Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Segundo Parcial de C´ alculo alculo III
1, 2, 3, 4
13 de octubre octubre de 201 2015 5
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial 1.- (40 puntos )Hallar x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= 5x + 2 y − 5, = −4x − y + 4 , x(0) = 2, y (0) = −2.
Resolvemos primero el sistema lineal homog´ eneo eneo asociado
x˙ y˙
= 5x + 2y, = −4x − y, x(0) = 2, y(0) = −2.
Calculamos los valores propios de la matriz asociada a (LHC)
λ
−5 4
=( + 1
−2
λ
λ
− 5)(λ + 1) + 8 = λ 2 − 4λ − 5 + 8 = (λ − 3)(λ − 1).
Los valores propios son λ 1 = 3, λ 2 = 1, que contribuyen a la soluci´on on general con e 3t y e t . Planteamos x y
= c11 e3t + c12 et , = c21 e3t + c22 et .
Remplazamos en la primera ecuaci´on on diferencial del sistema, lo que da: 3t
t
3t
3c11 e + c12 e = (5 c11 + 2c21 )e + (5c12 + 2c22 )e
t
⇒
3
c11 c12
= 5c11 + 2 c21 = 5c12 + 2 c22
⇒
c11 = c22 =
−c21 = c 1 , −2c12 = c 2 .
Por lo tanto, la soluci´on on general de (LHC) asociado es x y
= c1 e3t + c2 et , = −c1 e3t − 2c2 et .
Hallamos una soluci´ on particular de (L) por tanteo, planteamos x = α, y = β , remplazamos en el on sistema: 0 = 5α + 2 β − 5, ⇒ α = 1, β = = 0. y = −4β − β + + 4 . Por consiguiente, la soluci´on on general del sistema lineal asociado al problema es x y
= c1 e3t + c2 et + 1, = −c1 e3t − 2c2 et .
Ahora, resolvemos el problema inicial, determinando los valores de c 1 y c 2 por medio de las condicione iniciales: x(0) = c1 + c2 + 1 = 2, ⇒ c1 = 0, c2 = 1. y = −c1 − 2c2 = −2.
Por lo tanto, x = e t + 1 y
y(ln 2) = 3. 3.
etodos etodos diferenciales, d iferenciales, ha llar la ecuaci´ on general de la familia de curvas, tales 2.- (30 puntos ) Utilizando m´ que la porci´ on de la tangente entre los puntos ( ( x, y) de cada curva y el eje x x queda partida por la mitad por el eje y . Respuesta: y
De acuerdo a la figura explicativa, se tiene
y = (x, y )
−x
C
y 2x
⇒ y = ce (ln x)/2 = y
x
Por lo tanto, la ecuaci´on on general de la familia de curvas buscada es: y2 = cx .
x
x
on 3.- (30 puntos ) Hallar n de manera que la ecuaci´
(x + ye 2xy ) dx + nxe2xy dy = 0. admita primitiva, luego resolver la ecuaci´ on. Respuesta:
Determinamos la condici´on on de existencia de primitiva: ∂ (x+ye 2xy ) ∂y ∂ (nxe2xy ) ∂x
√
= e2xy + 2xye2xy = (1 + 2xy)e2xy = ne2xy + 2nxye2xy = ( n + 2nxy )e2xy .
Deducimos que n = 1 y hallamos la primitiva ∂f (x, y ) = x + ye 2xy ∂x
⇒ 12 x2 + 12 e2xy .
Por consiguiente, la soluci´on on general es: x2 + e2xy = c .
2
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Segundo Segund o Parcial de C´ alculo alculo III II I
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Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a respondiendo, indicando claramente Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna on ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on on y si el desarrollo desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. on Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas correctas del talonario. Las no respondidas respondidas se consideran consideran incorrectas. incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.-
d
2.-
d
3.-
d
on del problema a valor inicial 1.- (40 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= 5x + 2 y − 5, = −4x − y + 4 , x(0) = 2, y (0) = −2.
