Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Primer Parcial de C´ alculo alculo III
2 de octubre octubre de 201 2017 7
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (2), sabiendo que y es la soluci´
Respuesta:
y − 2y + y = 4 − 2t, y (0) = 2, y (0) = −1.
Resolvemos la ecuaci´on on lineal asociada al problema y − 2y + y = 2t − 4,
(L)
comenzando con la ecuaci´on on lineal homog´enea enea asociada asoci ada y − 2y + y = 0,
LHC C ) (LH
cuyo polinomio poli nomio caracter´ıstico ıstico es p(λ) = λ 2 − 2λ + 1 = (λ − 1)2 . λ = 1 es una ra´ız ız que se repite dos veces, de t t donde SF = {e , te }. La soluci´ on particular de la ecuaci´on on on (L) se la obtiene por tanteo, plantendo y = αt + β . Deriv Derivand andoo y reemplazando, obtenemos: = 4 ⇒ α = − 2, β = = 0. −2α + ( αt + β ) = 4 − 2t ⇒ α = − 2, −2α + β = Soluci´ on on particular obtenida, y = −2t. La soluci´on on general de la ecuaci´on on (L) est´a dada por y = c 1 et + c2 tet − 2t.
Ahora hallamos los valores de las constantes c1 y c2 reemplazando las con diciones iniciales en la soluci´on on general. y (0) = c 1 = 2, ⇒ c 1 = 2, c2 = − 1. y (0) = c 1 + c2 − 2 = − 1,
Soluci´ on del problema a valor inicial y = 2et − tet − 2t, de donde y(2) = 2e2 − 2e2 − 4 = − 4. on
2. (30 puntos ) Resolver el problema yy = y 2 y + (y )2 ,
y = −
1 e y = 1 para x = 0. 2
Respuesta:
Reducimos el orden, planteando y (x) = u(y ). Derivamos y = u y = uu . Reemplazamos en la ecuaci´on on diferencial del problema yuu = y 2 u + u2 ,
1 2
u(− ) = 1 ⇒ y u = y 2 + u ⇒ u =
1 y
u + y ⇒ u = cy + y 2
Reemplazamos la condici´on on inicial 1 = − 12 c + 41 , c = − 32 , de donde 3 2
y = − y + y 2 , ⇒
y y(y − 23 )
Integramos 2 2 3 − ln y + ln( y − ) = x + d ⇒ ln 3 3 2
3 2
− y
y
= 1.
y − 3 = x + d ⇒ y 2
3 2
= de
3 2
x
.
Reemplazamos la condici´on on inicial y(0) = − 12 , lo que da d = 4. La soluci´on on del problema est´a dada por x/2 2y − 3 = 8e3x/2
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(ey − 2xy)y = y 2
Respuesta:
Intercambiamos roles entre la funci´on on inc´ognita ognita y con la variable independiente x. De esta manera ey x = x + 2 y y
2 x x ce−2 ln y = yc2 . Encontramos y , = c(y ) y2 . Derivamos y reemplazamos
Resolvemos x =
planteando x =
−2
−
una soluci´on on particular por variaci´on on de constantes,
c ey ⇒ c = e y ⇒ c = e y . = y2 y2
De donde, donde, soluci´ soluci´ on on particular particular hallada hallada x =
ey y2 .
Soluci´ on on general xy2 = c + ey .
2
(L)
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
d
3.
e
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (2), sabiendo que y es la soluci´
Respuesta:
y − 2y + y = 4 − 2t, y (0) = 2, y (0) = −1.
a) y (2) = −3e2 + 4, d) y (2) = 2e2 − 3, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = e 2 + 1, e) y (2) = 3 − e2 ,
c) f)
y(2) = 0, y(2) = − 4,
2. (30 puntos ) Resolver el problema yy = y 2 y + (y )2 ,
y = −
1 e y = 1 para x = 0. 2
Respuesta:
a) xy2 = x + y 3 , d) 2y − 3 = 8ye x , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. 3 2
b) y = 3ln x + ex , e) y = − ln(2e x − 1), −
c) f)
y = 21 x2 − ln(x2 + c1 ) + 2 , y = 2e−x ,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(ey − 2xy)y = y 2
Respuesta:
a) y = 1 + ln x + cx, 1 d) ln x − xy = c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) xyex − ex = c, e) xy2 = e y + c,
c) f)
x3 ln y = c, xy(x + y )2 = c,
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2
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
c
3.
d
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (2), sabiendo que y es la soluci´
Respuesta:
y − 2y + y = 4 − 2t, y (0) = 2, y (0) = −1.
a) y (2) = e 2 + 1, d) y (2) = 3 − e2 , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = 0, e) y (2) = − 4,
y (2) = 2 e2 − 3, y (2) = − 3e2 + 4,
c) f)
2. (30 puntos ) Resolver el problema yy = y 2 y + (y )2 ,
y = −
1 e y = 1 para x = 0. 2
Respuesta:
a) y = 3ln x + ex , d) y = − ln(2e x − 1), g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. −
b) y = 21 x2 − ln(x2 + c1 ) + 2 , e) y = 2e x , −
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(ey − 2xy)y = y 2
Respuesta:
a) xye x − e x = c, d) xy2 = e y + c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x3 ln y = c, e) xy(x + y )2 = c,
3 2
c) 2y − 3 = 8 ye x , f) xy2 = x + y 3 ,
1 c) ln x − xy = c, f) y = 1 + ln x + cx,
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
b
3.
c
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (2), sabiendo que y es la soluci´
Respuesta:
y − 2y + y = 4 − 2t, y (0) = 2, y (0) = −1.
b) y (2) = 2e2 − 3, e) y (2) = − 3e2 + 4,
a) y (2) = 0, d) y (2) = − 4, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
c) f)
y(2) = 3 − e2 , y(2) = e 2 + 1,
2. (30 puntos ) Resolver el problema yy = y 2 y + (y )2 ,
y = −
1 e y = 1 para x = 0. 2
Respuesta:
a) y = 21 x2 − ln(x2 + c1 ) + 2 , d) y = 2e x , g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s. −
3 2
b) 2y − 3 = 8ye x , e) xy 2 = x + y 3 ,
c) f)
y = − ln(2e−x − 1), y = 3ln x + ex ,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(ey − 2xy)y = y 2
Respuesta:
a) x3 ln y = c, d) xy (x + y )2 = c, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
1 b) ln x − xy = c, e) y = 1 + ln x + cx,
c) xy2 = e y + c, f) xyex − ex = c,
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4
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
a
3.
b
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y (2), sabiendo que y es la soluci´
Respuesta:
y − 2y + y = 4 − 2t, y (0) = 2, y (0) = −1.
a) y (2) = 2e2 − 3, d) y (2) = −3e2 + 4, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = 3 − e2 , e) y (2) = e 2 + 1,
y(2) = − 4, y(2) = 0,
c) f)
2. (30 puntos ) Resolver el problema yy = y 2 y + (y )2 ,
y = −
1 e y = 1 para x = 0. 2
Respuesta: 3 2
a) 2y − 3 = 8ye x , d) xy2 = x + y 3 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y = − ln(2e x − 1), e) y = 3ln x + ex , −
c) f)
y = 2e−x , y = 21 x2 − ln(x2 + c1 ) + 2 ,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(ey − 2xy)y = y 2
Respuesta: 1 a) ln x − xy = c, d) y = 1 + ln x + cx, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) xy2 = e y + c, e) xyex − ex = c,
c) f)
xy(x + y )2 = c, x3 ln y = c,
