Física General I
Cinemática de una Partícula
Optaciano Vásquez García
2010
Problema 01
El movimiento de una partícula se define por la relación Problema 02
expresa en m y t en x=2t3-6t2+15, donde x se exp El movimiento de una partícula se define por la relación segu segund ndos os.. Dete Determ rmin inee el aceleración cuando v = 0.
tiem tiempo po,,
la
posi posici ción ón
y
x=2t2-20t+60, donde x se expr expres esaa en pies y t en
Solución
segundos. Dete Determ rmin ine! e! "a# "a# el tiem tiempo po en el cual cual la velocidad es cero, "$# la posición y la distancia total recorrida cuando t = 8 s.
Las ecuaciones de movimiento son
Solución
Las ecuaciones de movimiento son
(a) El tiempo en el cual la velocidad es nula.
%arte "a# &nstante en el 'ue v = 0
(b) La posición cuando v = 0 %arte "$#! %osición cuando t = ( s
%arte "c#! La distancia total recorrida desde t = 0 )asta t = 8 s. %ara determinar la distancia total es necesario )acer una una gr*fica gr*fica v-t de donde se ve 'ue la distancia total es igual es igual al *rea $a+o dic)a curva en el intervalo desde t = 0 s a t = 8 s.
(c) La aceler aceleraci ación ón cuando cuando v = 0. Rempla Remplaan ando do los valores del tiempo cuando v = 0 se tiene
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eparando varia$les e integrando, se o$tiene
/2 y k = 18 mm 2 /s2. %arte "$#! velocidad cuando x = xo /2
Problema 03
Problema 0
El movi movimi mien ento to de una una part partíc ícul ulaa es rect rectil ilín íneo eo y su aceleración se expresa mediante la ecuación! na partíc partícula ula se mueve mueve en la direcció dirección n del e+e x de
modo 'ue su velocidad varía seg1n la ley v=βx, donde Donde a es la aceleración en mm/s2, x es la posición de la partícula expresada en mm y k es es una constante. La x = x0. "a# $tenga velo veloci cida dad d es nula nula cuan cuando do $tenga una expresión para la velocidad en t rminos de x, "$# calcule /2 y k = 18 mm 2 /s2. la velocidad cuando x = xo /2
v es la velocidad instant*nea instant*nea en cm/s, x es la posición en cm y 2 es una constante positiva. 3eniendo en cuenta 'ue en el momento t = 0 la partícula se encontra$a en el punto x = 0, dete determ rmine ine!! "a# "a# la depe depend nden enci ciaa de la velocidad velocidad y la aceleración aceleración respecto respecto del tiempo, tiempo, "$# la velocidad media de la partícula en el tiempo, en el transcurso del cual recorre los primeros S metros. metros.
Solución
Parte (a): e sa$e 'ue !oluci"n#
Parte $a%& velocidad en función del tiempo.
/plicando la regla de la cadena se tiene
a$emos 'ue
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eparando varia$les e integrando, se o$tiene
/2 y k = 18 mm 2 /s2. %arte "$#! velocidad cuando x = xo /2
Problema 03
Problema 0
El movi movimi mien ento to de una una part partíc ícul ulaa es rect rectil ilín íneo eo y su aceleración se expresa mediante la ecuación! na partíc partícula ula se mueve mueve en la direcció dirección n del e+e x de
modo 'ue su velocidad varía seg1n la ley v=βx, donde Donde a es la aceleración en mm/s2, x es la posición de la partícula expresada en mm y k es es una constante. La x = x0. "a# $tenga velo veloci cida dad d es nula nula cuan cuando do $tenga una expresión para la velocidad en t rminos de x, "$# calcule /2 y k = 18 mm 2 /s2. la velocidad cuando x = xo /2
v es la velocidad instant*nea instant*nea en cm/s, x es la posición en cm y 2 es una constante positiva. 3eniendo en cuenta 'ue en el momento t = 0 la partícula se encontra$a en el punto x = 0, dete determ rmine ine!! "a# "a# la depe depend nden enci ciaa de la velocidad velocidad y la aceleración aceleración respecto respecto del tiempo, tiempo, "$# la velocidad media de la partícula en el tiempo, en el transcurso del cual recorre los primeros S metros. metros.
Solución
Parte (a): e sa$e 'ue !oluci"n#
Parte $a%& velocidad en función del tiempo.
/plicando la regla de la cadena se tiene
a$emos 'ue
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Remplaando la ecuación "6# en "7# resulta
Derivando la 1ltima ecuación respecto del tiempo se tiene Problema 0'
n proyectil proyectil penetra en un medio resistent resistentee en x = 0 con una velocidad inicial v0 = 20 mm/s y recorre 100 mm antes de detenerse. uponiendo 'ue la velocidad del
proyectil est definida por la relación v=v0-kx, donde v /celeración en función del tiempo. se expresa en m/s y x est* en metros. Determine! "a# la aceleración inicial del proyectil, "$# el tiempo 'ue tarda en penetrar !" mm en el medio.
Solución.
Parte a: 5*lculo de la constante k: e sa$e 'ue cuando x = 0,8 m, la velocidad es nula, entonces de la ecuación de la velocidad se tiene
%arte "$#! 4elocidad media
5uando x = S , el tiempo es
Entonces la aceleración para cual'uier posición ser*
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Donde a y v se expresan en m/s2 y en m/s# respectivamente. a$iendo 'ue para t = 2 s, la velocidad es v = 0#" v 0. Determine! "a# la velocidad inicial de la partícula, "$# su posición cuando la velocidad es de 1 m/s y "c# su posición cuando la velocidad es de 1 m/s.
La aceleración inicial es
Solución
En prime primerr lugar lugar se deter determin minaa una relación relación entre entre la velocidad y el tiempo, es decir Parte (b): 3iempo 'ue tarda en penetrar 96 mm
5uando x = 96 mm, el tiempo ser*
Parte (a): 5*lculo de v0. De los datos se tiene 'ue para t = 2 s, la velocidad es v = v 0 /2 /2, entonces de la ecuación "8# se o$tiene
Problema 0(
5uan 5uando do t = 0 una una partíc partícul ulaa parte parte de x = 0 y su aceleración definida por la relación Parte (b): 3iempo 'ue tarda en detenerse. 5uando la partícula se detiene, su velocidad velocidad es cero, entonces
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Parte (a): desplaamiento t = 0 s y t = % s.
e sa$e 'ue
%arte "c#! u posición cuando la velocidad es de 1 m/s.
Remplaando los valores correspondientes resulta
Parte (b): Distancia total entre t = 0 s y t = % s.
%ara calcular la distancia total primero se determina la el instante en el cual la velocidad se anula, esto es
Problema 0)
La velocidad de una partícula se define mediante la expresión
Donde v $ t se se expresan en m/s y en s , respectivamente. 5uando t = 1 s la partícula se encuentra localiada en Entonces la distancia total ser*
r=3i, y se dirige )acia la i'uierda. 5alcule! "a# el
desplaamiento de la partícula durante el intervalo entre t = 0 s y t = % s , "$# la distancia total recorrida por la partícula durante el intervalo intervalo entre t = 0 s y t = % s. y "c# la aceleración de la partícula cuando su velocidad es nula.
Solución.
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La posición en función del tiempo ser*
%arte "c#! aceleración cuando la velocidad es nula
Problema 0*
Parte $b%# La velocidad ser* m*xima cuando t = &
La aceleración de una partícula es a=k senπt/T . i
tanto la velocidad como la coordenada de posición de la partícula son cero cuando t = 0. Determine! "a# las ecuaciones de movimiento, "$# La m*xima velocidad, "c# la posición para t = 2& , "d# la velocidad media en el intervalo de t = 0 )asta t = 2& . Solución
%arte "c#. La posición cuando t = 2&.
%arte "a# Ecuaciones de movimiento
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%arte "d#. 4elocidad media para 0:t :2T ;ovimiento de < )asta 5. Es un ;R4
Problema 0+
n automóvil parte del reposo y se desplaa con una aceleración de 1 m/s2 durante 1 s, luego se apaga el motor y el auto desacelera de$ido a la fricción durante 80 s a un promedio de " cm/s2. Entonces s aplica los frenos y el auto se detiene por " s m*s. Determine la distancia recorrida por el auto. ;ovimiento de < )asta 5. Es un ;R4 Solución
En la figura se muestra los datos del enunciado del pro$lema
;ovimiento de / )asta <. Es un ;R4
Problema 10
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na partícula 'ue se mueve a lo largo del e+e x con aceleración constante, tiene una velocidad de 1#" m/s en el sentido negativo de las x para t = 0# cuando su coordenada x es 1#2 m. 3res segundos m*s tarde el punto material pasa por el origen en el sentido positivo. >asta 'u coordenada negativa se )a desplaado dic)a partícula?.
eg1n condición del pro$lema el tiempo 'ue demora la partícula en ir de / )asta < y posteriormente a es % s, entonces
Solución
La partícula se mueve con ;R4, entonces para resolver el pro$lema se )ace por tramos Remplaando la ecuación "7# en "@# nos da
5omparando las ecuaciones "8# y "6#, se tiene Tramo AB. El movimiento es variado
Remplaando la ecuación "A# en "B# resulta
El tiempo 'ue demora la partícula en ir de / a < es
Tramo BO. Es un movimiento rectilíneo variado
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Remplaando este tiempo y la aceleración encontrados en la ecuación "@# se tiene
Problema 11
n cuerpo se mueve en línea recta con una velocidad cuyo cuadrado disminuye linealmente con el desplaamiento entre los puntos / y < los cuales est*n separados !0 m tal como se indica. Determine el desplaamiento C x del cuerpo durante los dos 1ltimos segundos antes de llegar al punto <.
