MODELO MATEMÁTICO DE UN SEGUIDOR DE LÍNEA.docx

Oscar Barron Reynoso Instituto Tecnológico superior de Poza Rica. Dpto. Ing. Mecatrónica

El presente trabajo describe el análisis de un sistema de segundo orden lineal e invariante en el tiempo visto desde el desarrollo parcial de un robot seguidor de línea haciendo énfasis en el control de los motores y su reacción en respuesta a los datos obtenidos por el sensor.

la autonomía misma del robot limitando todo lo posible la intervención humana. En el desarrollo de un sistema robótico se tiene que tener en cuenta que se compone por varios elementos que se pueden dividir en: Mecánica Electrónica Control En el presente trabajo nos ocuparemos del modelo matemático de los motores (mecánica)  y en la parte de control mediante sensores.  

1.- INTRODUCCIÓN Un sistema es lineal su la función que relaciona la tasa de incremento de las variables de estado con sus valores actuales cumple con el principio de superposición. Los sistemas lineales son sencillos de analizar y de trabajar,  ya que la solución del sistema sujeto a condiciones complejas se puede lograr simplificando el problema a la suma de respuestas del sistema a condiciones mas sencillas.

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2.- MODELADO DEL MOTOR Se empleará un motor de CD con una reducción de engranes (Figura 1), que otorga un torque de 38 RPM de 3.6 kg-cm a una tensión de 9 volts.

Un sistema es invariante en el tiempo si este no depende explícitamente del tiempo. De la definición se puede concluir que todo sistema autónomo es invariante en el tiempo en general un sistema dinámico es invariante en el tiempo si dos trayectorias que pasan por el mismo punto en diferentes tiempos tienen la misma evolución con un plazo en el tiempo, de no cumplir esta condición se dice que el sistema es variante en el tiempo. El desarrollo de robots móviles responde a la necesidad de extender el campo de aplicación de la Robótica. Se trata también de incrementar

Figura 1: Motor de CD con reducción de engranajes

Para el modelado del motor se requiere el análisis de la figura 2

  es el torque que genera el motor   carga que afecta al motor

El torque producido por el motor depende de la corriente que consume el motor:

Ecuación 3

Figura 2 Esquema de un Motor DC

La parte eléctrica de nuestro sistema se puede modelar a partir de la siguiente ecuación

Donde  es conocida como constante de torque, y la fuerza contra electromotriz, depende de la velocidad de giro del eje del motor:

Ecuación 4 Ecuación 1

Donde: L es la inductancia R es la resistencia i es la corriente que consume  es el voltaje de entrada   es el voltaje de fuerza contra electromotriz  Ahora, la parte mecánica. La corriente que fluye por el motor, a través de inducción genera un torque sobre el eje del motor, entonces podemos escribir ecuaciones de movimiento de la siguiente manera:

Ecuación 2

Donde:  Es la velocidad del motor  J es el momento de inercia   coeficiente de fricción viscosa

 Y  es la constante de fuerza contra electromotriz. Si sustituimos estas ecuaciones que relacionan variables eléctricas y mecánicas en las ecuaciones diferenciales, estamos combinando ambos sistemas: mecánico y eléctrico en un sol. El modelo quedaría algo así:

Ecuación 5

Donde: L = 0.5  J = 5 R = 500   = 7    = 40   = 70   = 0

Se aplica la transformada de Laplace para encontrar la función de transferencia entro  voltaje y salida, se llega al siguiente sistema:

Ecuación 6

Figura 5 diagrama de bloques de un motor de CD

Con el fin de hacer mas entendible el trabajo realizado no se ocupará la función de transferencia simplificada del motor dc, en cambio se optó por hacer el diagrama de los dos subsistemas tanto el de corriente y como el de la velocidad angular por separado y al final unirlos en un solo sistema.

Observando la grafica 1 nos podemos dar cuenta que nos está representando la tensión en nuestro sistema al llegar un pico de 9 volts para después descender y estabilizarse en 6 volts.

Siguiendo la ecuación 1 el diagrama de bloques quedaría de la siguiente manera:

Grafica 1 Figura 3 Diagrama de bloques de l a corriente.

Utilizando la ecuación 2 para determinar la velocidad angular:

En la gráfica 2 se analiza la velocidad angular de nuestro motor que inicia en 0 y al momento que se energiza empieza a subir su velocidad hasta también encontrar una velocidad estable.

Figura 4 Diagrama de bloques de la velocidad angular

Después de haber obtenido el diagrama de los dos subsistemas es más fácil y entendible la unión de estos mismos el diagrama completo se muestra en la figura 5. Grafica 2

Para el caso de nuestro seguidor de línea basta con replicar el modelo del motor para poder tener los dos motores, el diagrama de bloques será el siguiente:

Figura 6 Diagrama de 2 motores CD

3.- CONCLUSION Tener el modelo matemático de un sistema tiene muchas ventajas. Algunas son: permitir estimar la respuesta del sistema a diferentes entradas, estudiar el desempeño del sistema en lazo cerrado variando los parámetros del controlador, conocer las condiciones de operación del motor para el desempeño deseado. 4.- REFERENCIAS 1 sistemas de controlo automático 7° edición Benjamin C. kuo. 2 tesis análisis modelado y simulación en computadora de motores de corriente directa universidad tecnológica de la mixteca 3 Modelado de motores de CD para robot seguidor de línea Universidad Católica Boliviana