CAPÍTULO 1
RELACIÓN RELA CIÓN MOMENTO MOMENTO CURVATURA Y VISION 2000 RESUMEN Se presenta el cálculo de la relación momento curvatura para elementos de hormigón armado, sin considerar el acoplamiento del efecto del corte. Con el objeto de ilustrar el cálculo de un punto del diagrama se trabaja con modelos de hormigón no confinado muy sencillos de manejar como son: el modelo de Jensen y el modelo de Whitney. Por otra parte para el acero se utiliza el modelo elasto plasto. Los ejemplos que se resuelven son: una viga, un muro de corte y una columna. Posteriormente se presenta en forma resumida el Método de las Dovelas que se utiliza para encontrar todo el diagrama momento curvatura pero está orientado a la elaboración de un programa de ordenador. Existen formulas aproximadas para encontrar los puntos notables del diagrama momento curvatura, en este capítulo se presentan estas fórmulas para vigas simplemente
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2
1.1
INTRODUCCIÓN
Cuando se termina un diseño estructural, es muy importante conocer la relación momento curvatura M , de las secciones de sus elementos, con el objeto de conocer cual es la capa capacidad cidad de ductil ductilidad idad por curva curvatura tura , la m máxim áximaa capacid capacidad ad a flexión flexión del del eleme ele mento nto M u y com compa parar rar esta estass can cantid tidad ades es con con las las dem demand andas as que que se se tienen tienen en el el diseñ diseño. o. Si un elemento tiene muy poca capacidad de ductilidad por curvatura va a presentar una falla frágil cuando la estructura ingrese al rango no lineal, lo cual no es deseable. Lo ideal es que tenga un valor alto de para que la edificación edificaci ón disipe la mayor cantidad de energía, para que sea posible la redistribución de momentos y de esa manera trabajen todos los elementos en una forma adecuada. En el análisis no lineal, es fundamental conocer la relación M para encontrar la rigidez de cada una de las ramas del diagrama histerético que se utiliza para definir la no linealidad del material. La relación M es la base del análisis no lineal dinámico y del análisis no lineal estático, como se vera en los capítulos posteriores de este libro. El diagrama M es función de los modelos constitutivos que se utilizan para determinar la relación esfuerzo-deformación del hormigón y del acero. En efecto si emplea el bloque rectangular de Whitney (1942) y el modelo elasto plástico para el hormigón y acero, respectivamente, respectivamente, los valores de que se obtengan serán bajos. En cambio si se utiliza un modelo de hormigón confinado como el propuesto por Park et al (1982) y un modelo de acero que contemple endurecimiento endurecimiento post fluencia se encontraran valores más altos de y son más cercanos a la realidad. En la figura 1.1 se presentan tres modelos para el hormigón no confinado, el de la izquierda es el modelo de Jensen o bloque trapezoidal, el de la mitad es el modelo de Hognestad (1955) y el de la derecha el bloque rectangular del ACI o de Whitney (1942). Este último se utiliza para el diseño por ser un modelo conservador y sencillo para encontrar la resultante de la fuerza a compresión; el valor de 1 0.85 para hormigones con una resistencia a la compresión menor a 35 MPa en el modelo de Whitney.
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1.1
INTRODUCCIÓN
Cuando se termina un diseño estructural, es muy importante conocer la relación momento curvatura M , de las secciones de sus elementos, con el objeto de conocer cual es la capa capacidad cidad de ductil ductilidad idad por curva curvatura tura , la m máxim áximaa capacid capacidad ad a flexión flexión del del eleme ele mento nto M u y com compa parar rar esta estass can cantid tidad ades es con con las las dem demand andas as que que se se tienen tienen en el el diseñ diseño. o. Si un elemento tiene muy poca capacidad de ductilidad por curvatura va a presentar una falla frágil cuando la estructura ingrese al rango no lineal, lo cual no es deseable. Lo ideal es que tenga un valor alto de para que la edificación edificaci ón disipe la mayor cantidad de energía, para que sea posible la redistribución de momentos y de esa manera trabajen todos los elementos en una forma adecuada. En el análisis no lineal, es fundamental conocer la relación M para encontrar la rigidez de cada una de las ramas del diagrama histerético que se utiliza para definir la no linealidad del material. La relación M es la base del análisis no lineal dinámico y del análisis no lineal estático, como se vera en los capítulos posteriores de este libro. El diagrama M es función de los modelos constitutivos que se utilizan para determinar la relación esfuerzo-deformación del hormigón y del acero. En efecto si emplea el bloque rectangular de Whitney (1942) y el modelo elasto plástico para el hormigón y acero, respectivamente, respectivamente, los valores de que se obtengan serán bajos. En cambio si se utiliza un modelo de hormigón confinado como el propuesto por Park et al (1982) y un modelo de acero que contemple endurecimiento endurecimiento post fluencia se encontraran valores más altos de y son más cercanos a la realidad. En la figura 1.1 se presentan tres modelos para el hormigón no confinado, el de la izquierda es el modelo de Jensen o bloque trapezoidal, el de la mitad es el modelo de Hognestad (1955) y el de la derecha el bloque rectangular del ACI o de Whitney (1942). Este último se utiliza para el diseño por ser un modelo conservador y sencillo para encontrar la resultante de la fuerza a compresión; el valor de 1 0.85 para hormigones con una resistencia a la compresión menor a 35 MPa en el modelo de Whitney.
