Profesor: Enrique Villagra F. GUIA DE EJERCICIOS
ECUACI ÓN DE L A RECTA Y PENDI ENTE
1) Encontrar la pendiente de la recta determinada por cada uno de los siguientes pares de números:
a) (2, 1) y (5, 4)
b) (2, -3) y (-4, 1)
c) (12, 46) y (82, 256)
2) ¿Qué relación (paralela, perpendicular o de intersección) tiene la recta 3x + 4y - 2 = 0 con cada una de las rectas siguientes? (Anote frente a cada recta su respuesta) respuesta )
a) 8x - 6y + 5 = 0 b) 9x + 12y 12 y + 7 = 0 c) 3x + y - 4 = 0
d) 12x - 9y + 2 = 0 e) 2x+ y - 6 = 0
3) Si una recta L tiene la ecuación general: a) b)
(3, y) (x, 15)
c) d)
2x + 0.6y-10.8 = 0, encontrar la parte faltante en cada uno de los casos siguientes:
L tiene pendiente? L intercepta intercep ta a y en ?
4) ¿Cuáles de los puntos siguientes quedan en la recta cuya ecuación es 3x + 4y - 10 = 0? a) b) c)
(1, 2) (-2, 4) (10, -5)
d) e) f)
(-25, 21) (0, 0) (22/9, 2/3)
5) Obtenga la función general (o estándar) de la recta a partir de cada una de las siguientes funciones: funciones: a) y = 3x + 9 b) x = 3y c) y = 4 - 5x
d) y = 3x + 9 e) x = 3y f) y = 4 - 5x
6) Obtenga la ecuación general de la recta, sabiendo que: a) pendiente = 2/5 intersección con y en (0, 3/2) b) pendiente = -2.5 intersección con y en (0, -1.5) 7) Escribir las siguientes siguientes ecuaciones en la forma pendiente-intersección e indicar la pendiente y la intersección con el eje de las ordenadas. a) b)
2x + y = 1 2y = x+ 2
c) d)
3y - 2 = x 3s = 4 - 2t
8) Encontrar la ecuación de la recta que: a) Pasa por (5, 15) y tiene una pendiente de -3.
b) Pasa por el punto (6, 4) y es paralela al eje de las x c) Pasa por el punto (-1, 2) y es paralela a la recta que une los puntos (20, 50) y (100, 400)
9) Para cada uno de los pares de puntos siguientes, a) Hallar la pendiente de la recta que pasa por ambos b) Hallar la ecuación de la recta u sando la pendiente c) Hallar la ecuación de la recta sin usar la pendiente d) Graficar la recta
i) (0, 0) y (6, 3) ii) 10/3, 0 ) y (0, 5/2) iii) (-7, 4) y (8, 4)
iv) (3, -2) y (3, 5) v) (-1, -2) y (4, 1) vi) (-2, -3) y (-5, -6)
1
10) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -2) y es perpendicular a la que pasa por los puntos (-1, -2) y (3, 7) 11) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 3) y es paralela a la que pasa por los puntos (0, -3) y (6,1) 12) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 15) y es paralela a y = x + 25 ¿Qué relación (paralela, perpendicula r o de intersección) tiene aquella recta con la que pasa por los puntos (6, 0) y (-2, 8)? 13) Hallar la ecuación de la recta cuya intersección con el eje y es (0, -3) y que es perpendicular a la que pasa por los puntos (-2, -1) y (2, 5) 14) Hallar la ecuación de la recta paralela a la que pasa por los puntos (5, 6) y (7) y también pasa por la intersección dos rectas L1 y L2 tales que:
L1: tiene pendiente 2 y pasa por el punto (-4, -6) L2: tiene pendiente 3 y pasa por el punto (2, 2) APLI CACIÓN DE LA F UNCI ÓN LI NEAL
1)
Determine cuántas unidades se deben producir y vender para lograr el punto de equilibrio si una empresa tiene los costos fijo s
de $2000 y costo variable de $25 por cada unidad y además vende cada artículo a $150. 2)
Una industria puede producir 7 toneladas de mineral a un costo de US$1500.- y puede producir 15 toneladas a un costo de US$1800.- suponiendo un modelo lineal: a) Determine la ecuación de costos
b) Calcule el costo de producir 20 toneladas c) Grafique la situación
3)
Un fabricante de zapatos está en su punto de equilibrio si sus ventas son de US$1800. - Si los costos fijos son de US$450.- y
cada par de zapatos se vende a US$30. - Determine la cantidad de zapatos vendidos y el costo variable de cada par de zapatos 4) Si la Utilidad (u) es cero cuando la Cantidad (q) es 10 y la utilidad es -500 cuando q es cero, encuentre una función lineal que
relacione estas dos variables.
