Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Primer Parcial de C´ alculo alculo III
3 de octubre octubre de 201 2017 7
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) allar el valor de y(2), sabiendo que y y es la soluci´
x y − xy + y = y = 2, = 3, 3, yy(1) (1) = 1. 1. 2
Respuesta:
Resolvemos primero la ecuaci´on on (L) del problema diferencial. Comenzamos con la (LH) asociada x2 y − xy + y = y = 0,
y = x es una soluci´on on no nula, buscamos otra soluci´on on linealmente independiente planteando y = c(x)x. Derivamos y Derivamos y = c x + c + c,, y = c x + 2c 2c , reemplazamos
1 x2 (c x + 2c 2c ) − x( x(c x + c + c)) + cx + cx = = 0 ⇒ x 3 c + x2 c = 0 ⇒ c = − c. x
Reducimos el orden con z con z = c = c , lo que da 1 z = − z ⇒ z = z = e e x
−
ln x
=
1 1 c = ln x. ⇒ c = ⇒ c = x x
Soluci´ on on encontrada y encontrada y = x = x ln x, de donde SF = {x, x ln x}. La soluci´ on particular de la ecuaci´on on on (L) la obtenemos por tanteo, salta a la vista que y = 2 es una soluci´on on particular. Por lo tanto, la soluci´ on on general de la ecuaci´on on lineal del problema es y = c = c 1 x + c + c2 x ln x + 2. 2. Hallamos los valores de las constantes c constantes c 1 y c 2 reemplazando reemplazando las condicione condicioness iniciales iniciales en la soluci´ soluci´ on on general: y(1) = c = c 1 + 2 = 3, 3, ⇒ c1 = 1, y (1) = c = c 1 + c + c2 = 1
c2 = 0.
La soluci´ soluci´ on on del problema es y = c = c 1 x + 2, de donde y (2) = 4 . on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y + 2x 2x(y )2 = 0.
Respuesta:
Reducimos el orden de la ecuaci´on on diferencial, planteando z planteando z((x) = y (x). Derivamos y reemplazamos, lo que da
z + 2xz 2xz 2 = 0 ⇒ z = − 2xz 2
(S ) ⇒
z 1 = − 2x2 ⇒ − = − x2 + c 2 z z
Reemplazamos e integramos, tenemos
y =
x2
1 1 y = arctan(x/c arctan(x/c)) + d. + d. ⇒ y = 2 + c c
Por lo tanto, la soluci´on on general es y = c = c 1 arctan(c arctan(c1 x) + c + c2 . on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y =
2y + 2 x + 2y + y −2x + y
Respuesta:
El numerador y el denominador del lado derecho de la ecuaci´on pueden ser vistos como rectas. La intersecci´on de ´estas est as est´ es t´a en x en x = = − 2/5, y 5, y = − 4/5. Planteamos u = x = x + + 2/ 2/5 y v = y = y + + 4/ 4 /5, la ecuaci´on on se convierte en 1 + 2 uv u + 2v 2v v = = . + v −2u + v −2 + uv
(H)
Planteamos z = v/u, v/u , v = uz = uz,, derivamos v derivamos v = uz + z, z , reemplazamos
uz + z = z =
1 + 2z 2z 1 + 4z 4 z − z 2 4 − 2z 2z 1 = − 2 ⇒ ln(1 + 4z 4z − z 2 ) = − 2 ln u + c. + c. ⇒ uz = ⇒ 2 −2 + z −2 + z + z + z 1 + 4z 4 z − z u
Por lo tanto 1 + 4z 4 z − z 2 =
c2 u2 + 4uv 4uv − v 2 c ,⇒ = 2 ⇒ (5y (5 y + 4) 2 − 4(5x 4(5x + 2)(5y 2)(5y + 4) − (5x (5x + 2) 2 = c. 2 u u u
La soluci´ soluci´ on on general est´a dada dada por por (5y (5y + 4) 2 − 4(5x 4(5x + 2)(5y 2)(5y + 4) − (5x (5x + 2) 2 = c . c .
2
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
g
2.
g
3.
g
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) allar el valor de y(2), sabiendo que y y es la soluci´ 2
x y − xy + y = y = 2, = 3, 3, yy(1) (1) = 1. 1.
Respuesta:
a) y (2) = −3e2 + 4, 4, 2 d) y (2) = 2e 2e − 3, 3, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = e = e 2 + 1, 1, e) y (2) = 3 − e2 ,
c) y(2) = 0, 0, f) y(2) = − 4,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y + 2x 2x(y )2 = 0.