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
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En la figura 1.2 se indican tres modelos para definir el comportamiento del acero, el de la izquierda es el Elasto-Plasto muy utilizado en el diseño por su sencillez, el de la mitad es el modelo trilineal que contempla incremento de esfuerzos en la zona postfluencia mediante una variación lineal y el de la derecha es la curva completa que considera una ecuación de segundo grado para la zona de endurecimiento.
Figura 1.2 Modelos del acero. En este capítulo, únicamente por ilustrar la forma de cálculo de un punto del diagrama M se utiliza el bloque rectangular de Jensen o el bloque rectangular del ACI, para el hormigón y el modelo elasto plástico para el acero, por la sencillez de las operaciones pero para fines de programación es conveniente utilizar modelos como el de Park et al (1982) para el hormigón y el trilineal para el acero.
1.2
ESQUEMA ESQUEMA DE CÁLCULO CÁL CULO
Básicamente hay algunas formas de cálculo del diagrama momento curvatura pero todas ellas están basadas en los mismos principios que son: compatibilidad de deformaciones, equilibrio de fuerzas y equilibrio de momentos. El procedimiento de cálculo orientado a la elaboración de un programa de computación se indica a continuación: i) Seleccionar un valor valor de deformación máxima del hormigón, hormigón, del diagrama momento curvatura.
, para obtener un punto
c
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vi) Por último, se obtiene el momento flector interno que corresponde a la última posición del eje neutro, multiplicando cada fuerza por su brazo respectivo, medido desde el eje de referencia al centroide plástico de la sección. La curvatura se calcula como la razón de la deformación del hormigón distancia al eje neutro.
, sobre la
c
De esta forma se obtiene un punto del diagrama envolvente momento curvatura. Para encontrar otro punto se impone un nuevo valor de c y se repite del paso ii) al paso vi).
1.2.1
Ejemplo de aplicación N. 1
Encontrar el Momento M y la curvatura , para la viga rectangular simplemente armada indicada en la figura 1.3, para una deformación del hormigón c = 0.001. Se considera el bloque de Jensen para el comportamiento del hormigón y el modelo trilineal para el comportamiento del acero. Los datos de la sección transversal de la viga, son:
h 40 cm. As
12.56 cm 2
b 30 cm. E s
d 35 cm.
2100000 kg / cm 2
f y f c'
4200 kg / cm 2 210 kg / cm 2
Figura 1.3 Sección transversal de una viga simplemente reforzada, diagramas de deformaciones y esfuerzos
k
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
s
5
es la deformación del acero a tracción, d es la altura efectiva de la sección, f s es el
esfuerzo del acero para el rango elástico, T s la fuerza a tracción en el acero, C c es la resultante de la fuerza a compresión del hormigón, b, h son las dimensiones de la sección transversal de la viga y E s es el módulo de elasticidad del acero. Para el ejemplo, la deformación del acero es menor al de fluencia
y
f y . Por esta E s
razón f s E s s . En la tabla 1.1, se indican los ciclos de cálculo habiendo empezado con una profundidad del eje neutro c = 20 cm. Tabla 1.1 Ciclos de Cálculo, hasta obtener equilibrio de fuerzas CICLO
c cm
s
f s kg/cm2
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Para iniciar el cálculo se considera una profundidad del eje neutro c valor inicial.
15 cm . como
Figura 1.4 Diagrama de deformaciones y esfuerzos para ejemplo 2. Por compatibilidad de deformaciones se tiene: c
c
o
0.003
0.002
c f
15
15 f
f 5 cm
La resultante de la fuerza de compresión del hormigón C c es igual a la contribución del bloque rectangular ( 1 ) más la contribución del bloque triangular ( 2 ).
