UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMÍA
Tarea sobre: La recta: CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA PROFESOR: López Salvatierra, Edgar INTEGRANTES: APELLIDOS Y NOMBRES
Calla Anaya, John Kevin Lope Pérez, Erick Alexander Aliaga Basaldua, Bill George
CÓDIGO 1412120494 1412110132 1412110157
Ecuación de la recta Historia de la línea recta En la geometría desarrollada por Euclides, los términos primitivos como lo son: el punto, la recta, las relaciones de incidencia, orden y congruencia tienen un contenido material e intuitivo evidente, sin embargo, en el desarrollo de su fundamentación se prescinde de este desarrollo material e intuitivo. La vida de Euclides es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría (actualmente Egipto) durante el reinado de Tolomeo I. Fue un matemático y geómetra griego (325-265 a.C.) Se le conoce como “El Padre de la Geometría” Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos. En la geometría descrita en «Los Elementos», se encuentra una pseudo-definición de la línea recta recogida por su autor: “Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella”,
conjuntamente se encuentran los siguientes postulados propuestos por Euclides: 1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualesquiera. 2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta. 3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y
distancia. 4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela. Además de esta pseudo-definición recogida en los Elementos de Euclides, a lo largo de la historia otros pensadores han dado otras tan definiciones como: la línea que sus puntos intermedios hacen sombra a sus extremos (Platón, 427-347). el conjunto de puntos que permanecen invariantes cuando un cuerpo gira alrededor de desde sus puntos (Leibniz, 1646-1716). el camino más corto entre dos puntos (Legendre, 1752-1833) la línea que, trazada de un punto a otro no se vuelve ni a la derecha ni a la izquierda, y es la más corta que puede trazar entre esos dos puntos (Simpson, 11710-1761) recta es una serie de puntos, cada uno de los cuales equidista de tres puntos dados (Fourier, 1768-1830) una línea homogénea, es decir, cuyas partes, tomadas indiferentemente, semejantes entre sí y no difieren más que en su longitud (Delboeuf, 1831-1896) una línea indefinida tal que por dos puntos dados no se puede hacer pasar más que una (Duhamel, 1797-1872).La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francésRené Descartes, cuyo tratado “El Discurso del Métod o”, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste fundamento daría paso a lo que se conoce hoy en día como geometría analítica , que precisamente es la rama de la matemática que fusiona el estudio de la Geometría Euclidiana con el álgebra, en el análisis de las líneas y figuras por medio de expresiones algebraicas. Se llama Analítica a esta geometría porque implica un análisis estricto, lógico y racional para consignar en un plano de referencia los elementos geométricos básicos y luego hallar sus correspondencias en formulas y propiedades algebraicas. El principal de referencia es el plano cartesiano, llamado así en memoria de este gran hombre de las matemáticas y la filosofía. Es pues de esta manera como se convierte la línea recta en la introducción y parte de la geometría analítica.
MARCO TEÓRICO En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano. Ecu ación de la recta
Para entrar en esta materia y para entender lo que significa la Ecuación de la Recta es imprescindible estudiar, o al menos revisar, lo referido a Geometría analítica y Plano cartesiano. La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano). La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la i zquierda o a la derecha).
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta. El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta. Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa para que sepan de su existencia pero expresada en términos matemáticos (como una ecuación).
Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado.
Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta. 1. – Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y). Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0
Que también puede escribirse como ax + by + c = 0
Y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente: Teorema
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales( ); y en qué A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta. 2. – Ecuación principal de la recta
Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta. Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente: Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada (vertical). (x , y) = (Abscisa, Ordenada)
Ejemplo: El punto ( –3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5. Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación. Ejemplo: El punto ( 7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.
Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula
y = mx + n
Que considera las siguientes variables: un punto ( x, y), la pendiente ( m) y el punto de intercepción en la ordenada ( n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego). Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y elpunto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y). Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y). Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es ( 0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma y − y1 = m(x − x1) y – b = m(x – 0) y – b = mx y = mx + b
Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b (no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada. Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7). Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto. Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto, la bcorresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y).
