Introduccion a La Dinamica de Fluidos

INTRODUCCION A LA DINAMICA DE FLUIDOS 1. Campo de velocidad En dinámica de fluidos, el flujo de velocidad, o campo de velocidad, de un fluido es un campo del vector que se utiliza para describir matemáticamente el movimiento de un fluido. La longitud del vector de velocidad de flujo es la velocidad del flujo.

1.1. Definición La velocidad de flujo u de un fluido es un campo del vector 

que da la velocidad de un elemento de fluido a una posición x y el tiempo t. El q de la velocidad de flujo es la longitud del vector de velocidad de flujo

y es un campo escalar.

1.2. Utiliza La velocidad de flujo de un fluido con eficacia describe todo sobre el movimiento de un fluido. Muchas propiedades físicas de un fluido se pueden expresar matemáticamente en términos de la velocidad de flujo. Algunos ejemplos comunes siguen:

Flujo constante El flujo de un fluido se dice que es constante, si usted no varía con el tiempo. Es decir si

Flujo incompresible

Un fluido es incompresible si la divergencia de ustedes es cero:

Es decir, si usted es un campo vectorial solenoidal.

Flujo irrotacional Un flujo es irrotacional si el rizo de ustedes es cero:

Es decir, si usted es un campo vectorial irrotacional. Un flujo en un dominio simplemente conectado que es irrotacional puede describirse como un flujo potencial, mediante el uso de un Φ potencial de velocidad con

Si el flujo es irrotacional e incompresible, el Laplaciano

de la velocidad potencial debe ser cero:

Vorticidad Vorticidad, ω, de un flujo puede definirse en términos de su velocidad de flujo por 

Por lo tanto en flujo irrotacional la Vorticidad es cero.

1.3. El potencial de velocidad Si un flujo irrotacional ocupa una región líquida simplemente conectado, entonces existe un campo escalar Φ tal que

El campo escalar se llama la velocidad potencial del flujo.

Un fluido es incompresible si la divergencia de ustedes es cero:

Es decir, si usted es un campo vectorial solenoidal.

Flujo irrotacional Un flujo es irrotacional si el rizo de ustedes es cero:

Es decir, si usted es un campo vectorial irrotacional. Un flujo en un dominio simplemente conectado que es irrotacional puede describirse como un flujo potencial, mediante el uso de un Φ potencial de velocidad con

Si el flujo es irrotacional e incompresible, el Laplaciano

de la velocidad potencial debe ser cero:

Vorticidad Vorticidad, ω, de un flujo puede definirse en términos de su velocidad de flujo por 

Por lo tanto en flujo irrotacional la Vorticidad es cero.

1.3. El potencial de velocidad Si un flujo irrotacional ocupa una región líquida simplemente conectado, entonces existe un campo escalar Φ tal que

El campo escalar se llama la velocidad potencial del flujo.

Figura 3.1 campo de velocidad 

Campo de velocidad implica una distribución de la velocidad en la voz de la región R (Fig.3.1). Se denota en una forma funcional como V(x,y,z,t) lo que significa la velocidad es una función de lo espacial y coordenadas de tiempo. Es útil recordar que estamos estudiando flujo de fluidos bajo la hipótesis del continuo que nos permite definir la velocidad en un punto. Más velocidad es una cantidad vectorial, es decir, tiene una dirección junto con una magnitud. Esto está indicado por el campo de velocidad como de la escritura

(3.1) Velocidad puede tener tres componentes, uno en cada dirección, es decir, u, v y w en x, y y z direcciones respectivamente. Suele escribir como

(3.2)

Está claro que cada uno de ustedes, v y w puede ser funciones de x, y, z y así t.

(3.3) También cada una de las variables involucradas en un fluido puede dar una representación sobre el terreno. Tenemos campo de temperatura, T(x,y,z,t), campo, p(x,y,z,t), campo de densidad de la presión.

1.4. Campo de aceleración Otro parámetro importante en el estudio de fluidos en movimiento es la aceleración. Aceleración se relaciona con la velocidad, y puede determinarse una vez conocido el campo de velocidad. La aceleración es el cambio de velocidad, δV, sobre el cambio en el tiempo, δt, a = [dV (t + δ) - dV(t)] / δt = δV/δ V/δt = dV/dt Pero no es sólo un simple derivado del tiempo justo ya que la velocidad es una tiempo de función, espacio y (x, y, z). El cambio de velocidad debe ser pista en tiempo y espacio. Usando la regla de la cadena del cálculo, es el cambio de velocidad,

o

Esto puede simplificado con u, v y w, las magnitudes de la velocidad en las tres direcciones coordenadas. En coordenadas cartesianas, el campo de la aceleración es

Esta expresión puede ser ampliada y reorganizada como

La ecuación de la aceleración puede escribirse también en coordenadas polares y figuran en el apéndice de ecuaciones básicas.

1.5.MATERIAL derivado El derivado del tiempo y el espacio utilizado para determinar que el campo de la aceleración de la velocidad es tan común en mecánica de fluidos, tiene un nombre especial. Se llama el Material o sustancial derivado y tiene un símbolo especial, D () / despegue. Para coordenadas cartesianas, es

o en forma de vector,

donde

es el operador gradiente. De la ecuación anterior, se aprecia que el

derivado material consta de dos términos. El (primer) el contorno de término / contorno se conoce como la tasa local de cambio, y representa el efecto de la inestabilidad. Para flujo continuo, se desvanece el derivado local (es decir, de contorno () / contorno = 0).

El segundo término,

, se denomina la tasa convectiva del cambio y

representa la variación debido al cambio en la posición de la partícula de fluido, se mueve a través de un campo con un gradiente. Si no hay ningún gradiente (no se cambia espacial) entonces

es cero, no hay ningún cambio

convectiva. Como ejemplo, la ecuación de campo de aceleración puede escribirse como

1.6. AS de campos del VECTOR velocidad campos  Ahora le damos una interpretación particular de campos del vector. Un campo del vector expresado utilizando (8,10) se puede utilizar para definir un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden como

(8,11) Cada ecuación representa el derivado de una coordenada con respecto al tiempo. Para cualquier punto

, un vector de la velocidad se define

como

(8,12)

Esto permite f debe interpretarse como un campo de velocidad. Se acostumbra utilizar la notación corta velocidad puede ser acortado a

. Cada componente de la . Usando f para denotar el vector

de funciones f 1,..., f n(8.11) puede estar en corto circuito a

(8.13) El uso de f aquí es una coincidencia intencional con el uso de f para la ecuación de la transición de estado. En la parte IV, permitiremos campos del vector a parametrizar por acciones. Esto conduce a una ecuación de transición de estado tiempo continuo que parece

y es muy similar a las

ecuaciones de transición definidas sobre etapas discretas en el capítulo 2. El diferencial ecuaciones expresadas en (8,11) se refieren a menudo como autónoma o estacionaria porque f no depende del tiempo. También podría definirse un campo del vector varían con el tiempo, que los rendimientos . Esto no se cubrirán, sin embargo, en este capítulo. Velocidad en un momento dado se define como la velocidad instantánea del fluido partícula, que en un instante dado está pasando por el punto. Está representado por V=V(x,y,z,t). Vectorially, V = ui + vj + wk donde u, v, w son tres componentes escalares de velocidad en x, y y z direcciones y (t) es el tiempo. Velocidad es una cantidad del vector y campo de velocidad es un campo del vector.

