Ejercicios Resueltos de Series Infinitas

CAP´ ITUL ITULO O IX. IX. ´ SERIES SERIES NUM NUMERICAS

SECCIONES A. Series de términos erminos no negativos. negat ivos. B. Ejercicios propuestos.

401

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´ A. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS.

Dada una sucesión on a1 , a2 , . . . , an , . . . , se llama serie de término ermino general genera l an , y que representaremos por an , a la sucesión on de sumas parciales S n

{

 

}

{ }

n 1

≥

definida por S por S 1 = a = a 1 , S 2 = a = a 1 + a2 , . . . , S n = a = a 1 + a2 + Si existe S = l´ım S n , la serie n

se escribe



n 1

→∞

n 1

· · · + an, . . . .

an se dice convergente y convergente y tiene suma S y

≥

an = S = S .

≥

Si dicho l´ l´ımite es infinito o no existe, la serie



n 1

es divergente . an es divergente

≥

Enunciaremos a continuaci´ on los criterios generales para estudiar el carácter on (conve (converge rgent ntee o diverg divergen ente) te) de una serie. serie. Nos limita limitarem remos os a las series series de términos erminos no negativos negati vos (an 0) aunque el primer criterio es válido alido para series generales.

≥

1. Condici´ 1. Condici´ on on del resto. Si una serie



an es convergente, entonces entonces l´ım an = 0. n

→∞

n 1

≥

De aqu´ aqu´ı se deduce que si el término ermino general de una serie no converge a cero, dicha serie es divergente. 2. Criterio 2. Criterio de comparaci´ on. on.

 

Dadas dos series

n 1

entonces



n 1

≥

an y

n 1

an converge.

bn , si an

≥



≤ bn, ∀n y

n 1

bn converge,

≥

≥

Rec´ Rec´ıprocamente, si una serie es divergente divergente y todos sus términos erminos son mayores o iguales que los de otra serie, esta última ultima es también en divergente. 3. Criterio 3. Criterio de comparaci´ on on por paso al l´ımite. ımite . an a) Si Si l´ım = L ( L finito y L L = 0), 0 ), entonces n→∞ bn





an converge

n 1

≥

⇐⇒



n 1

≥

an = 0, 0 , entonces n→∞ bn

b) Si Si l´ım



b



bn converge.















an = n→∞ bn

c) Si Si l´ım

∞, entonces



 ⇒

an converge =

n 1

bn converge.

n 1

≥

≥

Para utilizar los criterios de comparación on es conveniente conocer la convergencia de las siguientes series: - Serie arm´ onica: La onica: La serie

 

1/n p es convergente cuando p > 1 y

n 1

divergente cuando p cuando p

≥

≤ 1.

Ser ie geom´ geo m´ etrica: etri ca: La serie -Serie

n 1

y divergente cuando r

| | ≥ 1.

≥

a r n es convergente cuando r < 1

·

| |

4. Criterio 4. Criterio del cociente (D’Alembert). an+1 Sea L L = l´ım . Entonces, n→∞ an a) si L L < 1, 1 ,

 

n 1

an converge;

≥

b) si L 1 , L > 1,

n 1

an diverge.

≥

5. Criterio 5. Criterio de la ra´ ra´ız (Cauchy). Sea L L = l´ım n

√ an. Entonces, n

→∞

  · −  · − 

a) si L L < 1, 1 ,

an converge;

n 1

≥

b) si L L > 1, 1 ,

n 1

an diverge.

≥

6. Criterio 6. Criterio de Raabe. a n+1 a) Si l´ l´ım n 1 an b) Si l´ l´ım n

a n+1 an

1

> 1, 1 , entonces < 1, 1 , entonces

 

an converge. an diverge.

Nota: Este Nota: Este criterio puede ser conveniente en los casos en que los criterios del cociente o de la ra´ ra´ız no son concluyentes. 7. Criterio 7. Criterio de la integral. Sea f f : [1, [1 ,

∞) →



R una

función on decreciente y f ( f (x) > 0 > 0,,

f ( f (n) converge

∞

 ⇐⇒

∀x. Entonces

f ( f (x)dx converge. dx converge.















8. Criterio 8. Criterio del producto (Pringsheim). a) Si l´ l´ım n p an = L

≥ 0, para algún p un p > 1, 1 , entonces b) Si l´ l´ım n p an = L = L > 0, 0 , para alg´ un p un p ≤ 1, entonces Crite rio logar log ar´ ´ıtmico ıtm ico.. 9. 9. Criterio Si l´ l´ım a) b)

 

 

an converge. an diverge.

log log 1/an = L, entonces log n

an converge cuando L cuando L > 1. 1 . an diverge cuando L cuando L < 1. 1 .

