FACULTAD DE INGENIERIA Curso: Cálculo 1
SOLUCIÓN HOJA DE TRABAJO N° 07 Semana N°7: Función creciente y decreciente – Criterio de la primera derivada Extremos e Intervalos de Crecimiento y decrecimiento: 1.
En las siguientes funciones determine los intervalos de crecimiento, los valores máximos y mínimos relativos.
a)
y
1
4x
x
2
SOLUCIÓN: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: y' 2x 4
Igualamos a cero la derivada: y '
2 x
0
4
0
x 2 Por lo tanto, la función tiene un solo punto crítico
x
2
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: derivada: Completamos la siguiente tabla:
; 2
Intervalo
Valor de prueba
x
3
2;
x
0
Signo de f ' ( x)
f ' (3) 2 0
f ' (3) 2 0
Conclusión
La función crece
La función decrece
k. Intervalos de crecimiento y decrecimie decrecimiento: nto: Intervalo de crecimiento:
Intervalo de decrecimiento: l.
; 2
2;
Máximos y mínimos En
x
2
la función alcanza un máximo, cuyo valor es: f ( 2)
5
y
x
DEPARTAMENT DE CIENCIAS
1
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada
b)
y
x
2
x
Cálculo 1
3
SOLUCIÓN: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: y ' 3 x 2
6 x
Igualamos a cero la derivada: y '
3 x 2
3 x x
x 0
0
6 x
2
0 0
x2
Por lo tanto, la función tiene dos puntos críticos x 0
x2
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Completamos la siguiente tabla:
;0
Intervalo
Valor de prueba
x
Signo de f ' ( x)
x
1
f ' (1)
f ' (1) 9 0
Conclusión
2;
0; 2
La función crece
1
x
30
3
f ' (3) 9 0
La función decrece
La función crece
k. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos de crecimiento:
;0
2;
Intervalo de decrecimiento: 0; 2 l.
Máximos y mínimos: En x
0 la función alcanza un máximo, cuyo valor es: f (0)
En x
2 la función alcanza un mínimo, cuyo valor es: f (2)
0 4
y
x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
2
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada
c)
y
3 x
4
6x
Cálculo 1
2
SOLUCIÓN: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos:
y '
12 x
3
12 x
Igualamos a cero la derivada: y ' 0
12 x 3
12 x
x 1
0
0
12 x x 1 x 1
x 0
Por lo tanto, la función tiene tres puntos críticos:
x 1 x 1 x
0
x 1
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Completamos la siguiente tabla:
; 1
Intervalo
1; 0
Valor de prueba
x
Signo de f ' ( x) Conclusión
2
x
0.5
x
0;1
1;
0.5
x 2
f ' (2) 0
f ' (0.5) 0
f ' (0.5) 0
f ' (2) 0
La función decrece
La función crece
La función decrece
La función crece
k. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos de crecimiento:
1; 0
1;
; 1
Intervalos de decrecimiento: l.
0;1
Máximos y mínimos: En
x
En x En
x
1 la
función alcanza un mínimo, cuyo valor es: f (1) 3
0 la función alcanza un máximo, cuyo valor es: f (0)
1 la
función alcanza un mínimo, cuyo valor es: f (1)
0
3
y
x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
3
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada
d)
y
3
(x2
Cálculo 1
4) 2
SOLUCIÓN: i. Hallamos los puntos críticos de la función: Derivando la función tenemos:
y '
4 x
3
( x
2
4)
Igualamos a cero la derivada: y '
4 x 3
( x
2
0 0 ;
x
2; 2
4) x 2 x
Por lo tanto, la función tiene tres puntos críticos:
0
x
2
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Completamos la siguiente tabla:
2;0
; 2
Intervalo
Valor de prueba
x
Signo de f ' ( x) Conclusión
3
x
f ' (3) 0
La función decrece
1
x
f ' (1)
2;
0;2
0
f ' (1)
La función crece
1
2
f ' (3)
x
0
La función decrece
La función crece
k. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos de crecimiento:
Intervalos de decrecimiento: l.
2; 0
2;
; 2
0; 2
Máximos y mínimos: En
x
2 la
función alcanza un mínimo, cuyo valor es: f ( 2)
En x
0 la función alcanza un máximo cuyo valor es: f (0) 2.5
En x
2 la función alcanza un mínimo cuyo valor es: f (2)
0
0
y
x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
0
4
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada
e)
y
12 x 5
Cálculo 1
20x 3
SOLUCIÓN: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: y' 60 x 60x 4
2
Igualamos a cero la derivada: y '
60 x 4
0
60 x 2
60 x 2 ( x 2
0
1) 0
60 x 2 x 1 x 1 0 x
0
;
x
1
;
Por lo tanto, la función tiene tres puntos críticos:
x
1
x 1 x
0
x 1
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Completamos la siguiente tabla:
Valor de prueba
x 2
Signo de f ' ( x) Conclusión
f ' (2)
0;1
1; 0
; 1
Intervalo
x 0.5
0
La función crece
x
0.5
f ' (0.5) 0
f ' (0.5) 0
La función decrece
La función decrece
1; x
2
f ' (2)
Intervalos de decrecimiento: l.