2. EULER y Lagrange métodos

En dinámica de fluidos y deformación finito plasticidad la especificación mecánica lagrangiana del campo de flujo es una forma de mirar el movimiento fluido donde el observador sigue una parcela individual de fluido que se desplaza por el espacio y el tiempo.[1][2] Trazar la posición de una parcela individual a través del tiempo, le da la pathline de la parcela. Esto puede visualizarse como sentado en un barco y a la deriva por un río. La especificación de Eulerian del campo de flujo es una forma de mirar el movimiento fluido que se centra en lugares específicos en el espacio a través del cual el líquido fluye como pasa el tiempo. Esto puede visualizarse sentado en la orilla de un río y viendo el paso de agua la ubicación fija. Las mecánica lagrangiana y Eulerian especificaciones del campo de flujo son a veces libremente denota como marco de referencia mecánica lagrangiana y eulerianos. Sin embargo, en general la mecánica lagrangiana y la Eulerian especificación del campo de flujo puede aplicarse en el marco de referencia de cualquier observador y en cualquier sistema de coordenadas utilizado en el marco de referencia solicitada.

2.1. Descripción En la especificación de Eulerian del campo de flujo, las cantidades de flujo se describe como una función de la posición x y el tiempo t. específicamente, el flujo se describe por una función

dando la velocidad de flujo en la posición x en el tiempo t. Por otra parte, en la especificación de Lagrange, parcelas individuales de fluido se siguen a través del tiempo. Las parcelas del fluido están etiquetadas por algunos a. de campo (independiente del tiempo) vector (a menudo, una es elegido para ser el centro de la masa de las parcelas en algún tiempo inicial t0. Es elegido de esta manera particular para tomar en cuenta los posibles cambios de la forma con el tiempo. Por lo tanto el centro de masas es una

buena parametrización de la velocidad v de la parcela). En la descripción lagrangiana, el flujo es descrito por una función

dar la posición de la parcela con la etiqueta una en el tiempo t. La especificación de dos se relacionan con lo siguiente:

porque ambos lados describen la velocidad de la parcela con la etiqueta una en el tiempo t. Dentro de un sistema de coordenadas elegido, a y x se conocen como las coordenadas de Lagrange y Eulerian coordenadas del flujo.

2.2. Sustancial derivado Está relacionados con las mecánica lagrangiana y Eulerian especificaciones de la cinemática y dinámica del campo de flujo por el sustancial derivado (también llamado el Lagrangiano derivado, derivado de la convección, material derivado o derivado de la partícula).[1] Supongamos que tenemos un campo de flujo con Eulerian especificación v y también se nos da alguna función F(x,t) definidos para cada posición x y cada tiempo t. (por ejemplo, F podría ser un campo de fuerza externo, o la temperatura.) Ahora uno podría preguntarse sobre la tasa total de cambio de F experimentada por una parcela de flujo específico. Esto puede ser computado como

(donde

∇

denota el gradiente con respecto a x y el operador v ⋅∇ debe ser

aplicada a cada componente de f el.) Esto nos indica que la tasa total de

cambio de la función F las parcelas del fluido se mueve a través de un campo de flujo descrito por su Eulerian especificación v es igual a la suma de la tasa local de cambio y la tasa convectiva de cambio de f el. Esto es una consecuencia de la regla de la cadena, ya que estamos diferenciando la función F(X(a,t),t) con respecto a t.

2.3.Métodos de LANGRANGIAN-EULERIANOS Williams desarrollaron la ecuación fundamental aerosol basada en una descripción lagrangiana de las gotitas de rocío [8] utilizando la función de distribución de la gota. Enfoques analíticos basados en la reducción de una ecuación de Liouville –like a una función de distribución de one –particle han sido desarrollados para suspensiones de particle –laden [9] y burbujeante fluye [27]. O ' Rourke desarrolló el método LE para aerosoles por acoplamiento explícitamente la ecuación de ddf Williams a una descripción Eulerian de las ecuaciones de gas –phase media, y deriva los términos de intercambio de la interfase en términos integrales sobre el ddf.  A hito en la evolución del método LE es el trabajo pionero de O'Rourke y el impulso que desarrolló una implementación numérica del método LE para aerosoles en aplicaciones de motores de combustión interna que ahora es ampliamente utilizado como la familia KIVA de códigos. Estas obras sentaron las bases del moderno enfoque LE y establecieron los principios sub –models para describir la física de la aceleración de la gotita, vaporización, colisiones, coalescencia y desintegración. Estas vias acoplado cálculos fueron un avance importante sobre cómputos anteriores de Megahertz juntada, que son esencialmente los algoritmos de seguimiento Lagrangiano. Dukowicz desarrolló un modelo numérico de vias acoplado fluid de partículas de aerosoles que incluye acoplamiento de impulso y volumen desplazamiento e ff ects. Los métodos LE tratados hasta el momento seguimiento de Lagrange del par de partículas computacionales a una descripción del flujo de portador basado  –Stokes (RANS). Sin embargo, en ecuaciones de Reynolds –averaged Navier 

es posible utilizar el enfoque LE para acoplar una descripción lagrangiana de la fase dispersada con simulaciones de remolino grande (LES) o la simulación numérica directa (DNS) de la fase de gas portador, resultando en las siguientes categorías principales de métodos LE: (1) Fully –resolved DNS (FR-DNS) de gota o flujo de partículas cargadas donde se

resuelven

las

ecuaciones

de

Navier-Stokes

exactas

por

resolver

completamente la gotita o partícula mediante la imposición de condiciones de contorno en cada partícula o superficie de la gota: FR-DNS en el cuadro 1 (2) Punto-partícula DNS (PP-DNS) con físicas gotas o partículas: PP-DNS(p) en la tabla 1 (3) PP-DNS con partículas estocásticas [48]: PP-DNS(s) en la tabla 1 (4) Puntos partículas LES con gotitas físicas [49,50]: LES(p) en la tabla 1 (5) Punto partículas LES con partículas estocásticas [incluso]: LES(s) en la tabla 1 (6) Un promedio de ecuaciones: RANS CFD en la tabla 1 El principal di ff ERENCIA entre FR-DNS y DNS PP es que mientras el primero se puede utilizar para cuantificar los modelos de interfase, PP-DNS requiere modelos asumidos para términos de transferencia de interfase como vaporización de aceleración y gotita de la partícula. En PP-DNS puede hacerse una distinción más si las partículas computacionales o parcelas se utilizan para representar el sistema físico. En los estudios LES esta distinción es menos importante, puesto que las partículas o gotas siempre obedecen ecuaciones modeladas para la transferencia de la interfase debido a la vaporización o arrastre. El tratamiento de colisiones puede utilizarse también para categorizar LE métodos como aquellos que emplean un tratamiento estadístico de colisiones en contraste con el cálculo directo de colisiones entre las partículas con cualquiera de los dos choques de hard –sphere volumen baja fracción o soft –sphere elemento discreto método (DEM) colisión para modelos fracción de

alto volumen. Soft –Sphere DEM colisión modelos son utilizados en la simulación de LE de camas fluidized.

