Ejercicios y problemas resueltos de ecuaciones de la recta I 1 Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5). 2 De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(−2, 0). Halla las coordenadas del vértice D. 3 Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3). 4 Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y − 7 = 0. 5 Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones: 1 2x + 3y − 4 =0 2 x − 2y + 1= 0 3 3x − 2y − 9 = 0 4 4x + 6y − 8 = 0 5 2x − 4y − 6 = 0 6 2x + 3y + 9 = 0 6 Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0. 7 Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(−3, 2) y D(−1, −2). Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro. 8 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (−2, 2).
9 Los puntos A(−1, 3) y B(3, −3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2x − 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C. 10 La recta r ≡ 3x + ny − 7 = 0 pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y − 13 = 0. Calcula m y n. 11 Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C. 12 De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular: 1 Los otros vértices. 2 Las ecuaciones de las diagonales. 3 La longitud de las diagonales.
Ejercicio 1 resuelto Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).
Ejercicio 2 resuelto De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(−2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.
Ejercicio 3 resuelto Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3,0) y C(6, 3).
Ejercicio 4 resuelto Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y − 7 = 0.
Ejercicio 5 resuelto Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones: 1 2x + 3y − 4 =0 2 x − 2y + 1= 0 3 3x − 2y − 9 = 0 4 4x + 6y − 8 = 0
5 2x − 4y − 6 = 0 6 2x + 3y + 9 = 0 Las rectas 1 y 4 son coincidentes , porque todos sus coeficientes son proporcionales:
Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son paralelas respectivamente , ya que existe proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y, pero no en el término independiente.
Ejercicio 6 resuelto Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.
Ejercicio 7 resuelto Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(−3, 2) y D(−1, −2). Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.
Ejercicio 8 resuelto Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (−2, 2).
Ejercicio 9 resuelto Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2x − 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.
Ejercicio 10 resuelto La recta r ≡ 3x + ny − 7 = 0 pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y − 13 = 0. Calcula m y n.
Ejercicio 11 resuelto Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.
Ejercicio 12 resuelto De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:
1 Los otros vértices.
2 Las ecuaciones de las diagonales.
3 La longitud de las diagonales.
Ejemplos 1 Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).
2 Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean paralelas y perpendiculares .
1 Calcula la distancia del punto P(2, −1) a la recta r de ecuación 3x + 4y = 0. 2 Hallar la distancia entre r ≡ 3x − 4y + 4 = 0 y s ≡ 9x − 12y − 4 = 0. 3 Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son:
= (−2, 1) y
= (2, −3).
4 Calcula el ángulo que forman las rectas r ≡ x + 3y − 2 = 0 y s ≡ 2x − 3y + 5 = 0. 5 Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3, 5). 6 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 5) y B(4, −7). 7 Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas r ≡ 3x − 4y + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0. 8 Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 8x − y − 1 = 0 y pasa por el punto P(−3, 2). 9 Una recta de ecuación r ≡ x + 2y − 9 = 0 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2, 1). Hallar las coordenadas del otro extremo. 10 Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r ≡ 2x + y − 12 = 0. 11 Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:
1
2
12 Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones: 1
2 13 Dadas las rectas r ≡ 3x + y − 1 = 0 y s ≡ 2x + my − 8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°. 14 Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r ≡ 5x + 8y − 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación? 15 Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r ≡ 5x − 7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación? 16 Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(−3, 2) y D(−1, −2). Calcular su área. 17 Dado el triángulo A(−1, −1), B(7, 5), C(2, 7); calcular las ecuaciones de las alturas y determinar el ortocentro del triángulo. 18 Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas:
Ejercicio 1 resuelto Calcula la distancia del punto P(2, −1) a la recta r de ecuación 3x + 4 y = 0.
Ejercicio 2 resuelto Hallar la distancia entre r ≡ 3x − 4y + 4 = 0 y s ≡ 9x − 12y − 4 = 0.
