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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte BOOK · NOVEMBER 2012

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Nelson Falcon Universidad de Carabobo, UC 113 PUBLICATIONS 139 CITATIONS

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N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de transporte  N. Falcon

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de transporte  N. Falcon

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N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Titulo de la Obra: Dinámica de Fluidos y Fenómenos de transporte Autor: Nelson Falcón Veloz

Segunda Edición: Diciembre 2011

Primera edición ISBN 980-122-752-2 Dpto. legal lf041220073205344 Responsable Edicion: Rowland Saer Materialprim Materialpr im Centro Grafico C.A. Impreso en venezuela Dic. 2008

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Presentación y dedicatoria

Esta obra contiene un enfoque formal y ameno de la Dinámica de Fluidos y Fenómenos de transporte para estudiantes de las Ciencias Físicas de Pre y postgrado. Comienza con una revisión de los conceptos fundamentales de hidrostática (Capitulo1) y de la Hidrodinámica formal expresada con cálculo vectorial de varias variables (Capitulo 2) como preludio al tratamiento riguroso, en el Capitulo 3, de la Ecuación de Boltzmann Boltzmann y los fenómenos fenómenos de transporte. transporte. El capitulo 4 se dedica a fluidos fluidos viscosos y el estudio estudio de la turbulencia. turbulenc ia. En el capitulo 5 se estudian las ondas en los fluidos y aplicaciones en meteorología y astrofísica, y finalmente, se describe los fundamentos de la física de plasma y la magnetohidrodinámica (capitulo 6). En todas secciones se plantean y discuten experimentos simples y fenómenos naturales notables junto al formalismo cuantitativo de los mismos. Al escribir un libro como este, la primera pregunta que nos asalta es ¿a quien va dirigido?, si es para colegas profesores investigadores, termina convirtiéndose en un tratado del tema, poco atractivo para el novicio y menos aun para el estudiante. Si se presenta como texto, pronto el autor queda tentado a eludir el andamiaje formal que permite una visión de conjunto de los diferentes fenómenos físicos y su interrelación, y la más de las veces termina en un conjunto de problemas resueltos con poco o nada de la fenomenologia que pretende estudiarse. Otros simplemente auguran que su obra corrige deficiencias de otras obras que le precedieron. Les cuento que mi motivación no fue otra que divertirme, escribiendo las clases que he impartido en el curso obligatorio de Dinámica de los Fluidos , en el cuarto año de la licenciatura en Física de la Universidad de Carabobo. De modo que lo escribí para mis estudiantes, quienes querían un curso de Fluidos, vinculado a la Física, no un curso de Hidráulica ni de Fluidos para Ingeniería, de ordinario sesgados hacia aplicaciones como flujo en tuberías, tuberías y fenómenos de cavitación. Mis estudiantes con cuatro horas semanales semanales durante durante 18 a 20 semanas, apenas si alcanzaban alcanzaban a cubrir el primer capitulo de la obra de la Mecánica de Fluidos de Landau y Lifshitz. Las veces que he dictado el curso de Dinámica de los Fluidos me vi forzado a enormes esfuerzos de síntesis para mostrar elementos de la teoría de transporte y de la ecuación de Boltzmann, y de como se reobtienen las ecuaciones ecuacio nes básicas de la hidrodinámica a partir de ella; aspecto usualmente omitidos en los textos de Mecánica de Fluidos. Lo incorpore aquí en la clase 3, luego de un breve repaso de hidrostática (clase 1) y del tratamiento riguroso de los flujos de fluidos como campos vectoriales (clase 2), antes de discutir tópicos mas especializados especializados como fluidos fluidos viscosos viscosos y Turbulencia (clase 4) 4) y Arrastre y Ondas en Fluidos Ideales (clase 5). Finalmente se introduce el tema de los fluidos en campos electromagnéticos con una introducción a la magnetohidrodinámica y los Plasmas en la última sección (clase 6) .

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He querido acercar al estudiante a la fenomenologìa y la experimentación, incluyendo experimentos simples a lo largo de todo el texto, tal y como hicimos en las clases impartidas, unas veces como proyecto de aula y otras como demostración experimental de cátedra; supliendo las carencias de laboratorios bien equipados con mucho ingenio y el empeño decidido de los jóvenes físicos en preparación. También he incluido en la obra breves referencias históricas y ejemplo relevantes de situaciones físicas especificas como el interior de las estrellas, plasmas, la atmosfera y las nubes y un sin fin de aplicaciones en los ejemplos seleccionados; evitando los problemas triviales y de cátedra, al cual se han abocado la mayoría de los textos de docencia tradicional. Por ello se han empleado una gran cantidad de ilustraciones relevantes que buscan motivar la lectura y la investigación. La matemática formal supone un curso previo de cálculo de funciones vectoriales, calculo diferencial de varias variables y de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales; como es usual en estudiantes avanzados de Física y de Ingeniería. La ejercitación se ha colocado toda al final del texto, haciendo énfasis en los primeros dos capítulos. Y se exhorta a tratar los últimos temas, mas especializados, como seminarios y como mini proyectos de aplicación e investigación para la evaluación del aprovechamiento y prosecución de los estudiantes. Agradezco las observaciones y comentarios de los Doctores Allan Dixon, excatedrático de al Universidad Complutense de Madrid, y de Eduardo Simmonovich del Observatorio Astronómico y Meteorológico de Paris; también las correcciones del manuscrito que ha hecho la Profa. Gladys Castillo y sus alumnos del curso de Fluidos del núcleo de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL) en Maracay. He dedicado esta obra a mis estudiantes de Dinámica de los Fluidos de la Facultad Experimental de Ciencias y Tecnología (FACYT) de la Universidad de Carabobo, con quienes compartí la experiencia del redescubrimiento de la Mecánica de los Fluidos en los años 2006, 2007 y 2008. Entre ellos mi gratitud especial a: Félix Álvarez, José Luis Casadiego, Katiuska Coello, Yoel Cuerva, Carlos Guilarte, José Querales, Alejandro Rincones, Amarelis Román, Carlos Salgado y Hecmary Suárez; por algunas de las imágenes y/o por la realización de los experimentos descritos en la obra. Mi gratitud y amor a mis hijos Orión, Antares y Altair; y a mi esposa Liliana; por su devoción y comprensión al cederme el tiempo que debí dedicarles en las vacaciones y fines de semana.. La edición de la obra fue parcialmente costeada por la Asociación de Profesores de la Universidad de Carabobo (APUC), gracias a la comprensión y solidaridad de los Profesores Jesús Villarreal y Tadeo Medina quienes han impulsado la actividad académica desde la “trinchera gremial ”, elevando la noble labor de nuestra Asociación; mis estudiantes y colegas agradecemos el financiamiento. Prof. Nelson Falcon Veloz Valencia 2011.

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Clase 1. Hidrostática: Generalidades Generalidades y Definiciones Básicas Se introducen los conceptos fundamentales de uso general en Hidrostática, la definición de fluidos y sus propiedades más relevantes, junto a una deducción elemental de la ecuación de continuidad. Adicionalmente se repasa el concepto de flotabilidad y el Principio de Arquímedes. Posteriormente se obtiene la ecuación de Euler y la Ley de Bernoulli para la dinámica y la Conservación de la Energía respectivamente, respectivame nte, en la aproximación hidrostática elemental y se muestran aplicaciones simples en diversos campos de la física. Todo ello como repaso introductorio de la física elemental. El interés por la dinámica de fluidos se remonta a las aplicaciones más antiguas de los fluidos en ingeniería. Arquímedes realizó una de las primeras contribuciones con la invención, que se le atribuye tradicionalmente, del tornillo sin fin. Los romanos desarrollaron otras máquinas y mecanismos hidráulicos; no sólo empleaban el tornillo de Arquímedes para bombear agua en agricultura y minería, sino que también construyeron extensos sistemas de acueductos, algunos de los cuales todavía funcionan. En el siglo I a.C., el arquitecto e ingeniero romano Vitrubio inventó la rueda hidráulica horizontal, horizontal, con lo que revolucionó la técnica de moler grano. A pesar de estas tempranas aplicaciones de la dinámica de fluidos, apenas se comprendía la teoría básica, por lo que su desarrollo se vio frenado. Casi dos mil años después de Arquímedes se produjo el siguiente avance científico significativo, debido al físico italiano Evangelista Torricelli, que inventó el barómetro en 1643 y formuló el teorema, que relaciona la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio de un recipiente, con la altura del líquido situado por encima del agujero. El siguiente gran avance en el desarrollo de la mecánica de fluidos tuvo que esperar a la formulación de las leyes del movimiento por Isaac Newton. Estas leyes fueron aplicadas por primera vez a los fluidos por el matemático suizo Leonhard Euler, quien dedujo las ecuaciones básicas para un fluido sin rozamiento (no viscoso). Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. 1. Generalidades Generalidades Para caracterizar de manera más general las propiedades propiedades térmicas de los cuerpos se utiliza el concepto de estados de agregación: gaseoso, líquido, sólido y plasma. Debido al gran enrarecimiento de la sustancia en estado gaseoso, las moléculas se hallan relativamente a gran distancia entre si: a grandes distancias en comparación con las propias dimensiones. Por eso la interacción de las moléculas del gas desempeñan un papel secundario, ya que la mayor parte del tiempo las moléculas se desplazan libremente y sólo chocan entre sí de vez en cuando. En el líquido, las distancias entre las moléculas son comparables a las dimensiones de las mismas, de modo que se hallan en constante y fuerte interacción y el movimiento térmico tiene un carácter muy complejo. En condiciones habituales, los líquidos y los gases se diferencian tanto por su densidad que no representa dificultad para distinguirlos. Sin embargo, en realidad, la diferencia entre estos dos estados no es cualitativa sino cuantitativa; ésta reside en la magnitud de la densidad, y debido a ello en la diferencia de intensidad de la interacción de las moléculas. moléculas. Esta falta de diferencia cualitativa entre estos dos estados se revela claramente sobre todo en que el paso del estado líquido al gaseoso o viceversa, se puede realizar en principio, continuamente, de manera que en ningún momento se puede indicar donde ha terminado un estado y donde ha empezado otro. La identificación de un material como fluidos depende fundamentalmente del estado y no del material en si. De esta forma lo que define al fluido es su comportamiento y no su composición. Entre las propiedades que diferencian el estado de la materia, la que permite una mejor clasificación desde el punto de vista mecánico, es la que dice la relación con la forma en que reacciona el material cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos reaccionan de una manera muy característica a las fuerzas. Al comparar lo que ocurre a un sólido y a un fluido cuando son sometidos a un esfuerzo de corte 5

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o tangencial se tienen reacciones características que se pueden verificar experimentalmente y que permiten diferenciarlos. Con base al comportamiento que desarrollan los fluidos se definen de la siguiente manera: “Fluido es una sustancia que se deforma continuamente, o sea se escurre,cuando esta sometido a un esfuerzo de corte o tangencial”. De esta definición se desprende que un fluido en reposo no soporta ningún esfuerzo de corte. La hidrodinámica es la rama de la física que se encarga del estudio de los fluidos animados de movimiento. La hidrostática es una rama de la física que se encarga del estudio de los fluidos carentes de movimiento. 2. FLUIDOS IDEALES El movimiento de un fluido real es muy complejo. Decimos de que estamos frente de un fluido ideal, cuando consideramos que su comportamiento es de un régimen estable, irrotacional, incompresible y no viscoso. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes: 1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido 2.-Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo 3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo 4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.

Todo volumen v de un líquido se considera como un medio continuo formado, en reposo, por láminas superpuestas que pueden deslizarse las unas sobre las otras. La experiencia muestra que si se desplaza una de las láminas, las capas adyacentes son arrastradas. Existe, entonces, fuerzas de rozamiento internas, denominados esfuerzos tangenciales o cortantes, y el líquido se llama viscoso. Y se suponen equilibrio local. Se entiende por equilibrio termodinámico local o cuasi estático en el cual en cada instante t hay equilibrio pero se admiten fluctuaciones de algunos parámetros del sistema. Obviamente en el estudio de los fluidos, se sabe que están compuestos por muchas partículas, cuyos análisis correspondientes no se estudia con respecto a cada punto de la partícula; sino por el promedio del movimiento del fluido en función del tiempo de modo que “ ese punto representa el punto medio de las cantidades de partículas presentes en dicho fluido”

3. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Los fluidos, como todos los materiales, tienen propiedades físicas que permiten caracterizar y cuantificar su comportamiento así como distinguirlos de otros. Algunas de estas propiedades son exclusivas de los fluidos y otras son típicas de todas las sustancias. Características como la viscosidad, tensión superficial y presión de vapor solo se pueden definir en los líquidos y gases. Sin embargo, el peso específico y la densidad son atributos de cualquier materia. 3.1 Densidad. Se denomina densidad de un cuerpo a la cantidad de materia por unidad de volumen de una sustancia. se define como.    

m V 

(1. 1)

La unidad de medida en el S.I. de Unidades es kg/m 3, también se utiliza frecuentemente la unidad g/cm3 A diferencia de la masa o el volumen, que dependen de cada objeto, su cociente depende solamente del tipo de material de que está constituido y no de la forma ni del tamaño de aquél. Se dice por ello que la densidad es una propiedad o atributo característica de cada sustancia. En los sólidos la densidad es aproximadamente constante, pero en los líquidos, y particularmente en los gases, varía con las condiciones de medida. Así en el caso de los líquidos se suele especificar la temperatura a la que se refiere el valor dado para la densidad y en el caso de los gases se ha de indicar, junto con dicho valor, la presión.

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Densidad de sólidos y líquidos a (20ºC) Sustancia Acero Aluminio Estaño

Densidad (g/cm3) 7.7-7.9 2.7 7.29

Sustancia Aceite Agua de mar Alcohol etílico

Densidad (g/cm3) 0.8-0.9 1.01-1.03 0.79

3.2 Gravedad Específica (GE) o Densidad Relativa ( ρrel ). La gravedad especifica o densidad relativa de una sustancia se define como la relación entre la densidad absoluta de la sustancia y la densidad de una sustancia patrón. G.E. =Densidad Patrón/ Densidad Absoluta=ρ/ρ(patron)

(1..2)

Para líquidos y sólidos, se toma como sustancia patrón el agua y para gases el aire. ρagua = 1 cm3  gr = 1000 kg/ m3 y para el ρ aire = 0.00129 gr/ cm3  = 1.29 kg/m3 3.3 Peso Específico. El peso específico corresponde a la fuerza con que la Tierra atrae una unidad de volumen. Definido:   

mg  V 

    g  

(1.3)

Donde g representa la gravedad. Las unidades del peso específico pueden ser. N/m 3, Dinas /cm3, etc. 4 Presión Hidrostática. La presión hidrostática, es la presión que ejerce un fluido sobre las paredes y el fondo del recipiente que lo contiene. La presión : es el cociente entre la intensidad F de la fuerza aplicada perpendicularmente sobre una superficie dada.  P  

 F   A

 

(1.4)

En el SI la unidad de presión es el pascal, se representa por Pa y se define como la presión correspondiente a una fuerza de un newton de intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de un metro cuadrado. 1 Pa equivale, por tanto, a 1 N/m 2. Otra propiedad importante de un fluido en reposo, es que la fuerza debida a la presión del fluido, siempre actúa perpendicularmente a cualquier superficie que está en contacto con el.

Figura 1.1 Fuerzas que ejerce un fluido en equilibrio sobre las paredes del recipiente y sobre un cuerpo sumergido

Cuanto mayor sea la fuerza que actúa sobre una superficie dada, mayor será la presión, y cuanto menor sea la superficie para una fuerza dada, mayor será entonces la presión resultante el área S de dicha superficieCuando un fluido está contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus paredes y, por tanto, puede hablarse también de presión. Si el fluido está en equilibrio las fuerzas sobre las paredes son perpendiculares a cada porción de superficie del recipiente, ya que de no serlo existirían componentes paralelas que provocarían el desplazamiento de la masa de fluido en contra de la hipótesis de equilibrio. La orientación de la superficie determina la dirección de la fuerza de presión, por lo que el cociente de ambas, que es precisamente la presión, que resulta independiente de la dirección; se trata entonces de una magnitud escalar.

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5. Viscosidad La viscosidad  es el rozamiento interno entre las capas de fluido; la cual origina la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales. Un fluido que no tiene viscosidad se llama fluido ideal, en realidad todos los fluidos conocidos presentan algo de viscosidad, siendo el modelo de viscosidad nula una aproximación bastante buena para ciertas aplicaciones.A causa de la viscosidad, es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra. Fig. 1.2. Fluido comprendido entre una lámina inferior fija y una lámina su erior móvil.

La capa de fluido en contacto con la lámina móvil tiene la misma velocidad que ella, mientras que la adyacente a la pared fija está en reposo. La velocidad de las distintas capas intermedias aumenta uniformemente entre ambas láminas tal como sugieren las flechas. Un  flujo de este tipo se denomina laminar. Como consecuencia de este movimiento, una porción de líquido que en un determinado instante tiene la forma ABCD, al cabo de un cierto tiempo se deformará y se transformará en la porció n ABC’D’. Ahora consideremos el caso en que dos capas de fluido de área S que distancia dy  y entre las cuales existe una diferencia de velocidad dv. La fuerza por unidad de área que hay que aplicar es proporcional al gradiente de velocidad.  F   A Figura 1.3. Capas de fluidos en un radiente de velocidad

  

dv dy

 

(1.5)

La constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de viscosidad η, y se define para un fluido como la razón del esfuerzo de corte a la rapidez de cambio de la deformación de corte:

La viscosidad de un fluido puede medirse a través de un parámetro dependiente de la temperatura llamada coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad:  Coeficiente de viscosidad dinámico, designado como η o μ. En unidades en el Sistema Internacional: [µ] = [Pa·s] = [kg·m -1·s-1] ; otras unidades: 1 Poise (P) = 10 -1 Pa·s =[10-1 kg·s-1·m-1]  Coeficiente de viscosidad cinemática, designado como ν, y que resulta ser igual al cociente del coeficiente de viscosidad dinámica entre la densidad ν = μ/ρ. ( en el SI: [ν] = [m2.s-1] ) La viscosidad puede ser diferente en dos fluidos de la misma masa. La inversa de la viscosidad es la fluidez.

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Viscosidad de algunos Líquidos: Variación de la viscosidad de líquidos en función de la temperatura. La viscosidad es una especificación de primer orden en los aceites lubricantes, ya que condiciona las cualidades requeridas para la lubricación. Este valor depende además de la temperatura ambiente, de forma que cuanto menor resulta ésta, más viscoso es un crudo. La inercia de un líquido se relaciona con su densidad; un líquido más denso tarda más en fluir. 5. Líneas de Corriente es el camino seguido por una partícula del fluido en un flujo estacionario. Dos líneas de corriente no se pueden cruzar ya que la partícula del fluido se podría mover en cualquiera de ellas en el punto de cruce y el flujo ya no seria estacionario. Un conjunto de líneas como se muestra en la Figura 4 se le llama tubo de corriente. Figura 1.4 Representación de un fluido por medio de líneas de corriente

6. Ecuación de Continuidad:

Consideremos un fluido en una tubería de tamaño no uniforme como se muestra en la Figura 5. En un intervalo de tiempo t , el fluido se mueve una distancia  x1  v1t . Si  A1 es el área en la sección transversal en la región, entonces la masa contenida en la región sombreada es:

m1    1 A1 x1   1v1t A1 

(1.5)

Análogamente para el fluido que se encuentra en la parte superior:

m2    2 A2  x2   2 v2 t A2 

Fig. 6.1 Los lazos coronales del plasma solar, contienen a las líneas de campo

(1.6)

magnético “congelados” moviéndose

Sin embargo, como la masa se conserva tenemos que ∆m1=∆m2, entonces:   1 A1v1

  2 A2 v2  

(1.7)

Esta es la expresión simple de la llamada Ecuación de Continuidad, para fluidos hidrostáticos. Y para un fluido incompresible, que es nuestro caso ρ es constante; de modo que:

  A2 v2  

(1.8) Entonces el producto del área por la velocidad será constante  en todos los puntos a lo largo de la tubería.  A1v1

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El caudal (llamado en ocasione s “gasto” en la jerga de Ingeniería ) se define como el producto del área de la sección transversal por la que fluye el fluido, y la velocidad a la que fluye. Hemos visto que la ecuación de continuidad garantiza, que en ausencia de manantiales o sumideros, el caudal es constante para fluidos ideales incompresibles.

7. Empuje Hidrostático.

Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza ocasionada por la presión hacia afuera del fluido, denominada empuje. La observación de esta dio origen al denominado Principio de Arquímedes. Principio de Arquímedes: Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desalojado.

Aun cuando para llegar a esta conclusión Arquímedes se apoyó en la medida y experimentación, su famoso principio puede ser, como veremos luego, reobtenido como una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática. También hay que decir que el Principio es valido para fluidos en general y no solamente para la fase liquida. De acuerdo con el principio de Arquímedes, para que un cuerpo sumergido en un líquido esté en equilibrio, la fuerza de empuje E  y el peso P  han de ser iguales en magnitudes y, además, han de aplicarse en el mismo punto. En tal caso la fuerza resultante es cero ( Fresultante =0) y también lo es el momento M, con lo cual se dan las dos condiciones de equilibrio: La condición E = P equivale de hecho a que las densidades del cuerpo y del líquido sean iguales. En tal caso el equilibrio del cuerpo sumergido es indiferente. Si el cuerpo no es homogéneo, el centro de gravedad no coincide con el centro geométrico, que es el punto en donde puede considerarse aplicada la fuerza de empuje. Ello significa que las fuerzas E y P forman un par que hará girar el cuerpo hasta que ambas estén alineadas. Si un cuerpo sumergido sale a flote es porque el empuje predomina sobre el peso ( E>P). En el equilibrio ambas fuerzas aplicadas sobre puntos diferentes estarán alineadas; tal es el caso de las embarcaciones en aguas tranquilas En la figura 6 se ilustra el principio en el caso de un bloque de aluminio y uno de madera. (1) El peso aparente de un bloque de aluminio sumergido en agua se ve reducido en una cantidad igual al peso del agua desplazada. (2) Si un bloque de madera está completamente sumergido en agua, el empuje es mayor que el peso de la madera (esto se debe a que la madera es menos densa que el agua, por lo que el peso de la madera es menor que el peso del mismo volumen de agua). Por tanto, el bloque asciende y emerge del agua parcialmente —desplazando así menos agua —  hasta que el empuje iguala exactamente el peso del bloque. Figura 1.6. Diagrama de cuerpos sus endidos

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Al ir introduciendo el cuerpo en un fluido se va desalojando un volumen del fluido igual al volumen que se va introduciendo del cuerpo (un volumen sustituye al otro). El líquido reacciona contra esa intromisión empujando al cuerpo con la misma fuerza que utilizaba para mantener al fluido que estaba allí (en el lugar que está ahora esta el cuerpo). Basándonos en el Principio de Arquímedes; en el cual, la fuerza empuje es igual al peso del líquido desalojado. El cuerpo se sumerge hasta que el empuje del líquido iguala el peso que tiene el cuerpo en el vacío. El peso del cuerpo en el vacío es:

 P  mg   Vg  

(1.9) El empuje no depende ni del tamaño del recipiente donde está sumergido el objeto ni de la profundidad a que se encuentre el cuerpo. Peso del líquido desalojado es: (1.10)  P l   ml  g    l V l  g   Y por ende el volumen de líquido desalojado es igual al volumen del cuerpo sumergido. V  s  V l   (1.11) Y como el equilibrio se produce cuando el  peso del cuerpo en el vacío es igual a la Fuerza de Empuje . Se tiene que el volumen desplazado, en función del peso es: V  s

 V l  

 E   g   l 

 

(1.12)

Calculado el Volumen sumergid o ( ecuación 1.12), es fácil determinar la densidad de la pieza ρS. Si el peso es mayor que el empuje máximo (cuando está todo hundido) el cuerpo se desplaza hacia el fondo. El Volumen sumergido V s , en relación con el volumen del líquido donde se sumerge V l, y también mediante las densidades respectivas, permiten calcular la fracción sumergida, mediante la relación:  f S 



V l  V  s



  l    S 

 

(1.13)

Ejemplo 1.1 ¿ Que Fracción del volumen de un Iceberg se encuentra debajo del nivel del mar?  f S 



V l  V  s



  l    S 

Sabiendo que la densidad del mar es: ρl= 1024 kg/m3 y la del iceberg es: ρl= 917 kg/m3, equivalente a la densidad del Hielo. La fracción de volumen sumergida es:  f S 



917 1024

 0,896 

f S 

 89,6%

De un iceberg sobresale del agua sólo una décima parte su volumen total, por lo que estas masas gélidas constituyen un peligro para la navegación, ya que pueden alcanzar dimensiones enormes.

Fig 1.7. Representación de un Iceberg mostrando su parte sumergida.

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Notas Biográficas: Arquímedes

Nace Siracusa, actual Italia, en el 287 a.C. 212 a.C. Matemático griego. Hijo de un astrónomo, quien probablemente le introdujo en las matemáticas, Arquímedes estudió en Alejandría, donde tuvo como maestro a Conón de Samos y entró en contacto con Eratóstenes; a este último dedicó Arquímedes su Método, en el que expuso su genial aplicación de la mecánica a la geometría, en la que «pesaba» imaginariamente áreas y volúmenes desconocidos para determinar su valor. Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno al trabajo científico. Narra la historia que en el siglo III a.c. el rey Hierón II tirano de Siracusa habría entregado a un joyero cierta cantidad de oro para hacer una corona. Corrieron rumores sobre a honestidad del orfebre, quién pudo usar para su provecho parte del oro y reemplazarlo por plata en la confección de la corona. ¿Cómo descubrir el supuesto hurto sin destruir la hermosa diadema llena de finos arabescos ? se preguntaba el Rey Hierón. Asi que decidió encargar del asunto al filósofo Arquímedes. Ya para entonces Arquímedes era bien conocido por su catálogo de figuras geométricas y por el invento de la polea. También su fama debida al descubrimiento de la palanca. Suya fue la frase “Dame un punto de apoyo y moveré el mundo” , la cual

pronunció con motivo de una exhibición en el Puerto de Siracusa, en la cual pudo mover un barco el solo, usando una vara de casi media legua de largo. Además inventó el tornillo de agua, hoy conocido como tornillo de Arquímedes, suerte de manivela con alabes que permitía extraer agua de los pozos con el simple giro de la misma.

Pensaba sobre el particular, el físico Arquímedes, mientras tomaba una ducha en el baño público. Observó que el nivel de agua de la piscina subía mientras introducía su cuerpo en ella, dándose cuenta de la solución al problema de la corona real, salió gritando casi desnudo por las calles de Siracusa “Eureka! Eureka!” (Lo

descubrí). En efecto, a posteriori de la anécdota, él observó que sumergiendo en agua una cantidad de oro, igual a la entregada por el soberano, se derramaba una cierta cantidad de líquido. Repitió el experimento con plata y con la corona. Al observar que la corona sumergida desplazaba más líquido que el oro y menos que la plata probó la deshonestidad del orfebre. No dice nada la historia sobre la suerte de este último. El principio descubierto por Arquímedes, y que hoy lleva su nombre, expresa que la fuerza con la cual un líquido empuja un cuerpo sumergido es igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo. Es decir, Arquímedes notó que existe una fuerza, denominada empuje hidrostático, que obra sobre los cuerpos sumergidos en los fluidos, en dirección contraria al peso de ellos. La idea de Arquímedes está reflejada en una de las proposiciones iniciales de su obra Sobre los cuerpos flotantes, pionera de la hidrostática. Las leyes de la Mecánica de los fluidos y de los cuerpos no avanzaron más en el mediterráneo del siglo III a.c. debido a la desaparición física de Arquímedes y de sus discípulos, cuando los romanos le pasaron el arado a la ciudad. Arquímedes murió en el 212 a.c., cuando tenía 75 años, a manos de un soldado romano. La leyenda cuenta que estaba Arquímedes dibujando en el suelo de su patio, la pizarra de la época, signos y figuras cuando un inconsciente soldado pisoteó los cálculos. La repuesta al reclamo del anciano fue el acero de la espada. Que nos ha llegado por el mosaico romano hallado en Herculano que ilustra este apartado. La fama y admiración por el genio de Arquímedes era tal, que al enterarse de su muerte, el Cónsul Marcelo mandó a ejecutar al soldado insolente y ordenó enterrar al sabio con los miramientos que se tenían para los héroes, previamente Marcelo había ordenado pasar cuchillo a todos los habitantes excepto a Arquímedes. Sorprende que fuera el propio Arquímedes el que durante años le arrebato el triunfo a la flota romana de Marcelo, que sitiaba a la ciudad. Primero con la invención de la catapulta y luego con la discutida leyenda del incendio de las tirrenas romanas mediante enormes espejos cóncavos que concentraban la luz solar, como gigantescas lupas, sobre los barcos. La anécdota aquí narrada del principio de Arquímedes, es referida por el historiador antiguo, Plutarco, quien le atribuyó a Arquímedes una «inteligencia sobrehumana».

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8. Ecuación de Euler Considere un tubo de corriente compuesto por líneas de flujo. (Una línea de flujo es la representación visual de la velocidad de la partícula del fluido, de suerte tal que en cada línea circula una y solo una partícula de fluido).

Tomemos una sección diferencial del tubo de corriente de largo dS y área dA. La presión que actúa sobre este diferencial es siempre perpendicular a la superficie de dicho diferencial. Recordemos que la fuerza está relacionada con la presión por medio de la ecuación:  F   P .dA  

(1.14)

Donde F  es la presión, P es la presión del fluido y dA es el diferencial de área de cada lado del tubo. Puesto que la presión actúa a lo largo del eje  s , usaremos la 2da. Ley de Newton siguiendo esa dirección y obtenemos: ˆ

m

dv dt 

 P .dA  ( P 

 P  dS )dA  .m.g . cos    S 

(1.15)

Si escribimos la masa en función de la densidad m

dv dt 

 P .dA  ( P 

 P  dS )dA    . g .dA.dS . cos    (1.16) S 

Ahora, como v  v( S , t ) , tenemos que dv Fig. 1. 8 Diagrama de Fuerzas sobre un tubo de corrientes

dt 



v S  v v v   .v  . S  t  t  S  t 

(1.17)

Al sustituir este resultado en la ecuación (1.16) y expresar la masa en términos de la densidad    , tenemos:

  v  v   P .dA  P .dA   P dS .dA    g  . .dA.dS . cos     S    S  t  

  .dA.dS  v

De la figura 8, observamos que cos  

dZ  dS 

(1.18)

, con lo cual:

v v   P  dZ   P     .dS    v     dS   . g .dS .   dS   . g .dZ   S  dS  S    S  t  

(1.19)

En esta última ecuación puede simplificarse el factor   .dS , y obtenemos la Ecuación de Euler: v

v v 1  P  dZ     g .  0   S  t     S  dS 

(1.20)

Esta ecuación nos proporciona el movimiento de un fluido ideal e incompresible ( su densidad es constante en todos los elementos del fluido y en el tiempo) y la presión siempre es perpendicular a un elemento de superficie.

13

N. Falcón

Cuando el fluido es estacionario,

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

v  0 , tenemos la Ecuación de Euler para fluidos estacionarios t  dZ  v 1  P  v   g .  0   (1.21) dS  S     S 

Ejemplo 2: Veamos el caso en que v=0, o sea, el fluido esta en reposo (fluido estático). Por ejemplo el fluido podría estar en un recipiente. La ecuación de Euler para fluidos estacionarios se convierte en 1

  

dP  g .dZ   0  

(1.22)

, multiplicando por dS e integramos esta última ecuación obtendremos la Ley de Pascal.

 P 2  P  . . Z 2  Z 1    1     g  Hacemos  P 1  la presión en la superficie del fluido en reposo, y  Z 2  Z 1  h  P  P atm    . g .h  

(1.23) (1.24)

Donde la presión absoluta P es la suma de la presión atmosférica más la presión del fluido. Se suele emplear también la presión manométrica, definida como

 P    . g .h

(1.25)

donde  P  P 2  P 1 . Resulta evidente de (1.24) que la presión sólo depende de la altura del fluido. Si v  0  y dZ   0 , o sea, el fluido es estático y no hay variación en la altura, la ecuación de Euler para fluidos estacionario se convierte simplemente en: 1  P 

   S 

 0 , lo que implica que la presión es constante en esa altura,  P   cte.

Esta última consecuencia de la Ecuación de Euler, da origen a lo que se conoce como: Principio de Pascal: Toda variación de presión en el seno de un fluido en reposo, se transmite de manera igual en todas las direcciones y obra perpendicularmente sobre las paredes del recipien te”. Ejemplo 1.2 Principio de los vasos comunicantes:

Si se tienen dos o más recipientes comunicados y se vierte un líquido en uno de ellos en éste se distribuirá entre ambos de tal modo que, independientemente de sus capacidades, el nivel de líquido en uno y otro recipiente sea el mismo. Éste es el llamado principio de los vasos comunicantes, que es una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática. Si se toman dos puntos A y B situados en el mismo nivel, sus presiones hidrostáticas han de ser las mismas, es decir si

Fig. 1.9 Los Vasos Comunicantes y los acueductos son aplicaciones notables del Principio de Pascal

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N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

P1 = P2 necesariamente las alturas y1 y y2 de las respectivas superficies libres han de ser idénticas.

Si se emplean dos líquidos de diferentes, entonces las alturas serán inversamente proporcionales a las respectivas densidades. A partir de la medida de las alturas, la determinación experimental de la densidad relativa de un líquido respecto de otro y constituye, por tanto, un modo de medir densidades de líquidos no miscibles si la de uno de ellos es conocida. Ejemplo 1.3: La Prensa Hidráulica

El Principio y la Ley de Pascal explican el funcionamiento de una prensa hidráulica. Si la presión es constante, cuando se aplica una fuerza  F 1 sobre un área mayor S 1 , se genera una presión  P 1  que está dada por  P 1



 F 1 S 1

De la misma manera, la presión en el otro lado es:  P 2

Fig. 1.10 La Prensa Hidráulica emplea la Ley de Pascal para levantar enormes pesos con pequeñas fuerzas aplicadas a grandes áreas



 F 2 S 2

Como el líquido está comunicado, y por el principio de Pascal, la presión en ambos lados es la misma, de modo que:  P 1   P 2 

 F 1 S 1



 F 2 S 2

 

(1.26)

como  F 1 S 1  F 2 , si S 1  S 2 obtendremos una fuerza mucho mayor aplicada en el área S 2 S 2

9. Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Euler (1.21) para fluidos estacionarios podemos escribirla como: 1 v.dv  dP  g .dZ   0     

Si la integramos obtenemos

v2 2



 P    

(1.27)

.  cte. Que conlleva a la ecuación de Bernoulli  g  Z 

  

v2 2

 P  g .  Z  .  cte.  

(1.28)

Donde, en modulo, la presión representa la energía por unidad de volumen Esta es una ley de conservación de energía. El primer término de la izquierda es la energía cinética (por unidad de volumen) y el tercer término de la izquierda, la energía potencial (por unidad de volumen). Cada uno de los términos indica las cantidades que pueden convertirse en forma directa para producir energía mecánica. Es importante recordar cuales son las condiciones sobre las que se basa la veracidad de esta relación: el flujo debe ser continuo, incompresible, no viscoso, isotérmico y no se realiza ninguna transferencia de calor ni se efectúa trabajo. 15

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Nótese que si además ocurre que Z=constante, entonces   

v1

2

2

 P 1  g .   Z  .    

 v2 2 v12           P 2  P 1   0 2 2    

v2

2

 P 2  g .   Z  .  

(1.29)

  v 2     P          2  

(1.30)

2

Si la presión P 1 es mayor que P2, entonces la velocidad v 1 es menor que v2. Ley de Bernoulli: En un fluido ideal incomprensible, sin fuentes ni sumidero, al aumentar la velocidad del fluido disminuye la presión

.Ejemplo 1.4 Ilustración de la Ley de Bernoulli Cuando acercamos una hoja de papel a nuestros labios tomándola por las esquinas de un borde y soplamos, la hoja se levanta debido a que el aire por encima tiene mayor velocidad y por lo tanto la presión es menor allí. El aire abajo tiene mayor presión y por lo tanto la hoja sube. Este mismo efecto se ve si se toma una hoja colocada en forma de túnel sobre una mesa y se sopla por dentro, entonces la presión en el interior del túnel disminuirá y la hoja será aplastada. Fig. 1.11 Experimentos para visualizar la Ley de Bernoulli con una hoja de papel.

Fig 1.12. El perfil aerodinámico de un ala, muestra como el fluido recorre mayor longitud encima de ella y menor por debajo, luego la velocidad del fluido es menor bajo el ala que sobre ella y en virtud de la Ley de Bernoulli hay una diferencia de presión positiva que empuja el ala hacia arriba.

Este es el principio de funcionamiento de un avión, la forma del ala es tal que el aire sobre el ala es acelerado creando una disminución de la presión y el aire por debajo del ala es frenado haciendo que la presión aumente, de esta manera el avión tiende a subir. Se crea una fuerza hacia arriba que si es suficientemente fuerte contrarresta la fuerza de gravedad, dejando que el ala quede suspendida en el aire. Ejemplo 1.5: rapidez del agua en el punto de derrame

Figura 1.13. Derrame de un tan ue a través de un orificio.

Un tanque que contiene un liquido de densidad ρ  tiene un orificio pequeño a un lado a una distancia y1 del fondo. El aire por encima del liquido se mantiene a una presión  P. Determínese la rapidez con la cual sale el liquido por el orificio cuando el nivel del liquido esta a una distancia h  arriba del orificio. Para este estudio, según la figura 11, P 1=P2, a su vez se debe tomar en cuenta que la sección transversal del envase es muy grande en comparación al orificio de salida del agua, por lo que v2 es despreciable en comparación aV 1, de modo que la ecuación 1.29, queda de la forma siguiente:

16

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 P a

1



2

  v1

2

    gy1   P    gy 2

 

(1.31)

Despejando, se obtiene que: v1



2( P  P a )

  

 2 g ( y 2  y1 )

  (1.32) Este resultado permite concluir que la velocidad en el punto es grande por lo que la presión disminuye y el líquido sale. Suponiendo que las Presiones son iguales, es decir, que el envase este destapado:

v1



2 gh

 

(1.33)

donde h=y2-y1 La ecuación 1.33, es conocida como la Ley de Torricelli,. Cuyo significado físico es que la velocidad de la emisión para un tanque abierto es igual a la adquirida por un cuerpo que cae libremente a través de una distancia vertical h. Ejemplo: Tubo de Venturi: Como implicación directa de esta continuidad del caudal y la ecuación de Bernoulli tenemos un tubo de Venturi. Un tubo de Venturi es una cavidad de sección S 1 por la que fluye un fluido y que en una parte se estrecha, teniendo ahora una sección S2V1. De la ecuación 1.29 tenemos:  P 1 

1 2

  v1

2

  P 2 

1

 v 2

2

2

  (1.34) Y a su vez se considera la ecuación de continuidad (1.8) :  A1 v1   A2 v 2

Fi . 1.14. Tubo de Venturi.

 v1 

 A1  A2

v2

Sustituyendo en (1.34), se obtiene que: v2



2 A1

2

 P 1  P 2

 A1 2   (1.35) El hecho de obtener soluciones positivas y negativas, con respecto a las velocidades; indica que el movimiento de las partículas es igual de derecha a izquierda, que de izquierda a derecha Si el tubo es horizontal entonces h 1=h2, y con la condición anterior de las velocidades vemos que, necesariamente P1>P2. Es decir, un estrechamiento en un tubo horizontal implica que la presión estática del líquido disminuye en el estrechamiento.   