2.4. Representación del flujo de MULTPHASE Se describen las principales representaciones matemáticas de multifase fluye por lo que el enfoque LE puede entenderse en este contexto más amplio. Esto nos lleva al principio de modelado de consistencia: específicamente, el desarrollo de LE sub –models que son consistentes con la teoría de two –fluid EE. También da penetración en comparación significativa de LE simulaciones con resultados del experimento y simulación numérica directa. Por último, muestra las extensiones en el enfoque LE debía una representación exacta de los fenómenos físicos como la concentración preferencial y clustering. Una descripción estadística de multifase fluye es útil para representar la variabilidad estadística en configurations de las partículas de la fase dispersa o gotas. También a diferencia de fase sencilla fluye, los campos de velocidad y presión incluso en laminar fluye multifase muestran variabilidad estadística y significativo están representados por campos al azar. A pesar de las similitudes entre la teoría estadística de multifase fluye y la de flujo turbulento de fase sencilla, de hecho hay muchos importantes di ff ERENCIAS. Enfoques estadísticos a flujo multifase pueden ser clasificadas en base a tres critiera: (i) si cada fase está representada con un campo aleatorio o estocástico punto Descripción del proceso 3, (ii) si cada fase se representa en un marco de referencia Euleriano o Lagrange y (iii) el nivel de cierre en la teoría estadística. Como se muestra en la figura 1, los dos enfoques principales son: enfoque de campo (i) el azar en el que ambos dispersión y fases de portador se representan como campos al azar en el marco de Eulerian y (ii) el proceso de punto de enfoque en el que la fase dispersa es representado como un proceso estocástico de punto en el marco de la mecánica lagrangiana y la fase de portador representado como un campo aleatorio en el marco de eulerianos. El enfoque de campo al azar en el nivel de cierre de momentos conduce a la

teoría de two –fluid EE volume–averaged variantes [60] y ensemble –averaged [10,11]. El enfoque LE corresponde a un encierro del enfoque de procesos de punto a nivel del ddf o FDN, con la fase de portador en un marco de Eulerian a través de un cierre RANS, LES o DNS. En las subsecciones siguientes, el enfoque LE se desarrolla en el contexto de esta familia de teorías estadísticas de flujo multifásico.

2.4.1. Flujo de la realización de un MULTIFASE La base de cualquier teoría estadística se basa en la definición de la ω Ω de realizaciones (o eventos) de conjunto ∈Ω

de

para que la medida de la

probabilidad es delimitado. La figura 1 muestra la descripción de una realización de un flujo multifase en el campo aleatorio y descripción de procesos de punto. A continuación una breve descripción de estas dos representaciones estadísticas principales de multifase fluye.

2.4.2.EULERIAN representación de ambas fases

2.4.2.1. Descripción de campo aleatorio En teorías estadísticas de flujo monofásico turbulento, el campo de velocidad Eulerian se representa como un campo del vector aleatorio [61]. Un enfoque similar se puede adoptar para two –phase fluye, pero además el campo de velocidad (y presión) es necesario especificar la ubicación y la forma de los elementos de la fase dispersa de 9also. El campo de velocidad U (x, t; ω), que está definido en ambas fases termodinámicas, es un campo del vector que es definido en cada punto x en el dominio de flujo en el espacio físico, en la realización de ωth. Los elementos de dispersed –phase en esa misma comprensión igualmente son descritos por un campo de indicador de dispersed –phase Id (x, t; ω), que es la unidad de todos los puntos dentro de los elementos dispersed –phase que figuran en el dominio de flujo y cero exterior. Teorías estadísticas de representaciones random –field requieren la consideración de las funciones de densidad de multipunto robability conjunta, y éstos no se han producido en los modelos de ingeniería manejables incluso para flujo turbulento de fase sencilla [61 –63]. Edwards presenta un intento de formular tal teoría para multifase fluye [64], pero no manejables modelos han surgido en base a esta teoría. La teoría multipunto más simple basada en la representación de random –field que es útil a los modeladores es una representación de two –point. Una descripción estadística de two –point integral de two – phase fluye basado en la representación del campo al azar puede encontrarse en Sundaram y Collins [65]. Sin embargo, incluso esta teoría de la two –point debe extenderse a estadísticamente no homogénea fluye antes de que se puede aplicar a problemas realistas. Incluso en el caso homogéneo el two –point resultante ecuaciones conducen a muchos términos no cerradas que necesitan modelos de cierre. Por último, e fficiente computacional implementaciones deben formularse antes de la aplicación práctica de la teoría de two –point se

puede observar. Por lo tanto, la mayoría de modelos de ingeniería actualmente dependen de una teoría más simple de single –point.

2.4.2.2. Teoría de dos fluidos Si se considera la información estadística en sólo único espacio-tiempo en lugar (x, t) de la representación de random –field, esto resulta en un single –point Eulerian –  Eulerian two –fluid teoría. En este caso las estadísticas del campo de velocidad U (x, t; ω) y el campo de indicador de dispersed –phase Id (x, t; ω), se consideran en un lugar único espacio-tiempo, es decir, que el campo de indicador se reduce a una función de indicador. La función de la velocidad y el indicador puede ser tratada como variables aleatorias (o vector aleatorio en el caso de la velocidad) parametrizadas por variables de espacio y tiempo. Las ecuaciones promedio resultante de este enfoque se describen en Drew [10] y Drew y Passman [11]. El single –point Eulerian –Eulerian teoría puede ser desarrollado en el nivel más fundamental de las funciones de densidad de probabilidad también, y esta teoría se describe en el Pai y Subramaniam [13].

2.4.3. Representación de Lagrange de la fase DISPERSA Un enfoque alternativo es describir la dispersed –phase que consiste en partículas

sólidas

Ns

o

pulverizar

gotas

utilizando

coordenadas

lagrangianas {X(i) (t), v (i) (t), R(i) (t), i = 101,..., Ns(t)}, donde X(i) (t) denota la posición del elemento de dispersed –phase de th en el tiempo t, v (i) (t) representa su velocidad y R(i) (t) su radio. Propiedades adicionales pueden incluirse en las variantes de esta representación sin pérdida de generalidad. El desarrollo riguroso de una teoría estadística de multifase fluye [66] utilizando el enfoque lagrangiano se basa en la teoría de procesos estocásticos punto [67], que es considerablemente di ff diferentes de la teoría de campos al azar [61,68,69] que forman la base para el enfoque de Eulerian eulerianos. Tal teoría de multifase fluye no es una extensión trivial

de las teorías estadísticas para fluye turbulento de fase sencilla, pero de hecho tiene una relación más estrecha con la teoría clásica de la cinética de gases y su extensión a granulares gases [70] y el caudal de gas-sólido [9].

