Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Primer Parcial de C´ alculo alculo III
4 de octubre octubre de 201 2017 7
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y y (2), sabiendo que y es la soluci´ 2
x y + xy − y = 4, = 5, 5, yy(1) (1) = 1. 1.
Respuesta:
Resolvemos primero la ecuaci´on on (L) del problema diferencial. Comenzamos con la (LH) asociada x2 y + xy
− y = 0,
y = x es una soluci´on on no nula, buscamos otra soluci´on on linealmente independiente planteando y = c(x)x. Derivamos y Derivamos y = c x + c + c,, y = c x + 2c 2c , reemplazamos
x2 (c x + 2c 2c ) + x + x((c x + c + c))
− cx = cx = 0 ⇒ x3 c
+ 3x 3x2 c = 0
⇒c
=
− x3 c.
Reducimos el orden con z con z = c = c , lo que da
z =
− x1 z ⇒ z = e = e
3 ln x
−
=
1 x3
⇒ c
=
1 x3
⇒ c = − 21x2
Soluci´ on on encontrada y encontrada y = x = x 21x , de donde SF = x, 1/x . La soluci´ on on particular particular de la ecuaci´ ecuaci´ on (L) la obtenemos por tanteo, salta a la vista que y = on y = particular. Por lo tanto, la soluci´ on on general de la ecuaci´on on linal del problema es −
{
2
}
= c 1 x + y = c
c 2 x
−4 es una soluci´on on
− 4.
Hallamos los valores de las constantes c constantes c 1 y c 2 reemplazando reemplazando las condicione condicioness iniciales iniciales en la soluci´ soluci´ on on general: y (1) = c = c 1 + c + c1 4 = 5, y (1) = c = c 1 c2 = 1
−
−
4 x
La soluci´ soluci´ on on del problema es y = 5x +
− 4, de donde
⇒
c1 = 5,
c2 = 4.
y(2) = 8 .
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x2 y + (y (y )2 = 0.
Respuesta:
Reducimos el orden planteando z planteando z = y = y , obtenemos 2
2
x z + z = 0
⇒−
z 1 = 2 2 z x
−1 + cx + cx x ⇒ 1z = − x1 + c ⇒ + c = = z = . x cx − 1
Luego, reemplazamos e integramos
y =
x
⇒ cy cx − 1
=
cx 1 + 1 1 = 1+ cx 1 cx 1
−
1 ⇒ cy = cy = x x + + ln(cx ln( cx − 1) + d + d − c
−
Por lo tanto, la soluci´on on general es c2 y = cx = cx + + ln(cx ln(cx
− 1) + d + d . .
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
2 + 3xy 3 xy2 y = 4x2 y
Respuesta:
y = Planteamos z = y 1
( 1)
− −
2 + 3xy 3 xy 2 3 1 = y + 2 y 2 4x y 4x 2x
1
−
= y 2 , derivamos z derivamos z = 2yy 2 yy . Reemplazamos
z = 2yy =
3 2 4 3 1 y + 2 = z + 2 . 2x x 2x x
(B)
x/2 Resolvemos la ecuaci´on on (LH): z (LH): z = 23x z , z = ce 3 ln x/2 = cx 3/2 . La soluci´on on particular, por tanteo, planteando z = α/x, α/x, derivamos y reemplazamos
− xα2 = 23xα2 + x42 ⇒ −25α = 1 ⇒ α = − 85 . Soluci´ on particular encontrada z on encontrada z = cx = cx 3/2
− 52x . Por consiguient consiguiente, e, la soluci´ solucion o´n general est´a dada por xy 2 = cx 5/2
de dond dondee 5xy2 + 2 = cx 5/2 .
2
− 25 ,
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Primer Parcial de C´ alculo alculo III
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y y (2), sabiendo que y es la soluci´ 2
x y + xy − y = 4, = 5, 5, yy(1) (1) = 1. 1.
Respuesta:
a) y (2) = 1, 1, d) y (2) = 3, 3, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = 2, 2, e) y (2) = 0, 0,
c) y(2) = 4, 4, f) y(2) = 6, 6,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x2 y + (y (y )2 = 0.