(
U(q) = 50q - 500 )
5) Un artículo que cuesta $9000 se vende en $12000 y otro que cuesta $99000 se vende en $142,000. Si estos dos ejemplos
representan la política general de precios: a) Encontrar una función que represente esta situación. b) Encontrar el costo de un artículo que se vende en $80000 c) Encontrar el precio de venta de un artículo que cuesta $35000 d) Representar gráficamente la función.
⎛⎜⎝=13
⎞ ⎟⎠
9000 9 ( 56076,92 ) ( 49555,55 ) y
x−
6) El flete aéreo de una libra de mercancía cuesta $55 transportándola 800 millas y $100 transportándola 2000 millas. Suponiendo
que estos datos representan la política usual de costos, encontrar: a) Una función lineal que determine el costo del transporte aéreo. b) El costo de transportar una libra por 1500 millas.
( y=0,0375x +25 ) ( y = 81,25 )
7) El costo de almacenaje de un artículo I está definido por la función C = 0.4x + $1360, en donde x es el costo unitario de I.
a) Encontrar el costo de almacenaje para un artículo que cuesta $6000 b) Encontrar el valor de un artículo para el cual su costo de almacenaje es de $1800.
( C(x) = $ 3760 ) ( x = $ 1100 )
8) A una compañía le cuesta US$75 producir 10 unidades de cierto artículo, y US$120 producir 25 unidades del mismo artículo.
a) Cuál es el costo variable y costo fijo por artículo b) Cuál es el costo de producir 20 artículos 9)
( CV = 3, CF = 45 ) ( US$105 )
Los costos fijos por producir cierto artículo son de US$5000 al mes y los costos variables son de US$3,5 por unidad. Si el
productor vende cada uno a US$6. Encuentre el punto de equilibrio (x = 2000 Unid. Ó US$ 12000 ) 2
10) Determine cuántas unidades se deben producir y vender para lograr el punto de e quilibrio si una empresa tiene los costos fijo s
de $2000 y costo variable de $25 por cada unidad y además vende cada artículo a $150 11) Los costos fijos por producir cierto artículo son de US$5000 al mes y los costos variables son de US$3,5 por unidad. Si el
productor vende cada uno a US$6. a) Encuentre el punto de equilibrio (x = 2000 Unid. Ó US$12000) b) Determine el número de unidades que deben producirse y venderse al mes para obtener una utilidad de US$1000 ( x = 2400 Unid. ) c) Obtenga la pérdida, cuando sólo se producen y venden 1500 unidades (-US$ 1250) I. RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.
