Constru cción de un modelo de programación lineal Cualquier modelo de PL se compone de tres elementos básicos: 1.
Variables de decisión, que se trata de determinar.
2. Función objetivo (meta), que se busca optimizar ya sea maximizar (beneficios)) o minimizar (costos). (beneficios 3.
Restricciones Restricc iones que se deben satisfacer.
Para fines didácticos, se visualizan estos elementos básicos a través de un ejemplo de mezcla de productos. La empresa FICTICIA, S.A. elabora dos tipos de productos Alpha y Beta, los cuales requieren para su elaboración de dos materias primas (P y Q). Alpha utiliza 6 toneladas de P y requiere 1 tonelada de Q, mientras que Beta usa 4 toneladas de P y 2 toneladas de Q. La empresa disponone diariamente de 24 toneladas de P y de 6 toneladas de Q. El equipo de IO ha determinado que la contribución de Alpha es 5,000 y Beta aporta 4,000 dólares de beneficio y según una encuesta de mercado proporcionada por el equipo de marketing el producto Beta tiene una demanda máxima de 2 toneladas. Así mismo, se determinó que la demanda diaria de Beta no puede exceder a la demanda de Alpha por más de una (1) tonelada. La variables de decisión de este problema están definidas por: X1 = Producto Alpha X2 = Producto Beta La función objetivo se define de la siguiente manera: Maximizar (Z) = 5 X1 + 4 X2 (en miles de dólares) Sujeta a las siguientes restricciones: (1) (2) (3) (4) (5)
Materia prima prima P: 6 X1 + 4 X2 <= 24 Materia prima Q: X1 + 2 X2 <= 6 Restricción Restricci ón 3: - X1 + X2 <= 1 Restricción Restricci ón 4: X2 <= 2 Condición: X1 , X2 >= 0
Cualquier par de valores de X1, X2 que satisfaga todas las restricciones anteriormente expresadas, se considera una solución factible del modelo. Tal es el caso de la solución factible dada por X1=3 y X2=1 con un Z= 5x3 + 4x1 = 19 (miles de dólares). Posteriormente se mostrará como llegar a la solución óptima a través del método gráfico y del matemático. Mé todo
G r áf i c o :
Este procedimiento pr ocedimiento plantea la l a construcción de una gráfica en un plano (2 ejes - 2 variables de decisión). Primeramente,, Primeramente se formulan las restricciones restricc iones de manera matemática (paso ya cubierto). c ubierto). Segundo, se trazan todas las restric restricciones ciones
formuladas en el modelo de PL (se recomienda definir los interceptos de cada restricción a los ejes y luego trazar la recta que se define). Nota: para el intercepto en el eje X1 se encuentra al llevar X2 a cero y para el intercepto en X2 hacemos que el valor de X1 sea cero. Por ejemplo, para la restricción (1) los interceptos son X1 = 24/6 = 4 y para X2 = 24/4 = 6. Tercero, se define el espacio de solución factible, el cual está formado por la región de puntos que cumplen con todas las restricciones. Se deben marcar los puntos extremos del espacio de solución, es decir, los puntos de intersección de dos o más rectas y que pertenecen al espacio de solución delimitado. Por último, se traza la recta definida por la ecuación objetivo (se recomienda utilizar la pendiente o se puede utilizar dos Z convenientes para simular el comportamiento de esta recta), luego se extiende esta recta hasta el punto más alejado en la región factible, este punto es el que determina la solución óptima del modelo. Para el ejemplo formulado de la empresa FICTICIA, S.A. se encuentra que la solución óptima se define por X1 = 3 producto Alpha y X2 = 1.5 producto Beta con un Z = 21 (miles). Ver gráfica a continuación:
En resumen, el enfoque gráfico consiste en la secuencia de pasos siguientes: 1.
Plantear el problema de programación en términos matemáticos.
2.
Trazar las ecuaciones (inecuaciones) formuladas para las restricciones.
3.
Determinar el área de factibilidad (espacio de solución).
4.
Trazar la función objetivo.
5.
Encontrar el punto óptimo.