5*lculo del desplaamiento ∆x durante los dos segundos 'ue preceden a la llegada a <. %ara ello se determina la posición cuando t = (#" s ' 2 s) = "#" s.
El desplaamiento es Solución
e determina la relación entre la velocidad y la posición determinando la ecuación de la recta.
Problema 12
El movimiento de una partícula es rectilíneo y su aceleración 'ue es constante se dirige )acia la derec)a. Durante un intervalo de 6 s la partícula se desplaa A,6 m )acia la derec)a mientras 'ue recorre una distancia total de B,6 m. determine la velocidad de la partícula al principio y al final del intervalo y la aceleración durante este.
%rocedemos a)ora a determinar el tiempo 'ue demora en recorrer los 90 m.
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Solución
umando las ecuaciones "8# y "A#, tenemos e conocen
De$ido a 'ue la aceleración es constante el diagrama v-t es 1til para resolver el pro$lema.
Restando las ecuaciones "A#
La pendiente de la curva v-t nos da la aceleración
De la figura se o$serva 'ue
Remplaando la ecuación "B# y "# en "7# y "6# resulta
a$iendo 'ue el desplaamiento es ∆ x = 7,6 m, entonces tenemos
Remplaando la ecuación "(# en "8# se tiene
5onocemos la distancia total d & =#" m, es decir
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Remplaando las ecuaciones anteriores en "7# y "6# resulta
e conocen
Entonces la aceleración ser*
De$ido a 'ue la aceleración es constante esta es igual a la pendiente de la curva v-t . Entonces
Problema 13#
na partícula parte del reposo y se mueve descri$iendo una línea recta, su aceleración de " m/s2 dirigida )acia la derec)a permanece invaria$le durante 12 s. / continuación la aceleración ad'uiere un valor constante diferente tal 'ue el desplaamiento total es 180 m )acia la derec)a y la distancia total recorrida es de 80 m. Determine! "a# la aceleración durante el segundo intervalo de tiempo, "$# el intervalo total de tiempo.
Solución
La distancia total es igual a la suma de las *reas en valor a$soluto, es decir
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El desplaamiento viene expresado como
El intervalo de tiempo total ser*
umando las ecuaciones "@# y "@# se tiene
Problema 1
La ca+a 5 est* siendo levantada moviendo el rodillo / )acia a$a+o con una velocidad constante de v =*m/s a lo largo de la guía. Determine la velocidad y la aceleración de la ca+a en el instante en 'ue s = 1 m . 5uando el rodillo est* en < la ca+a se apoya so$re el piso.
5*lculo de la aceleración durante el segundo intervalo de tiempo.
e procede a determinar el intervalo de tiempo ∆t@.
Solución
La relación de posiciones se determina teniendo en cuenta 'ue la longitud del ca$le 'ue une al $lo'ue y el rodillo permanece constante si es 'ue es flexi$le e inextensi$le Remplaando
5uando s = 1 m, la posición de la ca+a 5 ser*
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e determina a)ora la posición x , cuando s = 1 m
de la corredera < respecto a la / es de 0# m/s. >alle las aceleraciones de / y <, "$# la velocidad y el cam$io de posición de < al ca$o de s.
La velocidad de la ca+a 5 se o$tiene derivando la ecuación "8# respecto del tiempo, es decir
Remplaando valores o$tenemos
Solución
tiliando cinem*tica de movimientos dependientes se encuentra la relación entre posiciones La aceleración se o$tiene derivando la ecuación "7# respecto del tiempo. Es decir
La velocidad y la aceleración son
eg1n datos del e+ercicio
Remplaando los valores consignados en el enunciado del pro$lema resulta
Remplaando la ecuación "A# en "7#, o$tenemos
Problema 1'
La aceleración de < despus de 8 s ser*
La corredera / parte del reposo y asciende a aceleración constante. a$iendo 'ue a los 8 s la velocidad relativa
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5uando la velocidad de / es 7 mFs )acia la derec)a se tiene
Remplaando la ecuación "B# en la ecuación "@# La velocidad relativa de < con respecto a / ser*
Problema 1(
La aceleración de <
En la figura mostrada, el $lo'ue / se est* moviendo )acia la derec)a con una celeridad de * m/s la celeridad disminuye a raón de 0#1" m/s2. En el instante representado s = 8 m y s + = m. Determine la
velocidad relativa vB/A y la aceleración relativa aB/A.
La aceleración relativa de < con respecto a / ser*
Problema 1)
Los tres $lo'ues mostrados en la figura se desplaan con velocidades constantes. Determine la velocidad de cada uno de los $lo'ues sa$iendo 'ue la velocidad relativa de 5 con respecto a / es 200 mm/s )acia arri$a y 'ue la velocidad relativa de < con respecto a 5 es 120 mm/s )acia a$a+o.
Solución
tiliando cinem*tica de movimientos dependientes se encuentra la relación entre posiciones
La relación entre velocidades es
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Problema 1*
La posición de una partícula 'ue se mueve so$re el plano x$ se expresa mediante la ecuación
Solución
eg1n datos del e+ercicio se tiene
tiliando cinem*tica de movimientos dependientes se tiene
Donde r y t se expresan en milímetros y segundos, respectivamente. Determine! "a# El desplaamiento durante el intervalo entre t = 1 s y t = % s "$# la velocidad media durante el intervalo entre t = 1 s y t = % s "c# la velocidad cuando t = 2 s y "d# la aceleración cuando t = 2 s.
5uerda &
Solución
%arte "a# Desplaamiento
5uerda &&
%arte "$#. La velocidad media en el intervalo de t = 1 s Derivando respecto del tiempo las ecuaciones "@# y "7# se o$tiene la relación entre las velocidades.
%arte "c#. La velocidad instant*nea para t = 2 s es Remplaando la ecuación "6# en "B#, resulta
Resolviendo simult*neamente las ecuaciones "8#, "A# y "# se o$tiene
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%arte "d#. La aceleración instant*nea para t = 2 s es
La ecuación de la trayectoria es
Problema 1+
Los movimientos x e $ de las guías / y <, cuyas ranuras forman un *ngulo recto, controlan el movimiento del pasador de enlace %, 'ue res$ala por am$as ranuras. Durante un corto intervalo de tiempo esos movimientos
est*n regidos por x=20+14t2 e y=15-16t3, donde x e
$ est*n en milímetros y t en segundos. 5alcular los módulos de las velocidad y de la aceleración a del pasador para t = 2 s. es'uematiar la forma de la trayectoria e indicar su curvatura en ese instante.
Problema 20
La velocidad de una partícula 'ue se mueve so$re el plano x$ se define mediante la ecuación
Donde v y t se expresan en m/s y en segundos, respectivamente. La partícula est* localiada en
Solución
La posición, velocidad y aceleración del punto % son
r=3i+4jm, cuando t = 1 s . determine la ecuación de la
trayectoria descrita por la partícula. Solución
En primer lugar se determina la posición de la partícula en cual'uier instante, mediante integración de la velocidad.
La velocidad y la aceleración cuando t = A s son
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La velocidad y la aceleración en cual'uier tiempo est*n dadas por las ecuaciones
Remplaando la posición cuando t = 1 s, resulta Las expresiones vectoriales así como su módulos de la velocidad y la aceleración cuando t = 2 s son
Las ecuaciones paramtricas de la curva son
Despe+ando el tiempo de la 1ltima ecuación y remplaando en la coordenada x resulta
Problema 21
%arte "a#. /ngulo entre la velocidad y la aceleración cuando t = 2 s.
El vector de posición de un punto material 'ue se mueve en el plano x$ est* dado por
Donde rest* en metros y t en segundos. Determine el %arte "$# /ngulo entre la velocidad y la aceleración cuando t = % s. *ngulo 'ue forman la velocidad v y la aceleración a
cuando "a# t = 2 s y "$# t = % s. Solución
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5uando la saca llega al )om$re se tiene
"A# Remplaando la ecuación "A# en "8# resulta
5alculo del *ngulo 2
Problema 22
El piloto de un avión 'ue se mueve )oriontalmente a una velocidad de A00 GmF) y 'ue transporta una saca de correos a un lugar remoto desea soltarlo en el momento +usto para 'ue alcance el punto en donde se encuentra u$icado un )om$re. Hu *ngulo 2 de$er* formar la visual al $lanco con la )oriontal en el instante del lanamiento?.
Problema 23
n $aloncestista 'uiere lanar una falta con un *ngulo I = "0, respecto a la )oriontal, tal como se muestra en la figura. Hu velocidad inicial v0 )ar* 'ue la pelota pase por el centro del aro?.