 A2

2

10. La Turbulencia

La turbulencia o flujo turbulento es un régimen de flujo caracterizado por baja difusión de momento, alta convección y cambios espaciotemporales rápidos de presión y velocidad. Los flujos no turbulentos son también llamados flujos laminares.

Fi ura 1.15 . Ti os de fluidos.

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Un flujo se puede caracterizar como laminar o turbulento observando el orden de magnitud del número de Reynolds. Siendo el número de Reynolds   un número adimensional, su ecuación es:  R N 



  vd   

 

(1.36)

Si el número de Reynolds es menor de 2000 el flujo será laminar y si es mayor de 3000 el flujo será turbulento, si se encuentra en medio se conoce como flujo transicional y su comportamiento no puede ser modelado.

Fig. 1.16. Chorro turbulento de agua

11. Experimentos demostrativos de Cátedra Se presenta un conjunto de experimentos demostrativos, en los cuales se verificaron conceptos básicos de hidrostática. En el primer experimento del vaso invertido se emplea para comprobar la interacción de la presión atmosférica con los cuerpos. En el segundo experimento se usa para observar como el principio de Pascal puede ocasionar cambios de volumen al haber variaciones en la presión de un gas confinado (aire). En el tercer experimento se construyó un Ludión a través del cual se observaron consecuencias directas del principio de Pascal y del principio de Arquímedes, y en los dos últimos experimento se ejemplifica el concepto de flotabilidad y empuje hidrostático en los peces. Experimento 1. Presión atmosférica y el vaso invertido que no se derrama. Para este experimento Se necesita de una botella vidrio con una boca preferiblemente ancha. Se llena de agua hasta la mitad preferiblemente, luego se coloca una hoja de papel de manera que cubra la abertura de la botella. Se coloca la mano sobre el papel para sostenerlo y se voltea la botella de manera que quede boca abajo.

Se puede estudiar lo sucedido utilizando la ecuación de Euler para fluidos estacionarios v Fig. 1.17 Se observa como el papel

queda adherido a la boca del tubo sin dejar caer el agua.

v 1  P   Z    g   0   S     S  S 

(1.36)

Como además en este caso el fluido está en reposo, es decir, estático, v=0, la Ec. (1.36) se transforma en 1

  

dP  gdZ   0  

(1.37)

Multiplicando por dS e integrando esta última ecuación se obtiene la ley de Pascal  P 2  P   g ( Z 2 1    

 Z 1 )  0  

(1.38)

Donde  Z 2  Z 1  h , que es la longitud de la columna de agua, P2, es la presión que ejerce el aire atrapado dentro de la botella y P1 la presión atmosférica. Si además Δ P = P2 – P1, entonces

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

 P   

m agua g   A

 

(1.39)

Es decir que para que el agua no caiga la diferencia entre las presiones debe ser igual al peso del agua entre el área de la superficie. Si se introducen los valores correspondientes al experimento. magua = 0,25 Kg, g = 9,8 m/s2 y  A = π. ( 2,2x10 -2 m)2, se obtiene:  P  1,61kPa Se sabe que la presión atmosférica depende, entre muchos factores, de la altura. La presión atmosférica, a nivel del mar es, Po= 101 kPa. Sin embargo para las alturas consideradas en el experimento la variación de la presión por las alturas son muy pequeñas, es decir,  P  0 . La diferencia de presión tiene o tra razón, y es que, al voltear el vaso, la hoja de papel, se “comba”, o dobla de manera imperceptible producto del peso del agua. Como el volumen aumenta, la presión dentro del vaso disminuye produciendo la variación de presión que se observa en (1.39). Igualmente cabe mencionar que el papel se adhiere al borde del vaso producto de la tensión superficial de la película de agua. Por esta razón para despegar el papel solo hay que aplicar una pequeña fuerza superior a la fuerza de la tensión superficial. Una variación del experimento es repetirlo pero con un recipiente tapado por la parte de arriba, intercambiando el envase por una botella plástica, a la que se ha removido el fondo, (figura 1.18), de manera que cuando se quite la tapa, la presión dentro del recipiente P2, sea aproximadamente igual a P1 y por lo tanto la variación de presión se aproxime a cero  P  0 , de tal manera que no se pueda compensar el peso del agua y por lo tanto esta caiga. Fig. 1.18 Variación del experimento usando una botella

de tapa enroscable y sin fondo., observa como el papel queda adherido a la boca del tubo sin dejar caer el agua, al aflojar la tapa, el agua se vacia..

Experimento 2. La Ley de Pascal y la Vela Encendida.

Se puede visualizar las consecuencias del principio de Pascal a través del siguiente experimento. Se coloca una vela encendida en un plato con agua. Luego se tapa la vela con un frasco, como puede observar en la figura 1.19. Si v≈0 y dZ≈0, es decir, el fluido es estático y no hay variación en la altura, la ecuación de Eu ler para fluidos estacionarios (Ec. 1.21) se convierte en

1  P 

   S 

0

Lo que implica que la presión es constante en esa altura, P=cte. Esta consecuencia de la ecuación de Euler, da origen a lo que se conoce como Principio de Pascal: Toda variación de presión en el seno de un fluido en reposo, se transmite de manera igual en todas las direcciones y obra perpendicularmente sobre las paredes del recipiente.

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Al pasar una determinado cantidad de tiempo la vela se apagará y el agua entrará en el frasco. Lo que ocurre es que la combustión de la vela es una reacción química que consume el oxígeno del aire produciendo CO2 y H2O, recordemos que el aire está compuesto por aproximadamente por 20% de oxígeno, y parte de este se transforma en luz y calor. Por lo tanto el número de moles dentro del frasco disminuye, igualmente producto de la combustión la temperatura dentro del frasco aumenta, la ecuación de los gases ideales  PV   nRT   relaciona la presión P y el volumen V , con el número de moles n. la temperatura T  y la constante universal de los gases R. Cuando la temperatura se estabiliza, la presión dentro de la botella disminuye. Se sabe que el aire fuera de la botella ejerce constantemente una presión sobre el agua, que por la ley de Pascal se transmite hasta el interior de la botella. Entonces, como las presiones del agua y el aire son diferentes, el agua asciende hasta que hay un equilibrio entre las presiones, lo que a su vez produce una disminución del el volumen de aire dentro de la botella. En la figura 4 es posible apreciar la variación en el nivel de agua dentro del envase de vidrio.

Fig.1.19 Un recipiente con agua en cuyo centro se coloca una vela o cirio encendido. Al tapar la vela con un envase, el liquido penetra por completo dentro del envase, sobrepasando el nivel original del liquido.

Experimento 3. El Ludión y los Principios de Pascal y Arquímedes.

Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza ocasionada por la presión hacia fuera del fluido, denominada empuje E. La observación de este hecho dio origen al denominado Principio de Arquímedes Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen del líquido desplazado. La construcción de un ludión o “diablillo de Descartes” en honor a su invent or es muy sencilla. Se

necesita de un tubo de ensayo (un gotero o una pajilla), el cual para experimentar el fenómeno puede llenarse de agua, de tal manera que aumente su peso ó como se realizó en este experimento enrollarle una pequeña cantidad de alambre. El tubo se lanza con la boca hacia abajo y sin tapa en una botella llena casi por completo de agua la cual debe taparse. Al lanzar el tubo, este debe flotar (figura 5) se debe observar entonces una pequeña columna de agua dentro del tubo.

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Fig. 1.20 El Ludión o diablillo de Descartes usado para ilustrar el Principio de Arquímedes

Mientras el tubo flota el peso del cuerpo es igual al empuje, es decir:  E    P  o equivalentemente   0V o   cV c   .Donde ρc es la densidad del cuerpo, y  V c su volumen. Entonces si se aprieta el tubo con las manos se puede observar como la columna de aire dentro del tubo disminuye y el tubo empieza a descender (figura 6), y cuando se deja de hacer el tubo sube nuevamente. Esto sucede debido a que cuando se ejerce una fuerza sobre la botella se genera una presión que por el principio de Pascal se transmite por todo el fluido. Entonces como resultado de esta presión la columna de aire dentro del tubo y el aire que se encuentra afuera se comprimen. Cuando la columna de aire dentro del tubo se comprime, el volumen de agua desplazado V 0 también disminuye reduciendo por tanto el empuje, lo que a su vez ocasiona que se produzca una aceleración en dirección del peso. Cuando se deja de apretar la botella el aire recupera su volumen y el empuje su magnitud inicial. Experimento 4 Flotabilidad de los peces.

Los peces, que necesitan aumentar su flotabilidad, lo han logran mediante el desarrollo de un órgano hidrostático, la vejiga natatoria. La vejiga natatoria es un saco de pared membranosa que se desarrolla a partir del tubo digestivo. En ella se acumula cierta cantidad de gases - oxígeno y nitrógeno - que compensan la tendencia a hundirse. El tamaño de la vejiga natatoria es variable en los peces. La norma general nos dice que en las especies marinas puede llegar a representar el 5% del peso del animal, mientras que en los de aguas continentales puede llegar hasta el 7%. Esto se debe a la composición química del agua (densidad). El agua salada es más densa que el agua dulce, de modo que las especies que viven en el mar no necesitan de un órg ano de flotación “tan grande” como las de agua dulce. Su funcionamiento, es decir, los procesos fisiológicos para el mantenimiento de un determinado volumen de gas en el interior de la vejiga natatoria con sus paredes colapsables supone dos problemas básicos: (i)Segregar gas activamente en contra de un gradiente de presión parcial muy elevado, y (ii) Controlar rápida y eficazmente la presión interna de los gases para ajustar los cambios de densidad del animal asociados a una variación de la profundidad. Los peces son más densos que el agua, pero la mayoría posee en su cuerpo una pequeña bolsa que pueden inflar o vaciar. Si inflan su bolsa, suben hasta la superficie del agua; si la vacían, se hunden hasta el fondo o a la profundidad que deseen. Esta bolsa llamada vejiga natatoria permite al pez igualar su densidad con la del agua que le rodea.

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Pensamos que un pez se hunde por su peso, pero en realidad el peso es siempre el mismo, lo que consigue es variar su densidad cambiando su volumen, gracias a hinchar (aumenta de volumen) o deshinchar (disminuye de volumen) su vejiga natatoria actúa como órgano de flotación del pez. Se modela el fenómeno, con un pez artificial al que le incluyeron un globo (simulando la vejiga natatoria) con un tubo flexible en la boquilla, para poder inflarlo con una jeringa (el aire simula los gases que el pez extrae de su sangre), comprobamos cómo al soplar a través del tubo el pez asciende y cómo al desinflar el globo el pez se hunde. Fig. 1.21 Al soplar con la jeringa a través del tubo, llenamos de aire el globo que aumenta de volumen y viceversa. (El globo simula la vejiga natatoria). El aire que introducimos al soplar simula los gases que el pez extrae de su sangre para llenar esta bolsa.

El pez experimental no siempre flota en la superficie del agua, este puede quedarse a diferentes alturas según llene total o parcialmente su vejiga (simulado en el prototipo con una jeringa) como se observa en la figura 1.22. Figura 1.22. Figura 1.22. experimental

Simulación Simulación de la experimental de los de peces. la flotabilidad flotabilidad de los peces. Prototipo construido con un Prototipo construido con un globo, bloques de sterofoam globo, bloques sterofoam (anime) y tubos de latex (anime) y tubos de latex

Experimento 5: Flotabilidad y Densidad. Fig. 1.23 Es fácil ver que el empuje hidrostático aumenta con la densidad del fluido, para ello necesitaremos un frasco o envase de vidrio, sal de cocina y un huevo. Notamos como el huevo se hunde en el envase con agua, pero que flota si se añade la sal al envase.

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Fig. 1.24 Un ejemplo donde la tensión superficial permite

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Un aspecto, en ocasiones relacionado erróneamente a la flotabilidad, es la tensión superficial de los líquidos. La tensión superficial es responsable de la resistencia que un líquido presenta a la penetración de su superficie. Al interior de un fluido cada molécula esta rodeada de otras moléculas que ejercen atracciones simétricas, pero en la superficie, una molécula se encuentra sólo parcialmente rodeada por otras moléculas del fluido, y en consecuencia es atraída hacia adentro del líquido. Esta fuerza de atracción tiende a arrastrar a las moléculas de la superficie hacia el interior del líquido (tensión superficial), y al hacerlo el líquido se comporta como si estuviera rodeado por una membrana invisible. La tensión superficial también es responsable de la flotación de objetos sólidos por encima de la superficie de los líquidos, diferente a la flotación de cuerpos parcialmente sumergido.

la “flotación” por encima de

la superficie es el caso de los insectos (Ejm. Hydrometra stagnorum) sobre el agua.

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Clase II. FLUIDOS IDEALES:

Ecuaciones de Continuidad, de Euler y de Bernoulli En esta clase volveremos a deducir las tres ecuaciones fundamentales de la Dinámica de los Fluidos, ya estudiadas en la clase anterior, las ecuaciones de Continuidad, de Euler y de Bernoulli, pero desde un formalismo más riguroso. La repetición de algunos conceptos y expresiones tiene la finalidad didáctica de reforzar el aprendizaje de estos. Se ilustran variadas situaciones de aplicabilidad en áreas muy diversas de la física y de la ingeniería. Un fluido es considerado como un medio continuo (a escala macroscópica), debido a la suposición de que cualquier elemento de volumen pequeño del fluido es sobradamente grande como para almacenar un número muy elevado de moléculas. Consideraremos primeramente  fluidos ideales ; es decir que verifican las siguientes propiedades ( i) son no viscosos  en el sentido de que se puede despreciar la perdida de energía por fricción entre las diversas partes del mismo; ( ii) son estacionarios, de modo que la velocidad en un punto del mismo permanece constante en el tiempo; ( iii) son incomprensibles, en el sentido que su densidad no varia en el tiempo y (iv) son  irrotacionales  en el sentido de ausencia de turbulencias, es decir ninguna parte del mismo presenta tiene momento angular respecto a otra parte del fluido.

2.1 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Consideremos un tubo de corriente por el que circula un fluido estacionario (lo cual implica, una velocidad constante del mismo) con un volumen Vo  del espacio (ilustrado en la Figura 1) que contiene  partículas que viajan a la velocidad promedio v . La masa del fluido contenida en dicho volumen, está dada por la relación: m   dV 



Siendo     la densidad del fluido. De esta manera, la masa que circula por unidad de tiempo a través de un elemento dA  de la superficie que limita a este volumen, está dada por la expresión: dm



   vd  A  



dt   d  A   igual

Fi ura 2.1. Tubo de corriente.

(2.1)

Siendo el módulo del vector al área del elemento superficial, y su dirección coincide con la normal a la misma (ilustrado en la Figura 2.2). A su vez, la disminución de la masa del fluido en el volumen Vo por unidad de tiempo (causada por el flujo emergente) se expresa mediante: m    dV     (2.2) t  t  Igualando (2.1) y (2.2), se obtiene:     dV     vd  A    (2.3) t  Al aplicar el teorema de la divergencia, la integral de superficie puede transformarse en una integral de volumen y en consecuencia:      dV   .(   v )dV   0   (2.4) t 











Como el elemento de volumen es genérico, la relación se cumple siempre que:

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N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

       .(   v )  0   t  

(2.5)



Donde además  j    v   se denomina flujo másico. Su dirección, es la dirección del movimiento del fluido mientras que su valor o módulo es igual a la masa del fluido que circula por unidad de tiempo a través de la unidad de área perpendicular a la velocidad. Esta es la Ecuación de Continuidad que expresa la conservación del flujo màsico de un fluido monocomponente, o equivalentemente:             . v  v .     0   t 

(2.6)

Ejemplo 2.1 Cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeño chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas. La ecuación de continuidad nos proporciona la forma de la superficie del chorrito de agua que cae del grifo, tal como apreciamos en la figura. 

La sección trasversal del chorro de agua cuando sale del grifo es S0, y la velocidad del agua es v0. Debido a la acción de la gravedad la velocidad v del agua se incrementa. A una distancia h del grifo la velocidad es 2 v 2  v0  2 gh   (2.7) Aplicando la ecuación de continuidad (2.5), con ρ constante (fluido incompresible), tenemos que 



 .(   v )  0  s0v0  sv   2   r 0 v0   r 2 v  

Fig. 2.3 Adelgazamiento de un chorro de agua

(2.8) (2.9)

Despejamos el radio r  del hilo de agua en función de la distancia h  al grifo y sustituyendo la velocidad por medio de Ec. 2.7, tenemos r  r 0 4

v0 v0

2

2

(2.10)

 2 gh

Numéricamente, conocido que el diámetro en el punto 2 (orificio de salida) es d 2 = ( 8,60 ± 0,05 )mm  y además que se utilizan 2 litros de agua para llenar el recipiente y el   tiempo de vaciado es t exp = ( 53    ,76 ± 0,01 )s  ¿Cual es la rapidez de salida del flujo?. Solución: Utilizando la ecuación de continuidad  A v  = A v  , la cual expresa el cambio del volumen del fluido en el tiempo, por consiguiente la rapidez en el punto 2 se puede escribir 1

como

v 2=

V   A2 t 

1

2  2

  siendo t y V el tiempo de vaciado y el volumen del fluido respectivamente.

Sustituyendo los datos obtenemos: v2 =

2 10 3 m3

( 53 ,76 s) ( 5,80 10 5 m 2  )

= 0,641m / s

26

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

DEMOSTRACCIÓN EXPERIMENTAL DE LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Utilizando el montaje de la figura 1, mediremos la rapidez v 2 y v 3 del fluido en los puntos 2 y 3 respectivamente, así como también el diámetro del fluido en dichos puntos. Como no hay dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pudiera agregar o eliminar flujo al sistema entonces el caudal total del fluido es constante. Por tratarse de agua, en condición ambiente, se satisface la condición de fluido incomprensible (densidad màsica constante). De la conservación de la energía mecánica en los puntos 1 y 2, tenemos: mgh1 + 0 =

1 2

m(v 2  ) 2 + mgh2  v 2 =

Sustituyendo v2 =

Figura 1. Montaje experimental.

los

datos,

2g(h1

 h2 )

obtenemos:

2

2 9.80m / s ( 30  28 ) 10 m = 0,63m / s 2

que es la rapidez a la altura h2 . El diámetro (  d 2 ) es aproximadamente d 2 = ( 8,60   ± 0,05 )mm , luego se calcula el área en ese punto :  A2 = 5,80 10 5 m 2 . Con el mismo procedimiento calculamos la rapidez en el punto 3 así como su área. Los resultados obtenidos fueron v 3= 2,17m/ s y  A3 = 1,77  10 5 m 2 . La siguiente tabla muestra los valores obtenidos:

Punto 2 3

Rapidez (m/s) v 2= 0,63

Diámetro (mm)

Área 5 ( 10  m2)

flujo 5 ( 10  m3 /s)

d 2 = ( 8,60   ± 0,05 )

 A2  = 5,80

v 2 A2 = 3,65

v 3= 2,17

d 3 = ( 4,75   ± 0,05 )

 A3  = 1,77

v3 A3 = 3,84

Figura2. Fluido con trayectoria laminar.

Figura3. Montaje experimental

27

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

En general, si el fluido es incomprensible:     0 , la ecuación de continuidad, establece que t 

 A1 v1 =  A2 v 2  

(2.11)

El producto del área y de la rapidez del fluido en todos los puntos a lo largo del tubo de c orriente, es una constante para un fluido incompresible.

Figura 2.4 De acuerdo a la ecuación de continuidad: Se observa que al obstruir parcialmente el orificio de salida en una manguera, el chorro tiene un alcance mayor. Esto se debe al aumento de velocidad de líquido por la disminución del área transversal de la man uera.

2.2 ECUACIÓN DE EULER

Consideremos un cierto volumen del fluido confinado en una línea de corriente. La fuerza total del sistema es:    F     pd  A



(2.12) Transformando esta expresión a una integral de volumen tenemos: 



  p d  A  V  P dV  Entonces la fuerza nos quedaría: 

Figura 2.3. Sección diferencial del tubo de corriente

 F   

(2.13)



V  P dV  (2.14)

Consideremos la fuerza por unidad de volumen del fluido: 

  

La derivada

 d  v dt 

d v dt 



   P  

(2.15)

  que aparece aquí designa, no la variación respecto al tiempo de la velocidad del

fluido en un punto fijo del espacio, sino la variación respecto al tiempo de la velocidad de una partícula fluida determinada cuando se mueve en el espacio. Esta es llamada la derivada material o total. Esta derivada ha de expresarse en función de magnitudes que se refiere a puntos fijos en el espacio. Existen dos métodos fundamentales para describir el movimiento de un fluido cualquiera, ambos desarrollados por Euler: el método o descripción de Euler y el método o descripción de Lagrange. En 28

N. Falcón

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el método de Lagrange, el objetivo de estudio es el fluido en movimiento, más precisamente, las partículas materiales que constituyen uniformemente cualquier elemento del volumen del fluido en movimiento. Se realiza en función del movimiento de las partículas que forman el fluido. Necesita Identificar dichas partículas utilizando coordenadas de numeración. El método de Euler estudia las variaciones temporales de diferentes variables dinámicas en un punto fijo en el espacio. Consiste en el estudio del movimiento según las velocidades de los puntos que ocupa el fluido sin importar qué partículas están en cada instante en cada punto. No reconoce a las partículas individualmente. Las relaciones entre las derivadas en la descripción Euleriana y Lagrangeana, pueden ser obtenidas a través de la regla de la cadena: 









 v dx  v dy  v dz   v dt         x dt   y dt   z  dt  t  dt  dt 

d v

Donde



 v dt   es t  dt 

(2.16)

la variación durante un intervalo diferencial de tiempo de la velocidad en un punto 





fijo del espacio y  v dx   v dy   v dz  es la diferencia entre las velocidades (en el mismo instante)  x dt   y dt   z  dt  en dos puntos separados dr , siendo dr   la distancia recorrida por la partícula de fluido durante el tiempo dt  . En general la expresión anterior Ec 2.16 nos queda como: 



    d v  v             v .  v    v .    dt  t    dt  t        d 

(2.17)

El lado izquierdo de esta relación es denominada derivación convectiva, o por algunos autores también llamada derivada material, y expresa que la variación temporal de una magnitud esta afectada por el campo de velocidades del sistema en movimiento. Sustituyendo Ec. 2.17 en la Ec. (2.15) 

1  v      .   v   v    P   t        

(2.18)

Si el fluido está en el interior de un campo gravitatorio sobre cualquier volumen unidad actúa una fuerza adicional    g , siendo  g    la aceleración debida a la gravedad. Esta fuerza debe sumarse al segundo miembro de la ecuación (2.15):   

 d v

dt 





   P     g  

(2.19)

Entonces la Ec. 2.18 luce como: 

 1  v        v .   v    P  g    t        

(2.20)

Esta es la ecuación de Euler del movimiento del fluido. Fue obtenida por Leonnard Euler en 1775 y es una de las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos.

29

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Ejemplo 2.2: Fluido estacionario (Hidrostático) bajo la acción de la gravedad En el caso de un fluido estacionario υ=0 dentro de un campo gravitatorio uniforme, la ecuación de Euler ( Ec. 2.20) se reduce a: 

 P     g  

(2.21)

Esta ecuación describe el equilibrio mecánico del fluido.  Si no existe ninguna fuerza externa, la ecuación de equilibrio es simplemente  P  0 , es decir, la presión es constante en todos los puntos del fluido. Si integramos la Ec. 2.21, tenemos que:

 P      g  dP     gdz   z 

 P      gz  P 0  

(2.22)

Donde la constante de integración se obtuvo de las condiciones iniciales, y representa la presión a la cota z=0. La ecuación (2.22) es conocida como La Ley de Pascal. 

Ejemplo 2.3: Fluido Estacionario sometido a Rotación Uniforme En este caso, el fluido está sometido a la acción de la fuerza de gravedad y una velocidad angular que le da una rotación uniforme. Por lo tanto el sistema de ecuaciones resultante de (2.20) es:

 P     2 r  r 

y

 P      g   z 

  (2.23) La presión diferencial será: dP 

 P   P  dr  dz    2 rdr     gdz  r   z 

  (2.24) Que es integrada, luego de evaluar las condiciones iniciales como:  P  1 2  2 r 2    g ( z  z 0 )   (2.25)

Figura 2.4 Fluido estacionario con rotación uniforme ω

La condición P=0 expresa la ecuación de la superficie, así de la Ec. 2.25 obtenemos:  z 

1

  2

2

 g 

r 2  z 0  

(2.26)

Que corresponde a una superficie parabólica, independiente de la densidad del fluido. 2.3 Otras expresiones de la Ecuación de Euler Al deducir las ecuaciones del movimiento no hemos tenido en cuenta los procesos de disipación de energía que pueden producirse en un fluido en movimiento como consecuencia de la fricción o rozamiento interno (viscosidad) del fluido y el intercambio térmico entre las diferentes partes del mismo. Designando S    la entropía por unidad de masa, podemos expresar la condición correspondiente el movimiento adiabático como: dS  dt 

0 

(2.27)

Donde la derivada total respecto al tiempo, designa la variación respecto al tiempo de la entropía para una partícula fluida determinada cuando esta se mueve. Dicha condición puede escribirse también como:

30

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

S      (2.28)   v .  S   0   t      Esta es la ecuación que de modo general describe el movimiento adiabático de un fluido ideal. También podemos escribir la ecuación de continuidad correspondiente a la entropía:         S    .  S  v   0   t     

(2.29)



Donde el producto   S  v es la “densidad de flujo de entropía”. . Cuando S   ctte , se dice que presenta un movimiento isoentrópico. Podemos utilizar el hecho de que el movimiento sea isoentrópico para poner la ecuación de Euler (2.20) en una forma ligeramente distinta; para ello emplearemos la relación termodinámica de la entalpía: dw  TdS  Vdp   (2.30) Donde

w   es

la entalpía por unidad de masa del fluido.

temperatura. Puesto que

V  

1   

  es el volumen específico y

T 

la

S   es constante, tenemos:

dw  Vdp 

dp

  

 

(2.31)

Por lo tanto: 

w

   p   

 

(2.32)

Luego, reemplazando en Ec. 2.20, podemos rescribirla como: 

  v        v .  v    w   t     

(2.33)

Es interesante señalar otra forma que puede adquirir la ecuación de Euler, en la cual interviene solo la velocidad. Utilizando la siguiente propiedad:  v 2           (2.34)    v   v   v .   v   2         v 2              v .   v     v   v       2   Sustituyendo en (2.33):    v   v 2       (2.35)     v   v    w   t    2   Si tomamos el rotacional de ambos miembros de la Ec 2.35, anulamos el lado derecho y obtenemos la Ecuación de Euler en el que interviene solo la velocidad:              v     v   v    (2.36) t        

31

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Ejemplo 2. 4: Modelo estelar simple En el caso de masas grandes de líquido o para un gas, la densidad     no se puede considerar constante, esto se aplica especialmente en los gases, como ejemplo la atmósfera. Suponemos que le fluido no solamente está en equilibrio mecánico, sino también en equilibrio térmico. Entonces la temperatura es la misma en todos sus puntos y la ecuación (2.36) puede integrarse utilizando la relación termodinámica: d   SdT  Vdp   (2.37) Mejor conocido como potencial de Gibbs. Donde   es el potencial termodinámico por unidad de masa. Considérese también el Potencial termodinámico que induce un cambio de composición o de masa de un componente, en su función parcial de Gibbs. (2.38) dG  SdT  Vdp   dN   .Donde    es el potencial químico y N es el número de partículas A temperatura constante la Ec. 2.36 puede escribirse en términos del volumen específico V como: 

d   Vdp  

1

  



dp    



1

  

Como:    g   y asumiendo el eje z como radial, el vector  z   negativo, por lo tanto:    g      gz   



 . p     g   estará

(2.39) dirigido a lo largo del eje (2.40)

Así, la ecuación de Euler, demanda que: 

   gz   0   (2.41) De aquí resulta que en todo el fluido:   gz  Constante   (2.42)  gz  es la energía potencial del fluido en el campo gravitatorio, recordando que antes se dijo que   es le potencial termodinámico por unidad de masa. Otra consecuencia de la ecuación (2.20), si un fluido (como la atmósfera) está en equilibrio mecánico dentro de un campo gravitatorio, la presión en el puede ser una función solo de la altura  z  (puesto que, si la presión fuese diferente en los distintos puntos con la misma altitud, no estaría en equilibrio). Así resulta a partir de (2.21) que la densidad es:     

1 dp  g  dz 

 

(2.43)

Es también una función de  z . La presión y la densidad juntas determinan la temperatura, pues es, por tanto, de nueva una función de  z .Así pues, en el equilibrio mecánico dentro de un campo gravitatorio, las distribuciones de presión, densidad y temperatura dependen solo de la altura.

Figura 2.5 Nebulosa planetaria Abell 39. Los gases verifican la expresión 2.45.

Finalmente, deduciremos la ecuación de equilibrio para una masa muy grande de fluido, cuyas partes separadas se mantienen reunidas por la atracción gravitatoria. Sea  el potencial gravitatorio newtoniano del campo debido al fluido, este satisface la ecuación diferencial:  2   4 Gp (2.44) Donde G   es la constante de la gravitación. La aceleración gravitatoria es    y la fuerza sobre una masa     es     . La condición del equilibrio es por lo tanto: 32

N. Falcón

1

  

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte





 p      

      1     1         .  p     .      .  p     2                     

(2.45)

Sustituyo la expresión del potencial en la última expresión, obtenemos que:    1    (2.46)  .   p   4 G         Que prescribe el comportamiento de una esfera gaseoso para un modelo estelar simple (con rotación despreciable). Si el cuerpo no está girando, será esférico cuando esté en equilibrio y las distribuciones de densidad y de presión tendrán simetría esférica, como se deduce al escribir la Ec. 2.46 en coordenadas esféricas: 2   1 d     r  dp   4 G   (2.47) r 2 dr     dr   Debemos aclarar que el estudio actual se refiere solo al equilibrio mecánico, la ecuación (2.47) no supone la existencia de un equilibrio térmico completo. 2.4 ECUACIÓN DE BERNOULLI

Retomemos la Ecuación de Euler dependiente de la entalpía por unidad de masa ( w) (Ec. 2.35):    v   v 2      (2.48)     v   v    w    2 t      Si consideramos que el fluido es estacionario, es decir que la velocidad es constante en el tiempo en cada punto ocupado por el fluido, la Ec 2.35, se reduce a:   v 2         v  v    w     2   

(2.49)

Ahora consideremos las líneas de corriente, líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales del fluido Estas líneas tienen la propiedad de que la tangente a ellas en cualquier punto indica la dirección de la velocidad en dicho punto; quedan determinadas, las relaciones diferenciales siguientes:

dl

Figura 2.6. Tubo de corriente, obsérvese que la velocidad es tangente a las líneas de corriente en cada punto

dx

  x



dy

  y



dz 

  z 

 

(2.50)

Por otra parte obsérvese la siguiente propiedad de las líneas de corriente:

. f . r  r   f l  r   

ˆ

ˆ

ˆ

(2.51)

Que es fácilmente verificable si observamos que:

(. f ).r      f  x x   f  y  y   f  z  z   x  y  z    f l    

ˆ

ˆ

 

ˆ

ˆ

 

ˆ

ˆ

ˆ

(2.52)

33

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Con el resultado anterior y considerando, en el segundo término de la Ec. 2.49, que el vector v    v es un vector ortogonal a “l” y por lo tanto la proyección en la dirección de la línea de corriente es nula ; nos quedaría la ecuación (2.35) como:

  1 2    1       w   0    2  w   constante   l  2    2  

(2.53)

Multiplicando por la densidad la última igualdad y usando la definición de entalpía específica (Ec. 2.30) tenemos: 1

p   2      constante    2

(2.54)

Considerando que el fluido tiene lugar en un campo gravitacional, la aceleración g   debida a la gravedad sumarse al segundo miembro de la ecuación (2.54), multiplicar por la densidad y reemplazar como antes, la definición de entalpía especifica, en cuyo caso obtenemos:    p   1 2 (2.55)           gz   0      l  2   Donde se ha empleado el hecho de que la proyección de g sobre l, es -g dz/dl; finalmente obtenemos 1 2

  2

  p    gz  constante  

(2.56)

Que es la conocida Ecuación de Bernoulli y expresa la conservación de energía por unidad de volumen de un fluido que se encuentre bajo un campo gravitatorio. Ley de Bernoulli la energía mecánica de un flujo incompresible y no viscoso es constante a lo largo de una línea de corriente. 

Ejemplo 2.5: Efecto Sifón. Un sifón es un tubo continuo que permite trasvasijar líquidos, es decir, que un líquido pase de un depósito a otro, a través de un punto intermedio que sea más alto que el depósito con líquido. Es necesario que el extremo final del tubo sea más bajo que la superficie líquida en el depósito lleno. Básicamente es un tubo doblado que penetra una de sus extremidades (A) en el primer recipiente, quedando la otra libre o sumergida en el segundo recipiente (ver figura 2.7). Para que el aparato funcione es preciso cebarla, operación que consiste en llenarla del líquido en cuestión. Al introducir entonces una de las ramas (A), en el vaso más alto, y abrir los dos extremos (S), el líquido sale por B, siempre que esta extremidad esté más baja que el nivel del líquido en el recipiente superior. Figura 2.7: Efecto sifón

34

N. Falcón



Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Visualización de la ecuación de Bernoulli Se dispone de dos banderines colocados paralelamente, al soplar en el espacio comprendido entre ellos se observa que se atraen.

Figura 2.8: Ejemplo de aplicación de la Ley de Bernoulli



Ejemplo 2.6 Obstrucción cardiaca de una arteria o una vena.

En la medicina es bastante común que las arterias o las venas se obstruyan; la respuesta más común a este fenómeno: al chocar con la obstrucción, la sangre se va a frenar y va a empezar a presionar hacia fuera porque quiere pasar. Por lo tanto la arteria se va a dilatar y se va a formar como un globo. Este razonamiento es muy intuitivo pero es físicamente incorrecto. Ocurre justo lo contrario: el caudal que manda el corazón es constante, este caudal no se frena por ningún motivo. Para poder pasar por la obstrucción lo que hace la sangre es aumentar su velocidad. (La velocidad aumenta porque el diámetro de la arteria disminuye). Ento nces,… ¿qué es lo que pas a? De la Ecuación de Bernoulli se sabe que a Mayor velocidad tanto Menor Presión. Luego al aumentar la velocidad dentro de la arteria, la presión adentro tiene que disminuir. Pero afuera de la arteria la presión sigue siendo la misma. Entonces la presión de afuera le gana a la presión de adentro y la arteria se comprime. ¿Y qué pasa al comprimirse la arteria? La obstrucción se cierra más. Esto provoca un aumento de la velocidad dentro de la obstrucción, lo que a su vez obliga a la arteria a cerrarse más todavía. De esta manera, la arteria se va cerrando más y más hasta que sobreviene el colapso. Esto significa que la arteria tiende a cerrarse del todo e impide el pasaje de sangre. Esto es lo que ocurre cuando una persona tiene un ataque cardíaco, creo que también pasa en el cerebro y en otros lados. 

Ejemplo 2.7. Descarga (vaciado) de un Tanque

Se usa un sifón, de diámetro uniforme d, para drenar agua de un tanque. Suponga flujo estacionario. a. Encuentre una expresión para la descarga del volumen en el extremo del final del sifón. b. ¿Cuál es el límite en la altura H   por encima del agua en la parte superior del sifón?. Suponga que la presión en el líquido, es siempre mayor o igual que la presión atmosférica para mantener el flujo continuo de agua?

Figura 2.9: Descarga de un tanque

35

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Solución a) Aplicando la ecuación de Bernoulli, podemos determinar la velocidad con que sale el líquido 1  P    v 2 2

   gy  ctte

  (2.57) Asumimos que la presión en el líquido es igual a la presión atmosférica, como estamos trabajando con agua  ρ = 1 kg/m3. y en la parte del estanque del agua debemos saber que esta en reposo, por lo tanto la velocidad es cero  gh 

1 2

v22

 v

2 gh  

(2.58)

La ecuación anterior es conocida como ley de Torricelli. Esta es la expresión de la velocidad con que sale el agua del sifón. h  es la distancia que va desde la parte de abajo del tubo hasta la superficie del agua. b.) La altura limite que debe tener el sifón, se deduce a partir de la ecuación de Bernoulli: v A

2

2

 gh 

 P atm   



v2 2

 gH 

P   B     

(2.59)

Pero en este caso la velocidad v A  en la superficie del fluido es cero, a demás h=0 ya que lo tomamos desde la superficie del fluido, y la presión  PB tiende a cero, debido a que a medida que aumentamos la altura la presión va disminuyendo, por lo tanto este valor tiende a cero, así pues nos quedará:  P atm

  



v2 2

 gH   H  

 P atm

   g 



v2

 

(2.60)

2 g 

Vemos que a medida que la velocidad del fluido aumenta la altura será menor, por lo tanto se puede maximizar la altura suponiendo que la velocidad del fluido en el sifón es muy lenta. Entonces quedara:  H  

 P atm    g   

(2.61)

De este modo la altura límite del sifón depende de la densidad del fluido que contiene el sifón.

