PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS SOBRE LA L A ECUACION DE BERNOULLI
UNIDAD II: ECUACIÓN DE BERNOULLI Problemas. 1) En la figura, el fluido es agua y descarga libremente a la atmósfera. Para un flujo másico de 15 kg/s, determine la presión en el manómetro.
Aplia!"o la e. "e Ber!o#lli e!$re 1 % & $e!emos
&) El tanque de una poceta tiene una sección rectangular de dimensiones !cm"#!cm y el ni$el del agua está a una altura % & ! cm por encima de la $ál$ula de desag'e, la cual tiene un diámetro d & 5 cm. (i al bajar la palanca, se abre la $ál$ula) a* +uál será la rapide- inicial de desag'e por esa $ál$ula en función de la altura de agua remanente en el tanque b* +uál es la rapide- inicial de desag'e o desprecie la $elocidad en la superficie del tanque.
0plicando la ecuación de ernoulli
alculamos la rapide-
Fluidos ideales Ecuación de continuidad Ecuación de Bernoulli Efecto Venturi Actividades Referencias Fluidos ideales El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes: .!Fluido no viscoso. "e desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido #.!Flujo estacionario. $a velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo %.!Fluido incompresi&le. $a densidad del fluido permanece constante con el tiempo '.!Flujo irrotacional. (o presenta tor&ellinos) es decir) no *ay momento angular del fluido respecto de cual+uier punto. Ecuación de la continuidad
,onsideremos una porción de fluido en color amarillo en la figura) el instante inicial t y en el instante t-t. En un intervalo de tiempo t la sección " +ue limita a la porción de fluido en la tu&ería inferior se mueve *acia la derec*a /0vt. $a masa de fluido despla1ada *acia la
derec*a es m0r2"/0r"vt. An3logamente) la sección "# +ue limita a la porción de fluido considerada en la tu&ería superior se mueve *acia la derec*a /#0v#t. en el intervalo de tiempo t. $a masa de fluido despla1ada es m#0r "#v# t. e&ido a +ue el flujo es estacionario la masa +ue atraviesa la sección " en el tiempo t) tiene +ue ser igual a la masa +ue atraviesa la sección "# en el mismo intervalo de tiempo. $uego v 1S1=v 2S2
Esta relación se denomina ecuación de continuidad. En la figura) el radio del primer tramo de la tu&ería es el do&le +ue la del segundo tramo) luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor +ue en el primero. Ejemplo: ,uando se a&re poco a poco un grifo) se forma un pe+ue4o c*orro de agua) un *ilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y +ue al final) se rompe formando gotas. $a ecuación de continuidad nos proporciona la forma de la superficie del c*orrito de agua +ue cae del grifo) tal como apreciamos en la figura. La sección trasversal del chorro de agua cuando sale del grifo es S0, y la velocidad del agua es v 0. Debido a la acción de la gravedad la velocidad v del agua se incrementa. A una distancia h del grifo la velocidad es
Aplicando la ecuación de continuidad
espejamos el radio r del *ilo de agua en función de la distancia h al grifo.
Ecuación de Bernoulli Evaluemos los cam&ios energ5ticos +ue ocurren en la porción de fluido se4alada en color amarillo) cuando se despla1a a lo largo de la tu&ería. En la figura) se se4ala la situación inicial y se compara la situación final despu5s de un tiempo t. urante dic*o intervalo de
tiempo) la cara posterior "# se *a despla1ado v# t y la cara anterior " del elemento de fluido se *a despla1ado vt *acia la derec*a.
El elemento de masa m se puede e/presar como m0r "#v#t0r "vt0 r V ,omparando la situación inicial en el instante t y la situación final en el instante t-t. 6&servamos +ue el elemento m incrementa su altura) desde la altura y a la altura y# •
$a variación de energía potencial es Ep0m2gy#!m2gy0r V27y#!y8g El elemento m cam&ia su velocidad de v a v#)
•
$a variación de energía cin5tica es E9 0
El resto del fluido ejerce fuer1as de&idas a la presión so&re la porción de fluido considerado) so&re su cara anterior y so&re su cara posterior F0p" y F#0p#"#. $a fuer1a F se despla1a /0vt. $a fuer1a y el despla1amiento son del mismo signo $a fuer1a F# se despla1a /#0v# t. $a fuer1a y el despla1amiento son de signos contrarios. •
El tra&ajo de las fuer1as e/teriores es e/t0F /! F# /#07p!p#8 V
El teorema del tra&ajo!energía nos dice +ue el tra&ajo de las fuer1as e/teriores +ue act;an so&re un sistema de partículas modifica la energía del sistema de partículas) es decir) la suma de las variaciones de la energía cin5tica y la energía potencial del sistema de partículas e/t0Ef!Ei07E9-Ep8f!7E9-Ep8i0E9-Ep "implificando el t5rmino V y reordenando los t5rminos o&tenemos la ecuación de
Bernoulli
Efecto Venturi
,uando el desnivel es cero) la tu&ería es *ori1ontal.