Solución
Solución
;ovimiento )oriontal de la saca de correos
Ecuaciones de movimiento )oriontal
"8# 5uando la pelota pasa por el centro del aro x = * m, entonces se tiene
;ovimiento vertical de la saca de correos
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Ecuaciones de movimiento vertical
5uando la pelota pasa por el centro del aro $ = % m, entonces se tiene
Ecuaciones de movimiento )oriontal
"8#
Remplaando la ecuación "8# en "A#, resulta
Ecuaciones de movimiento vertical
El punto m*s alto < se lograr* cuando la pelota pase rosando el tec)o del gimnasio "punto 5#, en este caso la velocidad en la dirección y del punto 5 ser* nula y la altura y = B m, de la ecuación "7# se tiene.
Problema 2
n +ugador lana una pelota con una velocidad inicial v0 = 1" m/s desde un punto / localiado a 1#" m arri$a del piso. i el tec)o del gimnasio tiene una altura de m. determine la altura del punto < m*s alto al 'ue puede pegar la pelota en la pared a 18 m de distancia.
La componente x de la velocidad del punto / ser*
Remplaando la ecuación "B# en "8# resulta
Solución
En la figura se muestra el sistema de referencia escogido para resolver el pro$lema
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Remplaando el valor del tiempo en la ecuación "@# resulta.
Del gr*fico puede o$servarse 'ue cuando el proyectil impacta en < )a recorrido una distancia )oriontal x + y una altura $ +. Entonces se tiene.
Problema 2'
e lana un proyectil con una velocidad inicial v0 = 200 m/s y un *ngulo I = 0, respecto a la )oriontal. i el plano inclinado forma un *ngulo J = 20, con el )orionte. Determine el alcance medio pendiente arri$a.
Remplaando las ecuaciones "8# y "A# en la ecuación "@#, resulta
5*lculo de R. Del grafico se tiene 'ue
!oluci"n
En la figura se muestra el sistema de referencia escogido para resolver el pro$lema Problema 2(
En la figura mostrada, una pelota se lana desde un plano inclinado y c)oca contra este a una distancia S = #* m. i la pelota su$e a una altura m*xima = 1!#% m arri$a del punto de salida. Determine! "a# la velocidad inicial v0 y "$# la inclinación I.
Ecuaciones de movimiento )oriontal
Ecuaciones de movimiento vertical Solución
En la figura se muestra el sistema de referencia escogido para resolver el pro$lema
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Ecuaciones de movimiento )oriontal
Ecuaciones de movimiento vertical Remplaando la ecuación "# en "B# nos da
5uando la pelota alcana la posición 5, la componente $ de la velocidad en dic)a posición es nula. Entonces la ecuación "7# se escri$e en la forma
La velocidad inicial es
El *ngulo I tiene el siguiente valor
5uando la pelota impacta en el punto < cuyas coordenadas respecto al sistema de referencia son
Remplaando estos valores en las ecuaciones "8# y "@# resulta.
Problema 2)
En el instante t = 0 se lana un proyectil en el seno de un fluido experimental. La velocidad inicial es v0 y I es el *ngulo con la )oriontal, la resistencia so$re el
proyectil se traduce en una aceleración aD= -kv, donde
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k es una constante y v es la velocidad del proyectil.
Determinar como funciones del tiempo las componentes x e $ tanto de la velocidad como del desplaamiento. 5u*l es la velocidad terminal?. e incluir*n los efectos de la aceleración de la gravedad. e analia el movimiento vertical, esto es
Solución
La aceleración de$ido a la resistencia del agua se puede escri$ir en la forma
La aceleración neta 'ue act1a so$re el proyectil ser*
Las componentes de la aceleración ser*n
La velocidad terminal se determina )aciendo t K, e analia el movimiento )oriontal, esto es rs decir
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Problema 2*
na $om$a se localia cerca del $orde de una plataforma )oriontal como se muestra en la figura. La $o'uilla en / descarga agua con una velocidad inicial de A6 piesFs a un *ngulo de 60M con la vertical. Determine el intervalo de valores de la altura para los cuales el agua entrar* en la a$ertura <5 5uando el agua llega al punto <(2*# - ), las ecuaciones "A# y "7# se reducen a
Solución
En la figura se muestra el sistema de referencia escogido para resolver el pro$lema.
5uando el agua llega al punto 5(28# - ), las ecuaciones "A# y "7# se reducen a
ovimiento orionta: Es un movimiento uniforme de$ido a 'ue en esta dirección no existe aceleración, entonces sus ecuaciones son.
El intervalo de valores de ) para los cuales el agua cae en la a$ertura <5 ser*
ovimiento vertica: Es un movimiento uniformemente variado con una aceleración g = @A,A piesFs. us ecuaciones son
Problema 2+
n acró$ata de$e saltar con su auto a travs del poo lleno con agua 'ue se ve en la figura. Determine! "a# la mínima velocidad v0 del auto y "$# el *ngulo I 'ue de$e tener la rampa
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5uando el agua llega al punto <(12# - %), las ecuaciones "A# y "7# se reducen a
Solución
En la figura se muestra el sistema de referencia escogido para resolver el pro$lema.
Remplaando la ecuación "6# en "B#, resulta
ovimiento orionta: Es un movimiento uniforme de$ido a 'ue en esta dirección no existe aceleración, entonces sus ecuaciones son.
5onocida la velocidad mínima inicial, el *ngulo de la rampa final coincidir* con la dirección de la velocidad final de caída del auto en la rampa en <. Dic)a dirección ser*
ovimiento vertica: Es un movimiento uniformemente variado con una aceleración g = @A,A piesFs. us ecuaciones son
5alculo de las componentes de la velocidad final en <
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Entonces el *ngulo de la rampa ser*
Movimiento de la pelota B! Es un movimiento para$ólico compuesto por dos movimientos!
Problema 30
n muc)ac)o lana una pelota desde una ventana situada a 80 m por encima de la calle, seg1n se indica en la figura. La celeridad inicial de la pelota es de 10 m/s y tiene una aceleración constante, vertical )acia a$a+o, de !#81 m/s2. tro muc)ac)o / corre por la calle a " m/s y capta la pelota en su carrera. Determine! "a# La distancia x a la cual capta la pelota "$# La velocidad
relativa
ovimiento orionta: Es un movimiento uniforme de$ido a 'ue en esta dirección no existe aceleración, entonces sus ecuaciones son.
, de la pelota respecto al muc)ac)o en el
instante en 'ue ste la capta.
ovimiento vertica: Es un movimiento uniformemente variado con una aceleración g = 9,( mFsA. us ecuaciones son
!oluci"n
5uando la pelota es captada por el muc)ac)o / la coordenada $ es nula, es decir la ecuación "7# puede escri$irse
En la figura se representa el sistema de referencia 1nico para evaluar el movimiento de la pelota y del muc)ac)o
Parte (a): Remplaando la ecuación "6# en "A#, resulta
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La componente $ de la velocidad de la pelota en este instante ser*.
tiliando la regla de la cadena la velocidad puede expresarse en función de la posición, es decir. La velocidad de la pelota en este instante con respecto al origen ser*
Movimiento del muchacho A! Es un movimiento rectilíneo uniforme. us ecuaciones de movimiento ser*n!
Parte (b). 4elocidad relativa de < respecto a /
La aceleración normal ser*
Problema 31
5onocidas las aceleraciones normal y tangencial se puede determinar la aceleración total, esto es
n automóvil via+a por el tramo curvo de la carretera plana con una velocidad 'ue disminuye a raón de 0# m/s cada segundo. /l pasar por el punto /, su velocidad es 1 m/s. 5alcular el módulo de la aceleración total cuando pasa por el punto < situado a 120 m m*s all* de /. El radio de curvatura en el punto < es 0 m. Problema 32
na partícula via+a en una trayectoria curvilínea con
velocidad constante en la dirección $ de vy=30 m/s. La
velocidad en la dirección x varia con el tiempo de la
siguiente manera vx=3t+10m/s. Determine! "a# la
Solución
La aceleración tangencial es
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Optaciano Vásquez García
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aceleración normal cuando t = 1 0 s, "$# el radio de curvatura cuando t = 10 s.
Parte (b). Radio de curvatura cuando t = 10 s.
Solución
Problema 33
En primer lugar se encuentra la expresión vectorial de la velocidad en cual'uier instante t . Es decir,
na esferita rueda descendiendo por una superficie de
forma para$ólica cuya ecuación es y= x2-6x+9m, tal
como se muestra en la figura. 5uando la esferita pasa
La magnitud de la velocidad en cual'uier instante es
por el punto / x0=5 m lleva una velocidad de % m/s la
misma 'ue aumente a raón de " m/s2. Determine! "a# las componentes normal y tangencial de la aceleración de la esferita cuando pasa por el punto /, "$# el *ngulo 'ue forma en el punto / los vectores velocidad y aceleración.
La aceleración total en cual'uier instante de tiempo ser*
La aceleración tangencial en cual'uier tiempo es
!oluci"n
La aceleración tangencial cuando t = 10 s, ser*
En la figura se muestra los vectores velocidad y aceleración
Parte (a#. La aceleración normal de la partícula ser*
Del enunciado del pro$lema o$servamos 'ue la aceleración tangencial viene dada por
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La aceleración normal ser*
Parte (b). 5alculo de O
Problema 3
Determinemos a)ora el radio de curvatura N.