Respuesta:
a) y 2 = c 1 e2x + c2 , d) c21 y = c = c 1 x + ln(c ln(c1 x 1) + c + c2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
−
b) y = 3ln x + c + c1 ex + c2 , e) y = c = c 1 ln(x ln(x + 1 + x + x2 ) + c + c2 ,
√
c) y = 21 x2 c1 ln(x ln(x2 + c1 ) + c + c2 , c x f ) y = c = c 2 e ,
−
1
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y =
2 + 3xy 3 xy2 4x2 y
Respuesta:
a) y = 1 + ln x + cx, + cx, 1 d) ln x xy = c, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
−
b) xye x ex = c, e) 2 + 5xy2 = cx 5/2 ,
−
c) x3 ln y = c, = c, f) xy( xy(x + y + y))2 = c,
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2
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y y (2), sabiendo que y es la soluci´ 2
x y + xy − y = 4, = 5, 5, yy(1) (1) = 1. 1.
Respuesta:
a) y (2) = 2, 2, d) y (2) = 0, 0, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = 4, 4, e) y (2) = 6, 6,
c) y(2) = 3, 3, f) y(2) = 1, 1,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x2 y + (y (y )2 = 0.
Respuesta:
a) y = 3 lnx ln x + c + c1 ex + c2 , d) y = c = c 1 ln(x ln(x + 1 + x + x2 ) + c + c2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
√
b) y = 21 x2 c1 ln(x ln(x2 + c1 ) + c + c2 , c x e) y = c = c 2 e ,
−
1
c) c21 y = c = c 1 x + ln(c ln(c1 x 2 2x f) y = c 1 e + c2 ,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y =
2 + 3xy 3 xy2 4x2 y
Respuesta:
a) xye x ex = c, d) 2 + 5xy 2 = cx 5/2 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
b) x3 ln y = c, = c, e) xy( xy(x + y + y))2 = c,
1 c) ln x xy = c, f) y = 1 + ln x + cx, + cx,
−
− 1) + c + c2 ,
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4 de octubre octubre de 201 2017 7
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y y (2), sabiendo que y es la soluci´ 2
x y + xy − y = 4, = 5, 5, yy(1) (1) = 1. 1.
Respuesta:
a) y (2) = 4, 4, d) y (2) = 6, 6, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = 3, 3, e) y (2) = 1, 1,
c) y(2) = 0, 0, f) y(2) = 2, 2,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x2 y + (y (y )2 = 0.
Respuesta:
a) y = 21 x2 c1 ln(x ln(x2 + c1 ) + c + c2 , d) y = c = c 2 ec x , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
−
1
b) c21 y = c = c 1 x + ln(c ln(c1 x e) y 2 = c 1 e2x + c2 ,
− 1) + c + c2 ,
√
c) y = c = c 1 ln(x ln(x + 1 + x + x2 ) + c + c2 , x f) y = 3ln x + c + c1 e + c2 ,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y =
2 + 3xy 3 xy2 4x2 y
Respuesta:
a) x3 ln y = c, = c, d) xy( + y))2 = c, xy(x + y g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
1 b) ln x xy = c, e) y = 1 + ln x + cx, + cx,
−
c) 2 + 5xy2 = cx 5/2 , f) xye x ex = c,
−
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Primer Parcial de C´ alculo alculo III
4 de octubre octubre de 201 2017 7
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y y (2), sabiendo que y es la soluci´ 2
x y + xy − y = 4, = 5, 5, yy(1) (1) = 1. 1.
Respuesta:
a) y (2) = 3, 3, d) y (2) = 1, 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = 0, 0, e) y (2) = 2, 2,
c) y(2) = 6, 6, f) y(2) = 4, 4,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x2 y + (y (y )2 = 0.
Respuesta:
a) c21 y = c = c 1 x + ln(c ln(c1 x 1) + c + c2 , d) y 2 = c 1 e2x + c2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
−
√
b) y = c = c 1 ln(x ln(x + 1 + x + x2 ) + c + c2 , x e) y = 3ln x + c + c1 e + c2 ,
c) y = c = c 2 ec x , f ) y = 21 x2 c1 ln(x ln(x2 + c1 ) + c + c2 , 1
−
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y =
2 + 3xy 3 xy2 4x2 y
Respuesta: 1 a) ln x xy = c, d) y = 1 + ln x + cx, + cx, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
−
b) 2 + 5xy2 = cx 5/2 , e) xye x ex = c,
−
c) xy( xy(x + y + y))2 = c, f) x3 ln y = c, = c,