2.4.4. Descripción del proceso de punto Teoría de procesos estocásticos punto [67,71,72] permite la descripción estadística de objetos non –contiguous que se distribuyen en el espacio, tales como partículas sólidas o pulverizar gotas, como un proceso de punto. Esto proporciona los fundamentos matemáticos necesarios para describir las estadísticas de partículas sólidas o gotitas de aerosol. La teoría del punto marcado procesos permite asignar el tamaño de la partícula o gota como una "marca" o etiqueta a la ubicación de la partícula o gota. De esto está claro que teoría de procesos estocásticos punto no requiere que las gotas de Rocío ser modelados como punto-partículas que corresponden a las fuentes de δ-función de la masa y el impulso. Sin embargo, existe una idea generalizada en la literatura de aerosol que modelos de procesos de punto implican modelos punto de partícula. El proceso estocástico punto más sencillo es el proceso de Poisson homogéneo caracterizado por la total independencia entre la distribución de puntos, se muestra un ejemplo de que en la figura 2. Esto no es un buen modelo de partículas o gotas de tamaño limitado, porque la propiedad de independencia permite vecinos partículas o gotas se superponen (ver Fig. enajenarse. Un modelo de proceso analítico punto mejor para diluir multifase fluye es la Mat´ern proceso de Hard-Core, que se obtiene por reducción (o poda) se superpone desde el modelo de Poisson. Se muestra un ejemplo del proceso de Hard-Core Mat´ern obtenido por enrarecer el proceso de Poisson de Fig. 2 en 2 (Fig. b). La ventaja de los modelos matemáticos como el proceso de Mat´ern Hard-Core es que sus propiedades estadísticas, tales como densidad y correlación de par (ver Fig. 3), son conocidos analíticamente. Es interesante comparar la distribución espacial de las partículas de simulación con estos modelos de proceso

analítico punto. C de la figura muestra la distribución espacial del equilibrio obtenido colisiones siguientes partículas elástico utilizando un modelo DEM soft –sphere, y su función de correlación par correspondiente se muestra en la figura 3. Hay una mayor probabilidad de encontrar vecinos dentro de 2 diámetros de partículas de la simulación DEM en comparación con el modelo de Mat´ern. Aunque estos modelos de proceso de punto son idealizados representa-ciones de multifase fluye, proporcionan un marco conceptual útil analizar experimental y los datos de simulación. La representación estadística de un flujo multifase como un proceso de punto ha sido formulada por Subramaniam [66]. Se muestra que la caracterización completa de todos los eventos multi-particle requiere la consideración de los pdf de Liouville (véase Fig. 1), y puede establecerse una jerarquía similar a la jerarquía BBGKY [73] multifase fluye así [66].

2.4.4.1. Representación completa de la fase de DSIPERSED como un proceso de punto Un resultado clave de la teoría de la point –process de multifase fluye [66] es la descripción estadística de point –process completa. Se trata de especificar la secuencia de probabilidades para los eventos [Ns = k], k ≥ 1, que se denota PK = P [Ns = k], k ≥ 1, (1) y la secuencia correspondiente de symmetrized densidades de Liouville fsymNs = k (x 1, v1, r1,..., xk, vk, rk; t), k ≥ 1. (2) Esta descripción estadística completa de proceso de punto de un flujo multifase entonces se relaciona con función de distribución de gota Williams (ddf) a través de la single –particle sustituto pdf. El pdf de sustituto

de

single –particle

es

definido

en

términos

of13the

simetrizándolos de densidad de probabilidad de Liouville, de manera análoga a la densidad de probabilidad de single –particle en la jerarquía

BBGKY de la teoría cinética. La densidad de sustituto de single –particle es definido como f [Ns = k] 1s (x 1, v1, r1; t) ≡Zdx2 dv2 dr2... dxk dvk drkfsym [Ns = k] (x 1, v1, r1,..., xk, vk, rk;t),(3) donde el superíndice [Ns = k] sirve para indicar que esta densidad de sustituto de single –particle está definido para el conjunto que cuenta con un total de Ns = k partículas o gotitas. Por lo tanto el suplente single  – particle densidad f [Ns = k] 1s (x 1, v1, r1; t) es una densidad condicional sobre el número total de partículas o gotitas Ns igual a k. Para comodidad de notación utilizamos la forma más simple f (k) 1s (x 1, v1, r1; t) para denotar f [Ns = k] 1s (x 1, v1, r1; t).

2.4.4.2. La función de distribución de la gota Función de distribución de gotita de Williams se relaciona con el pdf de sustituto de single –particle mediante la siguiente relación: f (x, v, r, t) = Xk≥1pkf(k) (x, v, r, t) = Xk≥1pk k f (k) 1s (x, v, r, t), (4) que revela que el ddf es una superposición de cada una de las densidades números de partículas o gotitas en fase espacio f(k) (x, v, r, t), donde cada número f(k) de la densidad (x, v, r, t) es ponderado por el probabilidad apropiado pk. Si el flujo multifase se modela como un punto marcado proceso [74], el ddf puede expresarse como el producto de la intensidad del proceso punto en espacio físico y una función de densidad de probabilidad conjunta (jpdf) de velocidad y condicionado a la ubicación física de la radio. Jpdf de velocidad y el radio están condicionados al fcVR ubicación física (v, r | x; t) se expresa en términos de ddf como: fcVR (v, r | x; t) = donde

f (x, v, r, t)/ns(x;t) if r > 00 if r ≤ 0, (5)

NS(x;t) ≡Zf (x, v, r, t) dv dr (6) es la densidad del número. Esto demuestra que el ddf es capaz de representar polidispersidad y capturar la dependencia no lineal de aceleración de partículas en velocidad. Sin embargo, el ddf no contiene información de two –particle, ni da cuenta de la fluctuations en el número de partículas sobre su valor medio. Estos puntos se discuten en el apartado siguiente.

2.4.4.3. Diferencias de la teoría cinética clásica Mientras que esta caracterización es similar a la teoría clásica de la cinética de gases moleculares [73], algunos de los importante diff ERENCIAS se resumen a continuación: (1) Eff ect de partículas del vecino puede ser importante incluso en la fracción de volumen bajo porque estas interacciones están mediadas por el fluid del portador. Figura 2 muestra que los contornos escalares que rodea las partículas del vecino pueden interactuar incluso en la fracción de volumen de 1%, mientras que la regla típica por descuidar estas interacciones vecino en aerosoles diluidos es para la fracción de volumen hasta un 10%. Chiu y compañeros de trabajo [75] han considerado

aerosol

modelos

que

incorporan

modelos

para

la

correlación par funcionan esa información de containstwo –particle. (2) Separación de escala puede estar ausente en fluye multifase: en molecular

gases

la

variación

de

macroescala

de

variables

hidrodinámicas tales como densidad aparente se produce a escala mucho mayor que la microescala (tamaño molecular) o de mesoescala (gama de interacción de moléculas como camino libre medio). Sin embargo, esto no se garantiza en multifase fluye. Como el ejemplo de la figura 4 muestra, puede variar la temperatura media fluid en escalas comparables a la estructura espacial de mesoescala de partículas caracterizado por la función de correlación de par. Esto es debido al

fuerte acoplamiento entre las fases mediante el cual las partículas pueden calentar o enfriar el fluid, de tal modo un ff ejo la temperatura media fluid a escalas relativamente pequeña longitud. (3) Las fluctuaciones en el número de partículas o gotas pueden ser importante en comparación con la media: fluctuaciones en el número pueden ser importantes cerca del borde de aerosoles o cuando forman racimos y serpentinas en fluidized las canalizaciones verticales de la cama. Tales fluctuations típicamente se descuidan en la clásica teoría cinética de gases moleculares y granulares [76,77]. Sin embargo, Subramaniam

y

Pai

han

demostrado

recientemente

que

estos

fluctuations puede ser importantes en la teoría cinética de gases granulares inelásticas [78]. (4) Ecuación multifase Liouville no está cerrado: otro importante diff ERENCIA es que mientras que la ecuación de Liouville en la teoría clásica de la cinética de gases moleculares es una ecuación cerrada, el mismo no es válido para la ecuación de Liouville multifase. La ecuación multifase de Liouville depende de las estadísticas de la fase de portador porque la aceleración de la inerciales gotas o partículas depende de la velocidad de deslizamiento.