PROBLEMA 9.1.

Estudiar el car´ acter acter de la serie an =



an de t´ ermin erm ino o gen general eral

n(n + 1) . n2 + 2n 2n

Soluci´ on on

Como Co mo l´ım ım

n( n (n + 1) = 1 = 0, la serie es divergente. n2 + 2n 2n



PROBLEMA 9.2.

Sabi Sabien endo do qu quee la suma suma de los los n primeros primeros t´ erminos erminos de una serie es 5n2 3n + 2 S n = , n2 1 hallar el t´ ermino ermino gener general al y estudiar su naturaleza. naturaleza.

−

−

Soluci´ on on

Aplicamos la fórmula a ormula a n = S n 5n2

3n + 2

5(n 5( n

− S n−1 y obtenemos: 1)2

3(n 3(n

1) + 2

3n2

17 17n n + 10















5n 5 n2 3n + 2 Como adem´ as l´ım S n = l´ım = 5, la la serie serie es convergen convergente. te. n2 1

−

−

Observaci´ on: No on: No confundir con la condición on necesaria de convergencia en la que debe ser cero c ero el l´ımite ımite del término ermino general de la l a serie a n , no del término ermi no general de la sucesión on de sumas parciales S parciales S n . En E n este e ste caso, como l´ım S n = 5, quiere decir que la suma de la serie es precisamente 5.

PROBLEMA 9.3.

Hallar el mayor valor entero que debe tomar k para que la serie nk = an de t´ eermin r mino o gen general eral an sea convergen(n + 1)(n 1)(n + 2)(n 2)(n + 3) te.



Soluci´ on on

Aplicando Aplica ndo el criterio logar´ıtmico, ıtmico , log(1/a log(1/an ) l´ım log n

= = = = =

+1)(n+2)(n +2)(n+3) log (n+1)(n log(n log(n + 1)(n 1)(n + 2)(n 2)(n + 3) n l´ım = l´ım log n log n log(n log(n3 + 6n 6n2 + 11n 11n + 6) k log n l´ım log n 3 log(n log(n )(1 + 6/n 6/n + 11/n 11/n2 + 6/n 6/n3 ) k log n l´ım log n 3 log log n + log(1 + 6/n 6 /n + 11/n 11/n2 + 6/n 6/n3 ) k log n l´ım log n log(1 + 6/n 6/n + 11/n 11/n2 + 6/n 6/n3 ) l´ım 3 k + = 3 k. log n k

− log nk

−

−

−

−



−

Para que sea convergente, debe ser 3 k > 1, y como k como k debe ser entero, el mayor valor que hace la serie convergente es k = 1.

−

PROBLEMA 9.4.

Estudiar el car´ acter acter de la serie 1 an =

√



an de t´ ermino erm ino gen general eral

− √ 1

.















Soluci´ on on

Tenemos que

√ n + 1 − √ n + 1 2 √ − − √ = . n−1 n−1 2/ 2 /(n − 1) Por el criterio de comparación, on , como co mo l´ım = 2 y la serie serie 1 n 1

1 = n+1

1/n

divergente, la serie dada es divergente.



1/n es /n es

PROBLEMA 9.5.




an de t´ ermin erm ino o gen general eral n . 2n3 + 1

√

Soluci´ on on

Aplicamos el criterio de Prinsgheim, y tenemos: l´ım n

α

n = l´ım 2n3 + 1

√

nα+1 . 2n3 + 1

√

Para que dicho l´ l´ımite sea real debe ser el grado del numerador igual al grado del denominador. En este caso α + 1 = 3/2 = α = 1/2. Como α < 1, la serie es divergente.

⇒

PROBLEMA 9.6.

 



n . n4 + 1

Soluci´ on on

Aplicando el criterio de Pringsheim, tenemos:



n

+1/2 nα+1/

















Dicho l´ımite es un número umero real no nulo cuando α = 3/2. Como es mayor que uno, la serie es convergente.

PROBLEMA 9.7.





1 . 1 + n p

Soluci´ on on 1 = 1. De este modo, 1 + n p cuando p cuando p > 1, la serie es convergente y cuando p 1, la serie es divergente. Seg´ un el criterio de Pringsheim, si α = p, un = p, l´ım nα

≤

PROBLEMA 9.8.