; 1
1; 0
1;
0;1
Máximos y mínimos: 1 la
En
x
En
x
1 la
función alcanza un máximo cuyo valor es: f ( 1)
función alcanza un mínimo, cuyo valor es: f (1)
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
0
La función crece
k. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos de crecimiento:
8
8
5
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada
Cálculo 1
y
x
2.
En las siguientes funciones los intervalos de crecimiento, los valores máximos y mínimos relativos.
a) y
2 2 x
SOLUCIÓN: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: y '
1
2
x
2
de lo anterior podemos ver que la derivada de la función nunca será igual a cero. Además, la derivada de la función no está definida en x Por lo tanto, la función tiene un punto crítico: x
2
2
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Completamos la siguiente tabla:
;2
2;
1
x 3
Intervalo
Valor de prueba
x
Signo de f ' ( x)
f ' (1)
Conclusión
0
f ' (3)
La función crece
0
La función crece
k. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos de crecimiento: l.
;2
2;
Máximos y mínimos:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
6
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada
Cálculo 1
La función no tiene máximos ni mínimos ya que la función no está definida en el punto crítico
x
2.
y
x
b)
y
2 x x
2
1
SOLUCIÓN: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos:
y '
2 x
x
2
2
1
1
2
de lo anterior podemos ver que la derivada de la función nunca será igual a cero. Además, la derivada de la función no está definida en:
x 1
x 1
Por lo tanto, la función tiene dos puntos críticos x 1 x 1 j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Completamos la siguiente tabla: Intervalo
1;1
; 1
1;
Valor de prueba
x 2
x 0
Signo de f ' ( x)
f ' (2) 0
f ' (0) 0
f ' (2) 0
La función decrece
La función decrece
La función decrece
Conclusión
x
2
k. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos de decrecimiento: l.
; 1
1;1
1;
Máximos y mínimos:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
7
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada
Cálculo 1
La función no tiene máximos ni mínimos ya que la función no está definida en los puntos críticos x 1
x
1 y
x
c)
y
x
x
2
2
9
SOLUCIÓN: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos:
y '
18 x
x
2
9
2
Igualamos a cero la derivada: y '
0
18 x
x
2
9
2
0
x 0 Además, la derivada de la función no está definida en: x Por lo tanto, la función tiene tres puntos críticos x 3
3
x 3 x 0 x 3
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Completamos la siguiente tabla:
; 3
Intervalo
Valor de prueba
x
Signo de f ' ( x) Conclusión
3; 0
4
f ' (4)
x
0
La función crece
0; 3
1
x
f ' (1)
0
La función crece
1
3;
x 4
f ' (1) 0
f ' (4) 0
La función decrece
La función decrece
k. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
8
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada
Intervalos de crecimiento: 0; 3
l.
3;
; 3
Intervalos de decrecimiento:
Cálculo 1
3; 0
Máximos y mínimos: En x
0 la función alcanza un máximo, cuyo valor es: f (0)
0
y
x
d)
y
4 x
12
x
2
2
SOLUCIÓN: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos:
y '
4 x
x
2
4
3
Igualamos a cero la derivada: y '
4 x
x
0
4
2
3
0
x 4 Además, la derivada de la función no está definida en Por lo tanto, la función tiene dos puntos críticos
x
x
2
2 x
4
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Completamos la siguiente tabla: Intervalo Valor de prueba Signo de f ' ( x) Conclusión
;2
2; 4
x
0
x
3
4; x
5
f ' (0) 0
f ' (3) 0
f ' (5) 0
La función decrece
La función crece
La función decrece
k. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos de decrecimiento: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
;2
4; 9
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada
Cálculo 1
Intervalo de crecimiento: 2; 4 l.
Máximos y mínimos: En
x
4 la
función alcanza un máximo, cuyo valor es: f (4)
1
y
x
e)
y
x
2
3x
x
1
2
SOLUCIÓN: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos:
y '
x
2
2 x
1
x 1
2
Igualamos a cero la derivada: y ' 0
x 1 2 0 x 1 x 1 2 0 2
2
2
x
2 1
x
2 1
Además, la derivada de la función no está definida en x 1 Por lo tanto, la función tiene tres puntos críticos x
2
1
x
2
1
x
1.
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Completamos la siguiente tabla: Intervalo Valor de prueba Signo de f ' ( x) Conclusión
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
;
2
x
1
4
2 x
1; 1 2
1; 2 1
x 0
2
x
1;
4
f ' (4) 0
f ' (2) 0
f ' (0) 0
f ' (4) 0
La función crece
La función decrece
La función decrece
La función crece
10
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada
Cálculo 1
k. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento: Intervalos de crecimiento:
Intervalos de decrecimiento: l.
;
2 1
2 1;
2 1; 1
1; 2 1
Máximos y mínimos: En
x
En
x
2
2
1 la
1 la
función alcanza un máximo, cuyo valor es:
función alcanza un mínimo, cuyo valor es:
f (
2 1)
f ( 2 1)
2.17
7.83
y
x
3.