2.4.4.4. Equivalencia y consistencia El esquema en la figura 1 muestra que una jerarquía de cierres que van desde funciones de densidad de probabilidad multipunto (PDF) a las ecuaciones de momento son posibles en el campo aleatorio y descripción de procesos de punto. Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones existe una equivalencia entre los niveles correspondientes de cierre en ambas descripciones. La jerarquía de cierres implica que un cierre en el nivel de FDN o ddf en el enfoque LE implica un conjunto de ecuaciones de momento que corresponden a la teoría de la two –fluid en la descripción del campo al azar. Esto conduce al principio de

desarrollar modelos consistentes en cualquier acercamiento. Trabajo reciente de Pai y Subramaniam establece las relaciones entre el punto de proceso (LE) y descripciones de campo al azar (EE) [13] en el nivel PDF single –point de cierre.

2.4.5. Resumen Esta sección describe las principales representaciones estadísticas de flujo multifásico. Explicó la clasificación de multifase teorías de rasgos en punto proceso (LE) y categorías de campo al azar (EE). Los fundamentos de la teoría de 16two –fluid EE fueron briefly descrito. Se estableció la conexión del enfoque LE teoría cinética. Importante di ff ERENCIAS entre la descripción del proceso (LE) punto de multifase fluye y la teoría clásica de la cinética de gases moleculares fueron observados. Explicó la relación del ddf para obtener una descripción completa de un multifase en el enfoque de procesos

estocásticos

punto

de

Lagrange.

Esto

proporciona

los

antecedentes necesarios para entender la formulación LE y su relación con la teoría de two –fluid EE.

2.5. Formulación LAGRANGIANA EULERIANOS Un concepto central en la formulación de LE es la equivalencia estadística de la evolución del conjunto de partículas o gotas {X(i) (t), V(i)(t), R(i)(t), i = 1,..., Ns(t)} descritos en 2.3 segundos de la evolución de la ddf. Por generalidad aquí consideramos gotas para que la radio también puede cambiar debido a la vaporización.

2.5.1.Ecuaciones de evolución de gota Las propiedades de la gotita asociadas con la gota de ith evolucionan por las siguientes ecuaciones:

donde rijan es la aceleración experimentada por la gota, y Θ(i) es la tasa de cambio de radio debido a la vaporización. La aceleración de la gotita cumpliéndose surge de la fuerza ejercida por el gas portador en la gota que puede ser calculado desde el tensor de la tensión en la superficie de la gota. Gotitas de aerosol también sufren colisiones que modifican su trayectoria y velocidad. Tras las colisiones, gotas pueden fusionarse o romper en gotitas más pequeñas. La evolución de la ddf correspondientes a las ecuaciones de evolución de gota puede obtenerse usando métodos estándar [74,73].

2.5.2.Ecuación de evolución para el DDF o FND Uno puede derivar [74] el siguiente formulario de collisionless de la ecuación de evolución de ddf (también conocido como el 17equation de aerosol) que corresponde a las ecuaciones de evolución de gotas Eqs a partir de la definición del ddf en la ecuación 4. 7-9:

En la anterior ecuación hAk|x, v, r; ti representa la aceleración esperada depender de la localización [x, v, r] en el espacio de la fase. Del mismo modo hΘ|x, v, r; ti representa la tasa esperada de cambio de condicionales de radio (en lo sucesivo, la tasa de vaporización esperado) en la localización [x, v, r] en el espacio de la fase. La e ff ects de colisiones, coalescencia y desintegración puede también incorporar [8,21] para obtener 

2.5.2.1. Régimen de validez de la ecuación de aerosol Se da una descripción detallada de la base matemática del enfoque ddf en [74]. Las consecuencias prácticas de los supuestos subyacentes en el enfoque de ddf son briefly resumido aquí. El modelo de proceso de punto subyace el enfoque de ddf asume que una escala de longitud característica de tamaño puede estar asociada con cada gota. Desde un punto de vista puramente representativa esto no plantea di ffidificultades incluso para las regiones del rocío donde la fase líquida está presente como elementos nonspherical, en lugar de como totalmente dispersión gotitas. Como el volumen de dichos elementos de líquido puede ser definido, uno puede siempre asociar cada elemento líquido a escala de longitud de tamaño característico que es el radio de una gota esférica de igual volumen 4. El modelo de proceso de punto es estrictamente sólo en la región del núcleo intacto de un aerosol. Por lo tanto, el enfoque LE requieren un modelo separado para la desintegración primaria de un chorro de líquido dando por resultado una condición inicial para el ddf. Cabe destacar que dos supuestos que comúnmente son percibidas como sea necesario para establecer la validez de la ecuación de aerosol, no han sido utilizados en esta derivación. Son: (i) la asunción del punto de partículas y (ii) la asunción de aerosol diluido.

2.5.2.1.1.Punto proceso VS. Asunción de la partícula de punto La asunción del punto de partículas es di ff diferentes de la estocástica elija modelo de proceso de un flujo multifase y es considerablemente más restrictivo. La asunción de la partícula de punto requiere que el tamaño (radio) de las partículas o gotas de infinitesimal, o al menos más pequeño que la escala más pequeña de las mociones de fluid,

por ejemplo, la prueba de Kolmogorov escala si el flujo gas –phase es turbulento. Aquí se demuestra que multifase fluye con partículas o gotas de radio limitado (que puede ser mayor que la escala de Kolmogorov de turbulencia gas –phase) puede ser con éxito modelado utilizando el modelo de proceso estocástico punto. En Resumen, la asunción de la partícula de punto es innecesaria para la representación y modelado de multifase fluye mediante el ddf o el enfoque de la FDN, que admite las partículas o gotas de tamaño limitado.

