Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Primer Parcial de C´ alculo alculo III
24 de abril abril de 201 2017 7
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (ln2), sabiendo que y y es la soluci´on
y + y − 2y = 4e 10, yy(0)(0)==10, −13 13..
2t
,
Respuesta:
Hallamos la soluci´ on on general de la ecuaci´on on (L) del problema a valor inicial; para tal efecto, comenzamos resolviendo la ecuaci´on on (LH) asociada:
y + y
2
− 2y = 0, (LHC) ⇒ p( p(λ) = λ + λ − 2 = (λ + 2)(λ 2)(λ − 1), 1), Las ra´ ra´ıces del polinomio poli nomio caracter´ıstico ıstico son λ son λ = = −2 y λ = λ = 1, de donde SF = {e , e } y la soluci´on on general de 2t
−
t
2t
(LH) asociada es y es y = c = c 1 e + c2 et . Pasamos a encontrar una soluci´on on particular de (L) por tanteo, planteando y = αe = αe 2t , derivamos y reemplazamos, lo que da: 4αe2t + 2αe 2αe2t 2αe2t = 4e 4 e2t α = 1, −
soluci´ on particular encontrada y on encontrada y = e = e
2t
−
y soluci´ on on general de (L): 2t
−
y = c = c 1 e
⇒
+ c2 et + e2t .
Ahora, encontramos los valores de c 1 y c 2 reemplaza reemplazando ndo las condiciones condiciones iniciales en la soluci´ soluci´ on on general:
y(0) = c c + c = c + c + c + 1 = 10, 10 , + c = 9, 1
2
1
1
2
⇒ −2c + c ⇒ c = 8, + c = −15
−2c + c + c + 2 = −13 13.. 2
1
2t
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es y = 8e on
−
c2 = 1.
1
2
+ et + e2t e y (ln 2) = 2 + 2 + 4 = 8.
2. (30 puntos ) Reduciendo el orden, resolver (x2 + 2y 2y )y + 2xy 2xy = 0,
y = 1 e y = 0 para x para x = 0.
Respuesta:
Reducimos el orden planteando z planteando z = y = y , derivamos y reemplazamos: 2xz (x2 + 2z 2z )z = 2xz z = , 2 x + 2z 2z intercambiamos roles: x2 + 2z 2z 1 x = = x x 1 (B) u = x = x2 u = 2xx 2xz 2z
⇒
−
−
− − Resolvemos (L), lo que da u = − z =
⇒
−
⇒
⇒ u = − z1 u − 2 (L)
2
2
. Reemplazamos Reemplazamos y tenemos tenemos x2 = c zz . Hallamos Hallamos el valor valor de la constante c reemplazando la condici´on on inicila z inicila z = y = 0 cuando x cuando x = = 0, lo que da c = 0 0 = 0. Por lo tanto 1 2 x2 = z y = x2 y = x + d, 3 hallamos el valor de d de d reemplazando reemplazando la condici´on y on y = = 1, x 1, x = = 1, 1 = d = d,, por lo tanto 3y 3y = x3 + 3. Remarcamos Remarcamos 3 que tambi´en en tenemos una soluci´ soluci ´on on constante, y constante, y = 0, y 0, y = 0, y = 1. 1. Por lo tan tanto to 3y + x + x = 3 o y = 1. c
c−z
z
−
z
− ⇒
−
− ⇒
−
−
on general de la ecuaci´ on diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´ y y x cos( )y = y cos( y cos( ) + x + x x x
Respuesta:
La ecuaci´on on es de tipo homog´eneo eneo
y cos(y/x cos(y/x))y = cos(y/x cos(y/x)) + 1. 1. x Planteamos z = y = y/x /x,, y = xz = xz,, derivamos y derivamos y = xz + z, z , reemplazamos
cos(z cos(z )(xz )(xz + z) z ) = z cos( z cos(zz ) + 1
⇒ (xz
+ z) z ) = z + z +
1 cos z
⇒ xz
integramos sin z = ln x + c + c La soluci´ soluci´ on on general de la ecuaci´on o n es sin( sin(y/x y/x))
⇒ sin z − ln(cx ln(cx)) = 0.
− ln(cx ln(cx)) = 0.
=
1 cos z
⇒ cos(z cos(z )z
=
1 , x
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Primer Parcial de C´ alculo alculo III II I
24 de abril abril de 201 2017 7
1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (ln2), sabiendo que y y es la soluci´on
y + y − 2y = 4e 10, yy(0)(0)==10, −13 13..
2t
,
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 8, 8, d) y (ln (ln 2) = 7, 7, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = 5, 5, e) y (ln (ln 2) = 1, 1,
c) y(ln (ln 2) = 0, 0, f) y(ln (ln 2) = 3, 3,
2. (30 puntos ) Reduciendo el orden, resolver (x2 + 2y 2y )y + 2xy 2xy = 0,
y = 1 e y = 0 para x para x = 0.