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N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Nota Biográfica: Leonhard Euler

Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Fue matemático y físico, y es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia. Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática. Se le considera como el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos. El más prolíficos, ya que sus obras completas reunidas pueden ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Los trabajos científicos de Euler abarcan prácticamente todas las matemáticas contemporáneas a él. Aproximadamente el 40% de sus trabajos están dedicados a la matemática aplicada, la física, la mecánica, la hidromecánica, la teoría de la elasticidad, la balística, la construcción naval, la teoría de máquinas, la óptica y otras. En todas las ramas de las matemáticas hizo descubrimientos notables, que lo situaron en el primer lugar en el mundo.. Una afirmación atribuida a Pierre-Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»

Euler, en 1730, ocupó la cátedra de filosofía natural, en vez de la sección de medicina. y se convirtió en el matemático más importante de la Academia a la edad de veintiséis años. Ese mismo año se casó con Mademoiselle Gsell, una dama suiza, hija de un pintor que había sido llevado a Rusia por Pedro el Grande y con tuvo trece hijos. La Academia de San Petersburgo había comenzado a publicar una revista de investigación, los Commentarri Academiae Scientiarum Imperiales Petropolitanae . Los editores no tenían por qué preocuparse de una eventual escasez de material que publicar en tanto la pluma de Euler permaneciese activa. El académico francés François Arago dijo que Euler podía calcular sin ningún esfuerzo aparente, exactamente igual que los hombres respiran y que las águilas se mantienen en el aire. En 1738, perdió su ojo derecho, durante la realización de un mapa geográfico de Rusia. Se cuenta que él mismo decía que su lápiz parecía sobrepasarlo en inteligencia, por la gran facilidad con que fluían sus memorias a lo largo de su vida, publicó más de 500 libros y artículos. Durante casi medio siglo después de su muerte continuaron apareciendo obras inéditas de Euler. Una lista bibliográfica de las obras conocidas de Euler, incluidas las póstumas, contiene 886 trabajos. A lo largo de su vida su investigación matemática vino a suponer una producción de unas 800 páginas anuales en promedio; ningún matemático ha superado  jamás la producción de este hombre, al que Arago llamó " el Análisis Encarnado ". En años sucesivos Euler presentó a menudo memorias a los concursos convocados por la Academia, y obtuvo doce veces el codiciado premio que se otorgaba bianualmente. En 1741 recibió una invitación de Federico el Grande para incorporarse a la Academia de Berlín, pasó veinticinco años en la corte, pero a lo largo de este período continuó recibiendo una pensión de Rusia, y envió numerosos artículos a la Academia de San Petersburgo. En Berlín, Euler intimó con M. de Maupertuis, presidente de la Academia, quien impresionó mucho a Euler con su principio favorito del mínimo esfuerzo. La estima en que se tenía a Euler, es que cuando el ejército ruso invadió Alemania en 1760 y saqueó una granja de su propiedad y el acto llegó a conocimiento del general, la pérdida fue inmediatamente remediada, y a ello se añadió un obsequio de cuatro mil florines, hecho por la emperatriz Isabel cuando se enteró del suceso . Regresó a Rusia en 1766, cuando supo que estaba perdiendo el ojo que le quedaba, y se preparó para la ceguera practicando en escribir con tiza en grandes caracteres en una pizarra preparada a propósito, y dictando a sus hijos. En 1771, sufrió una operación y volvió a ver durante unos días, pero el éxito de la operación duro poco, y Euler vivió los diecisiete últimos años de su vida en una ceguera total. Tragedia que no consiguió interrumpir sus investigaciones y publicaciones, que continuó al mismo ritmo hasta 1783, cuando murió mientras tomaba el té y jugaba con sus nietos, a la edad de setenta y seis años.

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Clase III. Teoría del transporte para sistemas de partículas clásicas. La ecuación de Boltzmann puede considerarse como uno de los monumentos sintetizadores de la física, equiparable a las ecuaciones de Maxwell o la formulación lagrangiana de la mecánica. Esta ecuación permite derivar las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos o ecuaciones hidrodinámicas, una de tales ecuaciones expresa la conservación de la masa o continuidad del fluido, otra describe la dinámica de éste y finalmente una que describe el flujo de energía; bajo consideraciones adicionales, a partir de éstas se pueden obtener las ecuaciones de Euler y Bernoulli ya estudiadas en las clases I y II. La derivación, comprensión y aplicación de éste formalismo es el objetivo fundamental de este curso. Con las ecuaciones a obtener se pueden estudiar una multitud de sistemas, como por ejemplo: gases de fotones, sistemas que se aproximan a gases de Lorentz, gases altamente ionizados (como los rayos), gases débilmente ionizados (como los encontrados en los anuncios de neón), transporte de electrones en semiconductores en una aproximación semi-clásica, entre otros. Primeramente se generalizan los conceptos ya estudiados de Presión y Flujo, destacando su carácter tensorial, luego usando el Teorema de Liouville se obtiene una derivación sencilla de la Ecuación de Boltzmann, y finalmente, partiendo del la simplificación de primer orden, donde se desprecian los términos colisionales en esta ecuación, se calculan los invariantes de orden cero, primero y segundo, que corresponden a las ecuaciones hidrostáticas de continuidad, de Euler y de Bernoulli respectivamente.

3.1 Valores Medios de Observables de los Fluidos Supóngase que las moléculas de un fluido están distribuidas en el espacio y se mueven a velocidades diferentes. Sea  f   una función de distribución que nos indique la probabilidad de que una partícula se   encuentre en alguna determinada posición y con determinada velocidad, con lo cual  f    f r , v , t  .

Entonces el número de moléculas en el volumen elemental d  r   con velocidades comprendidas entre   v  y v  d v , es      f r , v , t d  r d  v   f r , v , t d     (3.1) 

Definimos el número n  de moléculas o partículas por unidad de volumen , como n   fd  v   De esta ecuación podemos obtener la densidad de masa    , dada por



(3.2)



(3.3)

    mn  m  fd  v   v

 Si tenemos una función  F   F v   escalar de la velocidad v , entonces su promedio se calcula como 

  F  



  f  v d   v 



v

n

  f  v d   v 

 

v

  f  d 

(3.4)

  

v

v



Ejemplo 3.1 Velocidad media v 0 . En este caso la velocidad v0  haría las veces de  F , en la Ec3.4, por lo que obtenemos. 



 v0



 v





  f v d  v

v

n

 

(3.5)

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

La velocidad de agitación o velocidad peculiar vt   denota la velocidad macroscópica del fluido, 



que intuitivamente es v  0 , por lo que vt   tendría la forma 

 vt 

v



 v

 vt 



1







 v  v0 

v

0

v

 vt 



 

v  v  fd   n

1  v fd  v nv





 v0 n

(3.6)

  fd  

v

v



Nótese que el primer término del segundo miembro es v0  y la integral del segundo término es igual a n , entonces de la ecuación 3.6 resulta que la velocidad media es nula:    (3.7) vt   v0  v0  0   Consideremos ahora una superficie elemental d     a través de la cual pueden pasar las partículas del fluido, como se muestra en la Figura 3.1. A

través

de d     discurrirán  fd  v d  r    partículas cuando   d  r   v  d  dt . Teniendo estas dos expresiones en cuenta, es claro   que pasaran  f v  d  dtd  v   moléculas con velocidades entre v y   v  d v  a través de la superficie d   . 



Sea  F v   una función de la velocidad de una partícula al atravesar la  superficie elemental, luego  F v  es “transportada” a través de d   . 

Definimos el vector flujo de transporte  F   como:  F   n  F v  



 



 Ff   v  d    d   v dt  





v 

d    dt 





n  F  v  d    





d   

Figura 3.1. Superficie d   .

 

(3.8)

Si F tuviera carácter vectorial definimos el flujo será tensorial, es decir.     F 



   n  F  v

 

(3.9)

Donde las doble flechas sobre  , representa que es un tensor.    Ejemplo 3.2. Sea  F   mv  la cantidad de movimiento, calcular el tensor flujo de transport e. Entonces de la Ec 40, queda:

 



 F      n

  mv  v

 

 nm v  v   



(3.10) 

Usamos Ec 3.3 para reemplazar el factor “n.m” y v  vt   v0 , luego la anterior igualdad Ec 3.10 se escribe como:

40

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             v  v     vt   v 0   vt   v 0                 v0  v 0  v 0  vt   v 0  vt   vt   vt                   v0  v0  v 0 vt   v0 vt   vt   vt 

 



(3.11)



Y por la Ec 3.7, la Ec 3.11 se reduce a.           v 0  v 0     vt   vt   

(3.12) El primer termino del segundo miembro esta asociado al flujo de materia. Obsérvese que cuando no     existe flujo de materia (aun cuando  pv0  0 ) se tendría      v  v  0 , la cual se conoce como  

tensor de presión  P  .     P     vt   vt   

(3.13)  

Cuando en un fluido no existan direcciones privilegiadas , el tensor de presión  P    coincide con la presión hidrostática, es decir    P    p   

(3.14)

      Recordando que el funcional traza de una matriz se define como T r  F   F ii , entonces la Ec. 3.14

   

implica que.

 

 2 T r    P      3 P    vt       

(3.15) 



Despejando de la anterior igualdad la presión  P , y teniendo en cuenta v  vt  , obtenemos  P 

1 3

  v 2  

(3.16)

Para un fluido en fase de gas ideal, se tiene v2

 v 2 x  v 2 y  v 2 z   3v x2  3v 2  

(3.17)

Entonces la Ec 3.16, para este sistema seria.  P 

1   Nm 

  3   V   

v2  

(3.18)

Empleando el teorema de equipartición de la energía (Ec 49) 1 2

mv 2

1

  K  BT   2

(3.19)

y despejando de allí el cuadrado de la velocidad promedio v 2 , la Ec 3.18, obtenemos la conocida ecuación de Estado del gas Ideal  P 

 N   K  B T   nK  B T    V 

(3.20)

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Obsérvese que N  es el número de partículas del fluido, mientras que en la notación usada n es el número de partículas por unidad de volumen. Obviamente hay que emplear el número de Avogadro para expresar esta ecuación en términos del número de moléculas y de la Constante Universal de los gases. (Ejercicio) 

Ejemplo 3.3: Flujo de energía cinética. La energía cinética es  F  

1 2

mv 2  y empleando la Ec 3.9 y la Ec 3.3, queda que el flujo es: 

1

 F   n

2

 mv 2  v

 1   F   nm v 2  v   2



(3.21)



 F      v 2  v 



2







 



 

Y debido a que v  v0  vt    entonces v  v02  vt 2  v0  vt   vt   v0   por lo que la Ec 3.21 queda como. 

1



2 1









 F      v02  vt 2  2v0  vt  v0  vt   









 

 F      v 02 v0  v02 vt   vt 2 v0  vt 2 vt   2 v0  vt  v0  2 v0  vt  vt   2



1

 F     v02 2

 v0

 v02

 vt 



 vt 2 v0



 vt 2 vt 



 



 

 2 v0  vt v0  2 v0  vt vt    

(3.22)



Como vimos en la Ec. 3.7, los términos vt   0 , entonces:   F  

1

  F  

1

  F  

1







2

2

2





2



2



2

   v0

v 0  vt 2 v0  vt 2 vt   2 v0  vt  v0  2 v0  vt  vt  

   v0 v 0 

   v0 v 0 

















 vt 2 v0  vt 2 vt   2v0 v0  vt    2 v0  vt  vt 



     v0 vt 2  vt 2 vt   2v0  v0 vt    2v0  vt vt    0    



























  3















 

(3.23)

 

 

El término v0 vt 2 se puede remplazar por v0  nKT   (de la Ec 3.19 y la Ec 3.20) y el término        vt vt 



  P 

  

 es obvio en virtud de la Ec. 3.13, , entonces:

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      P        3nKT   1  2 2     F      v0 v0  v0         vt  vt   2 v0       2                 1    3 1      F      v02 v0  v0 nKT       vt 2 vt      v  P   0         2 2    2 q  





 F  

1 2

   v v

2 0 0

 3       v0 nKT    v0  P   q       2

(3.24)

(3.25)

En el lado derecho de la Ec 3.25, el 1er término representa la energía cinética microscópica asociada al flujo de materia y el 2do la energía microscópica. El 3er término es la energía asociada al flujo de momentos y el 4to término definido como cantidad de calor, sobrevive, aun  cuando v0  0 , es decir, permanece cuando el flujo de materia sea nulo. 3.2 Ecuación de Boltzmann

Consideremos un fluido cuyas partículas están sometidas a una fuerza por unidad de masa, dada por Ec.3.26. Por fuerza exterior se entiende aquella que obra sobre un par de partículas interactuando. Para estudiar el sistema, tomemos en cuenta su representación en el espacio fase (no el de configuraciones) como se ilustra en Fig.3.2, nótese que aunque se considera generalmente momento en función

     p  m k  k  , entonces no existe de la posición, si inconveniente en escribir v  vs. r   (por proporcionalidad entre el momento y la velocidad).

la



a 

 F  m 

(3.26) Figura 3.2 Representación en el Espacio de

En Fig.3.2 se muestra el sistema en una posición r  y con Fases de la línea de corriente de un fluido velocidad v en un determinado instante t, considerando que no hay colisiones, luego de un tiempo dt  el sistema es trasladado por una trayectoria fásica arbitraria, y ahora se encuentra en una posición r +vt desplazándose con una velocidad v+at , en un instante t+d. Recordemos sucintamente el Teorema de Liouville: el hipervolumen en el espacio fase permanece constante bajo transformaciones canónicas; en este caso la transformación canónica esta dada por la variación de r  y v en el tiempo y como la cantidad de partículas de alguna forma define el volumen en este caso, entonces s u número en las “celdas” 1 y 2 deben ser iguales, como se expresa en Ec. 3.27,      f r   dt ,   adt , t  dt d  r d   

 

  f r , , t d   d      r 

(3.27)

donde se ha denota los elementos de volumen en forma abreviada

d  r   dxdydz 

d   

 d   x d   y d   z 

 

(3.28)

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Un caso más interesante de estudiar es suponiendo ahora un sistema menos pasivo: hay colisiones; si ahora se considera esto, se deben añadir al balance precedente, el número de partículas (por unidad de

    volumen d   r d     y unidad de tiempo dt ) que van entrando y el número correspondiente a aquellas que van saliendo hasta que se conforma la celda 2, sean estas cantidades denotadas por







y

respectivamente. Así la Ec.3.25 se escribe como:      f r   dt ,   adt , t  dt d  r d   

 

  f r , , t d  r d        d  r d   dt  

(3.28) Se realiza la expansión en serie de Taylor del primer miembro en Ec.3.28. La formula de Taylor para la expansión en primer orden de una función escalar de variable vectorial, esta dada.

       f ( x  x0 )   f ( x0 )   f ( x0 )  x  

(3.29) En este caso la función a la que se le va a realizar la expansión en serie de Taylor, depende de 7 variables: 3 de posición, 3 de velocidad y una de tiempo. Al emplear Ec.3.29 en la Ec. 3.38 se obtiene:  f r   dt ,   adt , t  dt    f r , , t    f r , , t   dt  v  f r , , t   adt  





























 f  r , , t dt  t  



(3.30)

donde el subíndice en el operador gradiente en el tercer término del segundo miembro indica que las derivadas se realizan con respecto a la velocidad   . Al introducir Ec.3.30 en Ec.3.28 y simplificar se obtiene: 

 f           f   a    f      t   

(3.31) Los términos en el segundo miembro son denominados términos colisionales y la ecuación 3.31 es conocida como Ecuación de Boltzmann, la cual se obtiene del balance de la función de distribución de probabilidad  f    en dos instantes distintos en el espacio fase, esta ecuación da la distribución de probabilidad de las partículas señalando la ubicación y la velocidad más probable del sistema en el espacio físico. Si se explicitan los términos colisionales (segundo miembro en Ec.3.31) se obtiene una ecuación integro-diferencial (del tipo Volterra) cuya solución, provee la función de distribución (  f ) y en consecuencia, todas las magnitudes macroscópicas y flujos de transporte. Ludwin Boltzmann (18841947) intentó, sin éxito, una solución. S. Chapman (1888-1970) y D. Enskog (1884-1947) lograron su integración en el caso de gases clásicos diluidos en condiciones de cuasi equilibrio. La ecuación de Boltzmann, había sido formulada primero por Maxwell en 1867 para describir el flujo de moléculas, momentum y energía de un gas. Esta fue reformulada por Boltzmann en 1872 en términos de una función de distribución de velocidad, cabe destacar que este no logró una solución, y esta ecuación es conocida también como ecuación de Maxwell – Boltzmann. En 1911 Enskog predijo que si una mezcla de dos gases esta sujeta a una diferencia de temperatura, el gas con la mayor concentración de moléculas estará a la temperatura más baja. S. Chapman predijo de forma independiente éste resultado, pero su teoría fue puesta en duda hasta que el químico F. W. Dootson realizó los experimentos pertinentes.

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

D. Hilbert publicó un nuevo enfoque para la ecuación de Boltzmann en 1912 el cual fue empleado por D. Enskog, realizando una expansión en serie de la función de distribución, trabajo que presentó para su disertación doctoral en 1917. Los resultados de Enskog se obtienen suponiendo las moléculas interactuantes como esferas macizas. El método de Chapman-Enskog para la solución de las ecuaciones cinéticas (tal como la de Boltzmann), se basa en una expansión en gradientes de las desviaciones del campo hidrodinámico desde un estado de referencia uniforme, esto es denominado método perturbativo. La distribución de orden cero es la distribución de equilibrio local, en la expansión en primer orden el campo es dominado por la ecuación de Euler; en el segundo orden el campo hidrodinámico es gobernado por la ecuación de Navier-Stokes y en tercer orden por la ecuación de Burnett. Nota Biográfica: Ludwig Boltzmann

Fue un físico austriaco pionero de la mecánica estadística. Nacido en Viena, un 20 de febrero de 1844, dentro de una familia acomodada, Boltzmann cursó estudios medios en Linz, doctorándose en la Universidad de Viena en 1866. Al año siguiente trabajaría como ayudante de Josef Stefan. Profesor de física en Graz en 1869, aunque cuatro años después aceptaría un puesto de profesor de matemáticas en Viena. Regresaría, sin embargo, a Graz como catedrático en 1876. Por aquella época ya era conocido por la comunidad científica, por su desarrollo de la estadística de Maxwell-Boltzmann para las velocidades de las moléculas de un gas en 1871. En 1894 retomó su puesto, esta vez como profesor de física teórica, en la Universidad de Viena tras la muerte de Joseph Stefan. Al año siguiente, Ernst Mach obtuvo la cátedra de historia y filosofía de las ciencias. Mach era uno de los más claros opositores al trabajo de Boltzmann. En 1900, debido a su descontento con Mach, Boltzmann se trasladó a Leipzig donde conoció a Wilhelm Ostwald. Mach dejó la Universidad de Viena en 1901 por motivos de salud, lo que permitió a Boltzmann volver al año siguiente. En esta ocasión, además de recuperar su cátedra de física, obtuvo la cátedra de Mach de historia y filosofía de las ciencias.

La dura oposición a su trabajo, la hipótesis de la existencia de átomos que todavía no estaba demostrada completamente, con Ostwald como cabeza , pudo haber causado trastornos psíquicos que le llevaría al suicidio por ahorcamiento, en 1906 durante unas vacaciones en Duino, cerca de Trieste. El motivo que le llevó al suicidio permanece poco claro, pero pudo haber estado relacionado con su resentimiento al ser rechazado, por la comunidad científica de entonces, su tesis sobre la realidad del átomo y las moléculas una creencia compartida, sin embargo, por Maxwell en Inglaterra y Gibbs en Estados Unidos; y por la mayoría de los químicos desde los descubrimientos de John Dalton en 1808. Sólo unos años después de su muerte, los trabajos de Jean Perprin sobre las suspensiones coloidales (1908-1909) confirmaron los valores del número de Avogadro y la constante de Boltzmann, convenciendo a la comunidad científica de la existencia de los átomos. El e itafio de su tumba en Viena, tiene escrita su enial definición de la Entro ía S=KB ln Ω.

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

3.3 Invariantes de orden: 0, 1 y 2. Ecuaciones hidrodinámicas.

Aun sin explicitar  f   ni los términos colisionales podemos “extraer” conclusiones relevantes. Si hay mezclas de componentes habrán i ecuaciones de Boltzmann (una por cada tipo de partícula), que se pueden escribir cada una en la forma de la Ec.3.32.

 f           f   a     f          t    i

i

i

i

i

i

ij

ij

 j

(3.32)

El segundo miembro representa las interacciones microscópicas, es decir la interacción de todas las partículas entrantes y salientes con la i-ésima partícula, el cual es difícil de determinar. Sea F i  algún invariante colisional (se conserva en las colisiones), si en la ecuación de Boltzmann Ec.3.32 realizamos los siguientes pasos: i. Multiplicar por F i y por dτ υ ii. Integrar sobre todas las velocidades iii. Sumar sobre todos los tipos de partículas. Al realizar el procedimiento expuesto anteriormente se obtiene que el término colisional es nulo:

    i

  



ij

 i d     0  ij  F 

j

 

(3.33)

Pues representan la variación total de F i  debido a todas las colisiones de partículas con cualquier velocidad en el tiempo dt . La investigación de la ecuación de Boltzmann para diversos sistemas es un tema de investigación relevante, por ejemplo se podría determinar Ec.3.33 y resolver las ecuaciones Ec.3.32 para una mezcla petróleo-gas, lo cual es, esta demás decirlo, una ardua labor. Se estudiaran ahora tres casos particulares aplicados a la ecuación de Boltzmann: i. El invariante de orden 0 dado que permite deducir la ecuación de continuidad

 F i  mi vi0

ii.

iii.

 mi  

(3.34) El invariante de orden 1 permite obtener la ecuación de movimiento y bajo ciertas condiciones se obtiene la ecuación de Euler.

 F i  mivi  

(3.35) El invariante de orden 2 dado por Ec.11, que permite obtener la ecuación de flujo energético que es una generalización de la ecuación de Bernoulli. 1 2

 F i 

mi vi 2   (3.36) De los tres casos anteriores se puede obtener información sobre: la densidad de masa, las velocidades medias de las partículas y la temperatura, además de obtenerse las ecuaciones hidrodinámicas. Podríamos realizar la siguiente pregunta: ¿Qué significado tienen los invariantes de orden mayor que 2? Ocurre como con la posición de una partícula, cuya variación con respecto al tiempo da la velocidad, la variación de esta con respecto al tiempo da la aceleración, pero ¿qué significado físico tiene la tercera derivada de la posición? Esta pregunta y la primera son análogas, entonces de manera filosófica: ¿pareciera que la naturaleza solo trabaja hasta el orden 2?

46

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

3.4 El invariante de orden 0 en la ecuación de Boltzmann:

En Ec.3.32, se multiplica por la i-ésima masa y por el elemento diferencial de volumen en el espacio de velocidades



  i

d     d   x d   y d   z 

mi

, y luego se integra sobre toda las velocidades para obtener:

 f i     d      mi i   f i d      mi a i     f i d      m i  ij  ij d       t  j     v i

i

i

i

i

i

i

(3.37)

i

El subíndice en el símbolo de la integral, en la ecuación precedente Ec.3.37, indica que se esta integrando sobre todas las componentes de la velocidad de la i-ésima partícula; el subíndice en el operador gradiente del tercer término del primer miembro indica que este se escribe como:.

   e  e  e v v v   (3.38) donde υji denotan la j-ésima componente de la velocidad de la i-ésima partícula y los ei a los elementos de la base del espacio vectorial. El primer término del primer miembro se puede escribir como en Ec.3.40, empleando la regla de Leibniz de derivación bajo el signo de la integral y recordando que, como vimos en la sección 3.1, el número de moléculas o partículas por unidad de volumen esta dada en Ec.3.39. 

 

ˆ

vi

ˆ

1

      f r , , t d  v



  



  i

mi

ˆ

2

1i

2i

3

3i

 

(3.39)

 f i  i d     mi t  t    i

(3.40)

El segundo término del primer miembro en Ec.3.37 se puede escribir como en Ec.3.42 recordando, como se indicó en la sección 3.1, que la velocidad media esta dada por. 

 v





 v fd    v

  

 

    mi i   f i d   

i



  mi   i  i

(3.41)



 i

  (3.42) Nótese que en Ec.3.42 el símbolo de gradiente se puede “extraer” de la integral ya que este operador es de posición, y por lo tanto no depende explícitamente de las velocidades, a diferencia del escrito en Ec.3.38 Para rescribir el tercer término del primer miembro en Ec.3.37, primero se expande el producto escalar allí mostrado para escribirse como:



mi ai  vi  f i d   i 



 i

   f   f   f   mi     a1i i d  1i d  2i d  3i     a2i i d  1i d  2i d  3i     a3i i d  1i d  2i d  3i     1i  2i  3i v  v v d   ji 1i  21  3 i

a ji



1i  21  3 i

(3.43)

1i  21  3 i

dt  , pero si las aceleraciones no dependen explícitamente de las velocidades, se Como pueden extraer de Ec.18, y ésta se escribe como en Ec.19.

47

N. Falcón

 

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte





mi ai  vi  f i d   i 

 i

   f   f   f   mi a1i    i d  1i d  2i d  3i  .a2i    i d  1i d  2i d  3i  a3i    i d  1i d  2i d  3i   1i  2i  3i  v  v v 1i  21  3 i

1i  21  3 i

(3.43)

1i  21  3 i

Si empleamos el teorema de Fubini, la Ec. 3.43 se puede escribir en la forma de la Ec.3.44.

 m a    f   d  



i

  i

i

vi

i

  

  i

  mi a1i    f  i  d   2i d   3i a 2i    f  i  d   1i d   3i  a3i    f  i   d   1i d   2i  v v v 2 i   3 i

1i   3 i

1i   2 i

  

(3.44) Si se considera que  f  i   debe anularse en el infinito, (además cabe destacar que esta función sobre todo el rango de velocidades, posiciones y tiempo, en el espacio fase, debería ser acotada, es una función de distribución de probabilidad), entonces el tercer término del primer miembro en Ec.3.37 es cero. Ahora Ec.3.37 se rescribe, para el i-ésimo componente, como:  i       i vi    m   ij  ij d     t  j v   i 

i

i

  i

   0



 V 

(3.45)

Como la velocidad media de la i-ésima partícula esta dada por , si se multiplica por la i-ésima masa y se suma sobre todas estas, la Ec.3.37, se rescribe como en Ec.3.46, considerando aquí  que el promedio de la velocidad peculiar es cero V   0 .

             mi i       mi i  0    mi  ij  ij d      t   i i v j     i   i

(3.46)

i

El segundo miembro de Ec.3.46 es nulo en virtud de la Ec.3.33. Recordando que la densidad de masa del sistema de partículas se escribe como en la Ec. 3.3      mi i i

Entonces la Ec. 3.45 se rescribe como la ya conocida ecuación de continuidad de la mezcla.            0   0 t   

(3.47)

48

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

3.5 El invariante de primer orden en la ecuación de Boltzmann:

Análogamente al procedimiento empleado al comienzo de la deducción de Ec.3.47 se parte de Ec.3.32, pero esta vez se multiplica toda la expresión por el invariante de momentum o de primer orden (Ec.3.35), con lo que se obtiene



 f i d     mi i  i   f i d     mi i ai  v  f i d     mi i ij  ij d     t  j v 



mivi











 i

(3.48)





 i

 i

i

 i



 i

 i

 i

i

El primer término del primer miembro en se puede escribir como en Ec.3.49 considerando que   i



    0

 V 

 junto con Ec.3.41.





  f  mi i i d    t 

    v  f  d    m       i i   i t   t  i 0

 mi

 V   



(3.49)

El segundo término del primer miembro en Ec3.48, se puede simplificar considerando nuevamente Ec. 3.41     i  i   f i d   

 

 



 







 









 



 0  V    f i d      0  0  f i d      0  V  f i d      V  f i d    0   V V  f i d       0  V   

 

 

 

(3.50)



      V V 

Introduciendo aquí el tensor presión (Ec. 3.13)     i  i   f i d   

 





 

 

se obtiene:     V   0 V  .    



   i mi  0 0   0



(3.51)

 

Sustituyendo las ecuaciones 3.49 y 3.51 en la expresión Ec. 3.48, después de haber realizado la suma sobre todos los componentes del fluido y considerando que el termino colisional es nulo (Ec.3.33) obtenemos:           0      0 0     mi i ai  0   i t 

(3.52)



Multipliquemos la ecuación de continuidad (Ec. 3.47) por  0   y sustraerla de la Ec.3.52, aplicando correctamente la regla de la derivada de un producto de funciones (extrapolándose al operador gradiente), se obtiene



                    m   a  0    t  0

0

i

0

i

i

(3.53)

i

es la  ecuación de movimiento de cada componente   (equivalente a la Ecuación de Euler  estudiada anteriormente). El segundo término de Ec.31 es un término inercial, es decir, que solo es observable por el observador fijo; el tercer término da las fuerzas de gradiente y las de viscosidad y el último término representa las fuerzas externas, incluidas las de carácter macroscópico, originadas por el movimiento de las partículas del fluido.

49

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

3.6 El invariante de segundo orden en la ecuación de Boltzmann:

Análogamente a los casos precedentes con los invariantes de orden 0 y 1, se parte de Ec.3.47, se multiplica toda la ecuación por el invariante de segundo orden dado por Ec.3.36, se integra sobre todas las velocidades y se obtiene:



  

1 2

2

mi i

   f i 2  2  2 d      12 mi i  i   f i d      12 mi i ai     f i d      12 mi i  ij  ij d    (3.54)   t   j      

Se rescribirá el primer término del primer miembro de Ec.3.54, empleando el hecho de que la Ec. 3.41



1 2

 mi  0



   V    0



 

  f i  V  d    t 





 1  mi i 02  12 mi i 2 t 



V 2  

 V 

0

 y

(3.55)

Si ahora se suma sobre todas las partículas, se emplea la ecuación de continuidad y la densidad mediante las relaciones Ec.3.3 y Ec.3.47, se obtiene (ejercicio)

 i

1 2

mi i2

 

 f i  d     12   02  32  k  B T  t  t 

(3.56)

Donde se ha usado a partir del teorema de equipartición de la energía la relación: V 2



3  k BT 

(3.57)

  

El segundo término de Ec.3.54, después de haber sumado sobre todos los componentes del fluido, esta relacionada con Ec.3.25 la cual se obtuvo en la sección III.1I, esta ecuación da el flujo de energía cinética.





1 2

   0 0 2

    0



3 2

 kT   0



 q 

(3.25) El primer término del segundo miembro de Ec.3.58 es la enérgica cinética macroscópica asociada al flujo de materia, el segundo término del segundo miembro es la energía asociada al flujo de momentum, el tercer término es la energía cinética microscópica asociada al flujo de materia y el 

último termino sobrevive aun cuando la enérgica media  0  sea igual a cero (es decir aun cuando el flujo de materia sea nulo). Empleando Ec.3.25, podemos reescribir el segundo término del lado izquierdo de la Ec.3.54, como:

 i

1 2

  mi i2  i   f i d   









 





 12   02 0  0  32 k  BT   0  q   

(3.58)

 

Usando las ecuaciones Ec.3.56 y Ec.3.48, y el hecho de que el termino colisional es nulo (Ec.3.33), en la Ec. 3.54 la ecuación del flujo de energía se escribe como.    3 2  kT  12   02    q   0  32  k  BT  0  12   02 0    mi i ai  0  t  i



 V 

 0 

(3.59)

50

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Obsérvese que esta es la versión hidrodinámica de la ecuación de conservación de la energía y por lo tanto la generalización de la ecuación de Bernoulli,  esta ecuación también se puede en la forma compacta 3 2



 k   k  BT   3 2

1 2

        q  Tr  0 2 0



 

  mi i ai V   0  

(3.60)

i

donde Tr denota la traza. Hasta ahora hemos supuesto que las aceleraciones de cada no dependen de las  especie  departículas  velocidades. Eso no es cierto para las fuerzas de Lorentz F   q  E     B , para el caso de plasmas habrá que considerar esa posibilidad y replantear las deducciones precedentes.





3.7 Tratamiento general de las propiedades de transporte

El tratamiento más general y riguroso de las propiedades de transporte de carga o de energía se aborda a través de la ecuación de Bolztmann Presentaremos una versión simplificada de dicha ecuación, y abordaremos algunos problemas de transporte en el marco de la hipótesis del tiempo de relajación. Como se señaló en la sección III.2, el teorema de Liouville, en el marco del modelo semiclásico, establece que para un sistema de partículas que se mueve de acuerdo con las leyes de la mecánica clásica, la densidad de puntos representativos en el espacio de las fases permanece constante. En dicho espacio de fases (el espacio τr3τV3, de dimensión 6, si utilizamos el vector de ondas como medida del impulso del electrón) cada partícula está representada por las seis coordenadas de un punto de dicho espacio que indican la posición en el espacio real ( r  ) y su velocidad generalizada (V). En equilibrio térmico, sabemos que la probabilidad de que un estado esté ocupado viene dada por la estadística de Fermi-Dirac, cuya función de distribución en un sistema homogéneo solo depende de la energía. Ahora se trataría de encontrar una ecuación que nos permita calcular como varía la función de 



distribución f( r  , k  ,t) en presencia de campos exteriores. Una vez conocida dicha función, podríamos 

calcular las densidades de corriente o los flujos de energía a través de la expresión:      e  ( , v , t ) v d  v  J (r , t ) =  f  r  4  3      1  J   (r , t ) =  f  r     ( , v , t ) v d  k    3 4  

(3.61)

En equilibrio térmico ambas densidades son nulas, al ser isótropa la distribución de Fermi-Dirac. Las fuerzas que actúan sobre el sistema son, por una parte los campos externos, que varían de manera suave y dan lugar a variaciones suaves de la posición y velocidad de las partículas y, por otra parte, las fuerzas internas debidas a las perturbaciones de la periodicidad de la red: defectos, impurezas, vibraciones de la red, etc. Dichas fuerzas internas dan lugar a fenómenos de dispersión o choques, en los que las partículas cambian bruscamente su velocidad, siendo dispersadas de un estado v   a un estado v ' . Debido a esto, a las fuerzas internas se les llama mecanismos de dispersión. Dichas fuerzas no pueden describirse en el marco del modelo semiclásico, por tratarse de fuerza originadas por potenciales muy localizados (defectos, impurezas) o por procesos esencialmente no-clásicos, como la absorción o emisión de cuantos de vibración de la red de átomos del sólido por parte de los electrones. Para deducir la ecuación de Boltzmann, como se realizó en la sección 3.2, hemos seguido el movimiento de un elemento de volumen del espacio de fases. Entre los instantes t y t +dt el elemento centrado en ( r  , v ) pasa a ( r  +d r  , v +d v ). Los cambios debidos a las fuerzas exteriores que varían de manera suave conservarían la densidad de puntos, de acuerdo con el teorema de Liouville. Por 















51

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

tanto, la diferencia de concentración entre t y t + dt solo puede ser debida a los procesos de dispersión debidos a las colisiones:         f    f (r   d r , v  d v , t  dt )   f (r , v , t )    dt    t   col 

(3.62)

Desarrollando el primer término y dividiendo por dt obtenemos la ecuación de Boltzmann: 



d v  f  d r    f  +  r  f  +  v  f  = (   )col    dt  t  dt  t 

(3.63)

Esta ecuación puede escribirse también:

  f     F    f  + v  r  f  +  v  f  = (   )col    t  t 

(3.64)

En el caso estacionario y cuando solo intervienen campos eléctricos y magnéticos obtenemos:   f  e    v  r   f  + ( E  v  B)  v  f  = (   )col   t  

(3.65)

3.8 Aproximación del tiempo de relajación: solución de primer orden

La ecuación de Boltzmann puede aún simplificarse en aquellos casos en los el término de colisiones resulta ser proporcional a la diferencia entre la función de distribución en presencia de campos y la función de distribución en equilibrio térmico, lo que equivale a suponer que, al cesar los campos externos, el sistema vuelve al equilibrio (como consecuencia de las colisiones) con una velocidad proporcional a la desviación respecto a dicho equilibrio provocada por los campos:  



 f( r , v )   f 0 ( v )  f  (   )col =      ( v ) t 

(3.66)

Donde la inversa de la constante de proporcionalidad se le llama tiempo de relajación, que, en general será una función del vector de ondas del electrón. Para una perturbación estacionaria, la ecuación de Boltzmann queda:        f( r , v )   f 0 ( v )  e v  r   f  + ( E  v  B)  v  f  =       ( v )

(3.67)

En general, el tiempo de relajación es independiente de los campos externos, y depende únicamente de la temperatura y contenido de impurezas del material. Podemos obtener una solución de primer orden suponiendo que la función de distribución difiere de la de equilibrio sólo en un término pequeño: f=f 0+f1. Si despreciamos las derivadas de dicho término obtenemos:  f   e    v  r   f 0 + ( E  v  B)  v  f 0 =  1     ( v )

(3.68)

   e       f 1   ( v )  v  r   f 0 + ( E  v  B)  v f 0        

(3.69)

de donde:

Al despreciar las derivadas de f 0 frente a las de f 1 hemos obtenido f1 , en función de los gradientes de la distribución de Fermi-Dirac. Deduzcamos ahora algunas expresiones que nos serán útiles para desarrollar f1 .