2.5.2.1.2.Diluir la Asunción Otro lugar comúnmente opina que el enfoque de ddf es válido sólo para diluir fluye multifase. Esto se traduce en restricciones innecesarias en simulaciones de LE que requieren la estimación computada para la fracción de volumen medio dispersed –phase en una celda de la cuadrícula para que tengan menos de cierto valor de delimitado de usuario (por ejemplo, 0.1). Esto confunde a una cuestión teórica con caracteres numéricos. La cuestión teórica es clarified en esta sección revelan que esta restricción no tiene ninguna base,

mientras

que

5.2

segundos

muestra

numéricamente

convergente métodos de estimación también no impone ninguna limitación en la fracción de volumen. La fracción de volumen de dispersed –phase media es una medida de cómo diluir un spray es. El volumen de media dispersed –phase hVd (A; t) en una región A espacio físico puedo ser definido en términos de ddf como:

Donde

es la densidad del volumen promedio de dispersed –phase en el espacio físico. Si VA es el volumen asociado con una región, entonces la fracción de volumen de dispersed –phase promedio en la región A viene dada por 

que revela que si la θ(x;t) de densidad media dispersed–phase volumen es uniforme en la región en el espacio físico (es decir, el ddf f (x, v, r, t) es estadísticamente homogéneo en el A), entonces θ es igual a la fracción de volumen medio dispersed –phase. Si f es estadísticamente no homogénea en el A, 14 EQ. afirma que el valor medio de θ(x;t) sobre el volumen A es la fracción de volumen de dispersed –phase media. La validez de la ecuación de evolución de ddf no depende de la densidad de volumen medio dispersed –phase. Mientras que algunos modelos para arrastre o calientan transferencia [21] puede limitarse a la fracción de volumen θ(x;t)

≪

1 debido a limitaciones en las

correlaciones en que se basan, éstos pueden ampliarse para incluir una dependencia de la fracción de volumen. En Resumen, las restricciones a la fracción de volumen en simulaciones LE son innecesarias porque no hay ninguna limitación teórica intrínseca en la fracción de volumen medio dispersed –phase en el enfoque LE, pero más bien surgen de las implementaciones de non –convergent numérica que calcular la fracción de volumen de dispersed –phase utilizando medias locales basadas en células de Eulerian rejilla. 5.2 Segundos se muestra que grid –free kernel-based estimation methods generen valores numéricamente convergentes para el promedio

dispersed –phase

volumen

fracción

media

interfase

impulso

transferencia y.

2.5.3.EULERIAN representación de la fase de portador  LE el enfoque descrito hasta el momento es muy general y se aplica a toda la gama de las simulaciones que se describe anteriormente en 1.2 segundos, incluyendo acoplamiento con Eulerian representación de la fase de portador RANS, LES y DNS. La tabla 1 enumera la representación del campo de flujo de portador y fase dispersa para di ff diferentes métodos de simulación de LE. Término de transferencia de las ecuaciones específicas adecuadas a cada uno de estos simulación métodos pueden ser recuperados por la interpretación apropiada (realización, realización de filtered o media estadística) del campo de velocidad de fluid Eulerian, tensor de tensión e interfase impulso. La forma de específicas de las ecuaciones de Eulerian portador-fase naturalmente depende del enfoque de simulación: DNS, LES o RANS

2.5.3.1. Instantánea o filtrado EULERIAN portador-fase ecuaciones Para FR-DNS donde cada partícula física o gota es completamente resuelta, estos son simplemente las bajo número de Mach variable – density Navier   –Stokes ecuaciones con condiciones de límite apropiadas en cada partícula o superficie de la gota. Detalles de tales partículas resuelven simulaciones pueden encontrarse en muchas obras [32 –35, 79 –82, 15]). Si las partículas o gotitas son más pequeñas que la escala de Kolmogorov de turbulencia de la fase gaseosa, PP-DNS son útiles. En este caso la fase dispersa es juntada por kernel –averaging esa particular comprensión del punto de proceso [83]. Sin embargo, Moisés y Edwards [84] demostrados coarse –graining FR-DNS de fuerza sobre una partícula no conduce a una fuente de impulso de δ -función, como a menudo es tratada en PP-DNS. El coarse –graining apropiado del ímpetu

transferencia de partículas de punto y su e ff ect en el campo de presión  –phase debe investigarse más a fondo. de carrier  Puesto que hay muchos enfoques para LES de two –phase fluye, la forma de específicas del acoplamiento en LES(p) depende de la aplicación: en términos generales, los resultados de acoplamiento en volume –averaging locales del Lagrangiano punto proceso de realización de la fase dispersa. Aplican los mismos comentarios en coarse –graining FR-DNS al PP-DNS para LES(p) así. PP-DNS(s) y LES(s) par a una representación de la partícula estocástico de la fase dispersa y son métodos híbridos en el sentido que ellos par una realización de la fase de fluid del portador con una representación estadística de la fase dispersa. La base teórica de LE desarrollada en este trabajo es relevante para estas simulaciones. Para DNS(s) y LES(s) con partículas estocásticas, la ecuación de impulso Eulerian fase fluid en el límite diluido se toma a menudo de la forma

donde U(f) representa la velocidad instantánea de fase de fluid en DNS(a) (y su contraparte de filtered  en LES(a)). Tenga en cuenta que esto es simplemente la fase sencilla impulso conservación ecuación aumentada por el término de transferencia de impulso de interfase

representa el acoplamiento del impulso dispersed –phase con la fase de fluid. En la medida en que se refieren a métodos LE, el beneficio principal de FR-DNS es cuantificar no cerradas términos en la ecuación de evolución

de ddf (o sus momentos) y para desarrollar mejores modelos para estas condiciones. En Garg [82] se dan algunos detalles de cómo se pueden utilizar soluciones DNS particle –  o 21droplet –resolved para desarrollar submodelos LE y EE. Si se utilizan partículas de punto, como en PPDNS(p) y LES(p), el desarrollo teórico de anterior LE puede utilizarse para interpretar los resultados. Sin embargo, tales simulaciones tienen menos valor para LE desarrollo de modelo en comparación con FRDNS. Simulaciones estocásticas partículas tales como DNS(s) y LES(s) son esencialmente LE modelos con la mejor representación de la fase de portador Eulerian que RANS, y el desarrollo teórico anterior es útil para interpretar los resultados de estos modelos y compararlos con FRDNS y LE juntada con RANS.

2.5.3.2. Un promedio de EULERIAN portador-fase ecuaciones Las ecuaciones de portador-fase Eulerian promedio son dadas por la teoría de la two –fluid [10,11]. La forma específicas de estas ecuaciones se toma del Pai y Subramaniam [13]. Para simulaciones de aerosol CFD utilizando un promedio de ecuaciones de la fase de portador que cuenta para el acoplamiento de Vias y no nos hacemos un aerosol diluido, la ecuación de conservación de masa media es de Eulerian

El supuesto "diluida aproximación" a estas ecuaciones que descuida el volumen desplazado por la presencia de la partículas de Dispersed – Phase o gotitas de aerosol es a menudo usado 5. Se obtiene mediante el establecimiento de αf = 1 en las ecuaciones anteriores y descuidar la fracción de volumen de la fase dispersa. Por ejemplo, en esta notación la ecuación de conservación de masa de subidad [21] Lee

donde ρf = αfhρ | Si = 1i (en códigos como KIVA αf se establece en la unidad, así el bulto o densidad aparente gas es simplemente la densidad de termodinámicas del gas). Sin embargo, hay otra hipótesis implícita en esta "aproximación diluida" a la ecuación de conservación de masa que vale la pena destacar. La simplification correcta de la ecuación de conservación de masa media en el límite diluida no se obtiene mediante una simple configuración αf = 1 en 16 EQ., pero por la primera expansión de los términos y reorganizar para obtener 

Incluso en los aerosoles diluidos el e ff ect de grandes gradientes en la fracción de volumen en el borde del spray puede resultar en importantes contribuciones del término en αf ln, y por lo tanto este término debe ser cuantificados en cálculos de aerosol. Claramente, la asunción de αf = 1 sólo valida la simplification hs (f) ≈ ρi/αf hS (f) ρi. Ferrante de APTE y Patankar [85] y Elghobashi [86,87] tienen desarrollados LE simulaciones que representan volumen desplazamiento e ff ects.

