Informáticos 09 USM Campus Santiago
http://informaticosusm.uni.cc/
Ejercicios Resueltos de Series 1 Criterios de Convergencia para Series de Términos Positivos (1)
+12 Acotando superiormente la serie, se tiene que
<+1 1 + 1 < 1 + 1 < 1 1 +1 2 < 12 +1 2 < 2 1 + 12 < 2 1 2 es convergente, ya que es una serie geométrica y 12 < 1, por criterierio de comparaci comparación,ón, la serie + 12 converge. 1 +ln +ln
Luego, como
(2)
Acotando inferiormente, se tiene que
< ∀>0 l+ln n < +ln < 2 12 < +ln 1 +ln 12 1 < +ln 1 +ln Luego, como
12 1 diverge, entonces por criterio de comparación, la serie +ln 1 +ln también diverge. PÁGINA 1 de 3
Informáticos 09 USM Campus Santiago (3)
http://informaticosusm.uni.cc/
1
Utilizando el criterio de comparación al límite y la serie divergente
1
Se tiene que
l→im =lim→ 1 =1 ≠0 1 1 diverge, entonces por criterio de comparación al límite, la serie diverge.
Luego como
(4)
1+
>0
Utilizando el criterio de la integral, sea
, tal que
= 1+ ,+∞ −2 = ∙ 1+ 1−2 = 1+ es siempre positivo, por lo tanto no sirve para determinar el intervalo 1+ <0 ↔ 1−2<0 ↔ > 12 ,+∞ 1> 1,+∞ 1+ = → lim 1+ = → lim = → lim −= − Por tanto, como la integral 1+ converge, la serie 1+ también converge. Como el criterio solo funciona para funciones en el que
Luego
decrecientes, primero es necesario encontrar un intervalo
sea decreciente, para ello se deriva
es decreciente en
, como
se elige convenientemente los limites de integración como
Finalmente la integral asociada a la serie queda
PÁGINA 2 de 3
Informáticos 09 USM Campus Santiago (5)
http://informaticosusm.uni.cc/
+1 Utilizando el criterio de la raíz, se tiene que
l→im =lim→ +1 =lim→ +1 =lim→ 1+11 = <1 Por tanto la serie +1 converge. ! 2!
(6)
Utilizando el criterio de la razón se tiene que
! 2! +1! 2! +1! ! lim =lim→ ! ! =lim → → 2+2! ∙ ! =lim → 2+2! ∙ ! +1 +1 ∙1∙2∙…∙2−1∙2 =lim→ 1∙2∙…∙2−1∙2∙2+1∙2+2 ∙ =lim→ 2+12+2 = 14 <1 ! Por tanto la serie converge.
2!
PÁGINA 3 de 3