52

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

  f 0 1 e =   kT  (1 +

1

 f 0 =

1+ e

  ) E  F   ( k  kT 

e



  f 0   f 0 =  E  F   

  ) E  F   ( k  kT    ) E  F   ( k  kT 

2

 )

  f 0  ( k  )  E  F   f 0 =   T    T 

(3.70)

Con estas expresiones, es fácil obtener f 1:

   e     f 1 ( v ) =  ( v )( v  r   f 0 + ( E  v  B)  v  f 0 ) =    f 0   f    f         e    =  ( v ) ( v   r   E  F  )(   ) + ( v   r  T)(  0 ) + ( E  v  B)  v  (  0 )     E  F  T             (k )  E  F       f 0      v   e E   r   E  F  +  r  T  =  ( v )  T           

(3.71)



Donde hemos tenido en cuenta que v    v y el término que incluía el campo magnético se anula, por ser la fuerza perpendicular a la velocidad. Esta solución de primer orden puede describir problemas de conductividad, de difusión de partículas o efectos termoeléctricos. Ejemplo 1. Conductividad eléctrica Si sobre el semiconductor solo actúa un campo eléctrico, la densidad de corriente, la función de distribución será:       f 0     f    f 0   f 1 ( v ) =  f 0  e ( v )  v  E         

(3.72)

Podemos calcular la densidad de corriente como:    e  J  =  f  v ( ) v d  v 3 4  





e 4  3



      f 0     e  f 0 v d  v  e (  v  )     v  E  v d  v 3 4        







(3.73)

 

(3.74)

Como f0 es isótropa, el primer término se anula y tenemos:       f 0     e  J =   (  v  )   v  E  v d  v 3 4        2







 

  .E 



donde    es el tensor conductividad, con componentes:  ij =

e

2

4 3



     f 0   ( v )  vi v j d  v       

 

(3.75)

Para bandas isótropas (superficies de energía constante esféricas o, lo que es lo mismo, masa efectiva escalar) y con un tiempo de relajación que dependa sólo de la energía de los portadores, siempre podemos escribir:

    f 0  2 vi d         



 ii =   e 2  (   )g ( ) 

 

(3.76)

utilizando las expresiones : v x2



v y2



v z 2



v x2



1 3

v2



2   *

3m



n   g ( ) f 0d  

 

(3.77) 53

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obtenemos

 ii =  

2e2n



    f 0    d        

 (   )g ( ) 

 g ( ) f  d  

3m*

0

  (3.78) Veamos ahora como se simplifica esa expresión en los casos degenerado y no degenerado. En el caso no degenerado,

    f 0   f 0          kT   

y entonces   



e 2n  (   )g ( ) f 0 ( )  d   m* 3kT   g ( ) f 0 ( ) d   2





(3.79)

e2n m*

 

 en 

  (3.80) donde se ha definido un promedio del tiempo de relajación ponderado en energía. Como para el modelo de Drude, es posible expresar la conductividad en función de una movilidad electrónica (velocidad para un campo eléctrico unidad), pero esa movilidad se calcula a partir del promedio ponderado del tiempo de relajación   

En el caso degenerado,

e   m*  

.(3.81)

    f 0        E    (  F )        

obtenemos   

2 2e

3m*

 E  F  ( E  F ) g ( E  F ) 

(3.82)

e 2n ( E  F ) m*

 

(3.83)

donde se ve que la conductividad de un semiconductor degenerado solo depende del valor del tiempo de relajación para la energía correspondiente a la nivel de Fermi. Ejemplo2: Coeficiente de Difusión Supongamos que queremos tratar un problema en el que la concentración de portadores no sea homogénea. En ese caso, la función de distribución depende de la posición, por lo que la expresamos como:     f      f  0    ( k  ) v   r  f  0   (3.84) 

     f 0    f    f 0   ( k   )  v  r  E  F        

La densidad de corriente asociada al flujo de partículas (corriente de difusión) será ahora    e ( ) v d  v  J  D =  f  v 4  3





e 4  3



 e  f 0 v d  v  4  3



      f 0   v   r  E  F d  v v  ( v )         

(3.85)

De nuevo, el primer término se anula. Si suponemos que la inhomogeneidad se da sólo en le dirección x, tenemos: 54

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  2e      f      dE      *    g ( ) ( v )   0 d    F  (3.86)         dx   3m Si se trata de un semiconductor no degenerado, tenemos:  J  Dx =



e

v 4    3

2

 x

     f 0  dE  F   d  v  ( v )         dx

n  N C  e

 E c  E  F 



dn

kT 

dx

 N C  e

 E c  E  F 



1 dE  F 

kT 



kT  dx

y la corriente de difusión será:

   

 J  Dx =  

2e



*

3m

  f    kT  dn  ) 0 d      g ( ) ( k  kT    n dx

n dE F  kT  dx  

 eD

donde hemos introducido el coeficiente de difusión, que valdrá:  D =

kT  2 n 3m*



  f   ) 0 d     g ( ) ( k  kT 



kT    m*



kT  e

(3.87)

dn dx  

(3.88)

 

  (3.89) Obtenemos así la llamada relación de Einstein entre el coeficiente de difusión y la movilidad, en semiconductores no degenerados. Para semiconductores degenerados, la relación entre concentración y nivel de Fermi, tomando el origen en el fondo de la banda, viene dada por 3 3 2 m*e 2 n = 2 (  2  ) (  E  F  E C  ) 2 3   

1

dn dx



3n dE F  2 E  F  dx

 

(3.90)

y la corriente de difusión queda :    2e   g ( ) ( k    2 E F  dn  )  (   E  F ) d    *    3m   3n dx  

 J  Dx   

de donde se obtiene el coeficiente de difusión:  D 

2

2 2 ( ) ( )  E   g   E     E   F   F   F  3m* 3n



2 E F  3e

(3.91)

 

  (3.92) Para los semiconductores degenerados el coeficiente de difusión es dependiente de la concentración.

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Clase 4: FLUIDOS VISCOSOS, TURBULENCIA. Al principio se habían descrito las ecuaciones que rigen la dinámica de los fluidos, solo desde un punto de vista fenomenológico, estas son: Ecuación de Euler, Ecuación de Bernoulli y la Ecuación de Continuidad. Luego haciendo se desarrolló un formalismo matemático para encontrar la Ecuación de Boltzmann, a partir de esta se pueden obtener las ecuaciones hidrodinámicas, como lo son: Ecuación de Euler, Ecuación de Bernoulli y la Ecuación de Continuidad. Sin embargo en esos desarrollos se uso la hipótesis simplificadora de que los fluidos son no viscosos, es decir que las partículas que lo componen no intercambian entre si y con el medio, cantidad de movimiento y energía. En esta clase se discute la modificación del tratamiento de los fluidos no laminales, es decir cuando la viscosidad y/o la vorticidad están presentes.

4.1 Ecuaciones de Navier- Stokes : Ecuación de Movimiento de fluidos considerando Viscosidad.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que se obtienen aplicando los principios de conservación de la  mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada  formulación integral  de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando diferentes teoremas matemáticos, llegando así a la llamada formulación diferencial, que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos. Cuando se estudió la ecuación de continuidad, no se consideraron las reacciones químicas y se considero que conservan tanto los componentes como la mezcla. Además, se considero que el fluido es “Laminar” es decir sin fricción. Ahora vamos a considerara que   las partículas intercambian tanto momento como energía, en este caso se dice que hay Viscosidad. En ocasiones, se tiende a confundir la viscosidad con la densidad; por ejemplo: el Sodio fundido es más denso que el agua, pero no es viscoso. Cuando se estudia la viscosidad se considera la interacción del fluido consigo mismo. A altas temperaturas, el fluido se hace menos viscoso ya que aumenta la velocidad cuadrática media de las partículas. De forma general se interpreta viscosidad como: un intercambio de momento y energía entre dos regiones adyacentes del fluido con diferente velocidad. Así, el tensor de presión viene dado por    p  , pero al considerarse las cizalladuras, el tensor de presión nos queda:

   p      

(4.1)

Donde   es el tensor de cizalladura y  es el coeficiente de viscosidad interna, definido como sigue:   

 F  A

 x l  t 



 Fl   A 

 

(4.2)

Obsérvese que,   

esfuerzo deformaciondecorte

t 



 F  A d   dt 

 

(4.3)

Donde l es la longitud trasversal, A representa el Área, F la Fuerza externa y    la Velocidad. La viscosidad   tiene unidades en el SI de  N   s m 2 , consideremos la viscosidad del agua, la cual es aproximadamente 1,0  10 3 N   s m 2 , pero a una temperatura de 100o C   tiene una viscosidad

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aproximada de 0,3  10 3 N   s m 2 , la viscosidad del aceite es aproximadamente de 0,25, la viscosidad de la sangre es de 2,7  10 3 N   s m 2 . El tensor de cizalladura no es fácil de modelar, para fluidos gaseosos diluidos siguiendo la integración de la ecuación de Boltzmann de Chapman- Enskog se tiene, 2         0   0    0      3    

(4.4)

También podemos usar el termino de viscosidad cinemática, definido como,  



    

 

(4.5)

De la ecuación de Euler:   

 0     0  0     mi ni ai  0   t 

(4.6)

Puede demostrarse que termino    0 0  como función de la viscosidad cinemática, es:    0   0

    2 0  

(4.7)

Con lo cual la Ecuación de Euler, resulta generalizada como:   

 0      p     2 0          0   mi ni a i  0   t    3 

(4.8)

Estas ecuaciones se les conocen como Ecuaciones de Navier- Stokes. Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.  Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en todo tipo de  fluidos. Si el fluido es incomprensible es decir,  0  0 , estas las ecuaciones se escriben como:   

d  0 dt 

  mi ni a i   p    2 0  

(4.9)

Mejor conocidas como Ecuaciones de Navier Stokes para fluidos incomprensibles En la ecuación anterior tenemos el termino   2 0  es cual es el termino asociado con la viscosidad, vemos que    produce una fuerza adicional que disminuye la aceleración a i   del fluido. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y

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situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones se ha de recurrir al análisis numérico para determinar una solución. Para ilustrar podemos considerar que la aceleración es la de la gravedad, en cuyo caso podemos escribir la ecuación de Navier-Stokes, como sigue:

  2 x  2 y  2 z       g     2  2  2  (4.10)    dt  dz    x  y  z    Además podemos suponer que estamos a presión atmosférica  P a  P 0    gz . Esta es una ecuación d  

dP 

en derivadas parciales, la cual podemos resolver utilizando el método de las variables separables. Nota Biográfica: Claude Navier y George Stokes Claude Louis Marie Henri Navier  (1785- 1836) fue un ingeniero y físico francés, discípulo de Fourier. Trabajó en el campo de las matemáticas aplicadas a la ingeniería, la elasticidad y la mecánica de fluidos. Es el creador de la teoría general de la elasticidad (1821), escribió varias memorias sobre los canales de navegación (1816), y también se convirtió en un especialista del ferrocarril. En 1824 ingresa en la Académie des sciences. En 1830 es nombrado profesor en la Escuela Nacional de Puentes y Caminos, y al año siguiente profesor de análisis y mecánica en la Escuela politécnica reemplazando a Cauchy que había dimitido. Su mayor contribución constituyen las ecuaciones que escriben la dinámica de un fluido no compresible (ver: Hidrodinámica). Estas se conocen hoy día como ecuaciones de Navier-Stokes.

Sir George Gabriel Stokes, primer Baronet (1819- 1903) Nació y creció George (Irlanda) se graduó en 1841 en Pembroke College, en la Universidad de Cambridge, con los más altos honores), fue elegidoallí como profesor de Matemática y física, hasta 1857, cuando contrajo matrimonio, doce años más tarde, es reelegido hasta 1902, que fue promocionado a la mastership de su facultad. Realizó contribuciones importantes a la dinámica de fluidos (incluyendo las ecuaciones de Navier-Stokes), la óptica y la física matemática (incluyendo el teorema de Stokes). Fue secretario y luego presidente de la Royal Society de Inglaterra. Sus primeros artículos aparecieron en 1842 y, trataban del movimiento uniforme de fluidos incompresibles y algunos casos de movimiento fluido. A éstos siguió en 1845 sobre la fricción de fluidos en movimiento y el equilibrio y movimiento de sólidos elásticos y en 1850 sobre los efectos de la fricción interna de los fluidos sobre el movimiento de los péndulos. También realizó contribuciones a la teoría del sonido. Su labor en relación al movimiento de los fluidos y la viscosidad le llevó a calcular la velocidad terminal de una esfera que cae en un medio viscoso, lo cual pasó a conocerse como la ley de Stokes. Más adelante la unidad CGS de viscosidad pasaría a llamarse el Stokes, en honor a su trabajo. En 1852, en su famoso trabajo sobre el cambio en la longitud de onda de la luz, describió el fenómeno de la fluorescencia, tal y como la mostraban la fluorita y el cristal de uranio. El desplazamiento de Stokes, que describe dicha conversión, es llamado en su honor. A continuación, un modelo mecánico que ilustraba el principio dinámico de la explicación de Stokes fue propuesto y de éste surgió el concepto de línea de Stokes, que a su vez es la base de la dispersión Raman. Su producción fue tan variada y prolifica que incluso hoy se honra con su nombre un Cráter de Marte, y en el siglo pasado uno en la Luna, en recuerdo a sus contribuciones

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Determinación del Coeficiente de Viscosidad de distintos fluidos Propósito:  Se determina el coeficiente de viscosidad de diversos fluidos: aceite, agua, granadina, glicerina, champú y miel, usando esferas de plomo que se dejan caer en ellos.

Si consideramos el caso en que dos capas de fluido de área S distan entre sí dy y entre las cuales existe una diferencia de velocidad dv, la fuerza por unidad de área que hay que aplicar es proporcional al gradiente de velocidad, es decir:

 F   A

  

dv dy

 

(1)

La constante de proporcionalidad es lo que se conoce como coeficiente de viscosidad, y se define para un fluido como la razón del esfuerzo de corte a la rapidez de cambio de la deformación de corte. La viscosidad de un fluido puede medirse a través de un parámetro dependiente de la temperatura llamada coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad. Esta puede ser diferente en dos fluidos de la misma masa. La inversa de la viscosidad es la fluidez. Método Experimental Se deja caer (con ayuda de una pinza) una esferita de plomo en cada cilindro graduado (Fig. 1), midiendo el tiempo promedio de caída a través de cada 100ml de fluido. Se graba con una cámara digital cada uno de estos casos, lo cual permite obtener mayor precisión en los tiempos promedios t, observados en cámara lenta. Conocida la masa m de las esferitas su área, y la distancia y que recorre a través de cada fluido, el coeficiente de viscosidad interna se puede estimar como sigue:

  

 F / A ( x / l ) / t 



mgl   Av

 

(2)

La viscosidad se expresada en  N  s / m 2

m

 F 

(3,37  0,01) g   3,37  103 kg  (26,28  0,02)mm  0,0263m (19,6  0,1)cm  0,196m 0,033 N 

 A

5,433  10 4 m 2

l   y

Fig1. Diseño Experimental

Tabla3: Resultados Fluido t  0,001 s Aceite Agua Granadina Glicerina Champú Miel

0,205 0,215 0,450 0,980 2,210 5,715

v( m / s )

 ( N   s / m 2 )

0,956 0,912 0,436 0,200 0,089 0,034

1,654 1,735 3,632 7,909 17,836 46,124

Conclusiones Mientras mas corto es el tiempo que tarda cada esfera en llegar al fondo del cilindro graduado menos viscoso es el fluido que atraviesa. Y por ende a menor velocidad de caída mayor coeficiente de viscosidad.

. Tabla 1: Datos generales

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4.2 Fluido Estacionario y sin rozamiento

Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energía mecánica total de un  flujo incompresible y no viscoso  (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente . Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El número de Reynolds proporciona una estimación de la importancia relativa del término de inercia, y el término viscoso  2 0 de la ecuación de Navier-Stokes. Volvamos por un momento sobre esta cuestión, y consideremos un flujo incompresible Estacionario alrededor de un cuerpo sólido. Claramente, de acuerdo con la ecuación de Navier-Stokes, el gradiente de la presión asociado con el campo de velocidad está determinado por dos clases de fuerzas: las fuerzas de carácter inercial, es decir las dadas por el teorema de Bernoulli, y las fuerzas de origen viscoso. A velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente.

Figura 4.1 Flujo de aire detrás de una bola en movimiento: laminal (izquierda) y Turbulento (derecha).

Cuando el agua de un río fluye por su cauce sabemos que existen diferentes formas de flujo. Si la velocidad del agua es pequeña, entonces este flujo es regular; cuando el agua pasa por alguna piedra que está en el río, simplemente la rodea y el flujo continúa de manera regular. Se dice que el flujo es laminar, ya que su movimiento ocurre como si un conjunto de láminas de agua fluyera una sobre otra. Sin embargo, al aumentar la velocidad del agua llega cierto momento en que el flujo se vuelve altamente irregular. Nos damos cuenta de que al bordear la piedra se producen remolinos. Si la velocidad del agua es mucho más alta todavía, aparecen remolinos dentro de los remolinos. En estas condiciones el flujo del agua es turbulento. La turbulencia o flujo turbulento es un régimen de flujo caracterizado por baja difusión de momento, alta convección y cambios espacio-temporales rápidos de presión y velocidad. Los flujos no turbulentos son también llamados flujos laminares.

Figura 4.2 Representación de las líneas de corriente en tuberías, para flujos laminal (izq). Y Turbulento (derecha)

Reynolds determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds. Cantidad adimensional, definida como:

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 R N 



  vd   

(4.11)

Si el número de Reynolds es menor de 2000 el flujo será laminar y si es mayor de 3000 el flujo será turbulento, si se encuentra en medio se conoce como flujo transicional y su comportamiento no puede ser modelado. De esta manera los flujos viscosos se pueden clasificar en laminares o turbulentos teniendo en cuenta la estructura interna del fluido. En un régimen laminar, la estructura del fluido se caracteriza por el movimiento de láminas o capas. La estructura del fluido en un régimen turbulento por otro lado, se caracteriza por los movimientos tridimensionales, aleatorios, de las partículas del fluido, superpuestos al movimiento promedio. Un ejemplo, para observar la turbulencia en un fluido es un cigarrillo encendido, cuando se enciende el humo sabe en forma de laminas (régimen laminar), luego el fluido se mueve mas libremente describiendo un movimiento como un remolino, esto se debe al numero de Reynolds, las partículas se mueven libremente aumentando así su camino libre medio.

Fig.4.3 Flujo laminal en el Humo de un Cigarrillo (izquierda), flujo turbulento representado por Van Gogh en su pintura “La noche estrellada” (derecha)

4.3 Turbulencia

En términos de la dinámica de fluidos la turbulencia es la manifestación del flujo no laminares o flujo turbulento, concretamente es un régimen de flujo caracterizado por baja difusión de momento, alta convección y cambios espacio-temporales rápidos de presión y velocidad. Un flujo se puede caracterizar como laminar o turbulento observando el orden de magnitud del número de Reynolds. El mecanismo concreto del inicio del turbulencia siguió siendo un misterio durante mucho tiempo. Landau consideró la turbulencia como el resultado de un flujo de un fluido inicialmente estable que adquiere un movimiento adicional de vibración, y luego otro y otro. Así una turbulencia podía ser inicialmente un flujo estable con tres o cuatro movimientos periódicos superpuestos, e ideó un mecanismo por el cual cuando se desata el flujo totalmente turbulento el número de movimientos periódicos se hace infinitamente grande. El mecanismo básico de creación de las vibraciones adicionales se conoce como bifurcación de Hopf, en honor a Eberhard Hopo, quien en 1948 propuso una teoría detallada del inicio de la turbulencia. Luego se llamó teoría de Hopf-Landau, aun cuando es bastante poco predictiva. En palabras del propio L.D. Landau ( 1944): “Aunque se ha discutido extensamente en la literatura el movimiento turbulento, la

verdadera esencia de este fenómeno todavía carece de la suficiente claridad [...] En opinión del autor, el problema puede aparecer con una nueva luz si se examina a fondo el fenómeno de la iniciación de la turbulenci a”

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Figura 4.4 Los vórtices y la turbulencia se manifiestan en todas las escalas de longitud, en un sin numero de situaciones físicas como las mostradas en las imágenes: chorros de agua, viento alrededor del vuelo de un avión, tornados, galaxias, mareas, huracanes terrestres, la mancha roja de Júpiter, las regiones de formación estelar en las nebulosas galácticas, ect.

A una columna de fluido girando se le conoce como, vortex (en plural, vórtices); debido a que la turbulencia está llena de vórtices , decimos que tiene vorticidad. Esto es especialmente cierto si el objeto mismo se encuentra girando al igual que un planeta o estrella, en cuyo caso, la verticidad se origina por el efecto Coriolis. Algunos ejemplos de vórtices incluyen, tornados y huracanes en la Tierra, pequeños remolinos de polvo sobre Marte, y la Gran mancha roja de Júpiter. Así mismo, las galaxias en espiral son vórtices. En flujo turbulento, se asume que aparecen vórtices de diferentes escalas que interactúan entre sí. La fuerza de arrastre debido a fricción en la capa límite aumenta. La estructura y localización del punto de separación de la capa límite cambia, a veces resultando en una reducción de la fuerza de arrastre global. Las turbulencias son impredecibles ya que ambos regimenes de fluido (laminal y turbulento) están presentes en ella, los cuales parecen idénticos en un momento determinado, pueden verse completamente diferentes al siguiente instante. Generalmente, la turbulencia de objetos astronómicos como, planetas y estrellas, se debe a la flotabilidad (los fluidos calientes ascienden, y los fluidos fríos se hunden a causa de la gravedad) o a los cortes (vientos o corrientes que van en direcciones diferentes). Los fluidos de una turbulencia se mezclan muy bien, si pones leche en tu té, esta se mezclará más fácilmente que si pones leche en una tasa de melaza. La turbulencia también es buena para disipar energía - es por esto que los automóviles y aeronaves están diseñados para cortar el perfil aerodinámico lo más posible. La forma del perfil aerodinámico reduce la turbulencia y por ende, también reduce la resistencia. Fig.4.5 El flujo de una pompa de jabón sigue los mismos patrones de comportamiento que los huracanes o las grandes tormentas, como la Gran Mancha Roja del planeta Júpiter. Recientemente se ha recurrido al uso de capas de agua jabonosa para modelar atmósferas planetarias, debido a que ambos sistemas son muy delgados en comparación con su entorno y se comportan como si fueran bidimensionales. Sin embargo, difieren en que el movimiento turbulento sobre una capa de agua jabonosa suele derivar en la formación de pares de vórtices, como si fuesen dos huracanes rotando en direcciones opuestas.

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4.4 La turbulencia de los fluidos y Ecuaciones de Navier-Stokes:

Para números de Reynolds grandes el flujo deja de ser estable (Debido a la no linealidad de las ecuaciones de Navier-Stokes) . En algunos casos las perturbaciones de tipo local en un flujo estacionario se amortiguan rápidamente. En otros casos los flujos estacionarios que son perturbados dejan de comportarse de forma laminar y se vuelven inestables. Consideremos las ecuaciones de Navier-Stokes.

v  p  v.v      2 v   t    

(4.12)

Sea v ( x , y , z ) y  p ( x , y , z )   las soluciones de un flujo laminar estacionario y v ( x , y , z , t ) y  p ( x , y , z , t )  perturbaciones dependientes del tiempo. Las respectivas sumas de ellas deben satisfacer las siguientes ecuaciones lineales si se considera sólo el primer orden: 0

0

1

1

v1  p  v0 .v1  v1 . v0      2 v1 t    

v 1

0

 

(4.13)

Como la derivada temporal es de 1er. orden la dependencia en el tiempo es de la forma exp (-iωt) v1

  f  ( x,  y ,  z ) A(t )   f  ( x,  y ,  z ) k e

i t  (4.14)

En general las frecuencias de las perturbaciones son complejas:     1  i  1   1 y 1 dependen de los números de Reynolds (R) de la siguiente manera.

R R

R cr  R cr 

1 1

(4.15)

0 0

Examinemos las propiedades del flujo a números de Reynolds sólo ligeramente mayores al número de Reynolds crítico. En este caso 1 es pequeña en comparación con la parte real 1 (11). Durante un intervalo corto de tiempo después de que el flujo deja de ser laminar, A(t) es:    A(t )  k e i t   k e i  1 i 1t  t  (4.16) El módulo de A(t) aumenta y tiende a un valor finito. Para hallar ese valor hallamos su derivada temporal considerando tiempos cortos. d | A |2 dt 



d (k 2e

2 1t 

dt 

)

 k 2 (2 1 )e2  t   2 1 | A |2 1

Para que la “amplitud” | A |  varíe apreciablemente debe pasar un tiempo

A(t),

2  ,

1  1

(4.17) . Ahora, el periodo de

es muy pequeño en comparación con el tiempo anterior, por lo que podemos tomar el

 1

promedio de la derivada temporal antes de que se produzca un cambio considerable. Haciendo una expansión en serie de potencias tenemos que solo sobreviven los términos pares, ya que los impares contienen el factor periódico y por lo tanto su promedio temporal se anula.

64

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

2

d |  A |

 2 1 | A |2   | A |4

dt 

(4.18)

donde  es una constante de proporcionalidad y puede ser negativo o positivo. La ecuación diferencial obtenida es del tipo Bernoulli. Para resolverla, hacemos el cambio  A 2 

dy 

1

dt 

 2 1 y 1   y  2

1

 y

. (4.19)

Que al multiplicar por el factor integrante  y 2 e 2  t   e integrar, obtenemos   2 1t  2 t  2 t  e  1  y   e  1 dt  e  C   2 1 Que equivale a la ecuacion: 1    y  2   Ce 2 1t    2 1  A 1



(4.20)

(4.21)

La amplitud máxima es:

| A |2 máx 

2 1

 

 

Ahora como  1   1 ( R) . Haciendo una expansión hasta el primer término:   1 ( R)    1 ( Rcr )    1 ' ( Rcr )( R  Rcr )  

(4.22)

(4.23)

Por definición  1 ( Rcr )  0  y tenemos que:

 Amáx  ( R  Rcr )  

(4.24)

Cuando  R   está próximo a  Rcr  , las perturbaciones dependientes del tiempo v1 ( x, y, z , t )   son periódicas con una amplitud finita pequeña proporcional a la raíz cuadrada de  R  Rcr   . En otras palabras v1 ( x, y, z , t )  es de la forma

v1

  f ( x, y, z ) ei   t       1

(4.25)

1

donde f es función compleja de las coordenadas, y   1  es una determinada fase inicial. Usemos

  1t   1  

variable independiente y podemos expresar v( x, y, z ,  1 )  v0 ( x, y, z )  v1 ( x, y, z , 1 )  como una función periódica de períod o 2π. Es necesario un desarrollo en serie de Fourier:  1

como

la

v

 A ( x, y, z )  p

e i 1 p

(4.26)

 p

donde p es un entero. La fase  1  depende de las condiciones iniciales y de frontera.

65

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Si se continúa aumentando el número de Reynolds llegará un momento en que este flujo periódico también se hace inestable por lo que se puede repetir este método tomando como v0 ( x, y, z , t )  nuestro resultado anterior y v2 ( x, y, z , t )  como una pequeña perturbación. A diferencia del caso anterior v0 ( x, y, z , t )  sí depende del tiempo y las soluciones para v2 ( x, y, z , t ) se deben buscar de la forma:

v2  F ( x, y, z , t ) e i t   

(4.27) Se producirá una nueva inestabilidad cuando la parte imaginaria de la frecuencia     2  i 2   sea positiva. Como resultado aparece un flujo cuasiperiódico con dos periodos diferentes. A medida que el número de Reynolds continúa aumentando aparecen más periodos y la separación entre ellos es cada vez menor respecto a dichos números. Se vuelve muy inestable, a lo que se llama Turbulento Si generalizamos la ecuación (4.27) para abarcar todos los periodos. Consideramos n frecuencias distintas   j ( j  1,2,..., n)  y n fases diferentes   j    jt    j n

v( x, y, z , t ) 

 A  x, y, z  e

i

  p  

 j  j

 j 1

 p

 

(4.28)

 p

Figura 4.6 El comportamiento de los fluidos viscosos puede visualizarse a traves de una mezcla de Maicina y agua. Se comporta como un fluido frente a los exfuerzos de corte, caundo se arrastra entre los dedos (izquierda) y presenta propiedades como si fuese un objeto sólido cuando se impacta su superficie con el puño (derecha).

4. 5 Flujo en Tuberias La ecuación de continuidad es validad tanto para fluidos viscoso como para fluidos no viscosos. El movimiento de los fluidos perfectos, es decir, no viscosos se describen mediante la ecuación de Euler : 

   P   v     v. v      t      

(4.29)

donde la ecuación de Euler para el movimiento de fluidos viscosos viene a ser dada por la ecuación de Navier-Stokes: 

v    1       v. v    P   2 v   t       

(4.30)

siendo ν = η /  ρ la viscosidad cinemática y sustituyéndolo en la ecuación de Navier-Stokes tenemos: 

 2 v    1   v. v    P    v      t 

(4.31)

66

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Resolveremos las Ecuación de Navier-Stokes para un fluido viscoso estacionario en tuberías, bajo las consideraciones siguientes: 1. El campo de velocidades del fluido tiene la misma dirección en todas partes y no depende de las coordenadas en la dirección del movimiento del flujo, el termino de la velocidad convectiva v. · v se anula. 2. El tensor de tensiones en un fluido incomprensible toma la forma:  ik 



 v v   P ik   P    i  i     xi   xk   xi 

(4.32)

Siendo el 1er termino la presión del fluido, mientras el 2 do es la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad, que actúa sobre al superficie. 3. En un fluido laminar de n capas, la adherencia entre las capas del fluido y la tubería donde se mueve dicho fluido la velocidad v del fluido se anula en las superficies sólidas fijas: 4. Para una superficie móvil, la velocidad v debe ser igual a la velocidad de la superficie. Ejemplo1 Flujo entre placas plano paralelas Consideremos el flujo encerrado entre dos placas planas paralelas que se mueven con velocidad constante u, y cuya distancia entre placas es igual a h. Uno de los planos lo ubicamos como xz , tomando a x como la dirección de u; es decir, la velocidad del fluido. De modo que todas las magnitudes quedan dependiente de y. El flujo estacionario en una tubería v = ctte dando que la ecuación de Navier-Stokes es, de acuerdo con la Ec. 4.9, o bien Ec. 4.30: 1     2   P   v        

Fig. 4.7 Flujo entre placas plano paralelas

(4.33)

Tomando en cuenta que solo existe variación de las magnitudes con respeto a y, la presión varia respecto a la altura y dependiente del peso y suponiendo que en el fluido la presión es constante; trivialmente tenemos que:

 P  2     2 v    y  y

(4.34)

En forma equivalente, y reduciendo al caso particular planteado, tenemos:

2  0 2 v  y Que se integra facilmente como: V=ay+b, por las condiciones de contorno para el movimiento de un fluido viscoso ( y = 0,  _v = 0, y = h y v = u), sustituyendo en la expresión de la velocidad y obteniendo los valores de las constantes a = v h y b = 0, tenemos que la distribución de velocidades del fluido es lineal :

67

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

 v



u       y    h 

(4.35)

La velocidad media del fluido, viene dado por: v



1

h

u

v dy    2 h

(4.36)

0

y la fuerza de rozamiento tangencial sobre un plano es: 

  xy



 v  u              h    y  y 0

(4.37)

Ejemplo 2 Flujo entre placas plano paralelas con gradiente de presión. Consideremos el flujo estacionario entre dos planos paralelos fijos en presencia de un gradiente de presión. Escogeremos las coordenadas como antes; el eje x en la dirección del movimiento del fluido. De modo que v = v(y). Las ecuaciones de Navier-Stokes, puesto que evidentemente, la velocidad depende sólo de y, y la presión es independiente de y: (4.38)

donde G es una constante

(4.39) Integrando obtenemos trivialmente que P  P 0  GX  y ademas:

(4.40) donde P0; b y c son constante de integración y empleando las condiciones de contorno v(0) = 0; v(h) = 0 obtenemos c = 0 y b = −Gh/2η , resultando que: (4.41) La velocidad varia parabólicamente a través del fluido, y la presión decae linealmente con x

(4.42) Fig. 4.8: Distribución parabólica de las velocidades.

68

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Su máximo valor de velocidad esta en la mitad del plano, es decir, h/2. La velocidad media del fluido (promediada en toda la profundidad del mismo) es:

La fuerza de arrastre por unidad de área sobre uno de los planos fijos es

y sustituyendo los valores tenemos.

Ejemplo 3 Conducto de sección circular: Formula de Poiseuille

(4.43)

(4.44)

(4.45)

Consideremos el flujo estacionario en una tubería de sección recta arbitraria (que sin embargo, es la misma a lo largo de la longitud completa), con velocidad u y la condición limite u = 0 en la periferia de la sección recta de la tubería. Tomaremos el eje de la tubería como el eje x: De modo que la velocidad de fluido está dirigida a lo largo del eje x en todos los puntos y es una función solamente de y y z donde la presión es constante en toda la sección recta de la tubería. La ecuación de Navier-Stokes en la componente x nos da: Figura 4.9: Capa de Fluido com rendida en una recta arbitraria.

(4.46)

Si se cumple la condición limite u = 0 entonces 2u = ctte, resolviendo la ecuación para una tubería de sección recta circular en coordenadas polares el laplaciano viene dado por (4.47) Empleando la en la Ecuación de Navier-Stokes; obteniendo que (4.48) Integrando obtenemos: (4.49) Por tanto la distribución de velocidades en función de la distancia radial, al eje del tubo es: (4.50)

69

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Donde se ha usado que a2



4 

G

 A ln r   B   

(4.51)

El gradiente de presión para un conducto horizontal con una diferencia de presiones  p en los extremos de la tubería de longitud l u



 p

4 l 

a

2

 r 2   

(4.52)

La distribución de velocidades en la tubería es parabólica y la fuerza de arrastre será:   xy

u   p         a  2l   r   r  a

(4.53)

El volumen de fluido que atraviesa cualquier sección normal del tubo en la unidad de tiempo se denomina caudal. Para determinar el caudal Q de tubería donde atraviesa una masa  ρ2 πr u por unidad de tiempo en una sección en forma de anillo de área transversal 2 πrdr . r 



Q  2  r u dr   0

  p 8vl 

r 4  

(4.54)

Se ha empleado el valor de velocidad u (Ec.4.41) para obtener la masa de fluido transportado, que resulta proporcional a la cuarta potencia del radio de la tubería ( fórmula de Poiseuille).

70

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Clase 5: ARRASTRE Y ONDAS EN FLUIDOS IDEALES En este apartado veremos los fundamentos de otros fenómenos de la dinámica de fluidos, particularmente el formalismo de la fuerza de arrastre de un flujo potencial que rodea a un cuerpo sólido, o equivalentemente si cambiamos el referencial, del dinamismo de un cuerpo sólido que transita a lo interno de un fluido. En este tipo de transito aparecen comúnmente una componentes de fuerzas, denominadas de sustentación o de Magnus, cuyas aplicaciones en aerodinámica son inauditables. En presencia de la gravedad, si en el fluido hay estratificaciones de densidad se pueden también propagar ondas transversales, denominadas ondas internas de gravedad. Si se perturba un fluido con una estratificación estable, haciendo que una parcela del mismo se desplace verticalmente respecto de su posición de equilibrio, la diferencia entre su peso y el empuje de Arquímedes proporciona una fuerza de restitución, de resultas de la cual la parcela efectúa oscilaciones alrededor de su posición de equilibrio. Estas oscilaciones se propagan en el fluido en forma de ondas que son precisamente las ondas internas de gravedad. Las ondas internas de gravedad son de gran interés para la meteorología y la oceanografía, se muestra aquí el formalismo introductoria para la meteorología física y la oceanografía.

5.1 Fuerza de arrastre en un flujo potencial que rodea un cuerpo

Se considerara un flujo de potencial de un fluido ideal incomprensible que rodea un cuerpo sólido, además, el movimiento de los fluidos perfectos, es decir, no viscosos se describen mediante la ecuación de Euler:  d v

dt 

  g 

 p   

 

(5.1)

Teniendo en cuenta que los fluidos invíscidos, es decir, fluidos no viscosos poseen flujos que son  permanentemente irrotacionales, teniendo que la vorticidad   v  0 en todos los puntos del fluido. Con esto se obtiene que si junto a un cuerpo cualquiera pasa un  flujo estacionario  y uniforme, en el infinito debe se un flujo potencial debido a que su velocidad es constante. El flujo de potencial trata de describir el comportamiento cinemático que poseen los fluidos mediante el concepto de función potencial, donde el campo de velocidades es un campo vectorial del flujo de un fluido el cual es igual al gradiente de una función potencial que determina el movimiento de dicho fluido.  v

    

(5.2)

Como el fluido es incomprensible, el campo de velocidad satisface la ecuación de Continuidad:       (  v )  0  .v  0 t 

Figura V.1 Fuerzas sobre un cuerpo inmerso en un fluido

(5.3)

Combinando las ecuaciones 5.2 y 5.3, obtenemos:  v

 2   2   2   .       2  2  2  0  x  y  z  2

(5.4)

71

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

En la cual     satisface la ecuación de Laplace, además, junto a la ecuación 5.2 se determinara la   velocidad del fluido v (r , t ) . Ahora se calculara la fuerza que ejerce se ejerce sobre un obstáculo de forma arbitraria en un flujo potencial. Considérese un cuerpo sólido de extensión finita y de forma arbitraria con volumen V c y superficie limite S c , que se desplaza con velocidad u en el seno de un campo fluido. Tomando el origen de coordenadas dentro del cuerpo y considerando que no habrá ni fuentes ni sumideros en el sólido, de modo que la solución de la ecuación de Laplace a grandes distancias es:    

a r 



 A.

1

r   

(5.5) Donde r es la distancia respecto al origen, A es un vector constante y su valor depende de la forma que posea el objeto y de su orientación con respecto u , el cual esta relacionado de un modo definido con el impulso y la energía total del fluido en su movimiento alrededor el cuerpo. Además, A y a  son independientes de las coordenadas a

Por medio del potencial     , se obtiene l a velocidad del fluido como: r 

 v

1

 ar 

r 

r 3  

     

(5.6) como se esta considerando una superficie cerrada, se puede tomar como ejemplo a una esfera de radio R, donde su velocidad es constante e igual a a 2  con esto el flujo total de masa que pasa a través de  R

cualquier superficie cerrada es nulo, es decir, es nulo.   Q     vn dl     v Area



Donde a=0

a    4  R 2    2   4 a  0   R  

  1  A.n     A.   2 r  r 

(5.7)

Con esto la velocidad viene dada por:  v

    1 3( A.n )n  A     ( A.)    r  r 3

Donde n es el vector unidad en la dirección de r, además, la velocidad disminuye como r Teniendo que:  v

(5.8) -3



  A.n       2      r   

(5.9)

Aplicando la regla de derivada de un cociente y derivando con respecto a (r 2 )  se obtiene:  v



1 r 3







 A.n .r   A.n n  3 A.nn 

(5.10)

  

Ahora se aplicara la identidad: ( A.n )

72

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte



















( A.n)   A  (  n)  n    A   A.n  n. A 





 A.n    A.n   Con esto se reobtiene la Ec. 5.10 como:  v 





1



(5.11)



  A.n.r   A.n n  3 A.nn  r 

(5.12)

3



Para resolver  A.n los tensores cartesianos, es decir, se escriben las coordenadas x, y e z en forma de tensores. Donde se escribe:    i  x   j y  z  z    x k ek  (5.13) r    x1e1  x2e2  x3e3   xk ek  ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Considerando las tres consideraciones que se mencionaron anteriormente, utilizando la notación de Einstein (índices repetidos indican sumatoria, omitiendo el acostumbrado símbolo de sigma mayúscula para la sumatoria) y el delta de Kronecker se obtiene que:    (5.14)  A.n.r    Ak .ek eii  n.r   ek .ei  Ak i  n.r    ki  Ak i n.r    Ak k n.r  ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Resolviendo:   k n



  xiei   r  k  xi  xi k r   r       ei        k  2 r  r   r          

 x k   k  x  i   ik   x i

ˆ

ˆ

   x i x k     k   r  ik    ei r    x r     k n  ei   3 2   r  r  r        ˆ

ˆ

Entonces:  k    r  x k   k  ei k  x     A  k n.r    A   3 .r    A  A n r    r  r    k 

ˆ

     A   A.n n  

 

(5.15)

Retomando la ecuación de velocidad (Ec. 5.12):  v



 v



1







 A.n.r   A.n n  3 A.nn    r  3

      1      A  A . n n  A . n n 3  A .n n   r 3     3( A.n )n  A v   r 3

    

 

(5.16) (5.17) (5.18)

Se puede observar que la velocidad del fluido disminuye en proporción de  r -3.