Respuesta:
√
a) y = ln(x ln(x + 1 + x + x2 ), d) y = 3 lnxe ln xex , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y = 2e x , e) y = 21 x2 ln(x ln(x2 + 1) + 1, 1, −
−
c) xy 2 = 3x 3 x + y + y 3 , f ) y = 1 o 3y 3y + x + x3 = 3,
on general de la ecuaci´ on diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y y + x x cos( )y = y cos( y cos( ) + x x x
Respuesta:
a) ln x sin(x/y sin(x/y)) = c, d) y = 1 + sin x + cx, + cx, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
b) sin(y/x) y/x) ln(cx ln(cx)) = 0, x x e) xye e = c,
−
−
c) cos cos((y/x) y/x ) + ln(cx ln(cx)) = 0, 3 f) x cos y = c, = c,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Primer Parcial de C´ alculo alculo III II I
24 de abril abril de 201 2017 7
2
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (ln2), sabiendo que y y es la soluci´on
y + y − 2y = 4e 10, yy(0)(0)==10, −13 13..
2t
,
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 3, 3, d) y (ln (ln 2) = 0, 0, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = 8, 8, e) y (ln (ln 2) = 7, 7,
c) y(ln (ln 2) = 5, 5, f) y(ln (ln 2) = 1, 1,
2. (30 puntos ) Reduciendo el orden, resolver (x2 + 2y 2y )y + 2xy 2xy = 0,
y = 1 e y = 0 para x para x = 0.
Respuesta:
a) y = 1 o 3y 3y + x + x3 = 3, 3, 2 3 d) xy = 3x + y + y , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
√
b) y = ln(x ln(x + 1 + x + x2 ), e) y = 3 lnxe ln xex ,
c) y = 2e x , f) y = 21 x2 ln(x ln(x2 + 1) + 1, 1, −
−
on general de la ecuaci´ on diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y y + x x cos( )y = y cos( y cos( ) + x x x
Respuesta:
a) x3 cos y = c, = c, d) cos(y/x) y/x) + ln(cx ln(cx)) = 0, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) ln x sin(x/y sin(x/y)) = c, e) y = 1 + sin x + cx, + cx,
−
c) sin sin(y/x) y/x) ln(cx ln(cx)) = 0, x x f) xye e = c,
−
−
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Primer Parcial de C´ alculo alculo III II I
24 de abril abril de 201 2017 7
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (ln2), sabiendo que y y es la soluci´on
y + y − 2y = 4e 10, yy(0)(0)==10, −13 13..
2t
,
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 1, 1, d) y (ln (ln 2) = 5, 5, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = 3, 3, e) y (ln (ln 2) = 0, 0,
c) y(ln (ln 2) = 8, 8, f) y(ln (ln 2) = 7, 7,
2. (30 puntos ) Reduciendo el orden, resolver (x2 + 2y 2y )y + 2xy 2xy = 0,
y = 1 e y = 0 para x para x = 0.
Respuesta:
a) y = 21 x2 ln(x ln(x2 + 1) + 1, 1, x d) y = 2e , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. −
−
b) y = 1 o 3y 3 y + x + x3 = 3, 3, 2 3 e) xy = 3x 3 x + y + y ,
√
c) y = ln(x ln(x + 1 + x + x2 ), f) y = 3ln xex ,
on general de la ecuaci´ on diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y y x cos( )y = y cos( y cos( ) + x + x x x
Respuesta:
a) xyex ex = c, d) sin(y/x) y/x ) ln(cx ln(cx)) = 0, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
−
b) x3 cos y = c, = c, e) cos(y/x) y/x ) + ln(cx ln(cx)) = 0,
c) ln x sin(x/y sin(x/y)) = c, = c, f) y = 1 + sin x + cx, + cx,
−
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Primer Parcial de C´ alculo alculo III II I
24 de abril abril de 201 2017 7
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (ln2), sabiendo que y y es la soluci´on
y + y − 2y = 4e 10, yy(0)(0)==10, −13 13..
2t
,
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 7, 7, d) y (ln (ln 2) = 8, 8, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = 1, 1, e) y (ln (ln 2) = 5, 5,
c) y(ln (ln 2) = 3, 3, f) y(ln (ln 2) = 0, 0,
2. (30 puntos ) Reduciendo el orden, resolver (x2 + 2y 2y )y + 2xy 2xy = 0,
y = 1 e y = 0 para x para x = 0.
Respuesta:
a) y = 3 lnxe ln xex , d) y = ln(x ln(x + 1 + x + x2 ), g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
√
b) y = 21 x2 ln(x ln(x2 + 1) + 1, 1, x e) y = 2e , −
−
c) y = 1 o 3y 3y + x + x3 = 3, f ) xy 2 = 3x 3 x + y + y 3 ,
on general de la ecuaci´ on diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y y + x x cos( )y = y cos( y cos( ) + x x x
Respuesta:
a) y = 1 + sin x + cx, + cx, d) ln x sin(x/y sin(x/y)) = c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
b) xye x ex = c, e) sin(y/x) y/x) ln(cx ln(cx)) = 0,
−
−
c) x3 cos y = c, = c, f) cos cos(y/x) y/x ) + ln(cx ln(cx)) = 0,
