
− L
nπ x dx L
L
nπ x sin f ( x ) ∫ ( L ) ( L ) dx
bn =
1
− L
'signamos "alores a n desde # hasta para obtener los coefcientes de
bn
!
2
2
2
2
3− 2 π 3 π −2 3 −8 π π −6 bn 1= , bn 2= , bn 3 = ,b n 4= 2 2 2 2 4 π 9 π 32 π π
Procedemos a armar la serie de ourier con los coefcientes encontrados !
∞
f ( x )=a o +
a cos ( nx ) + b sin ( nx ) ∑ = n
n
n 1
2
2
2
2
π −6 3 −2 π 3 π −2 3 −8 π f ( x )= sin ( π x ) + sin ( 2 π x ) + sin ( 3 π x ) + sin ( 4 π x ) + … … . 2 2 2 2 4 π 9 π 32 π π %rfca de la unción encontrada!
(jercicio / f ( x )=
{ − + ∧∧−< << < = 1 x ,
1 x 0 1 x , 0 x 1, p 2
calculamos el "alor de - ! p=2 L=2 L=2
&lculo de los coefcientes! L
( )∫ ( )
ao =
1
2 L − L
L
f x dx
nπ x ( ) f x cos ∫ ( L ) ( L ) dx
an =
1
− L
'signamos "alores a n desde # hasta para obtener los coefcientes de an 1=
4 2
π
, an 2= 0, a n 3=
4 2
9 π
, an 4= 0
L
nπ x f ( x ) sin ∫ ( L ) ( L ) dx
bn =
1
− L
Procedemos a armar la serie de ourier con los coefcientes encontrados !
∞
f ( x )= a o +
a cos ( nx ) + b sin ( nx ) ∑ = n
n
n
1
f ( x )=
4 2
π
cos ( π x ) + 0 +
4 2
9 π
cos ( 3 π x ) + … ….
an
!
%rfca de la unción encontrada!
Ejercicio 12
)Rectifcador) (ncuentre la serie de Fourier de la unción que se obtiene al hacer pasar el "oltaje
0abemos que T =
T =
w =2 π f
v ( t )= E cos ( 100 π t )
y
2 pi
w 2 pi 100 pi
=0.02= p
(ntonces - es! L=
L=
p 2
0.02 2
=0.01
&lculo de los coefcientes!
por un rectifcador de media onda.
f =1 / T , entonces!
-a ecuación obtenida para los coefcientes de
an
muestran que la unción no
est defnida para in#, por lo tanto los coefcientes se tomaran a partir de n2. an 2=
2 E 3 π
, a n3 =0, an 4 =
−2 E 15 π
, a n 5 = 0 , an 6 =
2 E 35 π
-a serie de Fourier por lo tanto queda establecida como sigue! E 2 E 2 E 2 E cos ( 200 π x ) − cos ( 4 00 π x ) + cos ( 6 00 π x ) + … … . f ( x )= + 15 π 35 π π 3 π
(jercicio 21 (P(34M(567 P'3' &'0 . Fenómeno de %ibbs. -as sumas parcilaes
s nx
de una serie de Fourier muestran oscilaciones cerca
de un punto de discontinuidad. -as oscilaciones no desaparecen al aumentar n , si no que se con"ierten en 8puntas8 agudas. Fueron e*plicadas en t9rminos matemticos por :.;.%ibbs. %rafque
s nx
del problema #1. cuando n$1, por
decir un "alor , "era esas oscilaciones claramente.
Ejercicio 20
Defnición de la unción en orma matemtica ! f ( x )=
{
0, ∧−2 < x < 0 x , ∧0 < x < 2, p =4
&lculo de los coefcientes de la serie !
asignamos "alores a n desde # hasta $ an
correspondientes a an 1=
−4 2
π
, an 2= 0, a n 3=
para obtener los coefcientes
!
−4
−4
, an 4= 0, an 5= 2 2 9 π 25 π
De igual orma asignamos "alores a n desde # hasta $ coefcientes de
bn
!
−1
2
para obtener los
−1
2
2
bn 1= , b n2 = , b = , b = , b = π π n 3 3 π n 4 2 π n 5 5 π
Finalmente con los coefcientes calculados procedemos a armar la serie de Fourier! ∞
f ( x )= a o +
a cos ( nx ) + b sin ( nx ) ∑ = n
n
1
4
2
pi
f ( x )= −
n
1
cos 2
( ) pix 2
+
2
pi
sin
( ) pix 2
−
1
pi
sin ( pix ) −
4 9 pi
( )
cos 3 2
pix 2
+
2 3 pi
( )
sin 3
pix 2
−
1 2 π
' continuación se presenta un anlisis grfco de la serie obtenida con ! a+ 2$ armónicos, b+ $1 armónicos y c+#11 armónicos.
sin ( 2 pix )−
4 25 pi
'nlisis grfco! 0i nos fjamos en las grfcas mostradas "emos que la grfca que tiene el mayor n