1) Dada la función f ( x)
2
x
=
5 el valor de f (2) + f (− 2) es :
−
2) Dada la función f ( x) = 3 el valor de f (7) + f (− 11) x
3) Dada la función f ( x) =
2 −
5
es:
es :
f (− 3)
, el valor de
x +1
4)
Halla el dominio de la siguiente función: y
⎧⎪ x 4 ⎨ +1 ⎪⎩ +5 2
5) Dada la función: f ( x)
,
2
−
,
2
hallar: f (−
7) − f (− 1) + f (3) − f (4)
si, x > 3
x
7)
x
si, − 3≤ x ≤ 3
2 x
6) Halla la función inversa de f ( x)
=
si, x < − 3
+
=
x − 5
3− 4 x =
2
Cuál es la función que representa a la grafica de la figura:
8) El dominio de f ( x) = x 9) Si f ( x) = x
2 −
2
1 es:
−
5
y g ( x) = 2 x −
3 , determine ( fog )(2)
10) Indica la función que corresponde a la siguiente tabla:
11) Dadas f ( x)
X
0
1
Y
2
11 4
4− 3 x =
7
2
2
7 2
3
4
17 4
5
, g ( x) = x +6 funciones reales, determine el valor de : 5 f (− 1)− 2 g (−
2) 3
12) El gráfico siguiente corresponde a la recta de ecuación: y
a) y = -3(x + 4)
4
b) y = x - 2
3
c) y = 2x - 4 2
d) y = -2x -4 1
e) y = -x - 4 -4
-3
-2
-1
1
O
2
3
x
4
-1 -2 -3 -4
13) Dada la función f ( x) = x
2
3 x +2, la expresión equivalente a f (a + 3) es :
−
2
14) Dada la función cuadrática f x x =
( ) 15 x4 − 4 , los puntos de intersección con el eje de las X son:
+
15) Determine vértice de la parábola f ( x) = x 16) Dadas las funciones lineales y
=
2
x
+
1
4
2
+4 x
, y =
−
21 :
3− 2 x , determine el punto de intersección.
2
17) ¿ Cuál de las siguientes funciones es la que
y
14
representa a la grafica de la figura:
12
a)
2
y= − x +10 x − 25
10
8
2
b)
y= − x
c)
y = x +25
−
10 x +25
6
2
d)
y = x
e)
y= − x
2
−
4 2
25
2
-5
x
x+
x+
2
-2
-1
O
1
2
3
4
5
x
-4
18) El valor de x en la ecuación 3
19) El valor de x en 4
-3
-2
+12
−
-4
x
= 8
5
= 9
es: 4
20) El valor de x en la expresión
a
21) Al resolver la ecuación 3 ·5 x
22) En la ecuación 5 ·3 x = 7 x
=
2 x− 5
=
2 2 x
(a )
es:
7se obtiene que x es igual a:
x es igual a:
23) Determine x en 32 x− 5 : = 5 24) Dada la función: f(x) = 3ax , si f(2) =
25) Dada las funciones
II.
1 , , entonces el valor de a es: 81 x
x
f ( x) = 2 ; g ( x)=3
,el valor de f (2)+ g (
1)
RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.
1)
El costo variable de producir un artículo es de 27,5 dólares y el costo total de producir 50 unidades es 4875 dólares. Determine el costo de producir 20 unidades.
2)
El costo de producir 20 unidades es de US$2.725 y el costo de producir 40 unidades es de US$2.910. Determine el costo
de producir 32 unidades. 2
3)
Si la función U ( x) =− 0,01 x +250 x − 22000 representa las utilidades de una empresa donde U: dólares y x: unidades
4)
Se sabe que la masa de cierto material radioactivo disminuye en función del tiempo (t) según la función
vendidas, la utilidad máxima de la empresa es de:
estando m en gramos y t en horas. ¿Después de cuánto tiempo la masa del material es de 30 gramos? 5)
m(t )
=
6 ·
5t
−
Al depositar un capital C en una entidad que paga una tasa de interés del i por ciento, al final de n años se tendrá: M=C ⋅ (1+i )n.Si se invierten $ 35.500 a un interés compuesto del 15% anual;¿Después de cuántos años tendremos un
capital total de $ 189.934? 6)
Se estima que cierta máquina se deprecia de tal forma que su valor después de t años viene dado por:
(dólares) ¿Después de cuantos años la máquina tendrá un valor de 17.853,6 dólares? 7)
(t ) = 28000·e
−
0.03·t
Un medicamento se elimina del cuerpo a través de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad A (t) que queda en el
cuerpo t horas después está dada por A(t )=1 · 2 mg. Determine cuándo quedan sólo 2 mg.
t.