Estudiar el car´ acter acter de la serie



a de t´ ermino erm ino gen general eral

√ x + nn − 1 an = √ . x2 + n2 + 1

Soluci´ on on

Aplicamos nuevamente el criterio de Pringsheim y debemos determinar el valor de α de α pa para ra que qu e l´ım nα an sea un número umero real no nulo. Tenemos que l´

α

√ x + n − 1

= 1 cuando

1/2















Soluci´ on on

Aplicamos en este caso el criterio de Pringsheim:

√

l´ım nα ( n + 1

α

− √ n) = l´ım √ n +n1 + √ n .

Este l´ımite es finito cuando α = α = 1/2 por lo que la serie es divergente.

PROBLEMA 9.10.





√ n1+ 1 . n

Soluci´ on on

Como l´ım an = l´ım

1 n √ n1+ 1 = l´ım n+1 = l´ım =1 =  0,0 , n+1 n

n

la serie es divergente.

PROBLEMA 9.11.




de t´

eral















PROBLEMA 9.12.




an =


n! . n2

Soluci´ on on

n! Si calculamos calcul amos el l´ımite del término ermino general genera l se obtiene obtien e que l´ım 2 = n lo que la serie es divergente.

∞ por

PROBLEMA 9.13.





5 loga n . 3 logb n

· ·

Soluci´ on on

Aplica Aplicando ndo la f´ ormula ormula del cambio cambio de base base de logarit logaritmos mos,, podemos podemos escriescribir 5 (ln n/ ln a) 5 ln b an = = . 3 (ln n/ ln b) 3 ln a

· ·

·

Como el término ermino general general es constante, constante, no tiende a cero, por lo que la serie es divergente.















Soluci´ on on ln n 1 Por el criterio criterio de comparaci´ comparaci´ on, on, como > y la serie armónica onica n n divergente, la serie se rie dada da da tambi´ t ambién en es divergente.



1/n es /n es

PROBLEMA 9.15.

Demostrar que las series u1 + u2 + + un + . . . y ln(1+ u1 )+ln(1+ u2 ) + + ln(1 + u + u n ) + . . . tienen el mismo car´ acter acter si un > 0 y l´ım un = 0.

···

···

n

→∞

Soluci´ on on Utilizando el criterio de comparación on tenemos: tenemos: l´ım

ln(1 + un ) = l´ım ln(1 ln (1 + un )1/u = ln l´ım(1 ım (1 + un )1/u = ln e = 1 = 0. un n

n

Esto asegura que ambas series tienen el mismo carácter.

PROBLEMA 9.16.





√

an = arc sen(1 sen(1// n). Soluci´ on on

√

arc sen(1 sen(1// n)

















Soluci´ on on

1 + sen2 n 2 Como 0 y la serie 2/n2 es convergente, por el criterio 2 2 n n de comparación on se deduce la convergencia de la serie dada.

≤

≤



PROBLEMA 9.18.




an =


n! . nn

Soluci´ on on

Aplicamos el criterio del cociente de D’Alembert: l´ım

(n

−

n!/nn n!( n !(n n 1)n−1 = l´ım n = l´ım 1)!/ 1)!/(n 1)n−1 n (n 1)!

−

− −

− n

1

n 1

−

n

Como el l´ımite ımite es menor que uno, la serie es convergente. convergente.

PROBLEMA 9.19.





nn an = n . 3 n!

·

= e −1 .

















Por tanto la serie dada es convergente.

PROBLEMA 9.20.





1 a tg . 2n 2n

Soluci´ on on

Aplicando el criterio de D’Alembert: a n+1 l´ım an

tg(a/ tg( a/22n+1 ) 2n 1 a a = l´ım = l´ım ım tg n+1 cotg n n +1 n 2 tg(a/ tg(a/22 ) 2 2 2 n 1 a 2 1 = l´ım n+1 = < 1. 1 . 2 2 a 4

·

·

Esto prueba que la serie es convergente.

·















pues x pues x 2n

→ 0 y x 2n−2 → 0 cuando x cuando x 2 < 1.

La serie es convergente cuando 2x 2 x2 < 1, es decir cuando x < divergente cuando 2x 2x2 > 1, es decir cuando x > 2/2.

| | √

||

√ 2/2 y

Para el caso en que 2x 2 x2 = 1 tenemos x tenemos x 2 = 1/ 1 /2, de donde: an =

2n (1/ (1/2n ) 1 = 1 + (1/ (1/2n ) 1 + (1/ (1/2n )

→ 1 | | √ 2/2.

con lo que la serie es tambi´ en en es divergente divergente cuando x =

PROBLEMA 9.22.





n 2 + 2n 2n + 2 an = ln 2 . n 2n + 2

−

Soluci´ on on

Si aplicamos el criterio de Pringsheim resulta: α

l´ım n ln

n 2 + 2n 2n + 2

α

= l´ım n



n2 + 2n 2n + 2

 − 1

= l´ım nα

4n
















PROBLEMA 9.24.