Determinar “a” y “b”, tal que: f ( x) 2 x 3 ax 2 b presente en su gráfica un extremo relativo en (1,-2).
SOLUCIÓN: a) Evaluando la función en el punto 1; 2 , tenemos: 2
2 a b
a b
4
b) Hallando los puntos críticos: Derivando la función e igualando a cero tenemos: 6 x 2
2ax
2 x 3 x a
de lo cual tenemos que lo puntos críticos son
0
0 x
0 x
a
3
. Ahora, como los posibles
extremos relativos son los puntos críticos, tenemos que: a
a
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
3
1
3
11
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada
Cálculo 1
Reemplazando este valor en la ecuación a b 4 tenemos: b
1
y
x
(1,-2)
4.
La temperatura de la ciudad de Trujillo varía según la siguiente función 3
T (t )
t
3
19t 2 2
88t
240 , donde “t” se mide en días y “T” en °C. Calcular las
temperaturas máximas y mínimas alcanzadas en la ciudad de Trujillo.
SOLUCIÓN: i)
Hallamos los valores críticos de la función: 2
Derivando la función tenemos: T ' (t ) t
19t 88
Igualamos a cero la derivada: T ' 0 2
t
19t 88
0
(t - 11)(t - 8) 0 t 11
t 8
Por lo tanto, la función tiene dos puntos críticos ii)
t 8
t 11
Aplicamos el criterio de la primera derivada: Completamos la siguiente tabla:
0; 8
8;11
11;
t 10
t 12
T ' (2) 0
T ' (10) 0
T ' (12) 0
La función crece
La función decrece
La función crece
Intervalo Valor de prueba
t
Signo de f ' ( x) Conclusión
2
iii) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos de crecimiento:
0; 8
Intervalos de decrecimiento:
11;
8;11
iv) Máximos y mínimos: En
t 8 la
función alcanza un máximo, cuyo valor es: T (8) 26,67C
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
12
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada
En
5.
t 11 la
Cálculo 1
función alcanza un mínimo, cuyo valor es:
T (11) 22,17C
Se desea construir un tanque metálico para almacenamiento de agua, de forma cilíndrica vertical, abierto por su parte superior y de un volumen dado. Cuya área está definido por la siguiente función
A( r )
54 r
2
r
27 . Calcular la menor cantidad
de material posible.
SOLUCIÓN:
i)
Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos:
A' (r )
54 2
r
2r
Igualamos a cero la derivada: A' 0
54
2
r
r 3
2r
0
27
r 3
Por lo tanto, la función tiene un solo puntos críticos r 3 ii)
Aplicamos el criterio de la primera derivada: Completamos la siguiente tabla:
0; 3
Intervalo Valor de prueba
r
Signo de f ' ( x) Conclusión
3;
2
r
A' (2) 0
La función decrece
A' (4)
4
0
La función crece
iii) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos de crecimiento:
0; 3
Intervalos de decrecimiento:
3;
iv) Máximos y mínimos: Con
r 3
la función alcanza un mínimo, cuyo valor es: A(3)
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
3
54m
13
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada 6.
Cálculo 1
Una empresa tiene 100 casa para alquilar. Sus utilidades está definido por la siguiente función
U ( x)
x
2
4
82 x 7200 ¿Cuál
es el mayor beneficio?
SOLUCIÓN: i)
Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: U ' ( x )
2 x 4
82
Igualamos a cero la derivada: U ' 0
2 x
82
4 x
0
164
Por lo tanto, la función tiene un solo puntos críticos ii)
x
164
Aplicamos el criterio de la primera derivada: Completamos la siguiente tabla: Intervalo
0;164
Valor de prueba
x
2
Signo de f ' ( x)
U ' ( 2)
Conclusión
164; x
0
La función crece
200
U ' (200) 0
La función decrece
iii) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos de crecimiento:
0;164
Intervalos de decrecimiento:
164;
iv) Máximos y mínimos: En
7.
x
164 la
función alcanza un máximo, cuyo valor es:
U (164)
13924
Se proyecta un jardín en forma se sector circular de radio r, cuyo perímetro está dado por la siguiente función p( x) 2r
32
metros. El área del jardín es dado.
r
¿Cuál será el mínimo perímetro del jardín?
SOLUCIÓN: i)
Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: p' ( x) 2
32 2
r
Igualamos a cero la derivada:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
14
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada p '
2
0
32
Cálculo 1
2
0
r r
4
Por lo tanto, la función tiene un solo puntos críticos ii)
r
4
Aplicamos el criterio de la primera derivada: Completamos la siguiente tabla:
0; 4
Intervalo
4;
Valor de prueba
r 2
Signo de f ' ( x)
p' (2) 0
Conclusión
r
La función decrece
p' (6)
6
0
La función crece
iii) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos de crecimiento:
4;
Intervalos de decrecimiento:
0; 4
iv) Máximos y mínimos: En
r
4 la función alcanza un mínimo, cuyo valor es: p(4)
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
16 metros
15