73

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

5.2 Consideraciones Energéticas

Hay que considerar que la energía cinética de un fluido incomprensible es constante, es por esto que se calcula la energía cinética E de dicho fluido el cual esta contenido en un volumen esférico V muy grande que rodea al objeto, donde R es su radio y S es la superficie que lo limita. Tomando en cuenta la figura V.1 y recordado que V o es el volumen del cuerpo. 1

  v dV   2

 E  

Se usará la identidad siguiente:

v  u . v  u   v  u  2

2

2

 v2

(5.19)





 



 u 2  v  u . v  u   

(5.20)

Para resolver la Ec. 5.19, en términos de las integrales I 1 e I2, definidas como:  E  

           udV   v  u . v  u dV  2 V V  







  2

 I 1  I 2  

(5.21)

Como u es la velocidad que posee el cuerpo, y es independiente de las coordenadas:  I 1

4    u 2 (V   V o )  u 2      R3  V 0     3  

(5.22)

Escribiendo la segunda integral I 2 en la forma:     (v  u )     u.r   (   u.r )        (v  u ).(v  u )dV   (   u .r ).(v  u )dV   





V 

(5.23)

V 

Ahora se utilizara la identidad vectorial:







.( A B)  B. A  A.B           .(   u.r )(v  u )  (v  u ).(   u.r )  (   u.r ).(v  u )   (5.24)   Recordando que para un flujo incompresible el .v  0 y .u  0   debido a que es un vector constante se tiene finalmente, que:  I 2

 



  .(   u.r )(v  u )dV   

(5.25)

V 

Usando el teorema de divergencia se obtiene:  I 2

 

 

 

 

  (   u.r )(v  u ).nc dS c   (   u.r )(v  u ).ndS   S

(5.26)

S 

Donde el primer termino es nulo, debido, a que la superficie del cuerpo cumple con la condición de    contorno: (v  u ).nC   0 , es por esto que queda:  I 2

 

 

  (   u.r )(v  u ).ndS  

(5.27)

S 

ahora se sustituye las expresiones 6 y 7, luego, se evalúa sobre la superficie de la esfera de modo que    r   Rn  en el integrando y sobre el diferencial dS   n R2d  , donde d   es el ángulo sólido y con algunas simplificaciones nos queda: 





  A.n     3 A.n n  A    2  I 2    2  u.r    u .n R d    3  R  R   

(5.28)

Ahora se expande los términos y se sustituye R e n en la expresión desarrollada con lo que queda:     I 2  3( A.n )(u.n )  (u.n )2 R 3 d    (5.29)



S 

74

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Cabe recordar que se ha asumido que  R   Para resolver las integrales que han quedado se utiliza la relación vectorial, la cual vale para los vectores constantes A y B cualesquiera.   4 ( A.n )( B.n )d    A B n n d   A B   i  j i  j i  j ij 3 S  S 





Con lo que resulta:  I 2



 4  A.u 

4 3



4      A. B   3

   R 3u 2  

(5.30)

(5.31)

Como la energía cinética de un fluido viene dada por la Ec. V.21, se sustituye el valor de cada integral:  E  

   2

 4   A.u  V 0u 2  





(5.32)

Además, la energía cinética del fluido se puede escribir en función cuadrática de las componentes de u quedando de la forma:  E  

1 2

mij u1u j

(5.33)

Donde mik es un tensor simétrico constante el cual se denomina tensor de masas asociadas 5.3 Fuerza de Sustentación de Magnus

Para obtener la cantidad de movimiento del fluido, se debe tener en cuenta que este se encuentra asociado al flujo que es provocado por el desplazamiento del cuerpo en el seno del fluido, además, las variaciones infinitesimales de la energía E y el momentum p se encuentran relacionadas mediante: dE=u.dp, luego, se expresa a la energía cinética dada por la ecuación anterior en forma de las componentes de p la cual es:  pi

 mij u j 

2 E  2 E     2 .u   u u

(5.34)

Para escribir la cantidad de movimiento (p) en función de A, se debe sustituir aquí la expresión V.32:     p  4   A     V 0 u  

(5.35)

Para determina la  fuerza que se ejerce sobre el cuerpo, se debe partir de la cantidad de movimiento con la cual permite determinar la fuerza que el fluido ejerce sobre el cuerpo:  F   

 d   p

dt 

 

(5.36)

Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, donde p i  es el momento de la partícula i-esima, Fi  es la fuerza sobre la partícula i-esima y dr i es el campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de partículas.    p



i



 F i .d r i  0  

(5.37)

La componente de la fuerza (F) paralela a la velocidad del cuerpo  recibe el nombre de fuerza de arrastre y

refleja la ausencia de disipación de energía en los flujos potenciales estacionarios; en la deducción precedente era nula, debido, a que no había disipación de energía en un flujo ideal. Además, el arrastre es una fuerza mecánica y es generada por la interacción y contacto de un cuerpo rígido y por un fluido, además, es un vector que va en la dirección contraria al movimiento del cuerpo.

75

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

La componente de la fuerza (F) perpendicular a la velocidad del cuerpo se denomina fuerza de sustentación o fuerza de Magnus, la cual depende únicamente de la presencia de un circulación de la velocidad alrededor del obstáculo. Cabe destacar que el efecto Magnus, es un fenómeno y se observa cuando un cuerpo esférico esta avanzando y rotando perpendicularmente a su traslación dentro de un fluido y consiste en la desviación de la trayectoria que sería observable en el vacío en ausencia de fluido. Este efecto responde en parte al efecto Bernoulli y a la asimetría inducida por la rotación en la capa límite laminar. Como aplicación tenemos que va desde el diseño de los aviones hasta el efecto que le da al balón un jugador de fútbol. Ahora se supondrá un cuerpo simétrico como un cilindro, como vemos en la figura, las líneas de corriente se reparten simétricamente. La velocidad del fluido es nula en los extremos de su diámetro horizontal y máxima en los extremos de su diámetro vertical, pasando por valores intermedios para diámetros que tengan otra orientación. Figura V.2 Si el fluido es ideal, las presiones se distribuyen simétricamente alrededor del cuerpo de modo que las fuerzas debidas a la presión se anulan de dos en dos en los extremos de cada diámetro.

La resultante de las fuerzas que ejerce el fluido sobre el cuerpo es nula. Por tanto, se dará la paradoja de que un cuerpo simétrico no es arrastrado cuando se coloca en el seno de una corriente de un fluido perfecto. Como hemos visto al explicar la fórmula de Stokes, en un fluido real, el cuerpo sufre por parte del medio una resistencia que depende de su velocidad relativa y de su forma. Ahora el cilindro gira en el sentido de las agujas del reloj, y que está colocado perpendicularmente a las líneas de corriente de un fluido en régimen laminar con velocidad constante y por el efecto de la viscosidad, los elementos de un fluido que se encuentran en contacto con la superficie límite, son arrastrados por el movimiento de giro del cilindro, de tal forma que en la parte superior del cilindro A los elementos de fluido aumentarán de velocidad y en cambio, en la parte inferior B su velocidad disminuirá tal como se ve en la figura V.3.

Figura V.3 Efecto Magnus y Paradoja de DAlembert

De acuerdo con la ecuación de Bernoulli la presión en A será menor que en B, el mismo razonamiento se aplica a otros puntos del fluido por encima y por debajo de la línea horizontal que pasa por el centro del cilindro. La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cilindro debido a la presión del fluido es una fuerza vertical denominada sustentación que tiende a desplazar al cilindro en una dirección perpendicular a las líneas de corriente.

Cuando la pelota no viaja rápidamente, el flujo del aire a su alrededor es laminar, la capa de aire que la rodea se separa rápidamente de la misma, dejando una gran zona de baja presión detrás de la pelota. La diferencia de presión entre el aire delante y detrás de la pelota produce una mayor fuerza de arrastre, es decir mayor resistencia al movimiento.

76

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Figura V.4 Cuando el borde del balón se mueve en la misma dirección que el flujo de aire, éste viaja más rápido con respecto al centro de la pelota. Esta mayor velocidad reduce el empuje o presión que ejerce el aire sobre ese sector de la pelota respecto a una pelota ue no ira

Cuando la pelota viaja a gran velocidad, el flujo de aire a su alrededor es turbulento, y la diferencia de presiones ahora es pequeña, esto significa menor resistencia, y la pelota no se frena relativamente tan rápido. Se sabe que cuando la velocidad de la pelota aumenta la fuerza de Magnus (empuje) disminuye. Esto significa que una pelota dando vueltas sobre sí misma, moviéndose en forma lenta, es desviada lateralmente en mayor proporción que la misma pelota desplazándose a gran velocidad. Entonces, a medida que la pelota se va frenando su desviación lateral se acentúa. El resultado principal es que en un flujo potencial alrededor de un cuerpo de extensión finita que se mueve con velocidad constante, no presenta ni arrastre ni sustentación, es decir, las fuerzas de presión ejercidas sobre el cuerpo por el fluido están equilibradas y a este equilibrio se le denomina dinámico y a este hecho se le conoce como la paradoja de D’ Alembert. Esta teoría esta basada en la resistencia de los fluidos y estudia las líneas de flujo de un fluido a través de un objeto, como ejemplo a dicha paradoja, se considera al aire como un fluido elástico e incomprensible compuesto de pequeñas partículas, que constituyen el fluido. El Efecto se explica por la pérdida de la cantidad de movimiento en los impactos del cuerpo móvil y que en consecuencia, las fuerzas ejercidas en el frente del objeto deben ser neutralizadas por fuerzas similares en la parte posterior del mismo, D’Alembert demostró que el resultado de esa resistencia es nula y con esto pudo

afirmar: Un cuerpo moviéndose con velocidad uniforme a través de un fluido no experimenta ninguna resistencia por  parte del mismo fluido.

Sin embargo, dado que experimentalmente se observa una turbulencia detrás del objeto este enunciado fue conocido como la famosa paradoja d’ Alembert, para explicar esta paradoja fue

necesario entender como ocurre la turbulencia, como se explicó en la case 4 (véase). 5.4 Ondas de Gravedad

Se denomina ondas de gravedad a el movimiento que se propaga a lo largo de toda la superficie en formas de ondas, es decir, en una superficie libre de un liquido en equilibrio en un campo gravitatorio es plana, si cuando se presenta una perturbación externa, se mueve la superficie separándose de su posición de equilibrio en un punto determinado aparece movimiento en el liquido. Las ondas de gravedad externas solamente pueden existir si el fluido tiene una superficie libre o existe una discontinuidad de la densidad en su interior. La fuerza restauradora actúa verticalmente y la onda se propaga a lo largo de la superficie del fluido. En la figura V.5 se puede observar el desplazamiento transversal y las variaciones en la posición vertical que poseen las moléculas de agua. Cabe destacar que el desplazamiento longitudinal a medida que pasa la onda en la cresta se mueven en dirección de la propagación de dicha onda, y las moléculas en los valles se mueven en dirección opuesta a ésta.

77

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Para las ondas de gravedad la velocidad de las partículas del fluido móvil son muy pequeñas respecto a la velocidad del fluido, podemos despreciar el termino   v . v   en comparación con

 

ecuación de Euler. Fi . V.5 Es uematización de las ondas de ravedad

v   en la t  



 v     v. v      t 

(5.38)

Durante un intervalo de tiempo del orden del periodo   , las oscilaciones de las partículas del fluido recorren una distancia del orden   , la cual nos indica la longitud de onda en la dirección de la propagación de la amplitud (a) de la misma como muestra la siguiente figura V.6 y 

su velocidad es del orden v  

a  

 los cuales varían según

los intervalos de tiempo y las distancias de la longitudes de onda. La derivada temporal de la ve locidad depende como v/τ , mientras, que las derivadas temporales dependen como   v/, de aquí la condición: v. v

 



v  ; que equivale a t 

afirmar que la amplitud de las oscilaciones en la onda debe ser pequeña en comparación con la longitud de su onda.

Figura V.6 Ondas de gravedad en la superficie

de un líquido

Teniendo que: 



v v v v  y  t    t   

 v

v  2

v

    

(5.39)

Se determina que: 1  a 

2

  

a1

1 a2

 2

   a    (5.40)       a     Ahora se puede despreciar el término v. v en la ecuación de Euler para así obtener un flujo de      

 

potencial o flujo irrotacional. Como el fluido es incomprensible, es decir, su densidad es invariable, como la ecuación de Bernoulli

     v   v  v  , la cual satisface que v  0   y se puede utilizar las ecuaciones: t    v      2   0 , la cual no es mas que la ecuación de Laplace para un potencial   , además, la

velocidad esta relacionada con la presión por medio de la ecuación:

78

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

  1 2  P   v    f (t )   t  2   

(5.41)

De donde se observa que el flujo de potencial en un instante dado depende solo de la velocidad del cuerpo móvil en dicho instante y no de su aceleración o de otro elemento. Ahora podemos despreciar el segundo término de la ecuación (5.41) ya que este contiene el cuadrado de la velocidad. Si además hacemos f(t)=0 y se incluye el termino    gz  para obtener en cuenta el campo gravitatorio, se obtiene:

   P      gz  0   P     gz       t  t   

(5.42)

Para halla la ecuación de la onda de gravedad, supondremos sin perdida de generalidad al eje z verticalmente hacia arriba, y el plano XY de modo que se corresponda con la superficie de equilibrio del fluido. Luego, se designa a A= A(x,y,z) como la coordenada z de un punto de superficie. Para aislar los mecanismos que actúan en las ondas de gravedad puras se ignoran los efectos de la compresión, la rotación terrestre y el rozamiento. Por consiguiente, se omiten estos términos de las ecuaciones del movimiento en la dirección del eje "y", así como de la ecuación de continuidad en dos dimensiones. Donde en el equilibrio es  A=0, de modo que  A da el desplazamiento vertical de la superficie en sus oscilaciones. Suponemos también que sobre la superficie actúa una presión constante P o (por ejemplo, la presión atmosférica) y evaluando estos términos en la ecuación 5.42:



 P o

  gA 

  

  t 

(5.43)

Se puede sumar a    cualquier función del tiempo, debido a que la velocidad es la derivada espacial de ella, es por esto:  '

   

 P o   

t  

(5.44)

Donde esta ecuación vale para cualquier     en particular para  ' , este es en esencia el método perturbativo. Cabe destacar que: v =   , no cambia si se considera: 

 v

Luego, considerando la Ec. 5.44,





     f (t ) 

(5.45)

  v      f (t )  v



     v '

    P        o t        

(5.46)

Ahora se sustituye la Ec. (5.44) en la ecuación (5.43):



 P o   

 gA 

    P o      t   t       



 P o   

 gA 

  P o  t    

(5.47)

79

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Obteniéndose la relación:

       t   z  A

0  gA  

(5.48)

Como la amplitud de las oscilaciones de las ondas es pequeña, el desplazamiento  A es pequeño también, entonces la componente vertical de la velocidad de los puntos en la superficie es simplemente la derivada respecto al tiempo de A:

      A        z   z  A t 

(5.49)

Despejando A de esta ecuación  A  

         g    t   z  A 1

(5.50)

Ahora se sustituye en la ecuación (5.50) nos queda:

       1               t   z  A t   g   t   z  A 

   1  2      0 2    t   g  t    z  A

(5.51)

Como las oscilaciones son pequeña, se puede tomar el valor del argumento que se encuentra encerrado por el paréntesis con z=0 y no con z=A, y con esto se obtiene un sistema de ecuaciones que nos permite determinar el movimiento de la perturbación en un campo gravitatorio:

 2   2      2  2  0  x  z 

(5.52)

   1  2       0  2     z   g  t      z 0

(5.53)

2

Ahora se considerara que las ondas cuya área es ilimitada en la superficie de un fluido y que su longitud de onda es pequeña en consideración con la profundidad del fluido y por esto se considerara que el fluido posee una profundidad infinita, además, con estas observaciones se descartarán las condiciones limites en los bordes y en la parte inferior del fluido. Ahora la onda de gravedad se propaga a lo largo del eje x y es uniforme en la dirección del eje y, además, en la onda todas las magnitudes son independientes de dicho eje. Luego, se busco una solución que sea función periódica simple del tiempo y de la coordenada x, la cual se plantea de la siguiente forma: (5.54)     f ( z ) cos(kx   t ) Donde    es la frecuencia angular y k es el número de onda. Sustituyendo Ec. 5.54 en la ecuación de Laplace para el potencial, (Ec. 5.52) obtenemos:

2 2  f ( z ) cos(kt   t )  2  f ( z ) cos(kt   t )  0  x 2  z    f ( z ) cos(kt   t )k   cos(kt   t ) 2

d 2 f  2

dz 

d 2 f ( z )

 k 2 f   0

dz 2

0 (5.55)

80

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

La ecuación indicial o característica de esta ecuación diferencial tiene dos raíces reales r    k  y su solución es de la forma: (5.56)  f ( z )   Aekz   Be kz  Cabe destacar que estas soluciones dependen del tiempo, para este caso una solución crece y se le denomina onda progresiva, la cual no tiene significado físico, mientras, que la otra solución decrece en el tiempo y se le denomina ondas regresivas y estas son las que se consideraran en nuestro estudio. Es decir, se considerara la primera solución puesto que la última da un aumento ilimitado de   Así por lo tanto el potencial de velocidad es: (5.57)     Aekz  cos(kx   t )   Al reemplazar la Ec.5.57 en la condición limite dada por la Ec. 5.53, se debe verificar .

 Ak cos(kx   t )e kz 

  z  0

1

 Ae kz  cos(kx   t ) 2  g 

z 0

 0   2  gk  

(5.58)

Esta relación nos da la analogía entre el número de onda y la frecuencia de una onda de gravedad. Las olas que se forman en el agua son un ejemplo claro de estas ondas de gravedad externas. Hemos visto como, mediante la aplicación del método de las perturbaciones, se obtienen ondas cuya velocidad esta dada por las derivadas espaciales de   : v x



    Ake kz  sen(kx   t )  x

v z  

    Ake kz  cos(kx   t )    z 

(5.59)

Se puede observar que la velocidad disminuye exponencialmente al penetrar en el fluido, es decir la onda se va amortiguando respecto a la superficie. Para determinar las trayectorias de las partículas del fluido en la onda se designa x y z las cuales son las coordenadas de la partícula en el fluido móvil y por lo tanto xo , z o son los valores de la posición de equilibrio que posee la partícula, entonces v x 

dx dt 

dz 

y v z  

dt 

  y se puede aproximar el segundo

miembro de la ecuación 5.59, donde, se escribe xo , zo en lugar de x, z , ya que las oscilaciones son pequeñas. Al realizar la integración respecto al tiempo nos queda:  x



 xo

 z 



 z o

dx 



  Aekz  ksen(kxo   t )dt    x  x0   A

dz    Ake

k 

o

kz o

cos( kxo

  t )dt    z  z o   A

k   

 

e

kz o

cos(kxo

kz 

e o sen(kxo





  t )

  t )  

(5.60)

Así, que las partículas del fluido describen circunferencias de radio  Ak  e kz  alrededor de los puntos o

 

(xo, yo) como se indicó en la figura V.5 (véase), y este movimiento disminuye exponencialmente al aumentar la profundidad debido a: 2

  Ak   kz    x  xo    z  z o      e             Como la velocidad de propagación de la onda es V   , sustituimos    k  2

2

o

(5.61) kg   y se tiene que la

velocidad de propagación de las ondas de gravedad, para el caso de una superficie en un fluido de profundidad infinita aumenta con la longitud de onda, pues: V  

1  g  k  2



1 2

g   2 

(5.62)

81

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Ejemplo 1. Determinar la velocidad de propagación de las ondas de gravedad en el caso de una superficie sin limitaciones de un fluido de profundidad h. Solución:

Como condición tenemos que en el fondo del fluido la componente de la velocidad normal debe ser cero, esto implica: v z  

    z 

 0 y para  z   h  

Esto nos permite encontrar las constantes A y B de la solución general:     Aekz   Be kz  cos(kx   t )   y su resultado es:     A cos(kx   t ) cosh k ( z  h)   Utilizando la condición limite:

   1  2       0  2     z   g  t      z  0

(5.63) (5.64) (5.65) (5.66)

La cual permite obtener la relación entre k y   :  2

  gk .tgh(kh)  

(5.67) De la cual se despeja k y se sustituye en la ecuación de la velocidad de propagación. Por lo tanto la velocidad de propagación de la onda es: V  

  kh ( )  tgh kh    cosh 2 (kh)  ktgh(kh) 

1

 g 

2

(5.68)

Estudiando cada uno de los casos: Para kh>>1: V  

1  g  k  2



1 2

g   2 

(5.69)

Para kh<<1, se obtiene el resultado: V    gh  

(5.70)

Ejemplo 2 Ondas de Gravedad en la atmósfera. Son similares a las olas que vemos en la superficie de los océanos, pero en vez de surcar las aguas, lo hacen en el aire. La gravedad es lo que las impulsa. Las ondas de gravedad se originan cuando un impulso perturba la atmósfera. Un impulso puede ser, por ejemplo, un viento cortante, una corriente de aire ascendente o un cambio repentino en la corriente en chorro. Las ondas de gravedad generan olas de aire a partir de estas alteraciones, como las ondas que se propagan al arrojar una piedra en una laguna. Cuando una onda de gravedad empuja con fuerza sobre una tormenta en rotación, la comprime. Esto, a su vez, hace que la tormenta gire más rápido., pudiendo incluso formar tornados. Derivaremos la Ecuación de ondas de gravedad en la atmosfera, despreciando la fricción y la rotación del fluido. Comenzamos asumiendo que la atmosfera esta en equilibrio hidrostático y que una parcela del fluido es perturbado, por un viento cortante o por el relieve, de modo tal que la densidad y presión cambian en una cantidad pequeña, indicada con el subíndice (1) respecto a sus valores medios, indicados con subíndice (0) :       0       0   1  p   p0     p   p0  p1   (5.71)

82

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Fig. V.7 Las Ondas de gravedad en la atmósfera originan las estratificaciones nubosas.

Fig.V.8 La imagen de Satélite muestra la enorme onda de densidad del 07 de octubre del 2007, a la derecha su aspecto visto desde Iowa en EEUU.

De la ecuación de Euler tenemos:

    Dv      p     g    Dt 

(5.72)

Por comodidad, hemos resumido la derivada convectiva usando la notación:

   v.    Dt  t   D



(5.73)

Reemplazando las ecuaciones 5.71, en la ecuación de Euler, 5.72 obtenemos:   Dv

  0   1 

 Dt 









  p0    0 g   p1   1 g  

(5.73)

Como se ha supuesto equilibrio hidrostático para los valores iniciales de la parcela, los dos primeros términos del segundo miembro se anulan, y la ecuación de Euler queda como:

    1   Dv     1  1      p1  1  g     0     0    Dt    0

(5.74)

Se ha supuesto que la perturbación en densidad es pequeña, esto es que: ρ1/ρ0<<1; luego la variación de densidad afecta la fuerza de empuje mucho mas que el termino inercial, despreciándose frente a la suma con la unidad en el lado izquierdo de la ecuación precedente, pero no así en el lado derecho por estar multiplicada por la gravedad que es un factor de dos ordenes de magnitud mayor, luego:

83

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

  Dv



 Dt 

1   p1   0



  1   g     0

(5.75)

También, por ser pequeñas las fluctuaciones locales de densidad y presión, puede tratarse el fluido como incomprensible, la ecuación de continuidad equivale a:  D    Dt 

 

   .v  0 

 

.v  0  

(5.76)

Empleando este resultado y escribiendo solamente la componente vertical (z) de 5.75 tenemos:

v z  1  p1   1    g   t    0  z    0

(5.77)

Ahora hay que considerar que la atmosfera tiene una estratificación de densidad dada por:  z       0 e  H             (5.78)



 z 

 H 

Donde ρ0 es la densidad a nivel de superficie y H es la escala de altura de presión escrita en

términos de la temperatura superficial, luego de usar la ecuación del gas ideal con   = 287 J kg−1 K−1, la constante universal de los gases:  H  

T 0  g 

 

(5.79)

Linealizando la ecuación Ec. 5.78, y considerando que la variación de densidad de la parcela de fluido desplazado es por definición , ρ1, tenemos:   1   0



    0



  z   H 

 

(5.80)

Reemplazando la Ec. 5.80 en la ecuación de Euler, y escribiendo el gradiente de presión en términos del gradiente térmico mediante la ecuación de estado del gas ideal, para la Ec. (5.77) obtenemos:

 1   T    2  z    1 T   g          z   H    g   z     z     0  z   H  t 2  

(5.81)

El termino entre corchetes puede se reescrito en termino del parámetro −∂Tp/∂z =Г , denominado gradiente pseudoadiabatico saturado, para aire seco es del orden de −10 K km −1. Con lo que el elemento desplazado oscila en la dire cción z con una frecuencia de “flotación”

dada por

(5.82) Donde se ha usado, la temperatura potencial, definida como aquella que tendría una porción de aire si se desplazara adiabaticamente, por su propio peso, en una atmósfera de presión de de 1000 milibares, es decir:

T   g      z      2           z      c s dz  dz   T     z  c p   T  1  

1   1 dp

d    

1  T 

(5.83)

Donde Cs es la velocidad del sonido en el aire, para el caso de ondas de gravedad en la atmosfera el termino se anula, es decir Cs se considera infinito.

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N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Nota Biográfica: Sir David Brunt, meteorólogo welsh (1886-1965). Estudió la dinámica de los fluidos como gases en movimiento. Sus traba jo  jos comprendían ccuan saludables eran las atmósferas  dde los países. Fue presidente de la Sociedad de Meteorología Real desde 1942 hasta 1944. Yr jö

Väisälä, meteorólogo y astrónomo finlandés (1891-1971) Desarrolló métodos de mediciones e instrumentos en la meteorología. Después de recibir su Ph.D. en 1922, se unió al Geodetic Institute de la Universidad de Turku (1925) donde traba jó  jó como astrónomo, realizando diversos eensayos  aacerca d del ccampo m magnético  d de  lla  ttierra.

5.5 Ondas E Inestabilidades Lineales en Fluidos No Uniformes

El primer paso en el estudio de las oscilaciones en un fluido no uniforme es deducir la ecuación diferencial que describe el fenómeno. Si tomamos el eje z en la dirección vertical, nuestro estado no perturbado está caracterizado por u

 0  p   p( z )

      ( z )

dp dz 

  g   ( z )

(5.84)

Donde se ha escrito la velocidad macroscópica como u. Para simplificar el análisis, consideraremos solamente ondas de pequeña amplitud, por lo tanto vamos a suponer que en presencia de la perturbación las variables que describen el flujo son (5.85)  p'   p     p u'   u   '        donde δu, δ p y δρ son pequeñas perturbaciones. Vamos a suponer también que las perturbaciones son adiabáticas, lo cual es razonable en vista de lo que se acaba de ver. Por lo tanto, las ecuaciones que gobiernan el flujo son d   ' dt   u '

 .  ' u'  0

 (u'.)u '   p' g   z    t    s'  (u'.) s'  0 t 

  ' 

ˆ

(5.86)

donde s′( p′,ρ′)=s( p,ρ)+δs es la entropía por unidad de masa. Por ahora no vamos a especificar los perfiles de presión y densidad del estado no perturbado, ni haremos hipótesis acerca de la ecuación de estado del medio, de modo que nuestros resultados valen para un fluido cualquiera. Dado que las perturbaciones son pequeñas, vamos a linealizar las (5.86) descartando términos cuadráticos en las cantidades de perturbación. El resultado es d        u z    p. u dz  t   u x   p     t   x  u y   p       t   y

(5.87)

85

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

  

 u z    p   g   t   z    s ds   u z  t  dz 

El procedimiento a seguir ahora consiste en eliminar sucesivamente las variables δ s, δρ, δux, δ uy y δ p para obtener una única ecuación diferencial para δ uz. Comenzaremos por la última de las (5.87), que nos dice que la variación local de la entropía se debe simplemente al transporte convectivo (recordemos que la entropía del estado no perturbado depende de z). Dado que la entropía s( p,ρ) es una función de estado, podemos escribir

  s  dp    s   d      s     s   d            g        dz    p    dz       P  dz    p         P  dz  ds

(5.88)

Del mismo modo, puesto que s′ = s(p′, ρ′) = s ( p, ρ) +δs , resulta

  s t 

  s    p    s                  p t     t      P       

(5.89)

Reemplazando las ecuaciones (5.88) y (5.89) en la última de las ecuaciones (5.87) obtenemos

   s    p    s       s     s   d           u z   g                 p t     t   p    dz      P                   p 

(5.90)

Reordenando los términos de la (5.90) y recordando que

    s         P     p    c 2           s      s    p       

(5.91)

podemos escribir la ecuación de la entropía en la forma

  p d         u z  g     c 2     u z     t    dz  t   

(5.92)

finalmente con la ecuación de conservación de la masa (la primera de las (5.86)) en la (5.92) obtenemos

  p   u z  g      c 2 . u   t 

(5.93)

Por lo tanto nuestro sistema de ecuaciones consiste en las primeras cuatro de las (5.87) más la (5.93): d        u z    p. u t  dz   u x   p     t   x  u y   p       t   y  u z    p      g   t   z 

(5.94)

86

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

  p   u z  g      c 2 . u t 

Puesto que los coeficientes de este sistema son funciones solamente de z, vamos a buscar soluciones de la forma

   p  P ( z ) e

i ( k  x x  k  y y  t )

   R( z ) e

i ( k  x x  k  y y  t )

 u  U ( z ) e

i ( k  x x  k  y y  t )

 

(5.95)

Sustituyendo entonces las (5.82) en las (5.81) obtenemos   R    (k  xU  x  U  x

 k  x P 

dU    d     k  yU  y )  i  U  z     z   dz      dz 

 k  y P 

 U  y

 U  z 

 i

dP  dz 

 igR  

(5.96)

dU       k  yU  y )  i  gU  z   c 2 z   dz     

  P    c 2 (k  xU  x

Usando la segunda y la tercera de estas ecuaciones e introduciendo el vector número de onda horizontal kh=kx ex+ky ey , podemos escribir k  xU  x

 k  yU  y  k hU h 

k h

2

 P    

(5.97)

donde U h es el módulo de la componente horizontal de U. Sustituyendo esta expresión en la última de las (5.96) obtenemos  P 

  2 dU z     gU  c     z  2 dz     2  c 2 k h   i 

(5.98)

y usando esta expresión de P y la (5.84) en la tercera de las (5.83) resulta  R 

2

dU      d    dU       gU  z   c 2  z    iU  z      z          c k h   dz      dz  dz      k h

i

2

2

2

(5.99)

Por lo tanto tenemos todas nuestras variables expresadas en términos de Uz y sus derivadas. Reemplazando ahora P y R de la (5.88) y (5.99) en la cuarta de las (5.94) obtenemos d  

  2  U  z    2 2 2  gU  z   c dz     c k h    

dU  z   

 1   k h 2   dU      d    dU      g   gU  z   c 2  z    U  z     z   (5.100) 2 2 2 dz     dz      dz  dz          c k h  

Reordenando los términos de esta ecuación resulta 2 2 1 d       c



   dz   2

c

2

k h

2 2 2  2   c 2 k h d    c k h 2    U  z       B 2 2 2  g   2 2 2   0   dz   dz     c k h      c k h 

dU  z   2

(5.101)

Donde hemos definido la frecuencia de Brunt-Väisälä, también denominada frecuencia de flotación, como   B V 

2

  d     g     g    2       dz  c    

(5.102)

87

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Veremos que ωB es una frecuencia característica del problema que juega un rol muy importante. Si la

perturbación que consiste de un movimiento puramente vertical (esto es ux ≡ 0, uy ≡ 0). Las oscilaciones tienen exactamente la frecuencia de Brunt-Väisälä, y tienen importancia porque determinan la estabilidad de la estratificación y producen interesantes fenómenos atmosféricos. La principal virtud de la (5.88) es su generalidad, pues en principio permite estudiar las oscilaciones de un fluido en reposo con una estratificación arbitraria. No es difícil, siguiendo el mismo procedimiento, deducir una ecuación diferencial aún más general que la (5.88), que rige las oscilaciones de un fluido estratificado en el cual las capas horizontales se mueven en el estado no perturbado con una velocidad u=ux(z) ex + uy(z) ey . La ecuación que se obtiene es: 2 2 1 d       c



   dz    2

c

2

k h

2 2 2  2   c 2 k h d    c k h 2    U  z       B 2 2 2  g   2 2 2   0   dz   dz     c k h      c k h 

dU  z   2

(5.103)

Ejemplo 3 Ondas atmosféricas de origen topográfico Cuando el aire se ve forzado a fluir sobre accidentes topográficos con una forma sinusoidal y bajo condiciones de estratificación estable, las parcelas de aire sufren alternativos desplazamientos hacia arriba y hacia abajo respecto a sus niveles de equilibrio. Es decir, cuando se desplazan sobre cadenas montañosas experimentan oscilaciones que son debidas a la flotabilidad, como se muestra en la figura V.9. En este caso, se trata de unas ondas que permanecen estacionarias con relación al suelo. Las nubes con forma lenticular se forman en el seno de un flujo de aire sobre una región montañosa. Las frecuencia de las oscilaciones esta dada por la Ecuación 5.89. Fig. V.9 Origen de estratos lenticulares

Por consiguiente, la condición de si una determinada parcela de aire subirá la cuesta de una montaña hasta pasar al otro lado se obtiene mediante la razón de la velocidad del viento y la energía potencial atmosférica, que está relacionada con la frecuencia de Brunt-Vaisala. Esta razón se denomina número de Froude  F r 

v

   BV    h

(5.104)

En este caso, la energía cinética está representada por la velocidad del viento y la energía potencial está representada por la frecuencia de Brunt-Vaisala ( ωBV) multiplicada por la altura de la montaña (h). Si el número de Froude (Fr) es mayor que 1, la parcela de aire pasará al otro lado de la montaña. Por el contrario si Fr es menor que 1, la montaña bloquea la parcela, la cual no podrá pasar al otro lado y se verá obligada a rodear el obstáculo o retroceder.

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N. Falcón

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Si Fr es igual a 1, la parcela de aire alcanzará la cima de la montaña con velocidad cero. Para flujos con un número de Froude bajo (menor que 1), este simple razonamiento físico sugiere que esencialmente la topografía bloquea el flujo y éste debe rodear el obstáculo o retroceder. Esta situación ocurre cuando la atmósfera está muy estratificada o el flujo hacia la barrera montañosa es relativamente débil y el aire debajo de la montaña en el lado a barlovento debe quedar estancado, sin vientos hacia la montaña. Ello sugiere que los efectos de una barrera montañosa se pueden sentir a una distancia máxima corriente arriba que se puede calcular mediante la razón de la frecuencia de Brunt-Vaisala multiplicada por la altura de la montaña y el parámetro de Coriolis (ωBV h/f). Podemos denominar esta razón "número de Rossby definido por la topografía". Esta relación explica que para la altura de determinada montaña, cuanto mayor la estratificación, tanto más lejos corriente arriba de la barrera montañosa se sentirá este efecto. Ésta es la distancia máxima corriente arriba que la montaña afectará el flujo. La distancia real depende también de la velocidad del flujo entrante. En este caso, la velocidad del flujo provocada por la interacción con las montañas se da por ωBV h-v. Por consiguiente, la distancia corriente arriba es menor y en algunas situaciones, es posible que la distancia corriente arriba apenas se extienda más allá de la base de la pendiente de la barrera.