Ejercicio 3 resuelto Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son:
= (−2, 1) y
=(2, −3).
Ejercicio 4 resuelto Calcula el ángulo que forman las rectas r ≡ x + 3y − 2 = 0 y s ≡ 2x − 3y + 5 = 0.
Ejercicio 5 resuelto Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3, 5).
Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 5) y B(4, −7).
Ejercicio 7 resuelto Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas r ≡ 3x − 4y + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0.
Ejercicio 8 resuelto
Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 8x − y − 1 = 0 y pasa por el punto P(−3, 2).
Ejercicio 9 resuelto
Una recta de ecuación r ≡ x + 2y − 9 = 0 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2, 1). Hallar las coordenadas del otro extremo.
Ejercicio 10 resuelto
Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r ≡ 2x + y − 12 = 0.
Ejercicio 11 resuelto
Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:
1
2
Ejercicio 12 resuelto
Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:
1
2
Ejercicio 13 resuelto
Dadas las rectas r ≡ 3x + y − 1 = 0 y s ≡ 2 x + my − 8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.
Ejercicio 14 resuelto
Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r ≡ 5x + 8y − 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?
Ejercicio 15 resuelto
Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r ≡ 5x − 7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?
Ejercicio 16 resuelto
Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(−3, 2) y D(−1, −2). Calcular su área.
Ejercicio 17 resuelto
Dado el triángulo A(−1, −1), B(7, 5), C(2, 7); calcular las ecuaciones de las alturas y determinar el ortocentro del triángulo.
Ejercicio 18 resuelto
Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas:
9.2 Ejercicios resueltos de rectas Ejercicios de rectas paralelas, rectas crecientes y decrecientes, pendiente de una recta.
Rectas crecientes y decrecientes
Ejercicios rectas crecientes Una función es creciente cuando al ir aumentando los valores de x van aumentando los valores de y . O al ir disminuyendo los valores de x van disminuyendo los valores de y . La pendiente de la recta m es positiva. Para leer en un eje de coordenadas leemos de izquierda a derecha (como escribimos). Ejemplos de rectas crecientes: 1) y = 4x 4) y = 3/2 x + 2
2) y = 3x + 2
3) y = 5/3 x + 1
Analizar y representar la siguiente recta: y = 3x -1
La pendiente de la recta es 3 , por ser positiva la recta es creciente. La ordenada en el origen n = -1, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, -1) Tabla de valores de la recta x 1 0 -1 y 2 -1 -4 Ejercicios rectas decrecientes Una función es decreciente cuando al ir aumentando los valores de x van disminuyendo los valores de y , o viceversa. La pendiente de la recta m es negativa. La pendiente de la recta m es negativa. Ejemplos de rectas decrecientes: 1) y = - 3x Analizar y representar la siguiente recta: y = -2x + 2
2) y = - 4/3x +1
La pendiente de la recta es -2 , por ser negativa la recta es decreciente. La ordenada en el origen n = 2, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 2) Tabla de valores x 1 0 y 0 2
-1 4
Gráfica de las rectas
Ejercicios rectas paralelas Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Ejemplos de rectas paralelas: a) y = 3x y b) y = 3x +1 c) y = -2x + 5 y d) y = -2x -2 Analizar y representar la siguiente recta: y = 4x + 2 La pendiente de la recta es 4 , por ser positiva la recta es creciente.
La ordenada en el origen n = 2, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 2) Tabla de valores x 1 0 y 6 2
-1 -2
Analizar y representar la siguiente recta: y = 4x La pendiente de la recta es 4 , es paralela a la recta anterior. La ordenada en el origen n = 0, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 0) Gráfica de las rectas
Ecuación de una recta que pasa por dos puntos
Ejercicios resueltos de rectas 1) Representa las siguientes rectas: 5x -3
a) y = 3x +2
b) y = -x +2
c) y =
2) Representa las siguientes rectas: -2x - 1
d) y = 5x +3
e) y = -x +4
f) y =
3) Dibuja la gráfica de una recta que pasa por el punto (2, 6) y cuya ordenada en el origen es 1.