En un instante dado, el automóvil tiene una velocidad de 2" m/s y una aceleración de % m/s2 actuando en la dirección mostrada. Determine! "a# el radio de curvatura de la trayectoria en el punto / y "$# la raón del incremento de la rapide del automóvil.
5omo se conoce la ecuación de la trayectoria, entonces tenemos
Solución
La aceleración tangencial viene dada por Remplaando las ecuaciones "6# y "B# en "@# se tiene
La aceleración normal ser* 5uando x = 6 m, ecuación anterior se escri$e
Parte (a): El radio de curvatura se determina a partir de la aceleración normal. Esto es,
Remplaando la ecuación "# en "A# resulta
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%arte "$#. La raón del incremento de la rapide es igual a la aceleración tangencial
PROBLMAS PROP!STOS.
1.
El movimiento de una partícula est* definido por , donde x y t se expresan en metros y en segundos respectivamente. >allar la posición, velocidad y aceleración de la partícula cuando t = 2 s.
29
2.
El movimiento de una partícula est* definido por , donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. >allar el tiempo, la posición y la velocidad cuando a = 0.
3.
El movimiento de una partícula est* definido por , donde x y t se expresan en metros y en segundos, respectivamente. >allar! "a# 5uando es cero la velocidad, "$# la posición, aceleración y la distancia total recorrida cuando t = * segundos.
4.
La aceleración de una partícula est* definida por a = m/s 2. a$iendo 'ue x = -%2 m cuando t = 0 y 'ue v = - m/s cuando t = 0 , )allar la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t = " s.
5.
La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo t. 5uando t = 0 , su velocidad es v = 1 cm/s . a$iendo 'ue v = 1" cm/s y ue x = 20 cm cuando t = 1 s , )allar la velocidad, la posición y la distancia total cuando t = s.
6.
La aceleración de una partícula es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. 5uando t = 0, x = 2* m . a$iendo 'ue en t la partícula est* en = s, x = ! m y v = 18 m/s , expresar x y v en función del tiempo.
7.
na partícula oscila entre dos puntos x = *0 mm y x = 10 mm con una aceleración a = k(100 ' x)# donde k es una constante. La velocidad de la x = 100 mm y es partícula es 18 mm/s cuando cero en x = *0 mm y en x = 10 mm. >allar! "a# el valor de k , "$# la velocidad cuando x = 120 mm.
8.
na partícula parte del reposo en el origen de coordenadas y reci$e una aceleración a =k/(x3*)2, donde k es una constante. a$iendo 'ue su velocidad es * m/s cuando x = 8 m . >allar! "a# el valor de k , "$# su posición cuando v = *#" m/s , "c# su velocidad m*xima.
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9.
partícula son cero cuando t = 0 # )allar! "a# las ecuaciones de movimiento, "$# La m*xima velocidad, "c# la posición para t = 2 &, "d# la velocidad media en el intervalo de t = 0 )asta t = 2& .
na partícula 'ue parte del reposo en x = 1 m es acelerada de modo 'ue su celeridad se duplica entre x = 2 m y x = 8 m . a$iendo 'ue su aceleración est* definida por , )allar los valores de las constantes y k si la velocidad de la partícula es de 2! m/s cuando x = 1 m.
16.
na partícula se mueve so$re el e+e x y su posición se define mediante la ecuación , donde r y t est*n en metros y segundos, respectivamente. 5uando t = 1 s la partícula se encuentra a 6 m a la i'uierda del origen. 5alcule! "a# La velocidad cuando t = 2 s, "$# la aceleración cuando t = 2 s# "c# la distancia total recorrida durante el intervalo comprendido entre t = 0 y t = * s.
10.
%artiendo de x = 0 sin velocidad inicial, una partícula reci$e una aceleración donde a y v se expresan en m/s2 y mFs, respectivamente. >allar! "a# la posición de la partícula cuando v = 2* m/s , "$# su
11.
La aceleración de una partícula est* definida por , siendo G una constante. a$iendo 'ue x = 0 y v = 81 m/s en t = 0 y 'ue v = % m/s cuando x = 18 m. >allar! "a# la velocidad de la partícula cuando x = 20 m, "$# el tiempo 'ue tarda en detenerse.
17.
%ara la partícula del pro$lema anterior calcule! "a# La velocidad media durante el intervalo entre t = 0 y t = 1 s, "$# la aceleración media durante el intervalo entre t = 0 y t = 1 s, "c# el desplaamiento t = 1 s. durante el intervalo t = 0 y
12.
La aceleración de una partícula est* definida por , siendo k una constante. La partícula parte de x = 0 con una velocidad de 1 cm/s# o$serv*ndose 'ue cuando x = cm, la velocidad vale * cm/s . >alle! "a# la velocidad de la partícula cuando x = " cm, "$# el instante en 'ue su velocidad es de 9 cmFs.
18.
La velocidad de una partícula se define mediante la expresión , donde v y t se expresan en mFs y segundos, respectivamente. 5uando t = 1 s la partícula est* localiada en y se dirige a la i'uierda. 5alcule! "a# el desplaamiento de la partícula durante el intervalo entre t = 0 y t = % s, "$# la distancia total recorrida por la partícula durante el intervalo entre t = 0 y t = % s , "c# la aceleración de la partícula cuando su velocidad sea nula.
13.
5uando t = 0, una partícula de x = 0 con una velocidad v0 y una aceleración definida por la relación , donde a y v se expresan en mFsA y mFs, respectivamente. a$iendo 'ue para t = 2 s es v = 0#" v0. >alle! "a# la velocidad inicial de la partícula, "$# el tiempo 'ue tarda en detenerse, "c# su posición cuando la velocidad es de 1 m/s.
19.
La esfera de acero /, de di*metro D, se deslia li$remente a lo largo de la varilla )oriontal 'ue termina en una piea polar del electroim*n. La fuera de atracción depende de la inversa del cuadrado de la distancia y la aceleración resultante
de la esfera es a=k!-x"2, donde k es una medida 14.
La aceleración de una partícula est* definida por , siendo G una constante. a$iendo 'ue cuando t = 0, la partícula est* en reposo desde x = 7 m y 'ue cuando t = 86 s, v = 7 mFs. >allar! "a# la constante G, "$# la posición de la partícula cuando v = B mFs, "c# su velocidad m*xima.
de la intensidad del campo magntico, Determine la velocidad v con 'ue la esfera golpea la piea polar si se suelta partiendo del reposo en x = 0.
15.
la aceleración de una partícula es . i tanto la velocidad como la coordenada de posición de la
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intervalo de s es de 10 m/s dirigida )acia la derec)a. Durante el intervalo la partícula experimenta un desplaamiento de 2 m )acia la derec)a. 5alcule la aceleración y la velocidad final de la partícula.
25.
e lana una pelota verticalmente )acia arri$a desde un punto de una torre localiada a 2" m arri$a del piso. i la pelota golpea el piso % s despus de soltarla, determínese la velocidad con la cual la pelota "a# se lanó )acia arri$a, "$# pega en el piso.
na partícula parte del reposo y se mueve descri$iendo una línea recta, su aceleración de 6 mFsA dirigida )acia la derec)a permanece invaria$le durante 8A s. / continuación la aceleración ad'uiere un valor constante diferente tal 'ue el desplaamiento total es 8(0 m )acia la derec)a y la distancia total recorrida es de (0 m. Determine! "a# la aceleración durante el segundo intervalo de tiempo, "$# el intervalo total de t iempo.
21.
26.
20.
na partícula se mueve desde el reposo y a partir del origen de coordenadas con una aceleración constante dirigida )acia la derec)a durante * s. / continuación l aceleración ad'uiere el valor de B mFsA dirigida )acia la i'uierda durante un segundo intervalo de tiempo. La partícula recorre una distancia total de 1%8 m y al final del intervalo total de tiempo se encuentra a 12 m )acia la i'uierda del origen. Determine! "a# la aceleración durante el primer intervalo de tiempo * s, "$# la distancia recorrida durante el de intervalo inicial de * s, "c# la duración del intervalo total de tiempo.
n automovilista via+a a " km/ cuando o$serva 'ue un sem*foro a %20 m delante de l cam$ia a ro+o. El sem*foro est* programado para permanecer con la lu ro+a por 22 s. i el automovilista desea pasar por el sem*foro sin pararse, +ustamente cuando se cam$ie a verde otra ve. >allar! "a# la desaceleración uniforme 'ue re'uiere aplicarle al ve)ículo, y "$# la velocidad del automóvil al pasar el sem*foro.
22.
na partícula se mueve so$re una línea recta con la aceleración 'ue se muestra. a$iendo 'ue parte del origen con v0 = - 2 m/s, "a# construir las 0 4 t 4 18 s . >alle la curvas v 't y x ' t para posición y la velocidad y la distancia total 'ue )a recorrido cuando t = 18 s.
27.
La velocidad inicial y la aceleración de una partícula cuyo movimiento es rectilíneo so ! m/s y 1#" m/s2 )acia la i'uierda durante ( s respectivamente. Enseguida la aceleración se anula durante Ct segundos, despus de este intervalo la velocidad cam$ia uniformemente )asta 7 mFs dirigida )acia la derec)a. La distancia total recorrida por la partícula es "*#" m y e l desplaamiento lineal es 1"#" m. determine la duración del intervalo durante el cual la rapide de la partícula es constante.