Figura V.10 Dos bellas imágenes de estratos lenticulares provocadas por ondas de gravedad sobre montañas

Ejemplo 4 Oscilaciones y Estabilidad Estelar En el interior estelar el calor es transportado por glóbulos convectivos desde el núcleo hasta la superficie. Este transporte de masa y energía es el responsable de la emisión térmica de la estrella, toda vez que el material constitutivo es opaco a los fotones generados en el núcleo, los cuales no pueden escapar del núcleo. A la vez la propia estrella tiene una variación monótona de densidad, siendo más densa cerca del núcleo que de la superficie. Una porción o glóbulo convectivo es forzado entonces a moverse en contra del gradiente de densidad y de gravedad, debido a la fuerza de flotación dada por el exceso de temperatura del glóbulo. Si el glóbulo se desplaza una cantidad ∆r  respecto a su posición inicial, moviéndose en todo instante en equilibrio con sus alrededores, sufriría una variación de densidad dada por:  d      d     (5.105)  D          r     dr   e   dr   s  Que se interpreta como que el cambio total de densidad Dρ es debido a la var iación debida al cambio de volumen del elemento, subíndice e, y al cambio de densidad debido a la estratificación de densidad del medio, con subíndice s. Por otro lado la ecuación de Estado para el glóbulo convectivo debe verificar la relación general: d   

  

dP 

  

dT 

  

d  

 

(5.106)

    P  T    Donde los coeficientes α, δ y φ son las derivadas logarítmicas de la densidad respecto a la presión P, la temperatura T y el potencial químico μ, respectivamente. Si un elemento

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N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

convectivo se mueve adiabaticamente desde un desplazamiento inicial ∆r0, la fuerza por unidad de masa será:

 2 r     g   d ln T    d ln T      d ln             r    H  p  d ln P   e  d ln P   s    d ln P   t 2

(5.107)

Donde hemos usado la cantidad  H  p

  P 

dr 

 

dP 

(5.108)

como escala de altura de la presión , que denota una forma de medir la posición radial desde la Presión máxima en el centro (r nula) hasta P nula en la superficie (r máximo) Fig. V.11  La estrella Beta Cefeo presenta variaciones periódicas de luminosidad como se ve en la curva de luz versus tiempo adjunta. Las variaciones recurrentes de brillo pueden ser interpretadas como producidas por oscilaciones convectivas de elementos que se mueven a la frecuencia BruntVäisälä Luego la oscilación del elemento solo será posible si el factor de la posición ∆r es imaginario,

en otro caso ese factor daría como resultado un movimiento exponencial o inestable para convección. Vemos en este caso que el factor crítico para que ocurra la convección, es decir el movimiento oscilatorio, y por ende estable de un glóbulo convectivo en el interior estelar, es justamente la frecuencia Brunt-Väisälä:   BV 

2



   g   d ln T  

 d ln T       d ln               H  p  d ln P   e  d ln P   s    d ln P  

(5.109)

Obsérvese que un medio químicamente homogéneo, μ= constante,  la frecuencia de oscilación

del elemento desplazado depende solamente de las diferencias entre los gradientes térmicos entre el elemento (subíndice e)y el medio (subíndice s):   BV 

2



   g    P  dT  

  P  dT             H  p  T  dP   e  T  dP   s 

(5.110)

A modo de síntesis: Fig. 6.1 Los lazos coronales del plasma solar, contienen a las líneas de campo magnético “congelados” moviéndose

con el fluido. La superficie libre de un fluido en equilibrio es un plano. Sí, bajo la acción de alguna perturbación externa

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N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Clase 6: Introducción a la Magnetohidrodinámica La Magnetohidrodinámica (MHD)  es la dinámica de los fluidos eléctricamente conductores, imbuidos en campos electromagnéticos. En un flujo MHD, en general, el campo de velocidad del fluido y el campo magnético se encuentran acoplados. Esto quiere decir que el movimiento del fluido afecta el campo magnético en donde fluye, mientras que el campo altera a su vez el movimiento original del fluido. El origen de este acoplamiento proviene del hecho de que el movimiento relativo de un fluido y un campo magnético da lugar a la aparición de corrientes eléctricas en el medio. Por un lado, al interaccionar las corrientes con el campo magnético se originan fuerzas Lorentz , que alteran el movimiento del fluido. Por otro lado, las corrientes eléctricas dentro del medio inducen campos magnéticos que se superponen al campo original. Adicionalmente, el flujo de corrientes eléctricas dentro del fluido genera una fuente de disipación de energía, por efecto Joule, que se presenta siempre que una corriente eléctrica fluye en un circuito. La física de los gases ionizados y del plasma, como el estado de la materia completamente ionizada, se fundamenta justamente en la magnetohidrodinámica. 6.1 ECUACIONES BÁSICAS Hablar de magnetohidrodinámica implica el estudio de las ecuaciones ordinarias del electromagnetismo (Ecuaciones de Maxwell) y de la hidrodinámica (Ecuaciones de Continuidad de Flujo de Energía y de la dinámica del fluido-Bernoulli). En total son 7 ecuaciones 6 vectoriales y una escalar. Considerando despreciables las corrientes de desplazamiento de Maxwell y las acumulaciones de cargas eléctricas, tenemos       x H   J  (6.1) . J   0   Donde  J    es el vector de densidad de corriente, excluyendo las densidades de corriente de magnetización atómicas o internas del fluido ya incluidas en el vector H. J viene expresada en Amperios sobre metros cuadrados, y  H  es la intensidad de campo magnético, que se relaciona con el vector de inducción del campo magnético  B y con la magnetización intrínseca del tipo de material  ( M  ) en la forma usual:    1 (6.2)  H    0  B  M   Donde μ0  es la permeabilidad eléctrica del vacío ( 4 π 10-7 N.A-2). En la mayoría de los materiales  ordinarios,  M  es proporcional a  B   1  M    0   m B   (6.3) 







Donde siendo   m   un coeficiente característico del material, denominado susceptibilidad magnética. Por lo que el vector de intensidad de campo magnético H puede expresar cómodamente como proporcional a la Inducción Magnética, siendo la susceptibilidad magnética del material, en lugar de la del vacío. Es decir:   1  1   H    0  B1   m   k m  0  B   1 B   (6.4) Expresión que relaciona el Campo Magnético con las Cargas móviles que lo originan. A demás, las otras dos Ecuaciones de Maxwell demandan que        H   , (6.5)   H  .  0   x E        t      

Además la fuerza de Lorenz sobre un elemento de fluido, de conductividad eléctrica σ, sometido a un

Campo Eléctrico externo (E), y/o a un Campo magnético H, su densidad de corriente resulta, por la Ley de Ohm, proporcional a ellos : 91

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

     J     E  v     H    Por otra parte, la ecuación de la continuidad hidrodinámica debe verificar que:





(6.6)

       .  v   0       t  

(6.7)

Y en la ecuación de movimiento, o de Euler, aparecerán dos nuevos términos relacionados con los campos externos:            v    v.v   P  F     g  J    H    t 

(6.8)



Donde, considerando que el medio es isótropo y homogéneo,  F  viene dado de la forma:   (6.9)  F     v2v   Por otro lado si denominamos con U a la energía interna por unidad de masa de un líquido comprensible o un gas debemos utilizar de Ecuación Térmica   

dU  dt 



 p d       dt 

    

(6.10)

Donde   es el efecto térmico por unidad de volumen debido a la conducción térmica, siendo λ la viscosidad.     2T    (6.11) Así, las Ecuaciones Magnetohidrodinámicas completas, expresadas en el Sistema Internacional de unidades, pueden resumirse como:     x H   J 

(Ley de Ampere) (6.1)

 

. 0  J 

(Continuidad Eléctrica) (6.1)

     H    x E         t  

(Ley de Faraday) (6.5)

 

 H  . 0

(Ley de Gauss magnética) (6.5)

     J     E  v     H 

(Ley de Ohm) (6.6)

       .  v   0     t  

(Ecuación de continuidad) (6.7)





          v    v.v   P   v 2 v     g  J    H  (Ecuación de Euler) (6.8) t 

  

dU  dt 



 p d       dt 

   2T 

(Ley de Maxwell-Fourier) (6.10)

92

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Las primeras 7 son ecuaciones vectoriales y la octava es escalar, con ocho funciones incógnitas: H,  v, J, E, vectoriales, y las funciones escalares ρ, P, U, T. Adicionalmente debe caracterizarse el fluido por los parámetros de viscosidad λ, permeabilidad magnética μ, conductividad eléctrica σ, y el campo de

gravedad g. La resolución completa de este conjunto de ecuaciones, entraña gran complicación algebraica aun para los casos más simples, por lo que su resolución está fuera del alcance de esta obra. Nos limitaremos a discutir fenomenológicamente, las principales consecuencias de las mismas para describir la dinámica de los fluidos eléctricamente cargados, bajo la presencia de campos magnéticos. 6.2 EFECTOS ELECTROMAGNÉTICOS De acuerdo a las expresiones presentadas anteriormente y suponiendo que     es uniforme todo el espacio       J        H     (6.12)     v  H    2 H       v  H      t    Donde hemos usado la Ec. (6.6) para reemplazar el campo eléctrico E en la ecuación (6.5) para Si el medio está en reposo ( v =0) nos queda:  H     2 H    (6.13) t  Que tiene la forma de la ecuación de Difusión, donde     1  se le llama difusibilidad magnética. Observamos que lineal izando la ecuación de difusión precedente, podemos estimar el los órdenes de magnitud del tiempo de difusión o desvanecimiento del campo magnético debido a las “fugas”: 



 H  t 

 H 

  

2

 L



t    1 L2

  L2  

(6.14)

Donde L es una longitud comparable con las dimensiones de la región en que circula la corriente. Para una esfera de cobre de 1 cm de radio ese tiempo de difusibilidad es apenas un segundo, es del orden de 104 años para el núcleo fundido de la Tierra y del orden de 10 10 años para los campos magnéticos que se presentan en el Sol. Para el caso en que la conductividad es muy grande, como en el plasma constituyente de las estrellas, el último termino delsegundo miembro de la Ec. (6.12) es nulo porque no hay fuentes del campo H:     H       H     v  H   v ( H  . )  (v.) H   (v.) H   0   t  t 

(6.15)

Donde hemos usado, para la última igualdad la ecuación (6.5). La expresión (6.15) nos dice que la variación temporal de la intensidad del campo magnético es constante. Comparece dicha expresión con la definición de derivada convectiva. Luego, aplicando el Teorema de Stokes, esta expresión indica que el flujo magnético que atraviesa cualquier curva cerrada, que se mueve con la velocidad del fluido es invariable en el tiempo. Decimos entonces que hay congelamiento de las líneas de campo , es decir las líneas de fuerza están congeladas en el fluido y se mueven con el.

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Fig. 6.1 Los lazos coronales del plasma solar, contienen a las líneas de campo magnético “congelados” moviéndose

con el fluido. La su er icie libre de un luido en

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Ejemplo 1. Campos Congelados  Una propiedad muy interesante de los fluidos con gran conductividad eléctrica, es que no admiten cambios del flujo magnético en su interior. Esto trae como consecuencia que puedan ser confinados por campos magnéticos intensos; pero cuando la densidad y la velocidad del fluido son muy grandes, será el movimiento del mismo el que denomine a la estructura del campo. En esta situación, si el fluido fluye muy rápidamente desde cierta región donde hay un campo magnético que es incapaz de contenerlo (como es el caso del viento solar), entonces arrastrará consigo a la materia para impedir que cambie el flujo el magnético congelado en si interior. Esta es una situación que se da con bastante frecuencia en los plasmas espaciales.

Experimento 1 Visualización del congelamiento magnético Para visualizar el confinamiento magnético requerimos de un medio entre imanes con partículas de hierro, capaces de moverse libremente en un fluido (mezcla de aceite de motor y aceite comestible en un envase con limadura de hierro) alrededor de ellas se colocan dos o más imanes. Una luz de linterna que ilumine el envase desde atrás facilitara la visibilidad de las líneas. F i g . 6 . 2 Las limaduras de hierro quedan “atrapadas” o “congeladas” en el campo magnético, de forma similar, la materia al interior del Sol tambié n resulta atrapada por los campos magnéticos de la “atmósfera”

exterior del Sol y se puede apreciar en las manchas solares.

Si ninguno de los términos de la Ec. (6.12) se desprecia, entonces podemos analizar el sistema como una contribución de los aportes de (6.13) y (6.15). El arrastre de las líneas de fuerza por el movimiento se superpone a su alejamiento del medio. Si L es una longitud comparable a las dimensiones del campo y V es una velocidad comparable a las velocidades reales, el efecto de arrastre es dominante si LV >>  por analogía con el número de Reynolds, y se denomina numero de Reynolds.  R M 



 LV   

 

(6.16)

Para RM  mucho menor que la unidad, la advección es relativamente poco importante y por tanto el campo magnético tenderá a relajarse hacia un estado puramente difusivo determinado por las condiciones de contorno más que por el flujo.

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Para RM  mucho mayor que la unidad la difusión es relativamente poco importante en la escala de longitud L. tal es el caso de los fluidos que aparecen en astrofísica y en geofísica, y en general de los gases completamente ionizados (plasmas). Las líneas de flujo del campo magnético son adveccionadas con el flujo magnético hasta que los gradientes son concentrados en regiones de escala de longitud suficientemente pequeñas para que la difusión pueda igualar a la advección. El número de Reynolds magnético tiene una forma similar al número de Peclet y número de Reynolds. Los tres son proporcionales a la relación entre efectos por advección y por difusión para un campo físico particular y su expresión matemática es velocidad por longitud dividido entre difusividad. El número de Reynolds magnético está relacionado con el campo magnético en un flujo magnetohidrodinámico mientras que el número de Reynolds está relacionado con la velocidad del fluido y el número de Peclet con el calor. Estos grupos adimensionales son resultado de adimensionalizar las respectivas ecuaciones, es decir la ecuación de inducción, la ecuación de momento y la ecuación de calor respectivamente. Un campo magnético tiene una energía por unidad de Volumen de   H 2 / 8  . La energía total en el volumen ocupado en el espacio, considerando que el campo depende únicamente de la componente radial, es W  H 



1

   H  dr      8 2

(6.17)

Para lo que la variación de la energía magnética nos queda, usando (6.12) dW   H  dt 



1

      H .  v  H 

 4  







    H .  H dt   2

(6.18)

Donde el primer termino del integrando es debido al trabajo realizado por la materia en el curso del   movimiento contra la fuerza magnética  j    H , interpretación que usualmente es analizada en función de las tensiones de Maxwell, que no son mas que las debidas a una tensión longitudinal y una presión transversal del mismo valor sobre el fluido (   H  ). 2

8 

El segundo miembro de (6.18) representa la transformación de energía en forma de calor por efecto  Joule, a razón de  j 2  

6.3 EFECTOS MECANICOS

En los plasmas y en gases altamente ionizados, la conductividad es muy elevada, que equivale a asumir que la conductividad del fluido es infinita, bajo esas condiciones la Ley de Ohm (Ec. 6.6) demanda que    (6.19)  H   0   E  v    Puesto que la densidad de corriente J ha de ser físicamente finita. Despejando el campo eléctrico (E) de esta ecuación y sustituyendo en la Ec. (6.5) podemos escribir la Ley de Faraday como:      H   (6.20)  x v x   H         t      

Analizaremos el término de la fuerza por unidad de volumen, de origen electromagnético    J     H  que aparece en la ecuación de Euler (6.8). Es fácil verificar que podemos expresar la Ecuación de Euler como

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            v    v.v   P    v 2 v    g   H .  H  1 2  H 2   t 

(6.21)

Ejemplo 2 Verifique la expresión (6.21) , es decir demuéstrese que la fuerza magnética por unidad de volumen, en un fluido eléctricamente cargado, equivale a una Presión Magnética paralela a la presión hidrostática mas una tensión adicional a lo largo de las líneas de campo magnético.   Consideremos el término, recordando que  g    , tenemos        J     H      H  J      H    H   (6.22) Donde hemos reemplazado J mediante la Ley de Ampere Ec. (6.1). Usando ahora la Identidad         vectorial: 1 2  A. A   A. A  A    A  para el campo H y reordenando términos tenemos que:        (6.23)    H    H    12  H 2    H . H  Multiplicando por la permeabilidad magnética μ



    H    H .    H  2  

      H    H   

(6.24)          H  de la Ecuación de Euler (6.8) por medio de las igualdades Remplazando el termino  J    (6.22) y (6.24) en se obtiene trivialmente (6.21)

 

1

2

Puede reescribirse la ecuación de Euler (Ec. 6.21) en la forma:           v    v.v   P     12   H 2    v 2 v   H .  H   (6.24) t 

Donde se ha supuesto que la gravedad  g   es el gradiente de un potencial gravitacional   . La Ecuación de Euler en su forma (6.24) muestra que la fuerza magnética equivale a una presión hidrostática magnética proporcional al cuadrado del vector de intensidad de campo H, mas una tensión adicional a lo largo de las líneas de campo, prescrito por el último término de la Ec.(6.25) 

Presión hidrostática magnética:

  P   M 



 1 2   H 2   

(6.25)

En el caso particular que el campo magnético tiene solo una componente, la tensión magnética se anula, si además la viscosidad es despreciable y consideramos el caso estático en el cual el lado derecho de la Ec. (6.24) es nulo, entonces tenemos:  2 0   P      1 2  H 2    P      1 2  H     constante  (6.26) Esta expresión nos indica, que el movimiento de un fluido cargado, en un campo gravitacional constante, es tal que: . Efecto Pinch: en un fluido conductor de resistencia despreciable, sin viscosidad y en equilibrio, la variación de la presión hidrostática debe compensarse con una variación opuesta de la presión magnética

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Ejemplo 3: Efecto de Contracción o Efecto Pinch Un efecto de restricción radial, llamado efecto de Estrangulamiento de Plasma o Efecto Pinch, consiste en la tendencia de las corrientes intensas a través de un plasma, a estrecharse transversalmente en una delgada columna axial l hasta que la presión del gas comprimido equilibre la fuerza radial magnética constricción que, por efecto Joule, conlleva una elevación considerable de la temperatura. Tal efecto, hoy muy conocido, fue propuesto en 1934 por W. Bennett y al parecer similarmente descubierto en 1939 en forma independiente por L. Tonks. Numéricamente se estima que una presión de 100 atmósferas es equilibrada por un campo magnético de alrededor de 5 tesla. El efecto de adelgazamiento magnético es eminentemente inestable. La columna de plasma se va adelgazando hasta el estrangulamiento. Interrumpiendo las descargas, como las que observamos en los rayos atmosféricos y en las descargas de arco.

PM

Figura 6.3 Inestabilidades en una columna de plasma (a) de retorcimiento (b) de abultamiento. La presión magnética constriñe el campo en los puntos donde las inestabilidades disminuyen la presión del fluido

Figura 6.4 Las descargas eléctricas atmosféricas, con corrientes de miles de amperios, a través del canal son constreñidas por el efecto Pinch, la variación súbita del flujo de corriente es tal que genera campos magnéticos enormes (Ec. 6.1) y una presión magnética que aumenta muy rápidamente (Ec. 6.25), en consecuencia, como señala la Ec. 6.26, la presión del fluido disminuye angostando el canal. Cualquier perturbación pequeña de la presión del fluido a lo largo del canal, incrementara la presión magnética, estrangulando el canal de descarga e interrumpe la corriente iónica descendiente de la nube. Es claro también, que la disminución de la anchura del canal incrementa la resistencia eléctrica en igual proporción, y por efecto Joule, aumenta la disipación térmica, elevando la temperatura del medio, que a su vez facilita la conducción y eleva los valores de la corriente eléctrica y del campo ma nético es decir aumentado así la resión ma nética constriñendo aun mas el canal. Consideremos ahora el caso en que la conductividad es finita, vale decir cuando la Resistencia Eléctrica es importante, la ecuación de Euler (Ec. 6.8) queda:

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          v    v. v   P    E t   H    H 2 vt    t 

(6.28)

Donde hemos usado el hecho de que la fuerza magnética por unidad de volumen, es expresable como:          J     H     E   v  H   H     E t   H     H 2vt    (6.29)











Supongamos el caso en que i  P  y  E t    son despreciables, luego el movimiento perpendicular disminuye, a consecuencia de la fuerza de inducción, con un tiempo de crecimiento cuyo orden de magnitud esta dado por: 





 1

      2 H 2   (6.30) Es fácil ver que esta relación se obtiene linealizando la Ec. 6.20. La acción del campo magnético sobre el fluido conductor, como se desprende de la ley de Lenz, es la de frenar el movimiento en la dirección normal al campo, y la fuerza de frenado es proporcional a la velocidad; se le suele denominar, por esta razón, de viscosidad magnética. Para establecer la mayor o menor preponderancia de ésta sobre la de viscosidad ordinaria, se utiliza un número adimensional obtenido de la relación entre ambas fuerzas De la Ec.(6.16) y con un  H  comparable al campo real, el orden de magnitud de la viscosidad magnética 2  H 2V , mientras que la fuerza de viscosidad ordinaria es   VL2 de por unidad de volumen es     aquí se define el número de Hartmann 1 2

       M      H L        

 

(6.31)

. Ejemplo 4: Rigidez Magnética Observemos la rigidez introducida por un campo magnético mediante la colocación de mercurio en un campo magnético vertical. Se coloca un anillo de cobre rodeado por dos anillos concéntricos del mismo metal, horizontalmente en el fondo de un recipiente que contiene mercurio. Separamos el anillo interior del disco y del anillo exterior con pequeñas separaciones de forma que quede un gran disco. Se gira el anillo interior alrededor de su eje vertical, con el anillo exterior y discos fijos. Por la rigidez magnética en un campo magnético intenso el mercurio tiende a seguir el movimiento de la sustancia en contacto con él. Por la la viscosidad la capa de mercurio que está encima de la superficie del cobre es arrastrada por el movimiento de esta superficie. Pudiérase pensar que las líneas de fuerza son arrastradas por la capa límite y que por su rigidez, la capa limite puede hacer girar el mercurio de encima de la capa límite con su misma velocidad. Sin embargo, la experiencia dice que la transición entre el mercurio en movimiento en las capas de transición, no laminar formándose torbellinos cilíndricos. Estas capas límites, así como las zonas de transición, o las que se producen cerca de las paredes, las introducen los cuerpos sólidos.

Hg

Disco

Anillos



 B Figura 6.5 Un ejemplo de Rigidez magnética que puede reproducirse en el laboratorio.

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Ejemplo 5 El Reactor de Fusión TOKAMAK La palabra Tokamak, acrónimo del ruso тороидальная камера с магнитными катушками -toroidal'naya kamera s ma gnitnymi katushkami-, (en español cámara toroidal con bobinas magnéticas ),

designa un toro en cuya cámara sin aire se pretende confinar un plasma mediante dos fuertes campos magnéticos. Uno es creado por líneas magnéticas que rodean la cámara toroidal y el otro creado por la intensa corriente eléctrica del plasma mismo. Fue creado en los años 1950 por los físicos rusos Igor Tamm y Andrei Sajarov. Este plasma está compuesto por partículas cargadas muy ligeras que son aceleradas por el campo magnético hasta alcanzar velocidades próximas a la de la luz. El plasma se vuelve tan caliente que no se conocen materiales capaces de soportar tales temperaturas, de ahí la necesidad de aislarlo con un medio inmaterial como un campo magnético Figura 6.6 Esquema de un Tokamak , donde los plasmas de alta temperatura se confinan usando el efectos de constricción constricción y la presión magnética

6.4. EL PLASMA PLASMA EN LA APROXIMACION HIDROMAGNETICA

Se denomina plasma al estado de la materia compuesta de electrones e iones que se mueven libremente. El estado de agregación conocido hoy día como plasma fue identificado por primera vez por Sir William Crookes en su Tubo Crookes en 1879, y él lo denomina "materia radiante". Posteriormente fue identificado y estudiado el mismo fenómeno en los experimentos del Premio Nobel de física Joseph John Thomson con rayos catódicos, durante 1897. El primero en proponer la denominación actual de "plasma" fue Irving Langmuir en 1928. Más del 99% de la materia en el universo está en forma de plasma. Las principales propiedades del plasma son:  La energía potencial de los electrones debida a la interacción coulombiana con su vecino más cercano es menor que su energía cinética. Por lo tanto la interacción partícula-partícula tiene menos importancia que los efectos cinéticos.  La influencia de una partícula sobre la demás, debido a la interacción electromagnética electromagnética queda limitada debido al fenómeno de apantallamiento de las demás cargas, provocando que la interacción partícula-partícula sean generalmente de escasa importancia. en consecuencia una parte importante de la evolución de un plasma está dominada por por fenómenos colectivos. Solo consideremos plasmas neutros. A pesar del movimiento libre de iones y electrones dentro del plasma, la interacción coulombiana entre ellos asegura la neutralidad de carga en cada punto del espacio siempre y cuando se trate de distancias superiores a la característica . Los campos electro-magnéticos electro-magnéticos en el plasma plasma son de largo alcance. Esto permite permite a las partículas cargadas estar acopladas unas con otras y actuar de modo colectivo con una frecuencia determinada. El comportamiento dinámico del plasma depende de esta frecuencia. A frecuencia muy baja, iones y 99

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electrones se encuentran inmovilizados por la fuerza electrostática y se comportan como un fluido eléctricamente conductor (Teoría MHD).A mayores frecuencias, iones y electrones se comportan como dos fluidos separados ( Teoría de dos fluidos de Landau). Para frecuencias aun mayores aparecen anisotropías de la distribución de las partículas y fenómenos no lineales (Teoría General de Plasma).

Figura 6.7 El Plasma esta presente en una multitud de situaciones físicas. En lámparas de descargas de gases, en los televisores de “plasma”, en las descargas eléctricas atmosféricas, en

las descargas de arcos voltaicos de soldaduras, auroras boreales y australes, en el interior de las estrellas y en la corona solar y sus fulguraciones, en los reactores de fusión como Tokamak, en los cometas, en el gas ionizado disperso entre las galaxias y en el interior de los tubos fluorescente.

Fig. 6.8 Tipos de plasmas. Los plasmas es caracterizan en función de su densidad electrónica (Eje horizontal) y la temperatura. Los fenómenos de su comportamiento como plasma, solo tienen lugar en escalas de longitud comparables con la longitud de Debye (ver texto).

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Los movimientos colectivos de las partículas de un plasma, tales como la constricción y las oscilaciones, se pueden explicitar con la formulación hidromagnética o teoría de los dos fluidos. Según la cual se considera el plasma como un fluido clásico que obedece a las leyes y ecuaciones de la hidrodinámica. En esta aproximación se desprecia las fuerzas causadas por el propio fluido eléctrico. Debe advertirse que, en general, el comportamiento dinámico del plasma es mas complejo que el de los gases y fluido debido a que el proceso dominante en el que interactúa las partículas en le plasma es la colisión colombiana. Esta interacción es tan débil que los recorridos libres medios de iones y electrones son, por lo general mayores que el tamaño del plasma. Como consecuencia, las interacciones de distribución del momento de las partículas se pueden desviar de su estado de equilibrio Maxwelliano y puede ser altamente anisótropa. Para el caso general la aproximación magnetohidrodinámica o hidromagnética resultan insuficientes. Gas de Lorentz y longitud de Debye Para estudiar el comportamiento estático del sistema; se tiene que dado un plasma uniforme e infinito, que se perturba introduciendo una carga de valor q  0   en condición de equilibrio t      habrá una reordenación del sistema, llegando a un nuevo equilibrio. Esta partícula cargada repelerá a los iones y atraerá a los electrones. Por lo tanto, alrededor de esta carga la densidad de electrones aumentará y la de iones disminuirá. Recordando que las ecuaciones que gobiernan el plasma son las “hijas” de la Ecuación de Boltzmann; es decir, la ecuación de continuidad, la ecuación de Euler o conservación de la cantidad de movimiento y la conservación de la energía. Se considera el plasma como un fluido formado por dos tipos de partículas iones y electrones. Dada n s la concentración de partículas de masa m s (s = electrones o s = iones). La ecuación de continuidad es: m s n s (6.32)  .m s n s v s   0   t  La ecuación de Euler que expresa la conservación de la cantidad de movimiento de los electrones e iones, ignorando la viscosidad del fluido conductor, y sin campo magnético externo, queda : 

  m s n s v s     v s . m s n s v s    P  s  q s n s E   t 

(6.33)

Donde E representa el vector de Campo Eléctrico debido a las cargas. En el fluido ionizado bajo consideración de equilibrio se asume que el numero de electrones e un múltiplo simple del grado de ionización, ne=Zni, con Z el grado de ionización. Además supuesto que la densidad electrónica es baja, puede aproximarse el modelo como si se tratara de un gas diluido, gas de Lorentz de electrones moléculas. Por lo que hay que considerar la presión dada por la ecuación de estado de gas ideal:  P  (6.34)  s  n s k   B T   s   siendo K B la constante de Boltzmann y T s es una medida de la energía media de los electrones, que no debe confundirse con la temperatura macroscópica o paramétrica medida con termómetros. De las ecuaciones de Maxwell prescribimos la ecuación de Poisson, que permite obtener el Potencial Eléctrico creado por este sistema de cargas eléctricas será función de la densidad de carga eléctrica:

 2   

  

0



e Zni

 ne 

0

 

(6.35)

Para t    , en el equilibrio, las distribuciones de electrones e iones cumplirán que: los electrones alcanzan el equilibrio térmico a una temperatura Te, y los iones a una temperatura Ti, que en principio no tiene que ser la misma. Tomando en cuenta lo antes mencionado y empleando un poco de algebra se tiene:

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 no e 2 no e 2      q r    0       k  T  k  T     B e  B i   2

(6.36)

Para el caso particular de la simetría esférica y equilibrio térmico entre electrones e iones, podemos resolver fácilmente la ecuación precedente:   r      q (6.37)  exp      4  0 r       D   Donde   D  es una longitud característica, denominada Longitud de Debye dada por: 1

  D

  k  T   2   0  B2 e      no e  

(6.38)

La longitud de Debye corresponde al valor de longitud, donde el campo eléctrico de una esfera imaginaria (en el sentido de la superficie gaussiana) alrededor del fluido cargado, donde el potencial decae en una cantidad del 66%, es decir en una cantidad de 1/e. Dado un plasma neutro, si se introduce una carga q, el plasma se reordenará (efecto colectivo), de tal manera que para una distancia r>>  D , la carga q se encuentra apantallada y no se detecta. Es decir, el potencial creado por esta carga disminuye muy rápidamente a diferencia del caso de una carga aislada en el vació, cuyo alcance es infinito. El radio o longitud de Debye, definido como la distancia (en el plasma) de auto apantallamiento de campo electrostático de cada partícula. Como indica la Ec. (6.37), resulta ser directamente proporcional a la temperatura, según T 1/2, e inversamente proporcional a n1/2, y nos sirve como escala espacial característica de la separación de carga, y para definir la condición espacial de cuasi-neutralidad es decir cuando L>>  D . Un ejercicio interesante para el lector acucioso es estimar grosso modo la longitud de Debye por medio de la relación 6.37, de cada uno de los ejemplos colocados en la figura 6.7, empleando los datos de la figura 6.8 Un gas ionizado se comporta como un plasma si las dimensiones del volumen ocupado son mucho mayores que una esfera de radio igual a la longitud de Debye. El parámetro de plasma El parámetro de plasma (Γ) indica el número medio de partículas contenidas en una esfera cuyo radio

es la longitud de Debye (esfera de Debye). La definición de plasma, según la cual la interacción electromagnética de una partícula con la multitud de partículas distantes domina sobre la interacción con los pocos vecinos próximos, puede escribirse en términos del parámetro de plasma como . Es común referirse a esta desigualdad como " condición de plasma ", vale decir cuando hay un gran número de partículas cargadas contenidas en una longitud equivalente a la esfera de Debye:

  4 3   D 3 ne  1  

(6.39)

Algunos autores adoptan una definición inversa del parámetro de plasma ( g = 1 / Γ), con lo que la condición de plasma resulta ser . Ejemplo 6 Oscilaciones Electrónicas en un Plasma Uno de los movimientos colectivos más rápidos e importantes dentro de un plasma es la oscilación de los electrones respecto a los iones. Estas oscilaciones se producen cuando se viola la cuasineutralidad del plasma y las fuerzas electrostáticas entran en acción como una fuerza restauradora. Como los iones son muchísimo más masivos que los electrones (los iones más ligeros, los protones son casi dos mil veces más

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masivos que los electrones) casi no se van a mover y la oscilación más notable es la de los electrones Consideremos un plasma con una densidad uniforme N de electrones, supongamos que cada electrón se desplaza en la dirección X una distancia ξ que esa dirección, salvo en las fronteras

mismas del plasma donde el desplazamiento es nulo. El desplazamiento de los electrones perturba el plasma neutro, produciendo una carga en cada elemento diferencial de volumen. De modo que:

 

   

  x y z    Ne y z       

       x   Ne  x y z    x    x

(6.40)

El movimiento de los electrones origina un campo eléctrico E(x,t) tal que:  

 E  . 

   0

 E   Ne      x  0  x



 E  

Ne

 0

   

(6.41)

La fuerza restauradora sobre cada electrón tiene un valor de –eE, que resulta proporcional al desplazamiento ξ, como acabamos de ver (ecuación 6.40). Así los electrones tienen un movimiento armónico simple de ecuación:

 2  Ne me 2     0   t   0

(6.42)

En consecuencia existe una oscilación de plasma de frecuencia  f P:  f  P  

1

 Ne 2

2 

me  0

 

(6.43)

Para densidades del orden de 10 18 electrones por cm3 se obtienen frecuencias de 9 GHz. Las ondas hidromagnéticas que se propagan en un medio conductor sujeto a un campo magnético, fueron propuestas por el físico sueco Hannes Alfven en 1942, premio Nóbel en 1970. Su tratamiento está fuera del alcance de esta obra. En esencia su origen es similar a las ondas hidromagnéticas, salvo que la existencia del campo magnético exige mayores cálculos. La velocidad de fase de las mismas es proporcional a la intensidad del campo; siendo entonces del orden de 2800 m/s para campos de 0.01 tesla y densidades de 10 -5 kg/m3. Las ondas de Alfven son las responsables de impulsar el viento solar a través del espacio, cuando se generan en la superficie solar.

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Nota Biográfica Hannes Olof Gösta Alfvén Nacido en Norrköping, en el año de 1908 , se licenció en Uppsala en Fisica 1926 y obtuvo el doctorado en la misma universidad en 1934, como especialista en física de plasmas, además, fue uno de los fundadores de la magnetohidrodinámica. Comenzó su trabajo como investigador en la Universidad de Uppsala, pasando en 1937 al Instituto Nobel de Física en Estocolmo, y desde 1940 a 1967 fue profesor del Instituto Real de Tecnología de la misma ciudad. Miembro de la Academia de Ciencias y del Consejo Científico de Suecia luego se desplazó en 1969 a la Universidad de California como profesor visitante. Alfvén, fue el autor de la Electrodinámica cósmica (1948), Origen del Sistema Solar (1956), Mundos-Antimundos (1963), Principios de Cósmica (1965), luego muere en Estocolmo, el año de 1995. Hannes Alfvén, fue reconocido por su trabajo y descubrimientos, fundamentales para el campo de la magnetohidrodinámica, cuyas aplicaciones han sido realmente fructuosas en distintas partes de la física de plasmas.

Alfvén, descubrió las ondas transversales que se generan en un plasma situado dentro de un campo magnético (Ondas de Alfvén). Considerado hoy como uno de los creadores de la física del plasma, realizó importantes descubrimientos en el campo de la magnetohidrodinámica. También, fue uno de los primeros en reconocer que el plasma es probablemente el estado de la materia más frecuente en el Universo. Su trabajo ha supuesto avances notables en varias materias relacionadas con el plasma, desde el estudio de las manchas solares y el campo magnético terrestre hasta los intentos de lograr la fusión nuclear controlada en laboratorio. Alfvén, demostró la existencia de ondas electromagnéticas especiales, conocidas en la actualidad como ondas de Alfvén, que se propagan en el plasma a velocidades que dependen de la densidad del plasma y de la intensidad del campo magnético. Estas ondas magnetohidrodinámicas se han encontrado en los cristales, en la atmósfera terrestre y en otros elementos, y han sido fundamentales para la comprensión de muchos de los fenómenos del plasma. El Asteroide 1718 fue bautizado en su honor, y hasta la republica del Congo emitió sellos postales en su honor en 1970 .

6. 5. Dinámica de Fluidos Clásicos en presencia de Campos Eléctricos

El estudio de la dinámica de un chorro consiste en considerarlo como un fluido turbulento y estudiar su estabilidad e inestabilidad. En el presente informe se muestra un estudio comparativo de las características presentes en un chorro de fluido en fase liquida, que presenta una morfología aproximadamente cilíndrica en una parte, y otra en la que se desprenden gotas. La parte cilíndrica se puede estudiar utilizando las ecuaciones de la dinámica de fluidos y considerando que tiene un perfil de constante de velocidades en un cilindro infinito. Pero en la segunda parte lo que conduce a la ruptura son pequeñas perturbaciones que el chorro no logra amortiguar produciendo inestabilidades y la consecuente ruptura.

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La ruptura del chorro se puede clasificar en cuatro tipos o regímenes y depende de la velocidad, el diámetro del chorro, las propiedades del fluido y la atmósfera en la que se encuentra. Los cuatro regímenes son los siguientes:  Régimen de Rayleigh:   en este régimen, el diámetro de las gotas, para una ruptura normal, es mayor que el diámetro del orificio. Este es un régimen que aparece para velocidades bajas. Las fuerzas ligadas a la tensión superficial en el chorro son quienes favorecen el aumento de la amplitud de las perturbaciones en el tiempo y provocan la ruptura del chorro.  1er Régimen Aerodinámico: La velocidad es mayo que en el caso anterior y se observa muchas gotas de menor diámetro que el del orificio. Este régimen se caracteriza por el crecimiento de perturbaciones de longitudes de onda mayores que el radio del orificio. Aquí las fuerzas asociadas al movimiento relativo entre el chorro y la atmósfera circundante, y aquellas debidas a la tensión superficial, son las que provocan el crecimiento de las perturbaciones.  2do Régimen Aerodinámico: Las gotas formadas son aún de tamaño más chico que en el caso anterior. La velocidad del chorro es considerable, y el régimen es normalmente turbulento. La formación de pequeñas gotas es el resultado del crecimiento de inestabilidades de longitudes de onda menores sobre la superficie del chorro. Las fuerzas que surgen de la interacción del chorro con el medio que lo circunda son principalmente las responsables de la desestabilización del chorro, mientras que las fuerzas asociadas a la tensión superficial se oponen al crecimiento de las perturbaciones.  Régimen de Atomización:   Los tamaños de las gotas formadas son aún menores que los de regímenes precedentes, y la longitud intacta del chorro es prácticamente nula. La velocidad del chorro es mucho mayor. En este régimen, las gotas resultantes de las perturbaciones de longitud de onda menores son arrancadas de la superficie del chorro formando un cono alrededor del chorro que se desintegra. Las perturbaciones que tienen una longitud de onda grande pueden sin embargo progresar hasta el final del chorro resultando en gotas de diámetro importante. En este estudio se limita a chorros de baja velocidad y por lo tanto, estos se encuentran dentro del régimen de Rayleigh. El experimento consiste en hacer brotar un chorro de agua de una fuente de diámetro pequeño, el agua sale de la boquilla como un cilindro liso y luego de la ruptura se empiezan a esparcir gotas, que al caer, lo hacen en un gran espacio. Cuando se le acerca al chorro un objeto cargado eléctricamente, el agua deja de esparcirse de la manera como lo hacía antes y se juntan las gotas formando gotas de mayor tamaño o inclusive formando algunos chorros continuos. Existen clasificaciones en donde el primer y segundo régimen aerodinámico se combina, y se utiliza el número de estabilidad (el número de Ohnesorge) y el número de Reynolds definido por las siguientes ecuaciones, en el caso de un chorro. oh



 1   1a 

 Re  

  1U 0 a  1

 

(6.44)

Donde  1  es la viscosidad dinámica del líquido ρ1 su densidad, a es el diámetro del chorro, γ la tensión superficial entre el líquido y el aire, y la velocidad media del chorro: U 0. La longitud donde el chorro es continuo se llama longitud de ruptura. Esta longitud es variable dependiendo de la velocidad de salida del chorro. En nuestro estudio de chorros utilizamos bajas velocidades y por lo tanto estamos dentro del régimen de Rayleigh. Consideramos ahora un chorro de líquido de radio a y velocidad U. asumamos que las perturbaciones son ondas estacionarias de número de onda k y frecuencia ω. Para que ocurra la inestabilidad ω debe tener una parte imaginaria negativa lo que se convertirá en un crecimiento

temporal de la onda.