"#) se concluye +ue v?v#. $a en la ecuación de Bernoulli con y0y# ,omo la velocidad en el tramo de menor sección es mayor) la presión en dic*o tramo es menor. "i v?v# se concluye +ue p>p# El lí+uido manom5trico desciende por el lado i1+uierdo y asciende por el derec*o Podemos o&tener las velocidades v y v# en cada tramo de la tu&ería a partir de la lectura de la diferencia de presión p!p# en el manómetro.
Ejemplo: eterminar la velocidad del agua en am&os tramos de la tu&ería) sa&iendo +ue: •
Radio del tramo i1+uierdo de la tu&ería) #@ cm.
•
Radio del tramo derec*o de la tu&ería) cm.
•
edida de la diferencia de presión) #C Pa.
$os datos son: "0p 7@.#8# m#) "#0p 7@.@8# m#) r 0@@@ 9gDm%) y p!p#0#C Pa. Empleando la e/presión anterior) o&tenemos el valor de v#0. mDs. ,alculamos v a partir de la ecuación de continuidad 7v"0v#"#8 o&teniendo v0@. mDs ó @ cmDs. Podemos compro&arlo en el programa interactivo introduciendo los siguientes datos: •
Radio del tramo i1+uierdo de la tu&ería) #@ cm.
•
Velocidad del fluido en el tramo i1+uierdo) @ cmDs
•
iferencia de alturas entre los dos tramos) @
Actividades "e introduce •
•
El radio del tramo i1+uierdo de la tu&ería) actuando en la &arra de despla1amiento titulada Radio. El radio del tramo derec*o est3 fijado en cm.
•
El valor de la velocidad del tramo i1+uierdo) actuando en la &arra de despla1amiento titulada Velocidad.
•
El desnivel) 7un n;mero positivo) nulo o negativo8 o diferencia de alturas entre los dos tramos) en el control de edición titulado esnivel.
"e pulsa el &otón titulado Empie1a El valor de la velocidad en el tramo derec*o se o&tiene aplicando la ecuación de continuidad. "i el radio del tramo i1+uierdo es el do&le +ue el radio del tramo derec*o) la velocidad en el tramo derec*o es cuatro veces mayor +ue en el i1+uierdo) es decir) mientras +ue la sección anterior " del elemento de fluido se despla1a@ cm) la sección posterior "# se despla1a '@. A continuación) nos fijaremos en los cam&ios energ5ticos. A medida +ue el elemento de fluido 7coloreado de amarillo8 se mueve *acia la derec*a su energía cam&ia. En la parte inferior i1+uierda del applet) se muestra la variación de energía
cin5tica) de energía potencial y el tra&ajo de las fuer1as e/teriores 7+ue ejerce el resto del fluido so&re el elemento de fluido considerado8. $as fuer1as e/teriores se se4alan mediante flec*as. ,omo podemos compro&ar la suma de las variaciones de energía cin5tica y potencial nos da el tra&ajo de las fuer1as e/teriores.
http://www.sc.ehu.es/sbweb/sica/uidos/dinamica/bernoulli/bernouilli.htm
https://boo!s.google.com.bo/boo!s"id#$%h&'$ ()d*)+pg#-A))lpg#-A))d&#ecuaciondebernoullienhidraulica source#blots#y*0iL&do$ sig#)1r2r3s*'w%*e4c56a7vt877nAshl#essa#9ved#4+;7w'1p?5my@-1Ah9sh)7BCAn+2v#onepage&#ecuacionEF4de EF4bernoulliEF4enEF4hidraulicaf#false http://profe$aleG6.blogspot.com/F4H4/4*/e'ercicios$resueltos$de$mecanica$ de.html
