CRITERIO DE LA DECRECIMIENTO.
PRIMERA
DERIVADA
PARA
CRECIMIENTO
Y
Una función es creciente en un entorno si al aumentar x aumenta f(x), por el contrario será decreciente si al aumentar x disminuye f(x). Teorema: En los intervalos en los que f(x) > 0 entonces es creciente. En los Intervalos en los que f(x) < 0 entonces es decreciente.
Una regla práctica para estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función es estudiar el signo de la función derivada. Ejemplo: Sea f una función de variable real rea l continua en [ a, b ] y derivable en ( a, b ). ). i.
Si
para todo
entonces f es creciente en [a, b ]. ].
ii.
Si
para todo
entonces f es decreciente en [a, b ]. ].
Demostración: i.
Sean
dos puntos de [a, b ] tales que
Evidentemente, f es continua en el T.V.M., existe por lo menos un punto
.
, f es derivable en
, luego por
tal que:
(1) De
, se deduce que
y como por hipótesis
deduce de (1) que:
Luego, ii.
y f es creciente en [a, b ]. ].
Se demuestra de manera similar.
, se
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Una función f(x) tiene un máximo relativo o local en x = a, si existe un entorno de centro “a” en el que el valor de la función es menor que f(a). Una función tiene un
mínimo relativo o local en x = a, si existe un entorno de centro “a” en el que el valor de la función es mayor que f(a).
En los puntos de máximo o mínimo la tangente de la gráfica horizontal y por tanto su pendiente es cero. Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de la derivada, en los puntos de máximo o mínimo la derivada de la función es nula. La condición necesaria para que un punto sea extremo local de una función es que el valor de la derivada en ese punto sea cero. Hay que tener en cuenta que ésta condición solo es una condición necesaria pero no suficiente, ya que pueden existir puntos con derivada nula pero que no sean extremos locales.
Ejemplo: Sea f una función continua en un intervalo I ; sean a, b, c puntos de I , tales que a < c < b y c un punto crítico de f (f ’(c) = 0 o f ‘ ( c) no existe).
Entonces: i.
Si
para todo x en ( a, c ) y
para todo x en ( c, b ), entonces,
f(c) es un máximo relativo. (fig. 1. (a), fig. 1. (b)).
ii.
Si
f(c) es un
iii.
para todo x en ( a, c ) y
para todo x en ( c, b ), entonces,
mínimo relativo. (fig. 1. (d), fig. 1. (e)).
Si
para todo x en ( a, c ) y
para todo x en ( c, b ), entonces,
f(c) no es un extremo relativo. (1. (c)).
iv.
Si
para todo x en (a, c ) y
para todo x en (c, b ), entonces, f(c) no es un extremo relativo. (fig. 1. (f)).
d
e
c
f
Demostración:
Teorema 5 que f es creciente, luego para todo x tal que a < x < c , se tiene: f(x) < f(c) (1) i.
Si f ’(x) > 0 en ( a, c ), se tiene por el
Ahora, como f ’(x) < 0 en (c, b ), entonces f es decreciente (Teorema 5) y de esta forma, para todo x tal que c < x < b , se cumple: f (c) > f (x) (2)
De (1) y (2) se concluye que f (c) es un máximo relativo. ii.
Similar a la parte i.
iii.
Si f ’(x) > 0 en ( a, c ) y f ’(x) > 0 en (c, b ), entonces por el
Teorema 5 se tiene
que f (x) < f (c) para todo x en (a, c) y f (c) < f (x) para todo x en (c, b); de lo cual se concluye que f (c) no puede ser ni máximo ni mínimo relativo.
iv.
Similar a la parte iii.
Observación: En el lenguaje corriente, las partes i. y ii., del teorema 6, se expresan respectivamente, en la siguiente forma: Si la derivada pasa de
positiva a negativa,
máximo relativo; y si la derivada pasa de negativa a positiva , el punto crítico corresponde a un mínimo relativo. entonces, el punto crítico corresponde a un
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CONCAVIDAD. Sea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto
ii.
i. Si
para todo x
I ,
entonces, f es cóncava hacia arriba en I .
Si
para todo x
I ,
entonces, f es cóncava hacia abajo en I .
I. Entonces:
Considere por ejemplo, la función definida por: f (x) = x4 y cuya gráfica aparece en la fig. 9.17.
fig. 9.17. Como f (x) = x4, f ’(x) = 4 x3, f ’’ (x) =12 x2 Para
c
= 0, se tiene:
sin embargo el punto
corresponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de 0,
x
P (0, f (0)) = P(0,
0) no
anteriores y posteriores a x =
y no cambia la concavidad de la curva.
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Los valores que anulan la primera derivada (αi),
se sustituyen en la segunda derivada, y se
estudia mediante el siguiente criterio: a. Si f” (αi) < 0 entonces en el punto (αi , f (αi)) hay un MÁXIMO b. Si f” (αi) > 0 entonces en el punto (αi , f (αi)) hay un MÍNIMO c. Si f” (αi) = 0, hay que seguir derivando. Si la primer derivada que no se anula en x= αi es de índice impar, en [αi , f (αi)]
hay un punto de inflexión. Si la primera
derivada que no se anula es de índice par, en [αi , f (αi)]
hay un máximo si la
derivada es menor que cero ó un mínimo si es menor que cero.
ASÍNTOTAS DE GRÁFICOS DE UNA FUNCIÓN. Una asíntota es una recta a la cual otra función se le va aproximando indefinidamente, en otras palabras,
es una función cuya representación es gráfica y en forma de línea recta o
parábola que, dentro de un trazo aleatorio, su trayectoria es de aproximación a una curva que representa a otra gráfica de otra función; ambas tienen sus límites dentro del área definida por la integral que asocia la razón de ambos gráficos.
En términos algebraicos lo definimos de la siguiente manera: Sea f ( x) una función real de variable real definida en el intervalo
, a ,
a,
o respectivamente
tal que: (1) f ( x) g ( x) h( x) , que satisface: (2) (3)
lim h( x) 0 , o respectivamente:
x
lim h( x) 0 .
x
Entonces se dice que, para x (respectivamente: x ), la curva G : y una curva asintótica, o simplemente una asíntota para la curva F : y f ( x) .
g ( x) es
Existen varios tipos de Asíntota:
-
Asíntota vertical: Si existe alguno de estos dos límites:
a la recta x = a se la denomina asíntota vertical. -
Asíntota horizontal: Si existe el límite: , siendo a un valor finito la recta y = a es una asíntota horizontal
-
Caso particular Si para la función
se calcula f(x) cuando x toma valores positivos o negativos
grandes (ver valor absoluto), se puede observar que f(x) se aproxima a cero. Esta situación se puede escribir como: y a la recta y = 0 se la denomina asíntota horizontal