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Para los fluidos incompresibles las densidad es constante y por lo tanto la ecuación de  

continuidad se convierte en : .U   0 Consideremos a demás que el fluido es irrotacional por lo que se puede introducir un potencial de modo que U     Hallemos una solución en coordinas cilíndricas considerando lo siguiente: L a superficie del chorro se toma en r   a     donde   es la desviación de la superficie del cilindro circular. Se asume que   depende de    y de Z permitiendo perturbaciones tridimensionales y que es mucho menor que a (   << a ). Consideremos el n-ésimo componente de Fourier en la coordenada   , k es real y una onda estacionaria en z .De esta manera las perturbaciones:     0e i t  cos cos kz   (6.44) Puesto que el potencial de velocidades satisface la ecuación de Laplace, en coordenadas cilíndricas tenemos:

 2  1   1  2   2      2     0  r  r  r  r 2  2  z 2 2

(6.45)

Como el chorro está libre las condiciones de frontera podemos relacionarlas con el radio del cilindro sin perturbar, de modo que:       v   (6.46) r  r a r  r a r  r a La solución de la ecuación (6.45) se obtiene por separación de variables, con la forma: (6.47)     H r cos  coskz    La cual nos da para H ( r ):   d 2 H  1 dH   n 2 (6.48)    2  k 2  H   0   2 r  dr   r  dr    Esta ecuación es una modificación de la ecuación diferencial de Bassel. Sus soluciones han sido tabuladas y se conocen como las funciones de Bassel modificadas de orden n de primer tipo I n(kr) H (r )=(ctte).In(kr) (6.49) Las condiciones de frontera que ya especificamos determina la constante por lo que:    i e i t 

in kr  kI ' n kr 

cos(n ) coskz   

(6.50)

Aquí I’n es la derivada con respecto a kr de la función Bessel modificada. Ahora, k ω  deben estar relacionada por una relación de dispersión que hallaremos mas adelante.

f 1

f 

Fig6.9. Tensión sobre una superficie curva

f 2

Por otro lado lo que evita que el líquido colapse ante la presión atmosférica es la tensión superficial. En el caso de superficies planas tendríamos un valor de presión superficial P0. Cuando la superficie es curva, las fuerzas de la tensión superficial originan una presión que se suma a la primera. En efecto, considerando la fig. 6.9, vemos que las fuerzas f1 y f 2 representan las fuerzas de la tensión superficial. La resultante f es perpendicular a la superficie y está dirigida hacia el seno del líquido. El conjunto de estas fuerzas perpendiculares origina una presión P1 que debe sumarse a P 0 . 106

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6.6. Estudio Cualitativo de un Chorro de Agua en presencia de Campos Eléctricos

A continuación se esbozan experimentos demostrativos para ilustrar el comportamiento de líquidos en presencia de campos eléctricos débiles. Desarrollo Experimental  Objetivo general estudiar de manera cualitativa las características de las gotas de un chorro de agua en presencia de campos eléctricos. Se realizan tres estudios comparativos, independientes.  A. Característica de las gotas de un Chorro de Agua, moviéndose en dirección vertical, en Presencia de un Campo Eléctrico producido por electricidad estática (por ejemplo mediante un globo de hule cargado por fricción con el cabello humano).

Figura 6.10 En la parte superior una representación esquemática del montaje experimental. Abajo los resultados: Se observa, una diferencia en el grosor del chorro poco después de salir del orificio de la inyectadota. En presencia de un campo eléctrico (globo de hule cargado) se obtiene un chorro de mayor grosor en comparación al chorro producido en la ausencia de dicho campo y menor dispersión en las gotas. Respecto a las gotas que se producen luego de la ruptura del chorro, no se observa ninguna diferencia considerable.

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B. Características de las gotas de de un Chorro de Agua, moviéndose en dirección vertical, en Presencia de un Campo Eléctrico producido por dos Placas Paralelas.

Figura 6.11 Se muestra, al igual que en la experiencia anterior, una diferencia en el grosor de ambos chorros, observando un mayor grosor en el chorro sometido a un campo eléctrico (derecha). A diferencia de la experiencia anterior, se observa una diferencia en el tamaño de las gotas que se producen luego de la ruptura del chorro. En presencia del campo estas gotas presentan un tamaño mayor respecto a la ausencia de dicho campo.

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C. Características de las gotas de de un Chorro de Agua, moviéndose en el plano, en Presencia de un Campo Eléctrico producido por Placas Paralelas

Figura 6.12 Se muestra, al igual que en la experiencia anterior, una diferencia en el grosor de ambos chorros, observando un mayor grosor en el chorro sometido a un campo eléctrico (abajo). A diferencia de la experiencia anterior, se observa una diferencia en el tamaño de las gotas que se producen luego de la ruptura del chorro. En presencia del campo estas gotas presentan un tamaño mayor respecto a la ausencia de dicho campo.

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Fig. 6.13 Polarización inducida en otas de un chorro de a ua

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Lo que ocurre en todos los casos anteriores se debe a que, al aplicar un campo eléctrico sobre el chorro de agua, se induce una polarización sobre las gotas, tal y como se muestra en la figura (6.13). Esto explica la producción de gotas de mayor tamaño en presencia de un campo eléctrico, ya que al inducir la polarización antes mencionada, se produce una fuerza atractiva entre las gotas que las hace unirse. Las fuerzas de atracción producidas no son lo suficientemente grandes como para producir un chorro continuo, pero sí son los suficientemente fuertes como para vencer la tensión superficial de las gotas ocasionando la unión de estas. Como se pudo observar el campo eléctrico interviene en el libre esparcimiento de las gotas según su trayecto natural, al polarizarlas y ocasionando que estas se unan y formen nuevas gotas de mayor diámetro.

Este fenómeno, también denominado de coalescencia, se presenta con las gotas de lluvia que caen en el campo eléctrico de la atmosfera y su descripción es de importancia para entender la formación de los núcleos higroscópicos que originan las nubes.

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APENDICE I: Ejercicios y problemas resueltos. Se incluyen cuatro talleres de problemas y ejercicios de aplicación de los conceptos fundamentales de hidrodinámica, haciendo énfasis en los contenidos de las dos primeras clases de esta obra. Los problemas ideados tienen la virtud de mostrar aplicaciones en el mundo de las ciencias naturales y la ingeniería y solo en excepciones procuran el afianzamiento del andamiaje matemático asociado

No se plantean problemas específicos para evalúan los contenidos de las clases 3, 4, 5 y 6. Pues el contenido matemático y la profundidad de los temas tratados allí, invitan a la realización de seminarios y pequeños trabajos de investigación que son de más utilidad para estudiantes avanzados. La resolución de problemas de Física de Plasma, Hidrodinámica, Ecuación de Boltzmann, Ecuaciones de Navier Stokes y ondas en fluidos es materia de investigación y sería ocioso plantear tareas y ejercicios en temas de investigación abierta que añadirían poco a la intención pedagógica y formativa de esta obra. Aun así, la colección de ejemplos resueltos en esos capítulos o clases, pueden servir como test de autoaprendizaje de los contenidos presentados, por lo que se invita a su lectura nuevamente.

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Taller de Ejercitación I.

I.1.-Se Usa un sifón, de diámetro uniforme d, para drenar agua de un tanque. Suponga flujo estacionario. (a)Encuentre una expresión para la descarga del volumen en el extremo del final del sifón. (b)¿Cuál es el limite en la altura (H) por encima del agua en la parte superior del sifón. Suponga que la presión en el líquido, es siempre mayor o igual que la presión atmosférica para mantener el flujo continuo de agua.

H

h

I.2.-La Tierra (cuyo radio medio es 6.37 10 6 m) no tiene densidad uniforme, es más densa en el centro

que en la superficie. Una expresión aproximada de su densidad es   (r )   A  Br , con A= 12 700 kg/m3 y B= 1.5 10-3 kg/m4. a) Los indicios geológicos sugieren densidades de 13 100 kg/m 3  en el centro y 2 400 kg/m 3  en la superficie. ¿ que valores da el modelo lineal para estos lugares?. b) Imagine ahora a la Tierra como constituida por una colección de cascarones esféricos concéntricos, 2 de radio r y espesor dr, siendo el diferencial de volumen dV   4 r  dr .Demuestre que la masa de la

 M  

4  3   3    R  A  BR  3   4   ,

Tierra es evalué la masa total de la Tierra y compare con los valores tabulados en las fuentes bibliográficas (investigue)  g (r ) 

4 

   

Gr  A 

3

      que

Br 

3 4 c) Demuestre que el campo gravitacional se expresa en este modelo como coincide con los valores extremos de la aceleración de gravedad nula en el centro de la Tierra y de 9.8 m/s2 en la superficie.

I.3.- En el tubo en U de la figura, se ha llenado la rama de la derecha con mercurio y la de la izquierda con un líquido de densidad desconocida. Los niveles definitivos son los indicados en el esquema. Hallar la densidad del líquido desconocido. I.4.-Si en la dinámica de un fluido ideal la convección estaba ausente, de dT  dz 



 g 

c modo que se verifica la condición de equilibrio estable . Dedúzcase un criterio semejante empleando la Ecuación de Estado de van der Waals, en lugar de la Ecuación de estado para gases ideales.

C M

 p

I.5.-Considere el movimiento de balanceo de un barco, ocasionado por el par de fuerzas de la gravedad y del empuje hidrostático (ambas de igual modulo y sentido opuesto debido a la condición de flotabilidad del mismo). Como el empuje se aplica al metacentro del buque (K) y el peso se aplica sobre el centro de gravedad (C), existe un torque neto. Suponga que el momento de inercia del buque, alrededor de su centrote longitudinal, es I y que R es la distancia entre Ky C. Demuestre que el periodo de las oscilaciones, supuestas pequeñas, es

T   2 

 I   MgR

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1. La Tierra (cuyo radio es 6,37 106 m) no tiene densidad uniforme, es mas densa en el centro que en la superficie. Una expresión aproximada de su densidad es   (r )   A  Br  Con A = 12700 kg/m3 y B = 1,5 10-3 kg/m4.

a. Los geológicos sugieren densidades de 13100 kg/m3 en el centro y 2400 kg/m3 en la superficie. ¿Qué valores da el modelo lineal para estos lugares? b. Imagine ahora a la Tierra como constituida por una colección de cascarones esféricos 2 concéntricos, de radio r  y espesor dr, siendo el diferencial de volumen dV   4 r  dr . Demuestre  M  

4  3   3    R  A  BR  3   4    ,

que la masa de la Tierra es evalué la masa total de la Tierra y compare con los valores tabulados en las fuentes bibliográficas (investigue).  g (r ) 

4 

   

Gr  A 

3

   

Br 

3 4 c. Demuestre que el campo gravitacional se expresa en este modelo como que coincide con los valores extremos de la aceleración de gravedad nula en el centro de la Tierra y de 9,8 m/s2 en la densidad.

SOLUCIÓN

b) Demostrar que

 M  

4  3   3    R  A  BR  3   4  



 M    dV 

2   con dV   4 r  dr  y   (r )   A  Br , tenemos:  R 2  R 3   4    Ar  dr  Br  dr   M   4 r 2 ( A  Br )dr  0 0  En este caso R es el radio promedio de la Tierra 4  3  3   M    R  A  RB 3  4  Sustituyendo lo valores de  A, B y R, obtenemos: 4  3    M   (6,37 106 m) 3 (12700kg / m 3 )  (6,37 106 m)(1,5 10 3 kg / m 4 ) 3 4    = 5,99126 1024 kg

como



c) Campo Gravitacional La fuerza ejercida por la Tierra sobre una partícula de masa m cerca de la superficie de la Tierra donde r es el radio de la Tierra.  F (r ) 

GM T m r 2

 F  g 

 g (r ) 

GM T  r 2

, Sustituyo el valor de la masa de la Tierra G 4  3  3  4 G R  A  3 RB  g (r )  2  R  A   RB   4 4  R 3   3  Sustituyendo los valores  A = 12700 kg/m3 , B = 1,5 10 -3 kg/m4 , R = 6,37 10 6 m y G = 6,672 10-11 N.m2 /kg2 , 2 obtenemos:  g (r )  9,8515 m / s

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2. En el tubo en U de la figura, se ha llenado la rama de la derecha con mercurio y la de la izquierda con un líquido de densidad desconocida. Los niveles definitivos son los indicados en el esquema. Hallar la densidad del líquido desconocido. SOLUCIÓN La presión en el mercurio es  P m

 P o   m ghm   [1]

La presión en el líquido desconocido  P   L

 P o    L gh L   [2]

Po  es la presión atmosférica, para determinar la densidad del líquido desconocido debemos tomar en cuenta que en ese punto las presiones son iguales, por lo tanto igualamos [1] y [2].

    L gh L   m hm     L h L

 g   m hm

La densidad del mercurio

    L 

  m

 13,6

  m hm

 g / cm3

h L

Densidad del líquido desconocido

, hm = 2 cm y hL = 14 cm

luego

   L

 1,94

 g / cm 3

4. Si en un fluido ideal la confección esta ausente y se verifica la condición de equilibrio estable es que dT  dz 



 g  C  p

. Dedúzcase un criterio semejante empleando la ecuación de estado de van der Waals, en lugar de la ecuación de estado para gases ideales. SOLUCIÓN La condición correspondiente al equilibrio estable es dT  dz 



 g  C  p

Luego de hacer una serie de consideraciones tales como V  1. Consideramos un elemento de fluido a una altura z, con volumen específico  p , s   (donde p y s son presión y entropía de equilibrio a la altura z ). 2. Supongamos que este elemento de fluido sufre un desplazamiento adiabático hacia arriba a lo V  largo de un pequeño intervalo   ; su volumen especifico se transforma entonces en  p , s  , '

en donde p’ es la presión a la altura  z    . 3. Para que el equilibrio sea estable, es necesario que la fuerza resultante sobre el elemento tienda a devolverlo a su posición original. El volumen especifico de este ultimo es    . s’ le entropía de equilibrio a la altura  z  Hallamos la condición de estabilidad V  p ' , s '  V  p , s   > 0 Y hacer un Desarrollo la diferencia de potencias de:

V  p ' , s '  , siendo

'

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 s '  s

  

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

ds

dV 

dz 

dz 

 V   ds  0      s   p dz    Donde

C  p



(*)

dV  ds ds dz 

0

 V    T   V          s   p C  p  T   p

 es la capacidad calórica a presión constante.

 V     T  Por lo que podemos escribir la ecuación (*) como     p

ds dz 

0

La mayoría de las sustancias se dilatan al calentarse, es decir, ausente la convección se reduce a ds dz 

 

(**)  V      T   p >0.

La condición para que este

0

Si desarrollamos esta derivada tenemos

   s   dT     s   dP      dz   T   p dz    P  T  dz  ds

ds →

dz 

 s   dP       dz    P   T  dz 

C  P  dT 



T 

Recordando que:

   s     V         P  T   T   P 

ds

→

dP 

Sabemos que dz 



 g  V  , luego

dz 



V   dP     0   dz   T   T  dz 

C  P  dT  T 

V    gT       dz   T   P  C  P V 

dT 

V  Debemos hallar una relación con la ecuación de estado de van der Waals, T  La Ecuación de Estado de van der Waals es:

   N 2 a   P  2 V   Nb  NkT  V     

a y b son constantes que dependen de la sustancia, y N el numero de moléculas.  N       P    V   Nb  V    NKT 

2

a

 P   NK   T  V   Nb

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6.-dadas las condiciones del sistema, analizaremos los torques ejercidos sobre el pívote, que en este caso seria el punto K .

En consecuencia la fuerza de sustentación no ejerce ningún troqué, ya que esta se aplica en el pívot. Así la segunda ley de Newton para rotaciones nos queda: 



   I  

     R  F   R  M   g     I    sus tentacion

 RMg sin    I      RMg sin    0    I 

Además tomando en cuenta oscilaciones pequeñas:    1

   



sin     

 RMg     0  I      2

 2  f 2   2 

 RMg   RMg   I 

De manera tal que:  f  

1

 RMg   RMg 

2 

 I 

,  f  

1

T 



T   2 

 I   RMg   RMg 

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Taller de Ejercitación Ejercitación II .

II.1.-En primera aproximación, los continentes (de espesor t) de la Tierra se pueden imaginar como bloques de granito ( ρg = 2800 kg/m3)que flotan sobre rocas mas densas denominadas denominadas peridotitas ( ρp= 3 3300 kg/m ) situadas a la profundidad d  , en forma similar a la flotación de hielo sobre agua. Demuestre que la formula que describe este fenómeno es: ρg  t = ρp d. Considere un continente que se eleva 5 Km. sobre el piso del océano, vale decir sobre la peridotito, ¿Cuál es el espesor del continente? II.2.-Un recipiente cilíndrico con un líquido incompresible, e densidad ρ, gira con velocidad angular constante ω alrededor de su e je de simetría. a) demuestre que la presión a una altura dada dentro del fluido dP 

    2 r 

aumenta en la dirección radial según la relación: dr  b) Obtenga, por integración, la presión a lo largo de una línea horizontal, en función de r. c) Demuestre que la superficie tiene forma parabólica, es decir la altura

h r

2 2 del liquido esta dada por h(r )    r  / 2 g 

II.3 Considere un tanque de área A, con un orificio de área A 0 situado a H metros por debajo del nivel del líquido. Suponga que en el instante t=0 la altura del liquido en el tanque es H 0 . Q  cA0 2 gH 

a) Demuestre que la razón de flujo Q es , siendo c es el coeficiente de descarga. b) Demuestre que la cantidad de líquido descargado desde el orificio en dt segundos es Qdt = - A dH c) Encuentre el tiempo transcurrido para que la altura del nivel del líquido en el tanque sea H 1 ( 0
dH H0 H1

II.4.-Demuestre que la ecuación de Euler para un flujo isotròpico se puede escribir como:

               v    r . r   t   v    v    v    0 t 

II.5.- Un modelo simple de la l a Troposfera Terrestre Terrestre se obtiene resolviendo la Ecuación de Euler para un gas perfecto en la aproximación hidrostática. Demuestre que en ese caso la presión disminuye exponencialmente con la altitud.

117

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

1.- En primera aproximación, los continentes (de espesor t) de la Tierra se pueden imaginar como bloques de granito ( ρg = 2800 kg/m3)que flotan sobre rocas mas densas denominadas peridotitas ( ρp= 3300 kg/m3) situadas a la profundidad d  , en forma similar a la flotación de hielo sobre agua. Demuestre que la formula que describe este fenómeno es: ρg  t = ρp d. Considere un continente que se eleva 5 Km. sobre el piso del océano, vale decir sobre la peridotito, ¿Cuál es el espesor del continente? SOLUCIÓN Tomamos como A (área de una sección transversal del continente) utilizando el principio de Arquímedes que establece que la magnitud de la fuerza de flotación siempre es igual al peso del fluido desplazado por el objeto. No se refiere a la estructura del objeto, como el problema es similar a la flotación flotac ión de hielo sobre el agua tenemos qué la magnitud de la fuerza de flotación B es exactamente igual a la magnitud F del peso del líquido de granito.  B  F  g     pV  p g     g V  g  g 

  (1) Siendo Vg= A t es el volumen que se encuentran con bloques de granito siendo V p= A d (volumen desplazado) , en consecuencia    p Atg   Atg     g  Ad  g 

  (2) El continente se eleva 5 Km sobre el piso del océano (d = 5 Km), las densidades del bloque de granito y las rocas peridotitos peridotitos son respectivamente: respectivamente: ( ρg  =  = 2800 Kg/m3), (ρp = 3300 Kg/m3), sustituyendo datos nos queda el espesor del continente  t: t  

   p d     g 



3300  Km / m 3 * 5 Km 2800  Km / m

3

 5,89 Km

118

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

2. Un recipiente cilíndrico con un líquido incompresible, e densidad ρ, gira con velocidad angular constante ω alrededor de su eje  de simetría. a) demuestre que la presión a una altura dada dentro del fluido aumenta dP 

    2 r 

en la dirección radial según la relación: dr  b) Obtenga, por integración, la presión a lo largo de una línea horizontal, en función de r. c) Demuestre que la superficie tiene forma parabólica, es decir la altura del 2 2 liquido esta dada por h(r )    r  / 2 g 

SOLUCIÓN a) Para cada punto del cilindro (su base, superficie e interior), su velocidad tangencial se calcula mediante el producto vectorial entre la velocidad angular     y el vector de posición r  de 

 r    xi

dichos puntos (1)

ˆ

 v x, y , z 

  y j   z k  ˆ

ˆ







 

 

   r    y i  x j

 .

   rsen( ) este resultado es debido a que la velocidad angular sólo tiene una Con  x  r cos( ),  y    x, y , z 

 0,0,   

 z  componente constante sobre el eje de simetría del recipiente es decir , debido a la simetría del problema haremos uso de las coordenadas cilíndricas el gradiente en estas coordenadas es





  1  r      z  r  r     z  ˆ

ˆ

ˆ

 r  r     z k  v (r ,  , z )  r    ˆ

ˆ

y la velocidad

ˆ

(2)

En donde la componente z es nula y además r   cos( )i  sen( ) j ,     sen( )i ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

 cos( ) j

ˆ

Sustituyendo en la ecuación (2) así como también la componente x , y y en la ecuación (1) se obtiene   cos( )  r   sen( ) i  r   sen( )  r   cos( )  j v (r ,  , z )  r    (3)  v (r ,  , z )  rsen( ) i  r cos( )  j   (4)



 



ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Comparando ambas se tiene que: 0     ; r 

Así la ecuación (2) luce como:  v (r ,  , z )  r    ˆ

Utilizando la ecuación de Euler y considerando un fluido bajo condiciones estacionarias se obtiene

v  v    P  g k  

ˆ

  

  1  1   P  1  P        P     (r   ).   r      z  r      g k   r      z   r  r       z      r  r       z                   P    1   P  1  P     r      g k   r      z       r  r     z              ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

119

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

  2     P  1  P   P     r      g k  1    r      z            r  r       z            ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(5)

Usando el hecho que

r   cos( )i  sen( ) j ,     sen( )i ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

 cos( ) j

ˆ

    cos( )i  sen( ) j  r    ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Entonces (5) puede ser expresada como: 1   P  1  P   P     r  2 r    g k   r     z   z      (6)      r  r    ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Igualando la parte radial queda

 r  2 r    ˆ

1 dP  r     dr 

dP 

ˆ

dr 

   2 r 

b) Integramos a lo largo de una línea horizontal, en función de r :

 dP      rdr  P     r  / 2  C  2

2

2

Convenientemente la constante de integración debe ser una función que no depende de la variable de integración r , escogiendo esta constante como C = - ρgh (h la altura dada dentro del fluido)obtenemos finalmente::  P 

  2 r 2 2

   gh

c) Si escogemos en la superficie del fluido la presión nula, usando la ecuación precedente, se observa que la forma de la superficie corresponde a la ecuación de una parábola h(r )   2 r 2 / 2 g 

120

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

3.-Considere un tanque de área A, con un orificio de área A 0 situado a H metros por debajo del nivel del líquido. Suponga que en el instante t=0 la altura del liquido en el tanque es H 0 .

a) Demuestre que la razón de flujo Q es Q  cA0 2 gH  , siendo c es el coeficiente de descarga. b) Demuestre que la cantidad de líquido descargado desde el orificio en dt segundos es Qdt = - A dH c) Encuentre el tiempo transcurrido para que la altura del nivel del líquido en el tanque sea H 1 ( 0
a) Q   Av  Utilizando la ecuación de Bernoulli en las alturas Ho y H2 tenemos  P 0



 P 2



1 2 1 2

  v0

2

   gH 0   0

  v 2

2

   gH 2   2

Como las presiones P 0 y P2 son iguales a la presión atmosférica e igualando  0   con  2  teniendo en cuenta que la rapidez     gH 0 v2

2



Como



1

v0

 0  queda:

   gH 2 2 2   g ( H 0  H 2 )   v2

2

  

 H   H 0

Q   A0 cv2

 H 2   nos queda que la rapidez en el punto 2 es igual a

v2



2 gH 

  entonces

  A0 c 2 gH 

Q  c A0 2 gH 

b) El líquido adopta la forma del recipiente que lo contiene, así el volumen V del líquido en el tiempo t, es función de la altura del nivel del líquido h; esto es V=f(H), dV= f(H) dH  . Y la cantidad de líquido que sale en un intervalo de tiempo dt, se determina por la relación: dQ   A0 c 2 gH dt 

Si existe un aporte de líquido el recipiente a un a razón M, el balance del líquido en el sistema, proporciona la relación diferencial siguiente dV   M dt    A0 c 2 gH dt 

En nuestro caso M=0 tomando dV= f(H) dH , se obtiene  f ( H )dH    A0 c 2 gH dt 

 

(1)

121

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Ecuación diferencial de variables separables que a integrarla resuelve el problema, como la sección transversal del recipiente es constante, entonces dV= A dH   (A sección transversal del recipiente) se sustituye en (1)  AdH    A0 c 2 gH dt 

 

(2)

Como Q  c A0 2 gH   queda  AdH   Qdt  o sea Qdt   AdH  

(3)

c.) despejando de (3) el intervalo de tiempo dt, e integrando, dt  

t   

t  

 A Q

dH 

 A 2 g cA0

0



H 0

dH  H 

2 A  H 0 2 g cA0

122

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

4.- Demuestre que la ecuación de Euler para un flujo isotròpico se puede escribir como:

               v    r . r   t   v    v    v    0 t 

SOLUCIÓN

Partiendo de la Ecuación de Euler para la conservación del Momentum:         v   v   P  0  t     

  

   v  v   v    P    t   

  

Usando la identidad del cálculo vectorial: 1



2

v2 





  



 v    v   v   v 

v  v   12 v

2







 v    v 

e ingresándola en la ecuación de Euler tenemos:

   v   1 v 2  v    v     P   2  t   

  

 1 2               v  v    v    P     v  2  t     

Aplicándole el rotacional en ambos lados de la ecuación tenemos:              1 2      v  v    v      P     v  2  t     





         1      v    v    v      P       v 2  2  t        Como el rotacional de un gradiente es nulo siempre,   U   0 , la segunda parte de la ecuación se

  

anula por completo y nos queda

           v    v    v   0  t   

  

         v    v    v   0 t 

123

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

5.- Un modelo simple de la Troposfera Terrestre se obtiene resolviendo la Ecuación de Euler para un gas perfecto en la aproximación hidrostática. Demuestre que en ese caso la presión disminuye exponencialmente con la altitud. SOLUCIÓN 



Partiendo de  p      0 , la presión  p tiene dirección vertical el gradiente solo se aplica en esa

dirección  z  por lo que la ecuación de Euler queda de la forma: dp

 ( z )       0 ˆ

dz 

Escribiendo la ecuación anterior en función de  g y multiplicando por dz dp     gdz  0  dp   g  dz 

Como el gas es ideal usamos la ecuación de estado de modo que:  p  nk  BT   n 

k  B T 

dp      gdz  

 p



mg  k  B T 

Definiendo



 p



mpg  dz  k  BT 

dz 

 H  

dp

k  BT 

mp

    mn 

dp

 p

k B T  mg  como la escala de altura de la presión, con dimensión [L] -1

dz 

 p

dp

  p

1

 z 

dz   H  



 H   p0  z 0 Despejando  p (presión) de la ecuación anterior tenemos:

   p   1    ( z  z 0 )   p0    H 

 Ln

  ( z  z 0 )    H     

 p   p0 exp  

Esta ecuación expresa que la presión disminuye exponencialmente con la altitud.

124

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Taller de Ejercitación III.

III.1.- Un tanque de agua tiene forma de un cono circular recto, con su vértice hacia arriba y su superficie cónica haciendo un ángulo α grados con la horizontal en su base circular. El tanque esta lleno pero tiene un orificio en el vértice del cono donde la presión es de una atmósfera. Si se hace un orificio pequeño en un lado del cono a una distancia s del vértice (medido a lo largo de la superficie inclinada) el flujo resultante cae debajo de la fuga en una distancia s’. a) Encuentre una expresión para s` en términos de .s y α (suponga que el vector de la velocidad inicial del flujo de corriente es normal a la superficie del tanque). b) Calcule la razón s`/s para un cono cuyo ángulo sea 45º.

S

S’

α

III.2.- La razón de flujo Q y la altura H del fluido en el tanque está relacionada por la expresión Q  k   H 

a) Estime una expresión para k Se ha supuesto que el fluido se llena y se vacía al mismo tiempo. b) Supóngase que en el estado estable la altura es H y la razón de flujos es Q=Q 0 c) Encuentre un modelo matemático linealizado que relacione la razón del flujo con la altura en la vecindad del punto estable. Para ello Considere la resistencia de la válvula de salida dH   H   H 0   2 H / Q0  R  dQ Q  Q0

dH H0 H1

III.3.- El radio del huracán Katrina del 2005 fue de 350 km. La rapidez del viento cerca del “ojo” del Huracán, cuyo radio fue de unos 30 km, alcanzo cerca de 200 km/h. Al entrar el aire del borde del huracán hacia el centro su cantidad de momento angular permaneció casi constante. a) Estime la rapidez del viento en el borde del huracán b) Estime la diferencia de presión en el suelo entre el “ojo” y el borde del huracán

c) Si la energía cinética del aire arremolinado en el ojo del huracán pudiera convertirse totalmente en energía potencial gravitacional ¿Cuánto subiría el aire? d) de hecho el aire en el ojo del huracán se eleva a varios kilómetros de altura, ¿que otra consideración debe hacerse para conciliar nuestro modelo (respuesta de la parte c) con las observaciones? III.4.- Considérese un modelo estelar simple. Construyamos dicho modelo de la siguiente forma: a) Escriba la ecuación de continuidad para una estrella con simetría esférica. m  4 r 2   r  b) Demuestre que si la estrella tiene densidad uniforme, se verifica que c) Demuestre que la Ecuación de Euler conlleva a la ecuación de Equilibrio Hidrostático:  P  Gm    r  4 r 2 d) Escriba la relación precedente en forma lagrangiana usando los resultados b) y c) e) Estime una expresión para la presión y temperatura central de la estrella, empleando valores medios en la forma lagrangiana de la ecuación de Equilibrio Hidrostático y la ecuación de Estado de gas Ideal. Determine los valores centrales de la presión y la temperatura del Sol.

125

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

1. Un tanque de agua tiene forma de cono circular recto, con su vértice hacia arriba y su superficie cónica haciendo un ángulo    grados con la horizontal en su base circular. El tanque está lleno pero tiene un orificio en el vértice del cono, donde la presión es de una atmósfera. Si se hace un orificio pequeño en un lado del cono (Figura 1.1) a una distancia  s del vértice (medido a lo largo de la superficie inclinada) el flujo resultante cae debajo de la fuga a una distancia  s  . a. Encuentre una expresión para  s   en términos de  s  y    (suponga que el vector de la velocidad inicial del flujo de corriente es normal a la superficie del tanque)  s 

b.Calcule la razón  s  para un cono cuyo ángulo sea 45º. SOLUCIÓN

La presión en el vértice del cono y en el orificio a una distancia  s  de éste es la presión atmosférica  P a . Para determinar la velocidad con la que el chorro de agua emerge del cono se emplea la ecuación de Bernoulli Ec.1.1, la cual se aplica a lo largo de una línea de corriente en un fluido ideal. 1   v( s) 2  P ( s)    gs  ctte 2  

(1.1) Si se considera una línea de corriente que va desde el vértice del cono al agujero por donde es expulsada el agua, la presión en ambos puntos es la presión atmosférica y la velocidad del fluido en el vértice es cero, entonces empleando Ec.1.1, se obtiene Ec.1.2. 1

1  gz ( s )   v 2 ( H )  P ( H )     gH     v 2  z ( s)  P  z ( s)    2 2

1  P a      gH     v 2  z ( s )  P a     g  z ( s) 2

v  2 g  H   z (s)

 

(1.2)

La ecuación 1.2 expresa la rapidez con la que el chorro de agua es eyectado del agujero, H es la altura del vértice, g la aceleración de  z ( s)  es la altura del orificio medida desde la base del cono. gravedad y  z ( s)   se requiere la recta generatriz del cono, Para determinar considerando la figura: La recta que pasa por los puntos (0,0, H)  y (0, R ,0)  tiene la forma de la Ec 1.3.  y tan(    )   z  H   (1.3) Y por la identidad trigonométrica: tan(    ) 

tan( )  tan( )

1  tan( ) tan( )

  tan( )

La Ec 1.3 se reescribe como, la cual es la recta generatriz de la ecuación del cono,

126

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

 z  H   y tan( )  z ( x, y)  H   tan( )  x 2

 y2  

(1.4)

Por simplicidad supongamos que la trayectoria del chorro esta completamente contenida en el plano  x  0   además no se está considerando fuerzas adicionales a la gravedad. La Ec.1.5 muestra la





distancia entre dos puntos, el vértice del cono (0,0, H)  y el orificio con coordenadas  x s , y s , z  s .

 (0  0) 2  (0  y) 2   H   H    y tan( )2  s 2   y 2 1  tan 2 ( )   y 2 sec 2 ( )  s   y sec( ) (1.5)  s 2

Despejando de la anterior igualdad  y s  se obtiene la Ec.1.6.

 s cos( )  

 y s

(1.6)

Sustituyendo en la Ec.1.3.1

 z  H  s cos( ) tan( )  H  sen( ) s  

(1.7) Introduciendo Ec.1.7 en Ec.1.2 se expresa la velocidad, paralela al vector normal a la superficie del cono en el orificio, como

 v  2 gsen ( ) s n ˆ

 

(1.8)

Donde n  es un vector normal a la recta  z  H   tan( ) y por lo que el vector n  se expresa como ˆ

n ˆ

  f    f 

ˆ





 z  tan( ) y  H   sen( ) j  cos( )k  2 1  tan ( ) ˆ

ˆ

Y la velocidad queda finalmente expresada como.

 

(1.9)

 v  sen( ) 2 gsen( ) s j  cos( ) 2 gsen( ) s k  ˆ

ˆ

  (1.10) El movimiento del chorro al abandonar el contenedor cónico se puede estudiar considerando que el fluido es análogo al movimiento de una partícula en lanzamiento de proyectil, sujeto a las siguientes condiciones: v y (0)  sen( ) 2 gsen(2 ) s

v z (0)  cos( ) 2 gsen(2 ) s

 y (0)  s cos( )

 z (0)   sen( ) s  H 

Evaluando: dz  dt 

  gt  v z (0)   gt  cos( )

2 gsen( ) s

Integrando: 1  z (t )    gt 2 2

 cos( )

2 gsen( ) st  z (0)

1

   gt 2  cos( ) 2 gsen( ) st  sen( ) s  H  2

 y Ahora considerando el movimiento en la coordenada : dy dt 

 v y (0)  sen( )

 

(1.12)

2 gsen( ) s

127

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Integrando:  y(t )  sen( ) 2 gsen( ) st  y(0)  y(t )   sen( ) 2 gsen ( ) st   s cos( )

Considerando que el tiempo máximo cono en un punto.

 y  s´cos( )  

t max

 

, es aquel que emplea el chorro para tocar la superficie del

(1.14)

 z  H   sen ( ) s  

(1.15)

Sustituyendo en Ec.1.13 la Ec.1.14 y resolviendo  sen( ) 2 gsen ( ) st max   s cos( )   s cos( ) t ma x



 s  s 

(1.13)

para

t max

se

obtiene

Ec.1.16.

cos( )

2 gsen ( ) s  sen ( )

  (1.16) Sustituyendo en Ec.1.12, Ec.1.16 y Ec.1.15, se obtiene Ec.1.17  1 2   gt max  cos( ) 2 gsen( ) st max  sen( ) s  H   H   sen( ) s   2 2    s  s  cos( )   1   s  s  cos( )    cos( ) 2 gsen( ) s    sen( ) s  s   g   sen    sen   2 ( ) ( ) 2  gsen (   )  s 2  gsen (   )  s       2  s  s 1  4 sen ( )   cos 2 ( )      s  s 1  4 tan 2 ( )  

(1.17)

es la relación entre las distancias desde el vértice del punto desde donde emerge el chorro de agua hasta donde cae en la superficie del cono de ángulo   . Si el cono esta descrito por un ángulo

   45o , el cociente entre las distancias  s  y  s´  esta dado por  s  s

 1  4 tan 2 ( )  5

 

(1.18)

128

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

2. La Razón de flujo Q y la altura H   del fluido en el tanque de la Fig.2.1 están relacionadas por la expresión: Q   K   H   

(2.1)

a) Estime una expresión para K. Se ha supuesto que el fluido se llena y se vacía al mismo tiempo. b) Supóngase que en el estado estable la altura es  H 0  y la razón de flujo es Q  Q0 . c) Encuéntrese un modelo matemático linealizado que relacione la razón de flujo con la altura en la vecindad del punto estable. Para ello considere la resistencia de la válvula de salida  R 

dH   H   H 0 dQ



Q  Q0



2 H 0

Q0

Usando la ecuación de Bernoulli (Ec.2.2), donde     es la densidad del fluido, V es la velocidad a una altura arbitraria H de la línea de corriente y P la presión en dicho punto. 1 2

  V 2  P    gH   ctte

 

(2.2)

Se observa en la figura que en el origen de coordenadas H =0 y V   V 1 En cambio en la altura 1 2

  V 1

 H 0

 se tiene que V=0, de esta manera por medio de la ecuación de Bernoulli.

 P 1  P 0    gH 

2

La presión  P 1 y  P 0   se puede considerar como la presión atmosférica de manera que ambas son iguales, con lo cual se obtiene: 1 2

  V 1

   gH 

2

Y despejando V 1  resulta V 1  

2 gH 

  La definición de caudal Q es: d   dH  Q   A  VA dt 

(2.3)

dt 

(2.4) Donde   es el volumen, H  es la altura, y  A es el área de la sección transversal del segmento de tubería que se considera constante y por medio del cual escapa el líquido del tanque. Mediante esta última relación y empleando Ec.2.3 y Ec.2.4 se tiene que: Q

2 g  A  H 

2 Por lo tanto  . Por definición, la resistencia esta dada por:  K   A

 R 

 g 

dH  dQ

129

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Sustituyendo la Ec.2.1 en la anterior:  H  

Q2

 R 



 K 2

2Q Q  2. dQ  K  Q

dH 



2  Q 2  

2 H 

  Q   K 2   Q

Cerca del punto de estabilidad  H   H 0 , Q  Q0 , de modo que la resistencia R de la válvula de salida del flujo está dada por:  R 

2 H 0 Q0

  (2.5) El diferencial de H  y de Q se puede considerar una variación dH   H   H 0 dQ



Q  Q0

  (2.6) Igualando Ec.2.5 y Ec.2.6 se obtienen Ec.2.7.  H   H 0 Q  Q0



2 H 0

Q  Q0

Q0



Q0 2 H 0

( H   H 0 )

  (2.7) La ecuación Ec.2.7 es una ecuación que relaciona la razón de flujo Q con la altura H  en la vecindad del punto estable. Otra manera de demostrar este modelo es haciendo una expansión en serie de Taylor de la ecuación Ec.2.1 alrededor de  H   H 0 , Q  Q0  (se considera que el nivel de agua en el tanque no varía mucho  H 

en torno al nivel de estabilidad 0 ) Si se tienen en cuenta que Q= f (H) se obtendrá en la expansión lo siguiente: Q   f ( H )   f ( H 0 ) 

df  dH 

( H   H 0 ) 

2 1 d   f  2

2! dH 

2 ( H   H 0 )

 ...

 Despreciando los términos de orden superior a ( H   H 0 )  y usando  f ( H 0 ) Q0  resulta: Q  Q0



df  dH 

( H   H 0 )  a( H   H 0 )

df  dH 



 K  2  H 



Q0 2 H 

 H  H  ,Q Q 0 0 Donde a es De esta manera obtenemos que la relación entre Q y H  esta dada por Ec.2.8.

Q  Q0



Q0 2 H 0

0

0

( H   H 0 )

 

(2.8)

La ecuación 2.8 es un modelo lineal con el cual se puede conocer el nivel de agua en el tanque en términos del caudal.