28.
/ una partícula en reposo se imprime un movimiento vertical y rectilíneo con las características siguientes! aceleración constante de *00 mm/s2 dirigida )acia arri$a durante 0#%0 s# a continuación se mueve con velocidad constante durante 0#20 s. "a# Hu aceleración constante dirigida )acia a$a+o de$e imprimirse a la partícula para 'ue su altura m*xima con respecto a su posición inicial sea de * mm. "$# 5alcule la distancia recorrida por la partícula durante el primer segundo si la aceleración del 1ltimo período se mantiene constante )asta el final del primer segundo.
23.
El movimiento de una partícula es rectilíneo y su aceleración 'ue es constante se dirige )acia la derec)a. Durante un intervalo de " s la partícula se desplaa 2#" m )acia la derec)a mientras 'ue recorre una distancia total de #" m. 5alcular la velocidad de la partícula al principio y al final del intervalo y la aceleración durante ste.
24.
na partícula se mueve con aceleración constante so$re una trayectoria )oriontal recta. La velocidad de la partícula al comieno de un
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del aire durante el descenso li$re inicial de 10 s, y suponga 'ue la aceleración de la gravedad es de !#8 m/s2.
29.
na partícula se mueve desde el reposo y a partir del origen con aceleración constante dirigida )acia la derec)a durante * s. / continuación ad'uiere el valor de m/s2 dirigida )acia la i'uierda durante un segundo intervalo de tiempo. La partícula recorre una distancia total de 1%8 m y al final del intervalo total de tiempo se encuentra a 12 m a la i'uierda del origen. 5alcular! "a# La aceleración durante el primer intervalo de * s5 "$# La distancia recorrida durante el intervalo de * s y "c# La duración del intervalo total de tiempo.
34.
n montacargas se desplaa )acia arri$a con velocidad constante de *#8 m/s cuando pasa a un ascensor de pasa+eros 'ue se encuentra detenido. Dos segundos despus de )a$er pasado el montacargas, el ascensor de pasa+eros empiea a moverse con una aceleración constante de %# m/s2 dirigida )acia arri$a. La aceleración del ascensor se anula cuando su velocidad es 1*#* m/s. Determine! "a# el tiempo 'ue re'uiere el ascensor de pasa+eros para alcanar al montacargas, "$# la distancia 'ue recorre el ascensor de pasa+eros )asta alcanar al montacargas.
30.
na partícula parte del reposo y se mueve descri$iendo una línea recta durante Ct 1 seg con una aceleración de 0#8 m/s2 dirigida )acia la derec)a. La aceleración cam$ia a 2 m/s2 dirigida )acia la i'uierda durante los % s siguientes, a continuación la velocidad se mantiene constante durante un tercer intervalo de tiempo. El desplaamiento total de la partícula es " m )acia la derec)a y la distancia total recorrida es 2% m. 5alcule la duración total del recorrido de la partícula.
35.
n motociclista de patrulla parte del reposo en / dos segundos despus de 'ue un automóvil, 'ue se mueve a 120 km/, pase por /. i el patrullero acelera a raón de B mFsA )asta alcanar la velocidad de 1"0 km/ , m*xima 'ue le es permitida y 'ue mantiene. Determine la distancia entre el punto / y el punto en el 'ue re$asa al automóvil.
31.
La velocidad de una partícula 'ue descri$e una línea recta cam$ia uniformemente desde 0 m/s )asta #* m/s, )acia la derec)a, mientras recorre 12#8 m. La magnitud de la aceleración cam$ia a un nuevo valor constante, y la partícula recorre 2 m durante los " s siguientes. Despus de ste 1ltimo intervalo la aceleración cam$ia a 2 m/s2 dirigida )acia la i'uierda, el recorrido total de la partícula 0 m. 5alcule el tiempo necesario para el es de recorrido total de la partícula.
36.
n automóvil est* via+ando a una velocidad
constante de v0=100 km/), so$re la tramo
32.
na partícula parte del reposo y mantiene constante su aceleración de * m/s2 dirigida )acia la derec)a durante cierto intervalo de tiempo. Enseguida la aceleración cam$ia a 8 m/s2 dirigida )acia la i'uierda y se mantiene constante durante un segundo intervalo de tiempo. El tiempo total es %0 s y la partícula se encuentra en el punto de partida al finaliar el segundo intervalo de tiempo. Determine! "a# la distancia total recorrida, "$# la rapide m*xima de la partícula, La velocidad media durante el intervalo de %0 s.
)oriontal de la carretera cuando se encuentra con
la pendiente mostrada "t#$=6100#. El conductor
no cam$ia la configuración de la aceleración y consecuentemente el auto desacelera a raón de
#sen$. Determine! "a# la velocidad del auto dos 33.
n )om$re salta desde un glo$o 'ue permanece estacionario a una altura de 1"00 m so$re la tierra. Espera durante 10 s antes de tirar la cuerda de apertura del paracaídas. Este lo desacelera a raón de m/s2 )asta 'ue la velocidad # m/s. / partir de este instante contin1a es descendiendo con velocidad constante de # m/s. 5u*nto tiempo necesita el )om$re para descender )asta la tierra?. Desprecie el efecto de la fricción
segundos despus de pasar por / y "$# cuando = 800 ;
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37.
La gr*fica v-t para una partícula 'ue se mueve en el interior de un campo elctrico producido por dos placas cargadas con signos opuestos tiene la forma mostrada en la figura, donde t6 = 0#2 s y vmax = 10 m/s. 3race la gr*ficas s-t y a-t para el movimiento de la partícula. 5uando t = t6/2 la posición de la partícula es s = 0,6 m 40.
na partícula inicia su movimiento desde el reposo en x = -2 m y se mueve a lo largo del e+e x con una velocidad 'ue varía seg1n la gr*fica mostrada. "a# trace las gr*ficas aceleración y posición en función del tiempo desde t = 0 s )asta t = 2 s y "$# Encuentre el tiempo t cuando la partícula crua el origen.
38.
La gr*fica v-t fue determinada experimentalmente para descri$ir el movimiento en línea recta de un co)ete desliante. Determine la aceleración del co)ete desliante cuando s = 800 m y cuando s = A00 m
41.
n carro de carreras parte del reposo y se mueve en línea recta con una aceleración cuya gr*fica se muestra en la figura. Determine el tiempo t 'ue necesita el auto para alcanar una rapide de 60 mFs y construir una gr*fica v-t 'ue descri$a el movimiento del auto )asta el tiempo t.
39.
n auto de carreras partiendo del reposo se mueve a lo largo de una pista recta de tal manera 'ue acelera en la forma indicada en la figura para t = 80 s, y despus desacelera a raón constante. 3race la gr*fica v-t y determine el tiempo tP necesario para detener e carro.
42.
En la figura se muestra la gr*fica v-t para el movimiento de un tren de una estación / a otra <. 3race la gr*fica a-t y determine la velocidad media y la distancia entre las estaciones / y <.
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43.
En la figura se muestra la gr*fica v-s para el movimiento en línea recta de un ve)ículo de ensayos. Determine la aceleración del ve)ículo cuando la posición es s = 100 m y cuando s = 1" m.
46.
5uando se incluye el efecto de la resistencia aerodin*mica, la aceleración en la dirección $ de una pelota de $eis$ol 'ue se mueve verticalmente
)acia arri$a es a%=-#-kv2, mientras 'ue cuando se
mueve )acia a$a+o es a%=-#+kv2, donde k es una
constante positiva y v es la velocidad en m/s. i la pelota se lana )acia arri$a a %0 m/s desde el nivel del suelo, determine la altura 'ue alcana y su velocidad cuando c)oca contra el suelo. 3ómese G = 0,00BB m-8. 44.
n punto se mueve a lo largo del semie+e x positivo con una aceleración a x, en m/s2 'ue aumenta linealmente con x expresada en milímetros, tal como se muestra en el gr*fico correspondiente un intervalo del movimiento. i en x = *0 mm la velocidad del punto es 0,7 mFs, )alle la velocidad en x = 120 mm
47.
45.
n cuerpo se mueve en línea recta con una velocidad cuyo cuadrado disminuye linealmente con el desplaamiento entre los puntos / y < los cuales est*n separados %00 m tal como se indica. Determine el desplaamiento Cx del cuerpo durante los dos 1ltimos segundos antes de llegar a <.
34
Las esferas pe'ueQas de acero mostradas en la figura caen desde el reposo a travs de la a$ertura en / a raón constante de A cada segundo. Determine la separación vertical de dos $olas consecutivas cuando la inferior a descendido % m. Desprecie la fricción del aire.
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51.
El $lo'ue < se est* moviendo con una velocidad v +. Determine la velocidad del $lo'ue / como una función de la posición $ de /.
48.
Recorriendo la distancia de @ Gm entre / y D, un automóvil via+a a 800 GmF) entre / y < durante t segundos, y a B0 GmF) entre 5 y D tam$in durante t segundos. i entre < y 5 se aplican los frenos durante 7 segundos para comunicarle al auto una desaceleración uniforme. Determine! "a# el tiempo t y "$# la distancia s entre / y <.