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Analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables. Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta. Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc. La pendiente de una recta corresponde al cambio en Y dividido el cambio en X la cual corresponde a la ecuación:
.
Cuando la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha, se dice que esta recta tiene pendiente positiva. Cuando la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha , se dice que esta recta tiene pendiente negativa. Cuando la recta es horizontal , la pendiente de la recta es 0. Cuando la recta es vertical, la pendiente de la recta no esta definida.
Características de la Recta
La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana.
La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.
Ecuaciones de la Recta Tomados dos puntos de una recta, la pendiente m es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación: Ecuación General de la Recta
Ecuación de la Recta (vertical)
Ecuación de la Recta (horizontal)
Ecuación de la Recta (punto-pendiente)
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente. Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X. Ejemplo Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A (4, -8) y que tiene una pendiente de 3/2 al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
De esta forma hallamos la ecuación general de la recta la cual es de la forma:
Lee mas en : La Recta, La Línea Recta, rectas, problemas resueltos - Wikimatematica.org wikimatematica.org Follow us: @wikimatematica on Twitter | wikimatematica on FaceEcuación de la Recta (pendiente-intersección) Si se conoce m (pendiente) , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación punto pendiente de la recta,
Esta es la ecuación de la recta pendiente-intersección o pendiente intercepto.
:
Se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.
Solución para problemas en que la Recta pasa por un punto
Determinar las rectas del plano que pasan por el punto (x0,y0). La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:
Y ha de pasar por el punto (x0,y0), luego tendrá que cumplirse:
Despejando b, tenemos esta ecuación:
Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:
Ordenando términos:
Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto (x0,y0), el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.
Distancia entre puntos
- Esta ecuación parte de tener dos puntos cualesquiera en el plano, llamándoles (x1, y1) y (x2, y2) la cual es una aplicación del teorema de Pitágoras siendo la distancia entre los puntos de cada uno de sus respectivos ejes los catetos, y la hipotenusa la distancia final. - La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = P1P2, entre valor absoluto esta dada por:
Demostración:
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Punto Medio de una recta
Rectas Paralelas
Son Paralelas al eje cuando ambas rectas tienen la misma pendiente
Rectas Perpendiculares
Son Perpendiculares entre ellas cuando el producto de ambas pendientes es -1
Angulo entre Rectas
--Jorgetr 04:35 26 jul 2009 (UTC)
Mediatríz
La mediatríz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en el punto medio Los puntos de la mediatríz están a igual distancia de los extremos del segmento.
Problemas Resueltos Ejemplo #1
Encontrar la ecuación de la mediatríz del segmento formado por los puntos A(4,2) y B(-2,10).
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Ejemplo #2 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
Calculamos la pendiente.
Ahora aplicamos la ecuación de la recta
sustituyendo los valores que
tenemos
tomamos cualquier punto y lo evaluamos para hallar el valor de b
por lo tanto la ecuación de la recta es
Ejemplo #3 encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -1, 3) y es paralela a la recta 2y -6x = 10 procedimiento:
luego utilizamos la ecuación general de la recta y llegamos a :
la ecuación de la recta que pasa por ese punto es:
Pendiente = 3 intersección con el eje Y = (0,6) "hacemos cero a x" intersección con el eje x = (-2,0) "hacemos cero a y"
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y es paralela a
utilizamos la ecuación general de la recta :
la ecuación de la recta que pasa por ese punto es:
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y es perpendicular a
utilizamos la ecuacion general de la recta :
la pendiente de una recta perpendicular a ella es el reciproco negativo
la ecuacion de la recta que pasa por ese punto es:
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tenemos que la pendiente es paralela a
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Entonces: Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuacion de la recta
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Entonces: Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuacion de la recta
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Forma punto-pendiente de la mediatriz del segmento
Respuesta
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