1 . (ln n)ln n

Soluci´ on on

Aplicando Aplica ndo el e l criterio crite rio logar lo gar´´ıtmico tenemos: tenemo s: ln (ln n)ln n ln(1/a ln(1/an ) ln n ln(ln n) l´ım = l´ım = l´ım = l´ım ln(l ln (ln n n) = ln n ln n ln n





Esto indica que la serie es convergente.

PROBLEMA 9.25.

1 . ∞ > 1.















Esto quiere decir que las dos series tienen el mismo carácter y como la serie a 2 de término ermino general genera l bn = es una serie armónica, onica, es convergente n 1 cuando a cuando a > 1 y divergente cuando a 1.

  −

≤

PROBLEMA 9.26.





logn a . loga n

Soluci´ on on

Aplicando la f´ ormula del cambio de base en los logaritmos podemos escriormula bir ln a/ ln n ln a 2 an = = . ln n/ ln a ln n

 

Aplicando Aplica ndo el criterio logar´ıtmico: ıtmico : ln(1/a ln(1/an )

ln

ln n 2 ln

 

2 ln(l ln(ln n n)

ln(ln n a) − 2 ln(l















Como el l´ımite ımite es menor que uno, la serie es divergente. divergente.

PROBLEMA 9.27.







n

3n

−1



2n 1

−

.

Soluci´ on on

Por el criterio de la ra´ ra´ız de Cauchy: l´ım

 

n

n

3n

−1



2n 1

−

= l´ım



n 3n 1

−



2n−1 n

= (1/ (1/3)2 = 1/ 1 /9.


PROBLEMA 9.28.







+1



n

















Soluci´ on on

Por el criterio de Raabe, l´ım n

     −     − −  1

sen a n n n 1 sen a n 1

−

= l´ım n 1

= l´ım n 1

−

n

1

n

n

sen a = n 1

−

(n ( n 1)n sen a nn (n 1)

− −  −  ∞· ∞ 1=

Como el l´ımite es mayor que uno, la serie es convergente. convergente.

PROBLEMA 9.30.

.















Por lo tanto, tant o, l´ım an = e = e 2b = 0 y la serie es divergente.



PROBLEMA 9.31.


Soluci´ on on




nln n . (ln n)n















PROBLEMA 9.32.





1 . (1 + 1/ 1/ n)n

an =

√

Soluci´ on on Aplicamos Aplica mos el criterio logar´ıtmico: ıtmico :

l´ım

ln(1/a ln(1/an ) ln n

= l´ım



1 ln 1 + √ n

ln n

n



ln = l´ım



1 1 + √ n

ln n

√ n √ n

















Esto muestra que la serie es convergente.

PROBLEMA 9.34.

  


Soluci´ on on

Aplicando Aplica ndo el criterio c riterio de la ra r a´ız:

n+1 n

n

an de t´ ermin erm ino o gen general eral 2n 2 n + 1 + n



−n

.















PROBLEMA 9.36.





ln 2 ln 3 . . . ln n . n!

·

Soluci´ on on

Aplicando el criterio del cociente de D’Alembert: l´ım

an an−1

= l´ım

ln 2 ln 3 . . . ln n (n 1)! ln 2 ln 3 . . . ln(n ln(n n! ln

·

·

·

−

− 1)

















Cuando a Cuando a = 1, sustituimos este valor en la serie y obtenemos



n! 2 3

· · · · · · (n + 1)

la cual es evidentemente divergente.

=



1 n+1















Cuando x Cuando x = 0, la serie dada es



1 que es evidentemente divergente.

Cuando x < 0, 0, l´ım n 1 gente.

ex(1−2n) =

Cuando x Cuando x > 0, 0, l´ım n 1 gente.

ex(1−2n) = +

− −

 

−∞ < 1 por lo que la serie es diver∞ > 1 por lo que la serie es conver-















PROBLEMA 9.41.

Calcular la suma de la serie

∞



n=1

1 √ . n2 − 2 2n + 1















Soluci´ on on Por el criterio criteri o de d e Pringshe P ringsheim, im, l´ım n p an = l´ım 2 > 1, > 1, por lo que la serie es convergente.

n p (n + 12) = 1 cuando p cuando p = = n3 + 5n 5n2 + 6n 6n

Para sumar la serie serie descomponemos descomponemos el t´ ermino ermino general general en fracciones fracciones sim-















Soluci´ on on El término ermino general genera l de la serie s erie es a es a n =

(2

1 . Al descom1)(2 + 1)(2 + 3)















































































































Ejercicios Resueltos de Series Infinitas

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