52.
La muc)ac)a 5 'ue se encuentra cerca del extremo de un muelle tira )oriontalmente de una cuerda con una velocidad constante de v7 = pies/s. determine la velocidad con 'ue el $ote se acerca al muelle en el instante en 'ue la longitud de la cuerda es d = "0 pies . 5onsidere 'ue = 8 pies.
53.
El $lo'ue / mostrado en la figura se mueve )acia la derec)a con una celeridad de 6 mFs, la cual disminuye a raón de 0#2 m/s2. Determine! "a# la velocidad y la aceleración de / y <, "$#
49.
El movimiento )oriontal del con+unto m$olo y v*stago est* perimido por la resistencia del disco solidario 'ue se desplaa dentro del $aQo de aceite. i la velocidad del m$olo es vo en la posición / para la 'ue x = 0 y si la desaceleración es proporcional a v de forma 'ue " deducir las expresiones de la velocidad v y la coordenada de posición x en función del tiempo t. Exprese tam$in v en función de x.
50.
El $lo'ue / se mueve a la derec)a con una velocidad de @,B piesFs. Determine la velocidad del $lo'ue <.
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Determine la velocidad relativa vB/A
y la
aceleración relativa aB/A.
57.
En la figura el $lo'ue / se est* moviendo )acia la i'uierda con una velocidad de !0 cm/s, la celeridad est* aumentando a raón de 2* cm/s2. En el instante representado s = 180 cm y s + = 2*0
cm. Determine la velocidad relativavB/A
y la
54.
El 5ilindro < desciende a 0# m/s y tiene una aceleración ascendente de 0#1" m/s2. 5alcular la velocidad y la aceleración del $lo'ue /. aceleración relativa aB/A.
55.
i el $lo'ue est* animado de una velocidad de 1#2 m/s )acia la i'uierda, determine la velocidad del cilindro /.
58. El
sistema representado parte del reposo y cada componente se mueve a aceleración constante. i la aceleración relativa del $lo'ue 5 respecto al collar < es B0 mmFsA )acia arri$a y la aceleración relativa del $lo'ue D respecto al $lo'ue / es 880 mmFsA )acia a$a+o. >alle! "a# la aceleración del $lo'ue 5 al ca$o de @ s, "$# el cam$io de posición del $lo'ue D al ca$o de 6 s
56.
i el extremo del ca$le en / est* siendo )alado )acia a$a+o con una velocidad de A mFs. Determine la velocidad con la cual asciende le $lo'ue <.
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59. Determine
el tiempo necesario para 'ue la carga < alcance una velocidad de 8 m/s, iniciando desde el reposo, si el ca$le es enrolladlo por el motor con una aceleración de 0#2 m/s2
61. En
la figura el ascensor E su$e con una celeridad de A mFs, la cual disminuye a raón de 0,A mFsA. Determinar la velocidad y la aceleración del contrapeso 5, la velocidad de 5 relativa a E y la aceleración de 5 relativa a E.
60. El
ascensor mostrado en la figura, el ascensor E $a+a con una celeridad de 1 m/s , aumentando a raón de 0#1 m/s2. Determine! "a# la velocidad y la aceleración del contrapeso 5, "$# Determine la
62.
n )om$re / su$e a un niQo )asta la rama de un *r$ol, utiliando una soga y caminando )acia atr*s como se muestra en la figura. i el )om$re inicia su movimiento desde el reposo cuando x/ = 0 y se mueve )acia atr*s con una aceleración a/ = 0,A mFsA. Determine la velcoidad del niQo en el instante en 'ue y< = 7 m. desprecie el tamaQo de la rama del *r$ol y considere 'ue cuando x/ = 0, y< = ( m tal 'ue / y < est*n coincidiendo, es decir la soga tiene una longitud de 8B m.
velocidad relativa v&/' y la aceleración relativa
a&/'.
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66. En
el tiempo t segundos, la partícula % tiene un
vector de posición r en metros con respecto a un
origen fi+o , donde r=3t -4i+t3-4tj. Determine!
"a# El desplaamiento entre t = 0 s y t = % s, "$# la velocidad del punto % cuando t = % s, "c# la aceleración media para el intervalo de t = 1 s a t = % s "c# la aceleración de la partícula cuando t = % s. 67. na partícula % est* movindose con una
63.
La posición de una partícula 'ue se mueve so$re un plano x$ se expresa mediante donde r y t se expresan en mm y s, respectivamente. Determine! "a# el desplaamiento durante el intervalo entre t = 1 s $ t = % s, "$# La velocidad media durante el intervalo anterior, "c# la velocidad cuando t = 2 s y "d# la aceleración cuando t = 2 s.
64.
velocidad v=t2i+2t -3j, donde t est* en segundo y
v en m/s. 5uando t = 0 s, la partícula se encuentra
El movimiento de una partícula est* definido
por las ecuaciones x=a ()s*t
e
u$icada en 3i+4j m con respecto a un origen fi+o
y= sen*t ,
. Encuentre! "a# la aceleración media en el intervalo de t = 0 s a t = 1 s, "$# la aceleración de la partícula cuando t = 1 s y "c# el vector de posición de la partícula cuando t = 1 s.
donde a# y son constantes. "a# Demostrar 'ue la trayectoria es un elipse, "$# demostrar 'ue en general la velocidad de la partícula no es perpendicular al vector de posición de la misma, "c# demostrar 'ue la aceleración siempre se encuentra dirigida )acia el origen, "d# determine las componentes tangencial y normal d la aceleración y "e# encontrar el radio de curvatura en los puntos de la trayectoria.
68. na
partícula % inicia su movimiento desde el reposo en el origen de coordenadas y se mueve
con una aceleración dada por
a=6t2i+,-4t3
65. na
partícula 'ue est* moviendo en el plano xy, en un tiempo t segundos su velocidad en m/s es
m/s2. Determine! "a# la velocidad de la partícula
cuando t = A s y "$# el vector posición cuando t = 7 s-
v=3ti+12t2j. a$iendo 'ue en t = 0 s , su
69. na
partícula % est* movindose en el plano de tal forma 'ue, el tiempo t segundos, su aceleración
velocidad es 2i-3jm/s. Determine! "a# El vector
posición en cual'uier tiempo, "$# el desplaamiento entre t = 1 s y t = % s , "c# la velocidad media en el intervalo de t = 1 s y t = % s, y "d# la aceleración total de la partícula cuando t = % s.
es 4i-2tjm/s. a$iendo 'ue cuando t = % s, la
velocidad de la partícula es 6i m/s y el vector
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posición es 20i+3jm con respecto a un origen fi+o
. Determine! "a# El *ngulo entre la dirección del
movimiento e i, cuando t = 2 s , "$# la distancia
desde al punto % cuando t = 0 s.
70.
La
coordenada $
de
una
partícula
en 72. El
piloto de un avión, 'ue va a 80 m/s y toma altura con un *ngulo de @S, lana un pa'uete en la posición /. Determine! "a# la distancia )oriontal , "$# el tiempo t desde el momento del lanamiento )asta el momento en 'ue el pa'uete c)oca con el suelo y "c# la magnitud y la dirección de la velocidad del pa'uete un instante antes 'ue impacte en el suelo
movimiento curvilíneo est* dada por y=4t3-3t ,
donde y est* en pulgadas y t en segundos. /dem*s, la partícula tiene una aceleración en la dirección x
dada por ax=12t -%./s2 . i la velocidad de la
partícula en la dirección x es * pu/s cuando t = 0, calcular la magnitud de la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t = 1s.
71. El
rodillo / de la figura est* restringido a desliar so$re la trayectoria curva mientras se desplaa en la ranura vertical del miem$ro <5. El miem$ro <5 se desplaa )oriontalmente. "a# $tenga las ecuaciones para la velocidad y la 73. n
+ugador de $as'uet$ol lana una pelota de $aloncesto seg1n el *ngulo de I = 6@M con la )oriontal. Determine la rapide v0 'ue el +ugador de$e imprimir a la pelota para )acer el enceste en el centro del aro. 5on 'u rapide pasa l a pelota a travs del aro?.
aceleración de /, exprsela en trminos de x x
x. "$# 5alcule la velocidad y la aceleración
cuando =10 (m x=4i (m vx=10i (m/s y ax= -
,i (m/s2.
74.
39
n $om$ero desea sa$er la altura m*xima de la pared a la cual puede proyectar el agua mediante el uso de la manguera en cuyo extremo lleva una $o'uilla. Determine! "a# la altura ) si la $o'uilla se inclina un *ngulo = 70M respecto de la )oriontal, "$# El tiempo 'ue demora el agua en
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llegar al punto / y "c# la velocidad del agua cuando alcana el punto /
77.
n fut$olista intenta marcar un gol a %0 m de la portería. i es capa de comunicar a la pelota una velocidad u = 2" m/s. Determine el *ngulo mínimo I para el cual la pelota puede pasar roando el travesaQo de la portería.
78.