130

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

3. El radio del huracán Katrina del 2005 fue de 350 km. La rapidez del viento cerca del “ojo” del huracán, cuyo radio fue de unos 30 km, alcanzó cerca de 200 km/h. Al entrar el aire del borde del huracán hacia el centro su cantidad de momento angular permaneció casi constante. a. Estime la rapidez del viento en el borde del huracán. b. Estime la diferencia de presión en el suelo entre el “ojo” y el borde del huracán.

c. Si la energía cinética del aire arremolinado en el ojo del huracán pudiera convertirse totalmente en energía potencial gravitacional ¿cuánto subiría el aire? d. De hecho el aire en el ojo del huracán se eleva a varios kilómetros de altura, ¿qué otra consideración debe hacerse para conciliar nuestro modelo (respuesta de la parte c) con las observaciones? SOLUCIÓN

Se considera que la forma del huracán es como un cilindro coaxial macizo entre las interfaces como se muestra en Fig.3.1, donde Ro =30 km, radio del ojo y  R B =350 km el radio del huracán.

Fig.3.1. Idealización de la forma del huracán y representación del huracán Katrina. La rapidez del viento cerca del ojo del huracán es v( Ro ) =200 km/h, con este valor y la consideración 







de que el momento angular  L  r  p  es constante además r   v , entonces la rapidez del viento en el borde del huracán esta dada por Ec.3.1.

v( R B ) 

 Ro  R B

v( Ro )

=17,14 km/h (3.1) Para determinar la diferencia de presiones en el suelo entre el ojo y el borde del huracán se emplea la ecuación de Bernoulli a una línea de flujo que se encuentra completamente contenida en un plano que corta al “huracán” y es paralelo al plano  z  0 , esta diferencia de presiones esta dada por Ec.3.2. 1 2

  v 2 ( R B )  P ( R B )  g   h  12   v 2 ( R0 )  P ( R0 )  g  h 



0

0

 P  P ( R B )  P ( R0 )  12  aire v 2 ( R0 )  v 2 ( RB ) 

(3.2)

La densidad del aire es   aire =1,29 kg/m3 =1,29 109 kg/km3, entonces empleando Ec.3.2 la diferencia de presiones es  P  1,98 103 Pa; en milibares y en atmósfera esta diferencia de presión es 19,8mbar y 0,0196atm respectivamente. Considerando que la presión en la superficie exterior del huracán es de

131

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

1atm entonces la presión en el interior del huracán, en el ojo es  P ( R0 )  P ( R B )   P =0,98 atm y en milibares dicha presión es P ( R0 ) =990,2 mbar. Si se considera una partícula fluida del huracán que se mueve a la velocidad v( R0 ) , por la conservación de la energía se puede determinar la altura a la cual asciende dicha partícula, considerando que toda la energía cinética de esta se convierte en potencial. Se tiene en cuenta que la

  T   12  T  I    T  energía cinética de la partícula es únicamente energía cinética rotacional  (  vector fila de   ) y en este caso particular esta dada por Ec.3.3. 



T   12 I  2

  (3.3) Por la idealización realizada, el momento de inercia I  es el momento de inercia de un cilindro hueco de radio interno  R0 y radio externo RB , dado por Ec.3.4.

 I   12 m( R02  R B2 )   (3.4) Empleando Ec.3.3, Ec.3.4 y la conservación de la energía se obtiene una expresión para la distancia de ascensión vertical, dada por Ec.3.5. 2

2 2  v ( R0 )  1 m (  R   R  mgh  B 0 ) 4    R0  2 1    RB   2 1  2 v ( R0 ) h 4 g    R0     (3.5)

Con los datos recolectados y proporcionados en el enunciado e introducirlos en Ec.3.5, se obtiene h  10,80 km. Con este modelo del huracán Katrina, se podría estudiar este tipo de fenómenos en cualquier atmósfera extraterrestre, porque lo único que se requiere es el valor de la aceleración gravitatoria y la presión atmosférica del planeta. Para mejorar el modelo se debe considerar el transporte de calor ya que este determina en parte la ascensión del huracán, y además se podría determinar una expresión que proporcione una mejor aproximación para calcular la altura del ojo del huracán donde ya no se establezca que este es un sólido rígido.

132

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

4. Considérese un modelo estelar simple. Construyamos dicho modelo de la siguiente forma:

a. Escriba la ecuación de continuidad para una estrella con simetría esférica. b. Demuestre que si la estrella tiene densidad uniforme, se verifica que:

m  4 r 2   r  c. Demuestre que la ecuación de Euler conlleva a la ecuación de Equilibrio Hidrostático:

 P  Gm   2 r  r 

d. Escriba la relación precedente en forma lagrangiana usando los resultados b y c. e. Estime una expresión para la presión y temperatura central de la estrella, empleando valores medios en la forma lagrangiana de la ecuación de equilibrio hidrostático y la ecuación de estado de gas ideal. Determine los valores centrales de la presión y la temperatura del Sol. SOLUCIÓN

a. Como se considera simetría esférica, la ecuación de continuidad viene dada por

 sen( )v   v     1 1     1 r 2 vr       2     v      0 t   r   rsen ( )   rsen ( )    

    er  ˆ

Donde

1    1        e   e  r  r    rsen ( )   ˆ

ˆ

 

b. Si la estrella tiene densidad uniforme, la ecuación de continuidad es   v  0 (fluido incompresible)    

 M  V 



dm dV 



dm 2 4 r  dr 

m  4 r 2   r   

(4.2)

c. A partir de la ecuación de Euler:

v  P   v  v    g  t    

 Si consideramos el equilibrio hidrostático, v    P     g 



 0  (fluido estático)

Considerando que la aceleración debida al campo gravitatorio se determina a partir de la ley de gravitación para una estrella de masa M, y que la presión solo depende de la distancia al centro de la estrella, podemos escribir

 P   GM   2 r  r   

(4.3) Empleando la regla de la cadena, donde se considera que , la forma lagrangiana de la ecuación de equilibrio hidrostático, se escribe como :

133

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

 P  m  P  GM      2  4 r 2       GM  m r  m r  r 2  P  GM   4 m 4 r    (4.4) f. A partir de la ecuación de equilibrio hidrostático Ec 4.3, se determina una expresión para la presión Ec 4.5, integrando esta ecuación desde r   hasta infinito, y considerando que la presión sobre la superficie de un cuerpo por acción de la fuerza de atracción gravitatoria es despreciable para r   R . 





1

 r 

dP    GM 

r 

2



dr 

 P (r ) 

  GM  r 

r 

  (4.5)

La presión promedio se calcula empleando la Ec 4.6.  P  

1

V 

  P (r )dV  

(4.6)

V 

Promediando la Ec 4.5 se obtiene la Ec 4.7  P  

 R

   GM  4 r 2 dr  43   R 3  0   r    1

 P  

3  GM  2  R

  (4.7)

Empleando la ecuación del gas ideal y la Ec 4.7, donde se ha supuesto un gas encerrado en el volumen del sol, donde  R y  M  son la masa y radio del sol respectivamente, se puede determinar la temperatura media T   del astro mostrada en la Ec 4.8.   Nk T 



4 3

   R 3



 

1 4 3

   R 3



2 GMR  2

 GMR 2 T   2   Nk 

 M 



4 3

   R 3



 3 GM 2 T   2  RNk   

(4.8) La masa del sol  M   esta constituida por un numero  N  de partículas de hidrogeno (ya que el sol está compuesto de un 92,1% de este elemento), por lo que se obtiene  M    Nm H  . Con esta relación y la Ec 4.8, finalmente se obtiene la temperatura media del sol Ec 4.9.  3 G  MmH  T   2 k   R   (4.9) Sustituyendo G = 6,67 10-11 Nm2/Kg2, la constante de Boltzmann k  = 1,38 10-23 Nm/K, la masa del sol

 M  = 1,99 1030 Kg, el radio del sol  R = 6,38 108 m, y m H  = 1,66 10-27 Kg, se obtiene: T  = 3,75 107 K

Con la temperatura media T    y la ecuación de estado del gas ideal se puede determinar la presión media del sol.  P  =5,70 1014 Pa = 0,57 1010 atm Los cuales coinciden con los valores tabulados.

134

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Taller de Ejercitación IV.

IV.1.- En la tarde del 15 de Enero de 1919, en Boston, se rompió un tanque metálico cilíndrico de 27,4 m de altura y 27,4 m de diámetro, usado para almacenar melaza. La melaza flujo por las calles de Boston matando personas y caballos; tragedia conocida como La Gran inundación de Melaza, y destruyo gran parte de la ciudad por las corrientes de 9m de profundidad. La densidad de la melaza es 1600 kg/m3. Si el tanque estaba lleno antes del accidente estime la fuerza total ejercida por la melaza sobre los costados (considere que la fuerza actúa radialmente hacia fuera sobre un anillo de la pared del tanque de ancho dy a una profundidad y bajo la superficie de la tapa del tanque, luego integre). Antes de romperse el tanque la presión en la superficie dentro del tanque era igual a la presión atmosférica. Investigue en la Web-Site detalles históricos sobre este rarísimo suceso. IV2.- Un tanque de almacenamiento se llena hasta una altura h 0 . Si se hace un orificio a una altura h desde el fondo del tanque. a) Cual es el alcance horizontal del chorro?. b) Suponga ahora que el tanque tiene petróleo crudo de densidad 850 kg/m3 y su viscosidad es 0.3 Pa s., y que el orificio se empalma a un oleoducto de 1.2 m de diámetro. Estime el número de Reynolds. ¿Para una velocidad del flujo de 3m/s el flujo será laminal o será turbulento?

h

h0

 y  x 2 IV.3 a) Determine la fuerza total ejercida sobre una pared parabólica de un tanque de almacenamiento de agua de 10m de profundidad y radio 4m. Sugerencia: Integre separadamente las componentes  x e y de la fuerza. b) Suponga que efectuamos un orificio en el fondo del tanque , que esta abierto en su superficie, el orificio tiene un diámetro de ½ pulgada, en cuanto tiempo se descarga el tanque?.

IV.4.- Un líquido que fluye de un tubo vertical produce un chorro con una forma bien definida. Para obtener la ecuación de esta forma, suponga que el liquido esta en caída libre una vez que sale del tubo. Al salir el líquido tiene rapidez  v0 y el radio del chorro es r 0. a) Obtenga una ecuación para la rapidez del liquido en función de la distancia y que ha caído. b) Combine el resultado de a) con la ecuación de continuidad y obtenga una expresión para el radio del chorro en función de y. IV.5.- Un objeto de masa 1,8Kg y densidad desconocida (ρ 1), se pesa sumergido en agua obteniéndose con un dinamómetro una medida de 15N. Al pesarlo de nuevo, sumergido en un líquido de densidad desconocida (ρ2), se obtiene 14,4N. Determinar la densidad del objeto y del segundo líquido.

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

1. En la tarde del 15 de Enero de 1919, en Boston, se rompió un tanque metálico cilíndrico de 27,4 m de altura y 27,4 m de diámetro, usado para almacenar melaza. La melaza flujo por las calles de Boston matando personas y caballos; tragedia conocida como La Gran inundación de Melaza, y destruyo gran parte de la ciudad por las corrientes de 9m de profundidad. La densidad de la melaza es 1600 kg/m3. Si el tanque estaba lleno antes del accidente estime la fuerza total ejercida por la melaza sobre los costados (considere que la fuerza actúa radialmente hacia fuera sobre un anillo de la pared del tanque de ancho dy a una profundidad y bajo la superficie de la tapa del tanque, luego integre). Antes de romperse el tanque la presión en la superficie dentro del tanque era igual a la presión atmosférica. Investigue en la Web-Site detalles históricos sobre este rarísimo suceso.

Detalles históricos: Ocurrió en el centro de Boston en 1919, justo antes de la Prohibición. La Purity Distilling Company, una destilería, tenía un tanque de melaza defectuoso (miel de caña, una especie de jarabe espeso usado con distintos fines) conteniendo nueve millones de litros y éste reventó posiblemente la presión de la fermentación desgarró la debilitada estructura esparciendo una ola de pegoste dulce de 4,5m por todo el centro de Boston. La melaza aplastó paredes y vigas gente y vehículos machacando y asfixiando a 21 personas e hiriendo a 150 antes de detenerse y dejar un charco pegajoso que tardó seis meses en ser limpiado. Aún hoy, la leyenda popular habla del olor a melaza que se desprende del barrio en los cálidos días de verano. SOLUCIÓN

     F   P   A  d   F   P dA

Pero como estamos trabajando con un anillo diferencial arbitrario, de área  A  2   Rdy



Recordando que:

 dF   P (2 Rdy )

  P  P 0     gy

presión atmosférica;

e integrando sobre todo el tanque de melaza Tomando como valor de

 P 0  1,013 .10 5  P a  1,013 .10 5  N  / m 2

 y   y  y   F    P 0     gy 2   Rdy 2   R   P 0 dy     gydy 

 0



 0

    gy 2  27, 4m  F   2   R  P 0 y    2  0

 0



 F   7,46 108 N 

Es claro que la elevada densidad de la melaza ocasiono una colosal fuerza en la base del tanque, de 746 millones de newton, para el cual no se habia diseñado el tanque de almacenamiento. El desconocimiento de las elementales leyes de los fluidos fue la causa de la tragedia!.

136

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

2. Un tanque de almacenamiento se llena hasta una altura ho. Si se hace un orificio a una altura h desde el fondo del tanque.

a) ¿Cual es el alcance horizontal del chorro? b) Suponga ahora que el tanque tiene ahora petróleo crudo de densidad 850 kg/m 3 y su viscosidad es 0.3 Pa s., y que el orificio se empalma a un oleoducto de 1.2 m de diámetro. Estime el número de Reynolds. ¿para una velocidad del flujo de 3 m/s el flujo será laminal o será turbulento?

ho

h

x

SOLUCIÓN

Se quiere determinar el alcance horizontal x =? del chorro. Vemos que H= ho + h  x f 



 x0  vt  0  v t 

: Recordando que: t    v

2h

 g 



2 gh0



Al sustituir en  x f 



2 g ( H   h)

 x f  

2h

 v t  

 g 

2 g ( H   h)

2

h( H   h)

b) El número de Reynolds viene expresado de la forma siguiente:  N  R



   v D

 

Donde: D= diámetro de la tubería.    = densidad del fluido. v = velocidad del fluido.  = viscosidad del fluido. 

Al sustituir los datos se tiene:    v D

   850 kg m 3 .3 m s .1,2m      

 N  R



 N  R

 10200

 

0,3 Pa

El resultado anterior nos dice que el flujo es turbulento debido a que para números de Reynolds mayores a 3000 el flujo tiene un comportamiento turbulento. 137

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

3. a) Determine la fuerza total ejercida sobre una pared parabólica de un tanque de almacenamiento de agua de 10m de profundidad y de radio de 4m. Sugerencia: Integre separadamente las componentes x e y de la fuerza. b) Suponga que efectuamos un orificio en el fondo del tanque, que esta abierto en si superficie, el orificio tiene un diámetro de ½ pulgada, ¿en cuanto tiempo se descarga el tanque?

 y  x 2

SOLUCIÓN

a) Se tiene que la fuerza total viene dada por:

  d   F    Pd A





 d   F    PdA  PdAn   P  dx 2





ˆ

 dy 2 n ˆ

2

  dy   d   F    P  1    dxn dx    



 P  1  F 

'2

ˆ



dF    P  1  F '

2



(2 xi

ˆ

  j ) ˆ

1  4 x





 y dx    y

2

dx  

(1)

  Tomando en cuenta que: P   P a  gy ; siendo y la variación de la altura del sistema. La Ec. (1) se puede reescribir de la forma:

dF  



 y )2   x 1  4 x 2 ( P 0  g    1  4 x

2



dF   ( P 0  g    y )2   x 1  4 x

2

(2 xi

  j )dx

(2 xi

  j )

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1  4 x

2

dx

  dF   2   x  ( P 0  g   y )(2 xi   j ) dx     dF     P 0 2 xi   2 xi g    y   P 0 jdx2   x   g    yi  2   xdx     2 2 dF   2  2 P 0  x dxi  2 g    yx dxi  P 0  xdx j  g   yx  yxd  d  xj    2 Haciendo el cambio de la función  y  x , se obtiene: ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

138

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

 x1



 x1

dF   4   P 0  x dxi 2

ˆ

 x0

 x1

 4  g    x

4

dxi

ˆ

 x0

 x1

 2  P 0  xdx  xdx j  2  g  x 3 dx j ˆ

ˆ

 x0

 x0

 2  P 0 x 2 2  gx 4    x 3  x 5   4  g     | x cx i    dF    4   P 0  | x cx 3 5 2 4       x 3   x 5   gx 4     g     | x cx i    P 0 x  dF   4  P 0  | x cx  j 3 5 2     ˆ

0

1

0

ˆ

0

1

1

 j

ˆ

ˆ

0

1

Los limites de integración no coinciden con los datos del ejercicio; ya que si se toma la variación de y en función de x, los límites quedan de la forma:  x0  x  0   y  0; xu  x  4  y  16 , cuyo valor de y=16, se pasa de la profundidad de la pared parabólica. b) Tomemos la superficie del tanque parabólico como una sección S1, que ahora tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S2 cuyo diámetro es de ½ pulgada= 0,0127m mucho más pequeña que S1.

Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior. Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S1 y S2 está en contacto con el aire a la misma presión. Luego,  p1=p2=p0. La diferencia de alturas es y1-y2=h. Siendo h  la altura de la columna de fluido. La ecuación de continuidad se escribe como: v1S1=v2S2 y la ecuación de Bernoulli De estas dos ecuaciones obtenemos v1 y v2, despejando v 1 y sustituyendo en la última expresión, se obtiene: 2 1 1 2  S 2       v 2 2  0    gh    v 2  2   S 1   2 2   S 1 2   gh 1 2  S 2     1  0  v 2     gh    v 2  2 2 2      S 1    S 2  S  1 luego

v1



S 2

2   gh   

 S 2 1 El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es S2v2, y en el tiempo t iempo dt será S2v2dt . Como consecuencia disminuirá la altura h del depósito -S1dh= S2v2dt Si la altura inicial del depósito en el instante t=0 es H . Integrando esta ecuación diferencial, obtenemos la expresión de la altura h en función del tiempo. S 2

2

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Cuando h=0, despejamos el tiempo t que tarda el depósito en vaciarse por completo.

Si S1>>S2, se puede despreciar la unidad

Sustituyendo loss valores, se obtiene que:

t   335 335,96 s , es el tiempo en que se descarga dicho tanque.

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

4. Un líquido que fluye de un tubo vertical produce un chorro con una forma bien definida. Para obtener la ecuación de esta forma, suponga que el liquido esta en caída libre una vez que sale del tubo. Al salir el líquido

tiene rapidez V 0  y el radio del chorro es  R0 . SOLUCIÓN

Se quiere conseguir una expresión para la velocidad que adquiere el fluido después de haber recorrido una altura y. A partir de la expresión de la conservación de la energía tenemos: 1 2

mV 02

V  f 

1

 mgy0  mV  f 2  mgy 2

 V 02  2 g  y0  y 

Donde Vo es la velocidad inicial del causal. Ahora a partir de la velocidad y de la ecuación de la continuidad se va a encontrar una expresión para el radio del chorro como función de la altura.  A0V 0

  A f V  f     R02V 0    R 2V  f  

 R  R0

V 0 V  f 

V 

De la expresión anterior y teniendo en cuenta que  f    depende de la altura, concluimos que el radio del chorro depende tanto de la velocidad inicial como de la altura.

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5. Un objeto de masa 1,8 kg y densidad desconocida (ρ 1), se pasa sumergido en el agua obteniéndose con un dinamómetro una medida de 15N. Al pesarlo en un líquido de densidad desconocida (ρ2), se obtiene 14,4N. Determinar la densidad del objeto y del segundo líquido. SOLUCIÓN

De acuerdo al diagrama de fuerzas T 1  E 1  P 1  0  

Donde

(1)

 E 1  es el empuje T 1  es la tensión de la cuerda  P 1  es el peso

 P  1  mg  17,64 N 

De acuerdo al principio de Arquímedes  E     gV , con V el volumen del cuerpo sumergido y     la densidad del fluido.Para el primer caso tenemos que la densidad   1  corresponde a la densidad del agua con lo que al sustituir en 1: T 1    1Vg  P 1  0

V  

 P 1  T 1

  1 g 



17,64 N   15 N  3 Kg  m ) (10 3 )(9,8  s m

 2,69 x10 4 m 3

Al pesarlo nuevamente pero sumergido en otro fluido, tengo el mismo diagrama de fuerzas pero ahora con una nueva tensión y un nuevo empuje. T 2  E 2  P 2

0

 14,4 N   P 1   P 2  17,64 N   E 2   2 gV  T 2

Al sustituir T 2

  2 gV   P 2  0

  2



 P 2  T 2  gV 



17,64 N   14,4 N   9,8 m 2 2,69 x10 4 m 3  s







 1229,04 kg m 3

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Test de Autoevaluación conceptual 1 (Preguntas de Selección simple Clases 1 y 2)

Instrucciones seleccione una y solo una de las alternativas presentadas. Recuerde que cada ítem correcto suma 1 pto, mientras que un ítem incorrecto resta 1/3 pto. 1. Un cuerpo de masa 4 kg y forma cuadrada de 20 cm de cada lado y 4 cm de espesor. ¿en cual de los siguientes líquidos flotará? a) Gasolina de densidad 700 kg/m 3 b) Alcohol metilico de densidad 810 kg/m 3 c) Naphta de densidad 6650 kg/m 3 d) Aceite de Oliva de densidad 918 kg/m 3 2. Se sumerge un barril vacío dentro de un tanque lleno de agua, con el fondo hacia arriba de modo tal que el aire que contiene se introduce dentro del agua. La presión que ejerce el agua del tanque para expulsar el barril hacia la superficie varia principalmente con: a) la altura b) el volumen c) la superficie d) la densidad 3. La causa de la horizontalidad de la superficie de los líquidos es: a) la densidad del líquido b) la presión del líquido c) la densidad del aire d) la presión atmosférica 4. En el sistema de frenado de los automóviles la presión ejercida sobre el pedal de frenos se transmite, mediante la Liga de frenos, a los cilindros pares de las ruedas, que al expandirse oprimen las zapatas de los discos y tambores friccionando estos y deteniendo el rodaje de los neumáticos. Su principio de funcionamiento esta basado en: a) la prensa hidráulica b) la Ley de Pascal c) El Principio de Arquímedes d) La Ley de Bernoulli 5. La presión a cinco metros de un tanque de almacenamiento: a) depende de la altura del tanque b) es menor que la presión a 4 metros de profundidad c) es mayor que la presión a 6 metros de profundidad d) depende de la dirección en que es medida 6. En un sistema de frenos hidráulicos el pistón del pedal de los frenos tiene área de 2 cm 2 y cada pistón un área de 10 cm 2. Si el pedal recibe una fuerza de 10 newtons, la fuerza que recibe cada pistón de los frenos es: a) 100N b) 15 N c) 200N d) 1000N

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7. Un tanque de almacenamiento contiene un fluido de peso específico de 6840 kg/m 2s2. Dos válvulas permiten el vaciado del tanque. Una válvula se encuentra en la base del tanque y la otra a mitad de la altura del tanque. Si la presión en la base del tanque es P a y a la mitad de altura es P1 ¿Qué relación guardan entre si ambas presiones? a) Pa= 6480 P1 b) P1=Pa/2 c) P1= 6480 Pa d) P1= 3240 Pa 8. La altura de una columna de líquido esta conectada por una manguera a la base de un depósito cilíndrico. La altura que alcanza el liquido en la manguera es: a) mayor cuando la manguera esta en forma de U b) menor si la manguera tiene forma de serpentín c) determinada por la sección transversal del cilindro d) independiente de la forma adquirida por la manguera 9. Señale cual de las siguientes afirmaciones esta de acuerdo con el Principio de Arquímedes aplicado a la flotabilidad de los cuerpos sólidos en fluidos líquidos: a) la flotabilidad depende del volumen del liquido desplazado por el objeto b) El aluminio se hunde siempre en el agua por ser mas denso que esta. c) Un cuerpo flota si el cociente del empuje entre el peso del cuerpo es menor que la unidad d) Una corona de oro flota en el agua pero no la de plata como demostró Arquímedes 10. La densidad del agua es 1000 kg/m3 y la del mercurio es 13600kg/m3. Si la corona de Oro del Rey Hieron desplazaba un volumen de 1 litro y su masa era de 10 kg, entonces, en virtud del Principio de Arquímedes podemos concluir que la corona: a) se hundiría en ambos líquidos b) flotaría en el mercurio c) se hundiría en el mercurio d) estaba hecha con plata y oro. 11. Un cuerpo sumergido en un fluido: a) es más pesado que en el aire b) tiene mayor masa c) tiene menor masa d) es más liviano que en el aire 12. La flotabilidad de un huevo en una solución salina a) depende de la temperatura de cocción b) disminuye con el volumen del huevo c) aumenta con la cantidad de sal disuelta d) disminuye con la cantidad de sal disuelta 13. La razón de la existencia de las mascaras de oxigeno en los aviones comerciales es: a) prevenir la asfixia en caso de incendio b) la disminución de la presión durante un aterrizaje de emergencia c) el aumento de la presión atmosférica con la altitud d) la disminución de la presión atmosférica con la altitud

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14. ¿Cuál de las siguientes unidades físicas NO es una unidad de presión? a) N/m2 b) Pondio c) Bar d) Torricheli 15. Un avión facilita su despegue cuando la dirección del viento es: a) contraria a la velocidad del avión b) paralela a la velocidad del avión c) ortogonal a la trayectoria del avión d) ortogonal a la superficie de la pista 16. El principio fundamental o causa que explica el vuelo de los aviones es: a) el ser mas liviano que el aire b) la disminución de la presión superficial de las alas c) las leyes de Pascal y Arquímedes d) La Ley de Bernoulli 17. La fuerza ascensional de los aviones es causada por a) reacción de los gases expulsados por el motor b) forma aerodinámica del fuselaje c) diferencia de presión entre las alas delanteras y traseras d) diferencia de velocidad del flujo de aire sobre las alas 18. Un fluido viaja a gran velocidad por una tubería (gasoducto u oleoducto). Si en una parte de esta tubería, la sección transversal se reduce (tubería cónica) entonces la presión en ella: a) permanece constante b) aumenta en su parte mas estrecha c) disminuye en su parte mas estrecha d) es menor que en una tubería recta 19. El principio de funcionamiento de algunos extintores de incendio y aerosoles se basa en: a) flotabilidad de los gases b) variación de velocidad en un fluido transversal c) Ley de Boyle-Pascal d) Ecuación del Vaso comunicante 20. Los restos flotantes de un avión siniestrado en el mar tienden, por las leyes de la hidrodinámica a: a) ser esparcidos b) irse mar adentro c) ser empujados al fondo d) ir hacia la costa

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Test de Autoevaluación conceptual 2 (Preguntas de Selección simple Clases 3, 4 y 5) Instrucciones seleccione una y solo una de las alternativas presentadas. Recuerde que cada ítem correcto suma 1 pto, mientras que un ítem incorrecto resta 1/3 pto. 1. La viscosidad se expresa en el Sistema Internacional en Unidades de: a) N . s /m3 b) s/m2 N c) N/ s m2 d) N. s/m2 2. La Ecuacion de Navier-Stokes es a) una generalización de la Ecuación de Boltzmann para fluidos no ideales b) un caso general de las Ecuaciones de Bernoulli y Pascal c) una generalización de la Ecuación de Euler para fluidos viscosos d) una expresión de la viscosidad cinemática de los fluidos no ideales 3. El Numero de Reynolds es a) 6,62 10-19 Kilopascales/m 2 para fluidos viscosos b) menor para flujos lamínales que para flujos turbulentos c) mayor en flujos lamínales d) independiente de la viscosidad del fluido 4. Uno, entre los siguientes fenómenos, no contiene un vórtice de turbulencia en fluidos. Señálelo. a) la mancha roja del planea Júpiter b) las manchas solares c) aire alrededor de un avión en vuelo d) los tornados 5. La turbulencia o flujo turbulento es un régimen NO caracterizado por: a) la baja difusión de momento b) alta conveccion c) rápidos cambios espacios-temporales de la presión d) temperatura y densidad del medio 6. La viscosidad cinemática se define como: a) cociente del tensor de esfuerzo y la velocidad de la deformación de corte b) el producto del tensor de esfuerzo con la viscosidad c) el cociente entre viscosidad y densidad del fluido d) el producto de la viscosidad por el peso especifico del fluido 7. El invariante de segundo orden en la Ecuación de Boltzmann permite deducir la ecuación de: a) continuidad b) Euler c) Navier-Stokes d) Bernoulli

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8. El invariante de orden cero en la Ecuación de Boltzmann permite deducir la ecuación de: a) continuidad b) Euler c) Navier-Stokes d) Bernoulli 9. La ecuación de Euler se deduce a partir de la Ecuación de Boltzmann mediante: a) invariante de segundo orden b) invariante de primer orden c) invariante de orden cero d) Teorema de Liouville 10. El enunciado. “el hipervolumen en el espacio de fase permanece constante ante transformaciones canónicas” corresponde al enunciado de

a) la ley de Boyle-Mariotti b) La ecuación de Euler c) Teorema de Liouville d) Ninguna de las anteriores 11. En el procedimiento para deducir la Ecuación de continuidad a partir de la ecuación de Boltzmann debemos: a) asumir fluidos ideales e incompresibles b) despreciar los términos colisionales c) integrar sobre todas las velocidades d) derivar respecto al tiempo la densidad 12. La generalización de la ecuación de Bernoulli obtenida a partir de la Ecuación de Boltzmann a) excluye las fuerzas de Lorentz b) excluye las fuerzas viscosas c) incluye las fuerzas no newtonianas d) incluye las fuerzas elásticas recuperativas 13. Una entre los siguientes problemas físicos NO  admite una descripción a partir de las propiedades de transporte de fluidos mediante la Ecuación de Boltzmann, señálela a) resolución de la dinámica rotacional de una partícula b) tratamiento de plasmas astrofísicos c) calculo de la conductividad eléctrica de un semiconductor d) estimación de los coeficientes de difusión 14. ¿Cuál de las siguientes leyes NO es una ecuación básica de la magnetohidrodinámica? a) Faraday b) Liouville c) Ohm d) Maxwell-Fourier 15. El estado de plasma esta caracterizado por a) la temperatura b) el número de partículas por unidad de volumen c) la longitud de Debay d) todas las anteriores

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16. La Longitud de Debay : a) varía como la raíz cuadrada de la temperatura b) disminuye proporcionalmente a 2/3 de la densidad del numero de partículas c) aumenta con la carga eléctrica de los constituyentes del plasma d) todas las anteriores 17. Solo una de las siguientes listas NO contiene solamente plasma físicos, señálela a) viento solar, núcleo de un reactor de fusión, fuego artificial b) aviso comercial luminoso de neón, aurora boreal, interior de las estrellas c) corona solar, aurora boreal, núcleo de un reactor de fisión, d) aviso comercial luminoso de xenón, relámpago, nebulosa planetaria 18. Un gas ionizado se considera un plasma siempre que:: a) su volumen no supere a la longitud de Debay b) su volumen este en el interior una esfera de radio igual a la longitud de Debay c) la temperatura exceda 1000 kelvin y su densidad supere 1000 partículas/m 3 d) el camino libre medio de las partículas sea comparable a la constante de Planck 19. Un fluido de partículas cargadas puede siempre ser considerado como: a) plasma b) gas de Lorentz c) fluido cargado incompresible d) ninguna de las anteriores 20. El numero de Hartmann: a) es el análogo al número de Reynolds b) caracteriza un plasma en la aproximación hidromagnetica c) explicita la viscosidad cinemática de un gas ionizado d) ninguna de las anteriores

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Respuestas al Test de Autoevaluación conceptual 1

1 2 3 4 5

c c d a a

6 7 8 9 10

c b d a b

11 12 13 14 15

d c d b a

16 17 18 19 20

d d b b d

Respuestas al Test de Autoevaluación conceptual 2

1 2 3 4 5

d c b b d

6 7 8 9 10

c d a b c

11 12 13 14 15

c a a b d

16 17 18 19 20

a a b d a

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BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

1. AGÜERA, J. Mecánica de fluidos incompresibles y turbomáquinas hidráulicas. Ed. Ciencia . Madrid, 1996. 2. BATCHELOR G.K, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge, 1967. 3. BATCHELOR, G.K.: Introducción a la Dinámica de Fluidos. Instituto Nacional de Meteorología, Madrid. 1997 4. BELTRÁN, Rafael, Introducción a la Mecánica de Fluidos. McGraw Hill, Bogotá. 1991. 5. COWLING, T. G., Magnetohidrodinámica, Ed. Alhambra, Madrid 1973. 6. DAILY, James, HARLEMAN, Donald R.. Dinámica de los Fluidos, México. F. Trillas, S.A., 1969 7. DOUGLAS, J. F. Problemas resueltos de dinámica de fluidos. Ed. Bellisco. Madrid, 1991 8. FABER, T. E. , Fluid Dynamics for Physicists, Cambridge University Press, 1995 9. FERNÁNDEZ, Bonifacio Introducción a la Mecánica de Fluidos, 2ª Ed. México. Alfa omega, 1998. 10. FEYNMAN, R. et al., The Feynman Lectures on Physics, Capítulos 40 y 41. Wesley N.Y. 1988. 11. FRANZINI, Joseph B., y Finnemore, E. John. Mecánica de fluidos con aplicaciones en Ingeniería. 9ª Ed. Madrid. McGraw Hill, 1999. 12. GARETH, W., Fundamentos Básicos de Mecánica de Fluidos., 3ra Ed., Mc Graw Hill, México 1996 13. GILES, Ranald V.. Teoría y Problemas de Mecánica de Fluidos e Hidráulica. Serie de Compendios Schaum, McGraw Hill de México, México, 1969 14. HANSEN, Arthur G. Mecánica de Fluidos. México. Limusa-Wiley S.A., 1971 15. HUGHES, William F.; BRIGHTON, John A. Teoría y Problemas de Dinámica de Fluidos. Serie Schaum. Norma, Cali, 1970. 16. HERNÁNDEZ Rodriguez, Julio. Problemas de mecánica de fluidos, máquinas hidráulicas. Madrid, Universidad Nacional de Educación a Distancia, 1996. 17.  JIMENEZ, J.: Turbulence and Vortex Dynamics. Universidad Politécnica de Madrid, 2004 18. KING, Horace W.; WISLER, Chester O.; WOODBURN, James G. Hydraulics. Hidráulica. Trillas, México, 1980 19. LANDAU, L.D., LIFSHITZ E.M., Fluid Mechanics, Pergamon, 1987. 20. LIGGETT James A. y CAUGHEY David A. Fluid Mechanics, an interactive text. USA. American Society of Civil Engineers, 1998. 21. Marion, M. y Temam, R., Navier-Stokes Equations: Theory and Approximations, Handbook of Numerical Analysis, P.C. Ciarlet and J.L. Lions eds. Vol. VI, 503-689, Amsterdam, 1998. 22. MATAIX, Claudio. Mecánica de Fluidos y Máquinas Hidráulicas, México. Harper & Row Pub. Inc., 1978. 23. MULLER, J., La Mecánica de Fluidos, Tercera Edición Editorial CECSA, México 1993 24. OCKENDON, H. Y OCKENDON, J. R.: Viscous Flow. Cambridge University Press, 1995. 25. PATERSON A.R., A First Course in Fluid Dynamics, Cambridge, 1983 26. POTTER, Merle C. y WIGGERT, David. Mecánica de fluidos, 3ª Ed. México. Thompson, 2002. 27. SHAMES, Irving H. Mecánica de fluidos, 3ª Ed. Santafé de Bogotá. McGraw Hill, 1998. 28. SOTELO AVILA, Gilberto. Hidráulica General, Vol I, Fundamentos, México Limusa, 1977. 29. STREETER, Victor L./Wylie E. Benjamin/Bedford, Keith W. Mecánica de fluidos, 9ª Ed. Santafé de Bogotá. McGraw Hill, 1999. 30. Tennekes, H. y Lumley, J. L.: A first course in Turbulence. MIT Press, 1972 31. TRITTON, D. J., Physical Fluid Dynamics, 2nd. Edition, Oxford University Press, 1988. 32. VENNARD, John. Elementos de la Mecánica de los Fluidos. C. Ed. Continental, México, 1965.

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INDICE

Clase 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11

Clase 2

2.1 2.2 2.3 2.4

Clase 3

Presentación y dedicatoria Hidrostática: Generalidades y Definiciones Básicas Generalidades Fluidos Ideales Propiedades de los Fluidos Presión Hidrostática Viscosidad Ecuación de Continuidad Empuje Hidrostático Nota Biográfica: Arquímedes Ecuación de Euler Ecuación de Bernoulli Turbulencia Experimentos demostrativos de Cátedra Fluidos Ideales: Ecuaciones de Continuidad Euler y Bernoulli Ecuación de Continuidad Demostración Experimental Ecuación de Euler Otras expresiones de la Ecuación de Euler Ecuación de Bernoulli Nota Biográfica: Leonhard Euler

Teoría de Transporte para Sistemas de Partículas Clásicas

1 5

25

25 27 28 30 33 37

39

3.1 Valores medios de Observables de los Fluidos 3.2 Ecuación de Boltzmann Nota Biográfica: Ludwig Boltzmann 3.3 Invariantes y Ecuaciones hidrodinámicas 3.4 El Invariante de orden 0 en la Ecuación de Boltzmann 3.5 El Invariante de primer orden en la Ecuación de Boltzmann 3.6 El Invariante de segundo orden en la Ecuación de Boltzmann 3.7 Tratamiento General de las Propiedades de Transporte 3.8 Aproximación del tiempo de relajación: solución de primer orden

Clase 4

Fluidos viscosos, Turbulencia.

4.1 Ecuaciones de Navier-Stokes Nota Biográfica: Claude Navier y George Stokes Determinación Experimental del Coeficiente de Viscosidad 4.2 Fluido Estacionario y sin rozamiento 4.3 Turbulencia 4.4 La turbulencia de los Fluidos y Ecuaciones de Navier-Stokes 4.5 Flujo en Tuberías

Clase 5

Arrastre y Ondas en Fluidos Ideales

39 43 45 46 47 49 50 51 52

57

71

5.1 5.2 5.3 5.4

Fuerza de arrastre en un flujo potencial que rodea un cuerpo Consideraciones energéticas Fuerza de sustentación de Magnus Ondas de Gravedad Nota Biográfica David Brunt y Yrjö Väisälä 5.5 Ondas e Inestabilidades en Fluidos no Uniformes

Clase 6

Introducción a la Magnetohidrodinámica

6.1 Ecuaciones Básica 6.2 Efectos Electromagnéticos

5 6 6 7 8 9 10 12 13 15 17 18

57 59 60 61 62 64 66 71 73 75 77 84 85

91 91 93

151