Para que el fármaco haga efecto debe haber en el cuerpo por lo menos
8)
Una población P(t) de peces de un estanque a los “t” meses está dada por la expresión:
9)
P(t) = 4·2 ·10 . ¿A los cuántos meses habrá 64.000 peces? Si deposito en una institución bancaria $ 20.000, con un interés compuesto del 10% anual, ¿qué cantidad tendré en 48 meses, suponiendo que ya tenía ahorrados $ 10.000?
10)
El costo de producción de un artículo está dado por la función C ( x)=
2
III.
V
t
3
2 x 2 − 40 x − 210 .Si cada artículo se vende a $24.Determine el número de unidades que se deben producir y vender para que no haya ganancias ni pérdidas
Grafique la función f ( x)=2 x
−
1
5
Resuelva los siguientes ejercicios.
1)
Sean las funciones f ( x ) =
3x - 1
si x > 5
x2 +1
2
si x = 5
g ( x ) = 4x - 5x +1
si x < 5
3-x
2 Calcule:
a) f ( 3 ) b) f ( -1 )
d) g ( -1 )
c) f ( 1 / 2 )
e) g ( 2 )
Respuestas
a) 0
b) 2
c) 5/4 d) 10
2)
e) 7
Determine la función inversa de: 4 x− 1
4 − 3 x
a) f ( x)=
2
c)
b) g ( x)=
2
h( x ) =
3 x − 1 x+1
d) i( x)=
1− 4 x 5− 2 x
Respuestas
f -1 ( x)
=−
2 x
4
+
g -1 ( x)
3
2 x + 1 =
4
h-1 ( x)
=−
x - 1
x− 3
i-1 ( x)
=
1 - 5 x 4− 2 x
3x -1
3)
Sean las funciones f ( x ) = 4x - 5 , g ( x ) = 2 - 3x ,
si x ≤ -1
h(x)= x2 + 1
si x > -1
Calcule. a) ( f o g) ( -3)
b) ( h o g ) (-1)
c) ( f o g o h ) ( -2 )
e) ( f -1 o g ) (1) f) ( h o g-1 ) (-1)
d) ( g o h o f ) (-2 )
g) ( g-1 o h o f -1) (1)
Respuestas
a) 11 y 39
b) 5 y 26
c) -7, 23 y 87
e) -1 y 1
f) 1 y 2
g) 3/2, 13/4 y -5/12
4)
d) -13, -40 y 122
Completar las siguientes tablas si f y g definidas en R son: 2
f(x)
X fx
0
1
X x
1
-1
=
2x
−
+ 1 g ( x) = 6 x − 3
x
-1
2
3
-3
6
5)
Complete la tabla si f ( x) = 2 x x fx
6)
Si
g ( x)
⎧⎪ x 2 ⎨⎪⎩ x 1 3
-2 5
8
2
si x ≤
−
si − 2〈 x〈1 si x ≥ 1
x g(x) 7)
6
-1
+
=
+
−
9
completar
-3
-2
-3/2
½
1
2
Sean s y t funciones reales definidas como 2
s( x) = x t ( y)
−
3;
⎧ y +1 si ⎨⎩ 5 si 2
=
y≥ o y〈0
Completar x s(x)
0
-1
y t(y) x
2
-3
3
-2
0
-4
1
1
2
6 3
13 4
(t 8)
9) que
Sea f : R→ R tal que
Sea g : Q
2
f ( x− 1) = x . Determinar;
a) f(1)=
b) f(-1)=
c) f(o)=
d) f(y)=
∗
→
Q
tal
g ( x) 3 x =
2 +
1 x
. Calcular: b) g(-1)=
a) g(1)=
d) g(-2)= c) g(2)=
⎜⎝⎛1⎠⎞⎟
e g 3 ) 10)
Sea f : R→ R
⎛⎝⎜ ⎠⎞⎟
f) g 1
=
tal que f ( x) =
=
2
1 ,completar la tabla: 2 x +1
x f(x)
2
1/3
4
1/2 1/15
2/5
7
11)
12)
⎧ x
⎪⎨
3 si x ≥ 1 Sea f(x)=2x+6 , g ( x) = x + 2 si x ≤ ⎪⎩ 1 si − 2〈 x〈1 x Fx
-1
x Gx
-3
−
2completar las tablas:
−
-2
-2
5
8
9
-3/2
½
1
Sea la función g : R→ R definida por g ( x) = a) g(5)=
2
⎨⎧⎩ x x
2
− +
3 x si x ≥ 2
2
si x〈2
Hallar:
b) g(8)= c) g(-2)= Guía Función Exponencial y Logarítmica
1. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 500.000 habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula: P =500.000e población para el año 2.008 Respuesta: 426.072 habitantes
−0,02t
en donde t es el tiempo en años. Calcule la
2. Si cierta marca de automóvil se compra por C pesos, su valor comercial v(t ) al final de t años, está dado por v(t )=0,78 ⋅C ⋅0,85
costo original es de $6.500.000, calcule el valor del automóvil después de tres años.