La $o'uilla de agua despide el lí'uido con una velocidad v0 = 1* m/s y un *ngulo = 70M. Determinar, respecto del pie < del murete, el punto en 'ue el agua llega al suelo. Desprecie el espesor del muro en la solución
79.
n niQo lana dos $olas al aire con una velocidad v0 a diferentes *ngulos TI8 IAU y "I8 V IA#. i desea 'ue las dos $olas c)o'uen en el aire 5u*l sería la diferencia de tiempos de am$os lanamientos para logra el o$+etivo
80.
e lana un proyectil con una velocidad inicial v0 = 100 m/s y un *ngulo 9 = "%, respecto a de la )oriontal. Determine el alcance R medido pendiente arri$a si el *ngulo 'ue forma la pendiente es J = 1,.
75. La
moto de nieve mostrada en la figura sale de la rampa con una rapide de 20 m/s $a+o un *ngulo de *0, respecto a la )oriontal y logra aterriar en el punto <. Determine! "a# el tiempo 'ue permanece la moto y su piloto en el aire, "$# la distancia )oriontal R 'ue via+a. Desprecie el tamaQo del pilo y la moto.
76. Desde
/ se emiten electrones con una velocidad v y un *ngulo al espacio comprendido entre dos placas elctricamente cargadas. Entre stas, el campo elctrico E se encuentra dirigido )acia a$a+o y repele a los electrones 'ue se acercan a la placa superior. i el campo confiere a los electrones una aceleración eEFm en la dirección de E. Determine! "a# la intensidad de campo 'ue permite a 'ue los electrones solo alcancen la mitad de la distancia entre las placas y "$# la distancia s donde los electrones impactan so$re la placa inferior.
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posición de lanamiento, )allar la altura del punto /. La aceleración descendente en la dirección $ puede tomarse como la constante g .
81. n
+ugador de tenis lana una pelota con una velocidad )oriontal como se muestra en la figura. "a# Determine la velocidad va de tal manera 'ue la pelota pase roando la red en <. "$# / 'u distancia s la pelota impactar* so$re el piso?.
82. En
la figura se muestra las mediciones de un lanamiento gravado en una cinta de video durante un partido de $*s'uet$ol. El $alón pasa por el centro del aro a pesar del intento del +ugador < para despe+arlo. Depreciando el tamaQo del $alón determinar la magnitud de la velocidad inicial de lanamiento v y la altura ) de la pelota cuando pasa por encima del +ugador <.
85. pelota
de $aloncesto se lana desde / seg1n el *ngulo de @0M con la )oriontal. Determine la rapide v a la cual se suelta la pelota para )acer el enceste en <. 5on 'u rapide pasa la pelota a travs del aro?.
83. El
es'uiador sale de la rampa formando un *ngulo de I = 10, y aterria en el punto < de la pendiente. Determine! "a# la velocidad inicial del es'uiador y "$# el tiempo 'ue permanece en el aire. Desprecie el tamaQo del es'uiador y de los sGies.
86. Determine
la mínima velocidad u 'ue el niQo de$e imprimir a una roca en el punto / para 'ue logre salvar el o$st*culo en <.
87.
84. na
partícula es expulsada del tu$o / con una velocidad v y formando un *ngulo I con la vertical $. n intenso viento )oriontal comunica a la partícula una aceleración )oriontal constante en la dirección x. i la partícula golpea en el suelo en un punto situado exactamente de$a+o de la
41
na pa'uete se suelta desde el avión, 'ue se encuentra volando con una velocidad )oriontal v0 = " m/s . Determine! "a# la constante de distancia )oriontal 'ue alcana el pa'uete, "$# la aceleración tangencial y normal así como el radio de curvatura de la trayectoria del movimiento en el momento en el 'ue el pa'uete se suelta en /, donde tiene una velocidad )oriontal de 6 m/s y = "0 m , y "c# la aceleración normal
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y tangencial así como el radio de curvatura +ustamente antes de 'ue c)o'ue contra el suelo en <.
90. na
rampa de es'uí acu*tico tiene un *ngulo de 2", y est* dispuesta tal como se indica en la figura. n es'uiador 'ue pesa !00 lleva una velocidad de %2 km/ cuando est* en la punta de la rampa y suelta a la cuerda 'ue la remolca. Despreciando la fricción del aire. Determine! "a# la altura m*xima 'ue alcana el es'uiador, "$# la distancia R entre el pie del extremo de la rampa y el punto en 'ue entra en contacto con el agua.
91. n
avión 'ue se encuentra a km de altura se est* moviendo en dirección )oriontal con una velocidad constante de 2*0 m/s cuando pasa so$re una $atería antiarea como se muestra en la figura. a$iendo 'ue el *ngulo 'ue forma el caQón con la )oriontal es de 0, y la velocidad de salida del proyectil es 00 m/s. calcule el *ngulo 2 de la línea de o$servación en el instante en 'ue de$e dispararse para 'ue el proyectil impacte en el avión durante su vuelo ascendente.
88. n
co)ete el soltado en el punto / de un avión 'ue vuela )oriontalmente con una velocidad de 1000 km/ a una altitud de 800 m. i el rocGett)rust sigue siendo )oriontal y el co)ete le da una aceleración )oriontal de 0#"g . Determine el *ngulo I desde la )oriontal )acia la línea visual del o$+etivo
89. n
avión 'ue est* descendiendo seg1n un *ngulo de 20, respecto a la )oriontal suelta una $om$a como se ve en la figura. i la altitud en el instante de soltarla es de 6 Gm y la celeridad del avión es 20 km/. Determine el alcance "distancia )oriontal recorrida# de la $om$a y el tiempo 'ue transcurre )asta 'ue llega al suelo.
92. n
carro de carreras 'ue parte del reposo en / incrementa su rapide a lo largo de la pista circular, N = 2" m, a raón de at = (0#* S) m/s 2, donde es la posición instant*nea medida en metros. Determine la distancia 'ue de$e via+ar el carro para alcanar una aceleración total de * m/s2.
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95. %artiendo
desde el reposo, un $ote a motor via+a alrededor de una trayectoria circular de radio
r = 60 m con una velocidad v=02t2m/s.
Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleración del $ote en t = % s.
93. n
auto via+a a 800 GmF) cuesta arri$a por un camino recto cuyo perfil se puede aproximar a la
ecuación y=00003x2. 5uando la coordenada
)oriontal del auto es x = *00 m . Determine las componentes de su aceleración.
96. i
y=100 mm y=200 mm/s y y=0.
Determine la velocidad y la aceleración de % en trminos de las componentes tangencial y normal.
94. n
aeroplano via+a a lo largo de la trayectoria para$ólica vertical. 5uando se encuentra en el punto /, este tiene una velocidad de 200 m/s, la cual se incrementa a raón de 0#8 m/s 2. Determine la magnitud de la aceleración del aeroplano cuando este pase por el punto /.
97. na
$ala es disparada )oriontalmente desde el tu$o con una velocidad de 8 m/s. Encuentre la ecuación de la trayectoria, $ = ;(x)# y entonces encuentre la velocidad de la $ala y las componentes normal y tangencial de la aceleración cuando t = 0,A6 s.
98. La
magnitud de la velocidad del avión mostrado es constante e igual a @70 mFs. La raón
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de cam$io del *ngulo O de su trayectoria es constante e igual a 6MFs. Determine! "a# la velocidad y la aceleración de la aceleración en trminos de sus componentes tangencial y normal y "$# el radio de curvatura instant*neo de la trayectoria del avión.
101.
n pa'uete es lanado desde el avión el cual est* volando con una velocidad )oriontal v = 1"0 pies/s. Determine las constante de componentes tangencial y normal de la aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria del movimiento! "a# en el momento en el 'ue es li$erado el pa'uete en /, donde este tiene una velocidad )oriontal v = 1"0 pies/s y "$# +usto antes de impactar con la tierra en el punto <.
99. n
+ugador de $is$ol lana una pelota con una velocidad inicial de %0 m/s y un *ngulo de %0, con la )oriontal como se muestra en la figura. Determine el radio de curvatura de la trayectoria y la variación de la celeridad por unidad de tiempo cuando! "a# t = 1 s y "$# t = 2#" s.
100.
102.
El automóvil mostrado en la figura via+a a lo largo de la curva circular 'ue tiene un radio de %00 m. i la rapide del auto incrementa 1" m/s a 2 m/s en % s. uniformemente desde Determine la magnitud de su aceleración en el instante en 'ue su rapide es 20 m/s
Escri$a la expresión vectorial de la
aceleración a del centro de masa W del pndulo
simple en coordenadas n-t y en coordenadas x-$ en
el instante en 'ue $=60M si $=2 ra/s y $=245
ra/s2 .
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103.
La partícula % se mueve en la trayectoria circular mostrada en la figura. ;uestre
el vector aceleración a y determine su magnitud en
los siguientes casos! "a# la velocidad v es 8,A mFs y se mantiene constante, "$# la velocidad es 8,A mFs y est* increment*ndose a raón de A,7 ms cada segundo y "c# la velocidad es 8,A mFs y est* disminuyendo a raón 7,( mFs cada segundo. En cada caso la partícula est* en la posición mostrada en la figura.
106.
En un determinado instante, la locomotora de un tren E tiene una velocidad de A0 mFs y una aceleración de 87 mFsA actuando seg1n la direcciones mostradas. Determine! "a# la raón de incremento de la rapide del tren y "$# el radio de curvatura de la trayectoria en ese i nstantes
104.