2.5.4.Interfase TRANSPHER términos Los términos de la fuente (ρi hS (f) y hS (f) M ii) que aparecen en la gas– phase de Eulerian promediada ecuaciones (cf. Eqs. 16 –  20) par la dispersed –phase a la carrierphase y son opuestas en signo de sus contrapartes en la fase dispersa:

donde Ω = Θ/R y el promedio de volume–weighted de cualquier función suave Q (v, r) es definido como:

Es conveniente descomponer el impulso interfacial fuente término hS (d) M i en dos partes, atribuible a la transferencia masiva de interfase derivados de cambio de fase hS(d)(P C) M i y el otro a la interfacial estrés hS(d) (IS) M i, que es distinto de cero incluso en la ausencia de interfase una transferencia de masa. Estos son la definen como:

La fuente de impulso debido a la tensión interfacial puede expresarse en términos de la descripción lagrangiana de dispersed –phase como

mientras que la fuente de impulso debido al cambio de fase se puede escribir como:

Derivación detallada y discusión de estos términos pueden encontrarse en Ref. [13].

2.5.5.Ecuaciones medias fase DISPERSA: conservación de la masa y el impulso La ecuación de evolución de ddf implica una evolución del promedio de la masa y el impulso en la fase dispersa. Si se asume una densidad constante termodinámica de la ρd de la fase dispersa, entonces la ecuación de conservación de masa media implicada por la ecuación de evolución de ddf se obtiene multiplicando la ecuación 10 por πr3ρd (4/3) e integrando sobre todos [v, r +] (r + es simplemente la región del espacio de radio correspondiente a r > 0), para obtener:

El término de fuente en el lado derecho de la ecuación 32 contiene dos partes. Una parte corresponde a una pérdida de masa media debido a la vaporización. La otra parte representa el agotamiento de la densidad del número debido a una flux de gotas a través de la r = 0 + límite, que corresponde al radio más pequeño por debajo del cual se considera una gota se evaporó. La ecuación de conservación de momentum media implicada por la ecuación de evolución de ddf EQ. 10 se obtiene multiplicando la ecuación 10 por πr3ρdvj (4/3) e integrando sobre todos [v, r +]:

donde un promedio de mass –weighted se han utilizado como en la ecuación 32. El último término en el lado derecho de la ecuación anterior corresponde a una pérdida de impulso media debido a la vaporización y el agotamiento del impulso media debida o una flux de gotas a través de  la r = 0 + límite. Sustituyendo la ecuación 32 en los resultados de la ecuación 33 en:

 Al construir modelos de términos tales como interfase de masa, transferencia de impulso y energía, es útil modelar las formas de Galilean  – invariant (GI) de estos términos, porque tales modelos son entonces marcoinvariante

con

respecto

a

las

transformaciones

de

galileos.

Una

transformación de Galilea consiste en transformar la posición y del tiempo como x∗ = x + Wt y t ∗ = t, respectivamente, donde W es una constante velocidad de traslación. Si una cantidad Q es invariante de Galileo, entonces Q (x ∗, t∗) = Q (x, t).La velocidad se transforma como U ∗(x, t∗∗) = U∗(x + Wt, t) = U(x,t) + W y no es Galileo invariante. Si se modelan las formas no-GI, entonces los modelos resultantes no sean marco invariante. Las siguientes son que las combinaciones de GI de términos no cerradas son:

Soluciones de método de partículas a la ecuación de ddf que modelo hA|x, v, r; ti y hΘ|x, v, r; ti automáticamente garantizan GI modelado de lo s términos mencionados en la ecuación de momentum media.

2.5.6.Ecuación de segundo momento

El segundo momento de la velocidad de la partícula conduce a la temperatura granular en flujo de gas –solid, y asimismo es delimitado gotitas así. Para derivar la ecuación de second –moment en el enfoque LE, es útil definir primero el ddf de volume –weighted de fluctuating velocidad veamos (x, w, r, t) definido como

donde veamos c (w, r|x; t) es el r3 –weighted o el volumen ponderado pdf de fluctuating velocidad. La ecuación de evolución de veamos puede derivarse de la ecuación 10 (ver Apéndice A para una derivación):

El segundo momento o dispersed –phase ecuación de Reynolds estrés puede obtenerse multiplicando la ecuación de evolución veamos por wiwj (y un factor κ =26(4/3)πρd) e integrando sobre todos [w, r +] espacio para obtener:

En la ecuación anterior es el derivado material con la media de mass – weighted velocidad de dispersed –phase y el término de producción es debido a los gradientes promedios en la velocidad de dispersed –phase. La covarianza

de

acceleration –velocity

de

fluctuating

representa

a

la

transferencia de la interfase de energía cinética en fluctuations, y los dos últimos términos corresponden a la variación neta de estrés Reynolds debido a la transferencia de masa de interfase. Los términos de la ecuación anterior se agrupan en combinaciones de Galilean –invariant.

2.5.7.Equivalencia y coherencia entre LE y enfoques de campo aleatorio Establecer las relaciones entre estos dos enfoques básicos utilizados para formular la teoría de multifase fluye es importante para el desarrollo de modelos compatibles y puede ser de uso práctico en enfoques de simulación híbrido [88,89]. Una derivación integral de estas relaciones puede encontrarse en el Pai y Subramaniam [13]. En trabajo una fundamentación teórica para las representaciones estadísticas random –field y point –process de multifase fluye se establece en el marco del formalismo (pdf) de la función de densidad de probabilidad. Rigurosamente se

establecen relaciones de consistencia entre las cantidades fundamentales estadísticas en las representaciones de EE y LE. Está demostrado que estas cantidades fundamentales en las dos representaciones estadísticas llevan una relación exacta entre ellas solamente bajo condiciones de homogeneidad espacial. 27Equations de transporte para las densidades de probabilidad en cada representación estadística se derivan. Ecuaciones que gobierna para la masa media, significa impulso y segundo momento de la velocidad correspondiente a las dos representaciones estadísticas se derivan de estas ecuaciones de transporte. En particular, para la representación de EE, el formalismo pdf aparece conducen naturalmente a las ecuaciones de ensemble –averaged ampliamente utilizado para el two – phase fluye. Galilean –invariant combinaciones de términos no cerradas en las ecuaciones gobernantes que deban ser modelados son claramente identifican. Se establece la correspondencia entre términos no cerradas en cada representación estadística. Cómputos de EE –LE híbrido pueden beneficio de esta correspondencia, que sirve en la transferencia de información de una representación a la otra.

2.6.Modelado La ecuación de evolución para el ddf (ecuación 10) contiene hAk|x términos de expectativa condicional, v, r; ti y hΘ|x, v, r; ti que representan el promedio de partícula o aceleración de la gotita y tasa de evolución de radio promedio, respectivamente. Estos no están cerrados a nivel del ddf, es decir, no son determinados totalmente por el ddf o sus momentos solos, ya que cuentan con estadísticas de multiparticle higher  –order (cf. Fig. 1) y propiedades carrier  – phase. En forma más general de la evolución del ddf (ecuación 11) que permite las colisiones, coalescencia y desintegración, los términos correspondientes de la fuente en la ecuación de ddf que son integrales de colisión con núcleos apropiados también deben ser modelados.

