Dinamica de Fluidos

EJERCICIOS 1. El

vien iento

V 0=1.8

sopla pla

hor horizo izonta ntalmen lmentte

con con

velo elocida idad

unif unifo orme

de

m

cont contra ra una chime chimene nea a vert vertic ical al de radi radio o r= r=0. 0.2 2m. m.

s

Supu Supues esto to el !u"o !u"o irr irrotac otacio iona nal# l# la velo veloci cida dad d so$r so$re e el e"e % va disminu&endo hacia el punto de estancamiento se'(n la le&)

( )

V  x = V 0 1−

r

2

 x

2

& la velocidad * alrededor del cilindro es) v =−2 v0 Senθ

+veri'uar) a, -a aceler aceleraci acin n del aire aire en el punto punto /=0. /=0.0 0 m. $, -as -as comp compon onen ente tes s tan' tan'en enci cial al & norm normal al de la acel aceler erac aci in n para para θ=

3 4

π.

Resolución:

a, Se'( Se'(n n la ecu ecuac aci in) n) a/  =

dv/ dt

 enemos  enemos ue) ue)

a/

∂v   ∂v ∂v   =  v/ . / + v& . & + vz . z     + / & z ∂ ∂ ∂                 aceleraci n convectiva

∂v/  ∂t aceleraci nlocal

En este caso) a/

= v/ .

∂v/ ∂/

33333.

41,

v/

=

 &

r2 v0 − v0 . 2 /

∂v/ = 2v0r2/−5 ∂/ Reemplazando en 41,)

a/

= ( v0 − v0r2/−2 (2v0r2/−5

 r2 r 6   a/ = 2v  5 −       / /   2 0

7inalmente# reemplazamos los valores de * o=1.80m9s # r=0.2m & /=0.0m

∴ a/ = 2.65

m s2

$, i, :ara hallar la componente tan'encial 4as, usamos la si'uiente ecuacin)

 ∂  v2   ∂*    as =   +  .s S 2 ∂        ∂t  as

=

1 ∂v2 . 2 ∂s

as

=

1 ∂ . ( 6v20Sen2θ) 2 ∂s

=

:ero)

1 ∂ 2 . ( − 2v0Senθ) 2 ∂S

1 ∂θ   =    6v20 .2SenθCosθ.   2   ∂s  

3..

42,

dS=r.d θ

es decir)

∂θ 1 = ∂s r

Reemplazando en 42,)

as

=

1 6v20 6v SenθCosθ. = .SenθCosθ r r 2 0

7inalmente# reemplazamos los valores de * o=1.80m9s # r=0.2m &

θ=

3 4

π.

∴ as = −2.;2 ii, ecuacin)

m s2

:ara hallar la componente normal 4a n, usamos la si'uiente v2 an = − r

:ero) v =  2v0.Senθ Reemplazando tenemos) an

=

6v20Sen2θ − r

-ue'o# reemplazamos los valores de * o=1.80m9s # r=0.2m & θ=

3 4

π.

∴ an = 2.;2

m s2

2. Encontrar el vector rotacional para el !u"o permanente# plano# cu&o campo de velocidad es) V  x = A ( x + y ) V  y =− A ( x + y ) Resolución

:ara hallar el vector rotacional usamos la si'uiente ecuacin) rot v =

i

 "

<

v/

v&

vz

∂ ∂ ∂ ∂/ ∂& ∂z

:ero) vz=0 i

 "

<

v/

v&

0

 ∂v ∂v   ∂ ∂ ∂ = 0i + 0 " +  & − /   rot v =  < ∂/ ∂& ∂z   ∂/ ∂&   Entonces) 45,

 

3333333

v&

= −+( / + &)

→

∂v& = −+ ∂/

v/

= +( / + &)

→

∂v/ =+ ∂&

e)

Reemplazando en 45,

∴

rot v = −2a<

5. eterminar la ecuacin de las l.c. de un !u"o permanente# plano# sim>trico respecto al e"e ?# diri'ido hacia a$a"o# ue choca contra una placa horizontal# cu&o campo de velocidades est@ deAnido por las componentes) V  x = 3 x

V  y =−3 y

Resolución:

:or deAnicin) v=

ds ....... ds = v dt dt

 enemos)

d/ = v/.dt d& = v .dt &  d/ d& = v/ v&

I'ualando dt ) Reemplazando v/ & v& ) d& d/ = 5/ − 5& 1 d/ 1 d& =− . . 5 / 5 &

4ecuacin diferencial de las l.c.

ln/ = − ln& + C

Inte'rando o$tenemos) ln/ = − ln& + C ln/ + ln& = C /& = C

7inamente) Conclu&endo ue la ecuacin de las l.c. corresponde a una familia de hip>r$olas asintticas o euil@teras a los e"es % e ?. 6. En el pro$lema 5# determinar el 'asto por unidad de ancho de chorro ue incide so$re la placa & limitado en la forma ue a continuacin se indica. V  x = 3 x

V  y =−3 y

Resolución:

ecimos ue el vector velocidad es) v = 5/i − 5& "

El vector diferencial del @rea es) d+ = ( − d/) .1. "

Entonces el caudal se calcular@ con la si'uiente ecuacin)

∫ 

B = v.d+ v.d+ = 5&.d/

:ero )

∫ 

B = 5&.d/ 0.0

B=

0.0

5&.d/ = 5&./ − ∫  −

0.0

= 5&

0.0

Se'(n el 'r@Aco) &=1.m# reemplazando) m5 ∴ B = 6. s

por metro de ancho perpendicular al papel.

. Si la velocidad el aceite ue !u&e entre dos placas conver'entes vara en una seccin normal se'(n la ecuacin) V =V  MAX 

4n 2

n0

( n −n ) 0

& si) V  MAX =15

cm s

n0= 2cm

eterminar) a, El caudal# si el contorno tiene un ancho constante de 25cm. $, -a velocidad media Resolución:

a, :ara hallar el caudal# usaremos la si'uiente ecuacin

∫ 

B = v.d+ +

n0

∫ 

B = $. v.dn 0

n

vD+% 0 B = $.6 2 . n( n − n0 ) dn n0 0

∫ 

B =

5 .vD+%.n0 2

Buedando) Reemplazando *D+%=1cm9s & n0=2cm) ∴

cm5 B = 60 s

$, :ara hallar la velocidad# usamos la ecuacin)

v=

∴

v=

B +

6E0 cm = 10 25/2 s