a) x(ln (ln 2) = 0, c) x(ln (ln 2) = 1, e) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) x(ln (ln 2) = 9, d) x(ln (ln 2) = 3,
etodos etodos diferenciales, d iferenciales, ha llar la ecuaci´ on general de la familia de curvas, tales 2.- (30 puntos ) Utilizando m´ que la porci´ on de la tangente entre los puntos ( de cada curva y el eje x x queda partida por la mitad ( x, y) por el eje y . Respuesta:
a) x2 + y 2 = c, c) y = cx, e) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) xy 2 = c, d) y 2 = cx,
on 3.- (30 puntos ) Hallar n de manera que la ecuaci´
(x + ye 2xy ) dx + nxe2xy dy = 0. admita primitiva, luego resolver la ecuaci´ on. Respuesta: a) exy (x + y ) = c, c) y (x3 + cx) = 3,
e)
Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y 2 = x 4 + cx3 , d) x2 + e2xy = c,
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a respondiendo, indicando claramente Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna on ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on on y si el desarrollo desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. on Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas correctas del talonario. Las no respondidas respondidas se consideran consideran incorrectas. incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.-
c
2.-
c
3.-
c
on del problema a valor inicial 1.- (40 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= 5x + 2 y − 5, = −4x − y + 4 , x(0) = 2, y (0) = −2.
a) x(ln (ln 2) = 9, c) x(ln (ln 2) = 3, e) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) x(ln (ln 2) = 1, d) x(ln (ln 2) = 0,
etodos etodos diferenciales, d iferenciales, ha llar la ecuaci´ on general de la familia de curvas, tales 2.- (30 puntos ) Utilizando m´ que la porci´ on de la tangente entre los puntos ( de cada curva y el eje x x queda partida por la mitad ( x, y) por el eje y . Respuesta:
a) xy 2 = c, c) y 2 = cx, e) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y = cx, d) x2 + y 2 = c,
on 3.- (30 puntos ) Hallar n de manera que la ecuaci´
(x + ye 2xy ) dx + nxe2xy dy = 0. admita primitiva, luego resolver la ecuaci´ on. Respuesta: a) y 2 = x 4 + cx3 , c) x2 + e2xy = c,
e)
Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y (x3 + cx) = 3, d) exy (x + y ) = c,
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a respondiendo, indicando claramente Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna on ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on on y si el desarrollo desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. on Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas correctas del talonario. Las no respondidas respondidas se consideran consideran incorrectas. incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.-
b
2.-
b
3.-
b
on del problema a valor inicial 1.- (40 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= 5x + 2 y − 5, = −4x − y + 4 , x(0) = 2, y (0) = −2.
a) x(ln (ln 2) = 1, c) x(ln (ln 2) = 0, e) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) x(ln (ln 2) = 3, d) x(ln (ln 2) = 9,
etodos etodos diferenciales, d iferenciales, ha llar la ecuaci´ on general de la familia de curvas, tales 2.- (30 puntos ) Utilizando m´ que la porci´ on de la tangente entre los puntos ( de cada curva y el eje x x queda partida por la mitad ( x, y) por el eje y . Respuesta:
a) y = cx, c) x2 + y 2 = c, e) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y 2 = cx, d) xy 2 = c,
on 3.- (30 puntos ) Hallar n de manera que la ecuaci´
(x + ye 2xy ) dx + nxe2xy dy = 0. admita primitiva, luego resolver la ecuaci´ on. Respuesta: a) y (x3 + cx) = 3, c) exy (x + y ) = c,
e)
Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x2 + e2xy = c, d) y 2 = x 4 + cx3 ,
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a respondiendo, indicando claramente Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna on ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on on y si el desarrollo desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. on Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas correctas del talonario. Las no respondidas respondidas se consideran consideran incorrectas. incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.-
a
2.-
a
3.-
a
on del problema a valor inicial 1.- (40 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
x˙ y˙
= 5x + 2 y − 5, = −4x − y + 4 , x(0) = 2, y (0) = −2.
a) x(ln (ln 2) = 3, c) x(ln (ln 2) = 9, e) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) x(ln (ln 2) = 0, d) x(ln (ln 2) = 1,
etodos etodos diferenciales, d iferenciales, ha llar la ecuaci´ on general de la familia de curvas, tales 2.- (30 puntos ) Utilizando m´ que la porci´ on de la tangente entre los puntos ( de cada curva y el eje x x queda partida por la mitad ( x, y) por el eje y . Respuesta:
a) y 2 = cx, c) xy 2 = c, e) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) x2 + y 2 = c, d) y = cx,
on 3.- (30 puntos ) Hallar n de manera que la ecuaci´
(x + ye 2xy ) dx + nxe2xy dy = 0. admita primitiva, luego resolver la ecuaci´ on. Respuesta: a) x2 + e2xy = c, c) y 2 = x 4 + cx3 ,
e)
Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) exy (x + y ) = c, d) y (x3 + cx) = 3,