t −1 . Si el
Respuesta: $3.663.075
3. Si el valor de los bienes raíces se incrementan a razón del 10% por año, entonces después de t años, el valor de una casa
⋅
t
comprada en P pesos, está dada por: v(t ) = P 1,1 . Si una casa fue comprada en $40.000.000 en el año 2001. ¿Cuál será su precio en el año 2008? Respuesta: $77.948.684 4. El volumen de ventas de una marca de cereales disminuye después de una campaña publicitaria de acuerdo a la Fórmula V(t) =
-t 750(1,3) donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucesivas? Respuesta: 1,55 meses 5.
El valor de una máquina adquirida hace 8 años por 10.000 dólares viene dado por la expresión:
V (t ) = 10.000 e
−
0,3 t
, donde t mide los años después de su adquisición. ¿En cuánto tiempo la máquina tendrá un valor de 2.231,30
dólares ? Respuesta: 5 años
6 0,06t
6. Una población crece de acuerdo con la fórmula: P = 5 x10 e población en aumentar 50%? Respuesta: 6,76 años
donde t es el tiempo en años. ¿Cuánto tiempo tardará la
7. Se adquiere una máquina batidora industrial por $450.000 y se deprecia continuamente desde la fecha de adquisición. Su valor −0,2t después de t años está dado por la fórmula: V = 450.000⋅e ¿En cuánto tiempo la máquina tendrá un valor de $200.000? Respuesta: 4,1 años
8
8. Según cierta información científica confiable, a partir del año 2000, la concentración de CO2 ambiental, en cierta ciudad de Chile t ha ido variando según la función: C = 175 · 1,02 ; donde: C = concentración de CO2, en ppm (partes por millón) y t = años a partir del 2000 A partir de este modelo determine la concentración del CO el año 2000 Respuesta: 175 ppm 2 T 9. La concentración de pesticida en manzanas a partir de la última fecha de aplicación está dada por la función: C = 1,5 · 0,86 , donde la concentración C está medida en mg del producto por cada 1 kilogramo de fruta, y el tiempo T, en días. Determine en q ué tanto por ciento disminuye la concentración del pesticida entre el primer y tercer día de la última aplicación. Respuesta: Disminuye un 26% 10. Una persona invierte cierta cantidad de dinero en negocios que le producen utilidades. Estas utilidades vienen dadas
⋅
t
aproximadamente por la expresión U = 2,5 1,1 , donde U es la utilidad en millones de pesos y t es el tiempo en meses. ¿Cuánto tiempo demoraría en obtener 25 millones de pesos en utilidades? Respuesta:
24,2 meses.
11.Una compañía que fabrica software contrató a un técnico para evaluarlos. El número de software posibles de evaluar por día viene dada por: 200 , donde N es el número de software evaluado por día, después de t días de trabajo. ¿Cuántos días requiere un 4+21⋅ e 0,1t técnico para evaluar 40 software diarios?Respuesta: Aproximadamente 30días
N (t ) =
−
9