1. y=f(x)=-4x
2. y=f(x)=x+1
2
1
3. h(t)=5t-7
1 -2 4. f(s)=3(5-s)
5. h(q)=(2-a)/7
0.75 6. h(q)=0.5q+0.25
1
7. pendiente=4 , f(2)=8
8. f(0)=3 ,f(4)=-5
1
1
9. f(1)=2 ,f(-2)=8
10.pendiente=-2 , f(2/3)=-7
()
-2
-6
11.pendiente=-2/3 , f(-2/3)=-2/3
()() 12.f(1)=1 , f(2)=2
13. pendiente=0.01, f (0.1)=0.1
-1
1.1
14. Ecuación de demanda: Suponga que los clientes demandaran 40 unidades de un producto cuando el precio es de $12.75 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18.75 cada una. Encuentre la ecuación de la demanda, suponga que es lineal. Determine el precio unitario cuando se demandan 37 unidades. P
P2=18.75
P1=12-
Q2=25
Q1=40
Q
Cuando se demanda 37 unidades su precio es 15. Ecuación de demanda: La demanda semanal para un CD es de 26000 unidades cuando el 13.95. precio es de $12 cada una, y de 10000 cuando el precio unitario es de $18. Encuentre una ecuación de demanda para el CD, suponga que es lineal. P (CD)
P2=18
P1=12
Q2=10000
Q1=26000
Q (CD)
16. Ecuación de oferta: Un fabricante de refrigeradoras producirá 3000 unidades cuando el precio sea de $940 y 2200 unidades cuando el precio sea de $740. Suponga que el precio (p), y la cantidad producida (q) están relacionados de manera lineal. Encuentre la ecuación de la oferta. P
P1=940
P2=740
Q Q2=2200
Q1=3000
17. Ecuación de oferta: Imagine que un fabricante de zapatos colocará en el mercado 50(miles de pares) cuando el precio es 35(dólares por par) y 35 cuando el precio es 30. Encuentre la ecuación de oferta, suponga que el precio (p) y la cantidad (q) se relacionan linealmente. P
P1=35
P2=30
Q Q2=35
Q1=50
18. Ecuación de costo: Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es de $40 y para 20 unidades es de $70. Si el costo (c), se relaciona linealmente con la producción (q), encuentre una ecuación lineal que relacione c y q. encuentre el costo de producir 35 unidades.
P
P1=940
P2=740
Q Q2=2200
Q1=3000
19. Ecuación de costo: Un anunciante contrata a un impresor y este le cobra $ 79 por 100 copias de un volante y $88 por 400 copias de otro volante. El impresor cobra un costo fijo, más un cargo adicional por cada copia de volantes de una sola página. Determine una función que describa el costo de un trabajo de impresión, si x es el número de copias que se hacen. C
C2=88
C1=79
Q Q1=100
Q2=400
20. Tarifas de electricidad : Una compañía de electricidad cobra 12.5 centavos por kilowatthora más un cargo base mensual a los clientes residenciales. La factura mensual de un cliente es de $51.65 por 380 kilowatt-hora. Encuentre una función lineal que describa el monto total por concepto de electricidad si x es el número de kilowatt-hora utilizados en un mes.
21. Terapia con radiación: Un paciente con cáncer recibirá terapias mediante medicamentos y radiación. Cada centímetro cubico de la droga que ser utilizada contiene 210 unidades curativas, y cada minuto de exposición a la radiación proporciona 305 unidades curativas. El paciente requiere2410 unidades curativas. Si se administran d centímetros cúbicos de droga y r minutos de radiación, determine una ecuación que relacione d y r. grafique la ecuación para d≥0 y r≥0: etiquete el eje horizontal como d.