Respuesta:
a) xy2 = x + x + y y 3 , d) 2y − 3 = 8ye x , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. 3 2
b) y = 3ln x + e + ex , e) y = − ln(2e ln(2e x − 1), 1), −
c) y = 21 x2 − ln(x ln(x2 + c1 ) + 2, 2, x f ) y = 2e , −
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y =
x + 2y 2y + 2 −2x + y + y
Respuesta:
a) y = 1 + ln x + cx, + cx, 1 d) ln x − xy = c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) xyex − ex = c, e) xy2 = e y + c,
c) x3 ln y = c, = c, f) xy( xy(x + y + y))2 = c,
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2
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
g
2.
g
3.
g
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) allar el valor de y(2), sabiendo que y y es la soluci´ 2
x y − xy + y = y = 2, = 3, 3, yy(1) (1) = 1. 1.
Respuesta:
a) y (2) = e = e 2 + 1, 1, d) y (2) = 3 − e2 , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = 0, 0, e) y (2) = − 4,
c) y (2) = 2e 2e2 − 3, 3, 2 f ) y (2) = − 3e + 4, 4,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y + 2x 2x(y )2 = 0.
Respuesta:
a) y = 3ln x + e + ex , d) y = − ln(2e ln(2e x − 1), 1), g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. −
b) y = 21 x2 − ln(x ln(x2 + c1 ) + 2, 2, x e) y = 2e , −
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y =
x + 2y 2y + 2 + y −2x + y
Respuesta:
a) xye x − ex = c, d) xy2 = ey + c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x3 ln y = c, = c, e) xy( xy(x + y + y))2 = c,
3 2
c) 2y − 3 = 8ye 8 ye x , f) xy2 = x + x + y y 3 ,
1 c) ln x − xy = c, f) y = 1 + ln x + cx, + cx,
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3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
g
2.
g
3.
g
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) allar el valor de y(2), sabiendo que y y es la soluci´ 2
x y − xy + y = y = 2, = 3, 3, yy(1) (1) = 1. 1.
Respuesta:
b) y (2) = 2e 2e2 − 3, 3, 2 e) y (2) = − 3e + 4, 4,
a) y (2) = 0, 0, d) y (2) = − 4, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
c) y(2) = 3 − e2 , f) y(2) = e = e2 + 1, 1,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y + 2x 2x(y )2 = 0.
Respuesta:
a) y = 21 x2 − ln(x ln(x2 + c1 ) + 2, 2, x d) y = 2e , g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s. −
3 2
b) 2y − 3 = 8ye x , e) xy 2 = x + x + y y 3 ,
c) y = − ln(2e ln(2e x − 1), 1), x f) y = 3ln x + e + e , −
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y =
x + 2y 2y + 2 + y −2x + y
Respuesta:
a) x3 ln y = c, = c, d) xy( xy (x + y + y))2 = c, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
1 b) ln x − xy = c, e) y = 1 + ln x + cx, + cx,
c) xy2 = e y + c, f) xyex − ex = c,
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Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Primer Parcial de C´ alculo alculo III
3 de octubre octubre de 201 2017 7
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
g
2.
g
3.
g
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) allar el valor de y(2), sabiendo que y y es la soluci´ 2
x y − xy + y = y = 2, = 3, 3, yy(1) (1) = 1. 1.
Respuesta:
a) y (2) = 2e 2e2 − 3, 3, 2 d) y (2) = −3e + 4, 4, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = 3 − e2 , e) y (2) = e = e 2 + 1, 1,
c) y(2) = − 4, f) y(2) = 0, 0,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y + 2x 2x(y )2 = 0.
Respuesta: 3 2
a) 2y − 3 = 8ye x , d) xy2 = x + x + y y 3 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y = − ln(2e ln(2e x − 1), 1), x e) y = 3ln x + e + e , −
c) y = 2e x , f ) y = 21 x2 − ln(x ln(x2 + c1 ) + 2, 2, −
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y =
x + 2y 2y + 2 −2x + y + y
Respuesta: 1 a) ln x − xy = c, d) y = 1 + ln x + cx, + cx, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) xy2 = e y + c, e) xyex − ex = c,
c) xy( xy(x + y + y))2 = c, f) x3 ln y = c, = c,