Determine la velocidad m*xima de los carros de la montaQa rusa al pasar por el tramo circular /< de la pista si la aceleración normal no pude pasar de %g.
107.
105.
La
interplanetario
trayectoria
tiene
la
de
un
ecuación
n automovilista inicia su movimiento desde el reposo en el punto / en el instante t = 0 y se mueve so$re una rampa de entrada circular, incrementando su celeridad a raón constante )asta entrar en la vía r*pida en el punto <. a$iendo 'ue su velocidad contin1a increment*ndose a la misma raón )asta alcanar el valor de 10* km/ en el punto 5. Determine! "a# su velocidad en el punto < y "$# la magnitud de la aceleración total cuando t = 1" s.
co)ete
y=-210-
5x2+0,x. La componente )oriontal de su
velocidad es constante y de %"0 m/s. Determine la raón de cam$io de la magnitud de su velocidad cuando x = !000 m.
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108.
La locomotora de un tren comiena a moverse desde el origen de coordenadas en una trayectoria recta primero y posteriormente en tramo curvilíneo. i la posición medida a lo largo
de la trayectoria es
=4t2, donde t est* en
segundos y es la posición en pies medida so$re la vía a partir de . El punto % se )alla a 7000 pies de y su radio de curvatura es de (00 pies. Determine "a# la velocidad de la locomotora en el punto % y "$# la aceleración en este instante
111.
5uando el co)ete alcana una altitud de 70 m ste comiena a via+ar a lo largo de una
trayectoria para$ólica y-40"2=160x, donde las
coordenadas son medidas en metros. i la componente de la velocidad en la dirección
vertical es constante e igual a vy=1,0 m/s,
109.
El automóvil se encuentra inicialmente en reposo cuando S = 0. i el auto inicia su movimiento desde el reposo e incrementa
determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración del co)ete cuando alcana una altitud de (0 m.
su rapide a raón de v=005t2 m/s2, donde t
est* en segundos. Determine la magnitud y dirección de la velocidad y la aceleración cuando S = 1" m.
112.
El co)ete )a sido disparado verticalmente y es seguido por el radar 'ue se representa. 5uando llega a ser B0M las otras mediciones correspondientes dan los valores r = ! km, . Determine la velocidad y la aceleración del co)ete para esta posición.
110.
En el instante representado, / tiene una velocidad )acia la derec)a de 0#20 m/s la cual est* disminuyendo a raón de 0,6 mFs cada segundo. /l mismo tiempo < est* movindose )acia a$a+o con una velocidad de 0#1" m/s la cual disminuye a raón de 0#" m/s cada segundo. %ara este instante determine el radio de curvatura N de la trayectoria seguida por el pasador %.
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113.
La piea /< gura entre dos valores del *ngulo 2 y su extremo / )ace 'ue gire tam$in la piea ranurada /5. %ara el instante representado
en 'ue 2 = B0M y β=06 m/s, constante, )allar los
115.
El collarín / se mueve a lo largo de una guía circular de radio XeY al girar el $rao < en torno al punto . Deduca las expresiones para las magnitudes de la velocidad y la aceleración del collarín / en función de I,, y e.
valores correspondientes de r r $ y $.
116.
114.
auto de c*mara c*mara permite cuando
En el instante t = 0 el pe'ueQo $lo'ue % parte desde el reposo en el punto / y su$e por el plano inclinado con una aceleración constante a. Determine en función del tiempo t .
%ara estudiar la performance de un carreras, en el punto / se instala una cinematogr*fica de alta velocidad. La est* montada en un mecanismo 'ue registrar el movimiento del ve)ículo ste recorre la recta <5. Exprese la
velocidad del auto en función de , I y $.
117.
%or la guía )oriontal fi+a se mueven el cursor y el pasador % cuyo movimiento lo manda el $rao ranurado giratorio /. i, durante
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un intervalo del movimiento, el $rao gira a una velocidad angular constante = A radFs, )allar los módulos de la velocidad y la aceleración del cursor en la ranura en el instante en 'ue I = B0S. >allar asimismo la componente radial de la velocidad y la aceleración.
119.
%ara un rango limitado de movimiento, el $rao /5 )ace girar al $rao ranurado /. i 2 est* aumentando a raón constante de 7 radFs cuando 2 = ZF7, determine las componentes radial y transversal de la aceleración del pin % para esta posición y especificar los correspondientes valores
de r y r.
118.
El $rao ranurado / o$liga al pe'ueQo v*stago a moverse en la guía espiral
definida por r=$. El $rao / parte del reposo 120.
En el instante representado la aceleración del automóvil / tiene la dirección de su movimiento y el automóvil < tiene una celeridad de 2 km/ 'ue est* aumentado. i la aceleración de < o$servada desde / es cero en ese instante, )allar la aceleración de / y la variación por unidad de tiempo de la celeridad de <.
en $=π4 y tiene una aceleración angular constante
$=, en sentido anti )orario. Determine la
velocidad del v*stago cuando $=3π4.
121.
El auto / est* acerc*ndose en la dirección de su movimiento a raón de 8,A mFsA. El auto < est* tomando una curva de 860 m de radio con una celeridad constante de 67 GmF). Determine la velocidad y la aceleración aparentes del auto < respecto a un o$servador 'ue via+a en el auto / si ste )a alcanado una celeridad de A GmF) en las posiciones representadas.
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124.
Dos lanc)as parten de un amarre al mismo tiempo "t = 0# como se muestra en la figura. La lanc)a / navega con una celeridad constante de A7 GmF), mientras 'ue la lanc)a < lo )ace a A GmF). para t = @0 s, determine! "a# la distancia d entre las lanc)as y "$# La velocidad de separación de las lanc)as
122.
Los pasa+eros 'ue via+an en el avión / 'ue vuela )oriontalmente a velocidad constante de (00 GmF) o$servan un segundo avión < 'ue pasa por de$a+o del primero volando )oriontalmente. /un'ue el morro de < est* seQalando en la dirección en la dirección 76Mnoreste, el avión < se presenta a los pasa+eros de / como separ*ndose de ste $a+o el *ngulo de B0M representado. >alle la velocidad verdadera de <
125.
n muc)ac)o lana una pelota con una velocidad v7 desde una ventana 'ue se encuentra a 0# m por encima de la calle, como se muestra en la figura. tro muc)ac)o 'ue inicialmente se encuentra en el suelo a una distancia d = %m corre )acia la derec)a a una velocidad constante de 1#2 m/s en su intento de captar la pelota. Determine! "a# La velocidad inicial v7 inicial de la pelota 'ue permitiría 'ue el muc)ac)o la captara en su carrera, "$# la distancia x a la cual se produce la captura y "c# la velocidad
123.
El tren / via+a con una a celeridad constante v = 120 km/ por la vía recta y plana. El conductor del auto <, previendo el paso a nivel 5 disminuye la velocidad de !0 km/ de su ve)ículo a raón de % m/s2. Determine la velocidad y la aceleración del tren respecto al auto
relativa vB/A de la pelota respecto al captor en el
instante en 'ue la capta.
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126.
n $ateador golpea la pelota / con una velocidad inicial de v0 =%0 m/s directamente )acia el +ugador < y formando un *ngulo de @0M con la )oriontal la pelota se )alla inicialmente a 0#! m del suelo. El +ugador < necesita 0#2" s para estimar donde de$e recoger la pelota y comiena a desplaarse )acia esa posición a celeridad constante. Wracias a su gran experiencia, el +ugador < a+usta la carrera de modo 'ue llega a la posición de recogida a la ve 'ue la pelota. La posición de recogida es el punto del campo en 'ue la altura de la pelota es 2#1 m. Determine la velocidad de la pelota con relación al +ugador en el momento en 'ue se )ace con ella.
128.
En el instante mostrado en la figura el carro / est* via+ando con un una rapide de 10 m/s alrededor de una curva mientras incrementa su rapide a raón constante de " m/s2. ;ientras 'ue el carro < est* via+ando a con una rapide de 18#" m/s a lo largo de una pista recta e incrementa su velocidad a raón de A mFsA. i = *", y = 100 m. Determine la velocidad y aceleración relativas del auto / con respecto al auto < en este instante.
129.
Los rodillos / y < est*n unidos a los extremos de una $arra rígida de 8,6 m de longitud como se muestra en la figura. El rodillo < se mueve por una guía )oriontal con una celeridad constante de 0,@ mFs y )acia la derec)a, mientras 'ue el rodillo / se mueve por una guía vertical. "a#
127.
Dos aviones vuelan en línea recta )oriontalmente a la misma altitud, como se muestra en la figura. En t = 0, las distancias /5 y <5 son de A0 Gm y @0 Gm, respectivamente. Los aviones llevan celeridades constantes v = %00 km/ $ v + = *00 km/. Determinar! "a# La posición
determine la posición rA, la velocidad rA y la relativa rB/A de los aviones en t = % min, "$# la
aceleración rA del rodillo / en función de s velocidad relativa vB/A de los aviones en % min#
"c# la distancia d 'ue separa los aviones en t = % min y "d# El tiempo 3 en 'ue ser* mínimo esta separación
0s15 m "$# %ara
s = 0#! m, determine la
posición relativa, la velocidad relativa y la aceleración relativa de / con respecto a < "c#
50