D
R
11.4
R
0
7.9
11.4
0
Analizando un punto cualquiera
D 7.9
(0; 11,4)
22. Depreciación: Un televisor nuevo se deprecia $120 por año y tiene un valor de $340 después de cuatro años. Encuentre una función que describa su valor si x es la edad en años del aparato. P
P1=Z
P2=340 Q Q1=1
Q2=4
Entonces:
23. Apreciación: Un nuevo edificio de departamentos se vendió por $960000 cinco años después de que se compró. Las propietarios originales calcularon que el edificio de apreciaría en $45000 por año, mientras ellos fueron los propietarios. Encuentre una función lineal que describa la apreciación del inmueble, si x es el número de años desde la compra original.
V
P2=960000
P1=735000
T T1=1
T2=5
24. Apreciación: Se espera que una casa que fue comprada en $245000 duplique su valor en
15 años. Encuentre una ecuación lineal que describa el valor de la casa después de T años. V
P2=490000
P1=245000
T T1=1
T2=5
25. Cargos de reparación: Una compañía que repara copiadoras para negocios, obra una
cantidad fija por servicio, más una tarifa por hora, si un cliente recibe el pago por $15 9 de un servicio por hora, y otro por $287 por un servicio de tres horas, determine una función lineal que describa el precio de un servicio, donde x es el número de horas.
26. Longitud de la lana de ovejas: Las ovejas a las que se les mantiene a altas temperaturas
ambientales aumentan su ritmo respiratorio, r (por minuto), a medida que la longitud de la lana, l (en centímetros) disminuye. Suponga que ciertas ovejas cuya lana presenta una longitud de 2cm, tiene un ritmo respiratorio (promedio) de 160, y que otras ovejas, cuya lana mide 4 cm, tiene un ritmo respiratorio de 125. Supongamos que r y l se relacionan linealmente. (a)Encuentre una ecuación que proporcione r en termines de l. (b) Encuentre el ritmo respiratorio de una oveja cuya lana tiene una longitud de 1cm.
27. Línea de isocostes: Suponga que un granjero ha asignado $20000 para la compra de toneladas de fertilizantes (que cuesta $200) y ha destinado acres de tierra (cuyo costo es $200 por acres). Encuentre una ecuación de la línea de isocostes que describa las distintas combinaciones que puedan comprase con $20000. Observe que ni x ni y pueden ser negativos.
28. Línea de sutilidad: Un fabricante produce los productos X y Y por para los cuales las
ganancias por unidad son de $4 y $6 respectivamente. Si se venden x unidades de X, y y unidades de Y entonces las ganancia total P está dada por P=4x +6y, donde x, y ≥0. (a) Bosqueje la gráfica de esta ecuación para P=240. El resultado se conoce como línea de sutilidad, y sus puntos representan todas las combinaciones de ventas que produce a utilidad de $240. (b)Determine la pendiente para P=240. (c) Si P=600, determine la pendiente. (d) ¿Son paralelas las rectas de sutilidad para los productos X y Y.
a) 40
60
b)
100
150 c)
Son paralelos porque las producciones son i uales.
29- escala de calificaciones: a fin de poder comparar, un profesor quiere cambiar la escala de las calificaciones de un conjunto de exámenes escritos, de manera que la calificación máxima siga siendo 100, pero que el promedio sea de 65 en lugar de 56. (a) encuentre una ecuación lineal que lo logre, considere los puntos (56,25) y (100,100), y de manera más general, (x,y),donde x es la calificación anterior y y es la nueva. Encuentre la pendiente y utilice la forma punto-pendiente. Exprese y en términos de x. (b) si en la nueva escala 62 es la calificación mínima para, ¿cual fe la calificación mínima para acreditar ala escala original? C
100
65
Q a)
56
100
b)
30. Dieta de cerdos: Tras las pruebas realizadas con un dieta experimental para cerdos, se determinó que el peso (promedio) w (en kilogramos) de un cerdo, de acuerdo con las estadísticas, era una ecuación lineal del número de días, d, después de haber iniciado la dieta, donde 0≤d≤100. Si el peso de un cerdo al inicio del régimen fue de 21kg, y a partir de entonces
gano 6.3 kilos cada 10 días, determine w como una función de d y calcule el peso del cerdo 55 días después de que inicio la dieta. W
(55; 55,65)
55.65
D 55