2.6.1.Modelado de la ecuación de evolución de DDF

La especificación de modelos para los términos no cerrados en la ecuación de evolución de ddf da lugar a una ecuación de evolución de ddf modelados:

donde A∗k (x, v, r, t), Θ∗(x, v, r, t) y ˙f ∗coll/carbón/bu representan una familia de modelos para hAk|x, v, r; hΘ|x, ti, r, v, ti y ˙fcoll/carbón/bu, respectivamente. El modelado ddff ∗, que es la solución a la ecuación 40, es el modelo para implícitos en estas especi ficaciones modelo de f. Para problemas de flujo multifase práctica la solución a la ecuación de evolución de ddf se acopla a un solucionador de flujo de carrier  –phase de Eulerian [29,21]. Aquí sobre todo consideramos acoplamiento a un solver Reynolds –averaged Navier Stokes (RANS), aunque muchas de las consideraciones de modelado son igualmente aplicables a LES o DNS acoplamiento así. La influencia de la fase dispersa en la fase de portador está representada por la adición de interfase acoplamiento términos de fuente (cf.Sec. 3.4) las ecuaciones de carrier  –phase generalmente RANS (cf. Eqs. 16). Fase de gas cuando está representado por Reynolds – averaged campos, una clase de modelos determinísticos de términos no cerradas hAk|x, v, r; ti y hΘ|x, v, r; ti p uede escribirse como sigue:

donde los modelos A ∗k y Θ∗dependen de {hQf (x, t) i} y M (f (x, v, r, t)). Aquí {hQf (x, t) i} representa el conjunto de campos de la solución de fluid de portador (que incluye tales campos como el energía turbulento cinética y la velocidad media fluid) en promedio, y M(f) es cualquier momento de la ddf. La dependencia de M(f) es una representación general de la dependencia que tengan los términos modelados en cantidades como la densidad de

fracción de volumen medio dispersed –phase en espacio físico, que son momentos de la ddf (cf. EQ. 13).

2.6.2.Enfoques de solución Para solucionar un problema de flujo multifase general usando el ddf o el enfoque de la FDN, EQ. 40 para el ddf modelado debe resolverse numéricamente con adecuadas condiciones iniciales y límite en f  ∗, para una especificación particular de los términos modelados A ∗k, Θ∗y los términos de inicar fuente.

2.6.2.1. Métodos de la partícula Para

facilitar

la

representación

computacional

y

modelada

de

condiciones de contorno, un enfoque de solución basado en métodos de partículas se utiliza comúnmente para resolver indirectamente EQ. 40 en un cómputo e fficiente manera [21]. Este enfoque de la solución es similar a partícula métodos utilizados en el enfoque de la función de densidad de probabilidad para modelado turbulento fluye reactiva, una exposición exhaustiva de las cuales se da por Papa [4]. Como se explica en [66,74], uno puede asociar un conjunto de gotitas de sustituto de Ns idénticamente distribuidas con propiedades {X ∗(i)(t), V ∗(i)(t), R∗(i)(t), i = 1,..., Ns(t)}, donde X ∗(i)(t) denota la posición de la gota de ith en sustituto en el tiempo t, V ∗(i)(t) representa su velocidad y R ∗(i) (t) su radio. Las propiedades asociadas con la gota de sustituto de ith evolucionan por las siguientes ecuaciones modeladas:

donde A∗(i) es la aceleración modelada experimentada por la gota de suplente y Θ∗(i) es su modelado tasa de cambio de radio debido a la vaporización. La correspondencia entre las gotas de suplente (o sustituto de partículas) en el LE simulación y las gotas de rocío (o partículas físicas) están sólo a nivel de la condicional expectat ivas hAk|x, v, r, ti y hΘ|x, v, r; ti. Sustituto de partículas en la solución del método de partícula para el ddf no es partículas físicas individuales o arrastre de gotas de rocío, a pesar de la resistencia que experimenta una partícula de sustituto a menudo se modela como la partícula aislada o single –droplet. De hecho, la interpretación correcta es que hAk|x, v, r; ti es el arrastre promedio experimentado por una partícula física o gotas en suspensión, y que es diff diferentes del arrastre de partículas aisladas ya que incluye volumen fracción y vecino partícula e ff ects. Conceptualización sustituto partículas ya sólo son estadísticamente equivalentes a partículas físicas o gotitas da considerable flexibilidad en modelado. El principio de equivalencia estocástico (véase Papa [4]) nos dice que dos sistemas pueden surgir tales que las realizaciones individuales en cada sistema son radicalmente di ff diferentes, pero los dos pueden tener idénticos valores medios. Por lo tanto, el sistema de gotitas de suplente (o partículas de suplente) tenga realizaciones individuales que son enormemente di ff diferentes de las de las partículas o gotitas físicas (obedeciendo non –diff erentiable trayectorias, por ejemplo), y sin embargo su expectativa condicional implícita términos A puede emparejar∗k y Θ∗hAk|x, v, r; ti y hΘ|x, v, r; ti. (El principio de equivalencia estocástico [4] también revela que la asignación de partícula modelos a un ∗k y Θ∗ es many –to –one, es decir, di ff diferentes modelos de partícula pueden resultar en el mismo A ∗k y Θ∗.) Un corolario directo del principio de equivalencia estocástico es que además de modelos de evolución determinista de la partícula, se pueden también utilizar modelos

estocásticos de la partícula con términos aleatorios en las ecuaciones de evolución de propiedad de partícula (Eqs. aparejadas). La adición de términos aleatorios (estrictamente hablando, incrementos de proceso de Wiener) la partícula computacional posición y velocidad evolución resultados en el aspecto de difusión correspondiente términos (en el espacio de la posición y la velocidad) en la ecuación de evolución de ddf modelados que ahora se asemeja a la ecuación de Fokker  –Planck [90].  Allí es otra clase de modelos que pueden denominarse odelos de interacción de partículas, y a menudo se encuentran en el término de colisión de modelado. En estos modelos pueden interactuar las partículas sustituto dentro de un conjunto. Un error común en el modelado de Lagrange es la suposición de que el sustituto 30particles (o sus homólogos computacionales en 5 seg.) contienen información precisa de la two –particle. Por supuesto esto no es el caso si sólo corresponden al conjunto de gota a la altura de las expectativas condicional hAk|x, v, r, v, ti y hΘ|x, r; ti. A fin de correspondencia a nivel de estadísticas two –particle, las partículas de sustituto tendría que coincidan con los términos no cerrados en la ecuación de evolución de la densidad de la two –particle y alsomatch two –particle estadísticas al tiempo inicial. Otra característica indeseable de los modelos de interacción

de

la

partícula

es

que

desarrollan

incontroladas

correlaciones con el tiempo [91] debido a las repetidas interacciones con los vecinos en el mismo conjunto. Modelos estocásticos de colisión no suff er de este inconveniente [92] y es más fácil para su convergencia numérica. Además, los supuestos de modelado en el nivel de two – particle aparecen explícitamente en modelos estocásticos. Por lo tanto, incluso para el término de colisión parece que los modelos estocásticos son más promisorios.

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