C c
0.85 b f ' c
C c
0.85 30 210
1
f
2 5
0.85 b f ' c 1 2
c f
0.85 30 210
15 5
53500 Kg .
Para encontrar la contribución del acero primero se debe calcular la deformación del acero para ver si está en el rango elástico o en el plástico y determinar su correspondiente esfuerzo f s . 0 003
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
7
Figura
X cg
Area
X cg Area
1 2
2.5 8.33
892.5 892.5 1785
2231.25 7437.203 9668.45
5 3
5
8.33
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Figura 1.2
Geometría de muro de corte y diagramas de deformaciones y esfuerzos en hormigón y acero.
Al sustituir Cc , Cs y Ts en Po, se obtiene la profundidad del eje neutro, luego de simplificar términos:
Po fy f ' c Aw f ' c L fy w 0.85 1 2 s f ' c s
c
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
9
Se desea encontrar el momento y la curvatura para la columna cuadrada indicada en la figura 1.5 para una deformación del hormigón c igual a 0.002. Se considera el modelo elastoplasto para el acero y el bloque rectangular de Whitney para el hormigón. No se considera la contribución de los estribos en el confinamiento del hormigón.
As E s
16.08 cm
2
2 2100000 kg / cm
f c'
210 kg / cm
P0
665.4 kg .
2
f y b
2 4200 kg / cm
h 30 cm.
Figura 1.5 Sección transversal de una columna rectangular, diagrama de deformaciones y esfuerzos.
Deformaciones en las diferentes capas de acero, que se obtienen por compatibilidad de deformaciones (triángulos semejantes en figura central de 1.5), en función del recubrimiento r , de la profundidad del eje neutro c , de la altura de la sección de la columna h , de la altura efectiva d , y de la deformación del hormigón c .
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F C C C T s1 Po F T T s 2 T s 3
C C 0.85 f c' T s 2 As 2 f s 2
1
cb
T s1 As1 f s1 T s 3 As 3 f s 3
Una vez que se tiene definido el eje neutro c , se calcula el momento M y la curvatura .
M
Po T s 2
h 2
r T s1
a
c
C c d T s 3
2
c
En la tabla 1.2 se muestran las iteraciones realizadas hasta obtener el equilibrio.
c
Tabla 1.2 Resumen de cálculo de la profundidad del eje neutro s1
s2
s3
(cm) 7.0 6.6 6.905
0.00086 0.00079 0.00080
0.00229 0.00255 0.00223
f s1 kg / cm 2
f s 2 kg / cm 2
f s 3 kg / cm 2
T s1
T s 2
T s 3
C C
(Kg)
(Kg)
(Kg)
(Kg)
1800.000 1654.545 1678.799
4200 4200 4200
4200 4200 4200
10854 9976.9 10123.2
16884 16884 16884
25326 25326 25326
31862.3 30041.6 31432.1
0.00543 0.00588 0.00525
F T T s 2 T s 3 16884 25326 42210 kg F C C C T s1 Po 31432.1 10123 .2 665.4 42220 .7 Kg M (665.4 16884) 15 4 10123 .2 M
769020 .78 Kg cm 0.002 6.905
0.0002896
7.69 T m. 1
cm
0.85 * 6.905 2
31432.1 26 25326
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO ( z )
d
o
zd
11
(1.1)
donde d o es la deformación en el centroide de la sección, z es la distancia medida desde el eje de referencia, si va al centro de una dovela se notará Z i y si va hasta una fila de acero
0!ð€`³@ƒ(UfA&ˆ%S-yY6B’"4P”E‘'Ie)걘™•‚qpÚ¡Cri>v„–TauïÀàW7
será Z j y d es la curvatura de la sección para la que se está evaluando. La resultante de la carga axial N y momento M viene dada por las siguientes ecuaciones:
N M donde E es el respectivo módulo de elastici
Ed dA
(1.2)
Ed zdA
(1.3)
de el e elcde el
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12
d
o
( z )
d d
o o
o
zd
(1.9)
iv) Se obtiene la nueva carga axial y momento utilizando las ecuaciones (1.2) y (1.3) pero trabajando en forma discreta, primero con el hormigón y luego se suma la contribución del acero. Si la carga axial calculada N es aproximadamente igual (con un margen de tolerancia) a la carga Po se procede con el cálculo, caso contrario se repite el proceso = 0. de cálculo desde el paso ii) considerando El procedimiento interactivo con el método de las dovelas converge rápidamente.
1.4
FORMA GENERAL DE UN DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA
En el capítulo 4 se obtiene el diagrama momento curvatura de una viga, empleando el modelo de Park et al (1982) para el hormigón y el modelo trilineal para el acero. Este diagrama se presenta en la figura 1.6 en el cual se han definido cuatro puntos notables, los mismos que se explican a continuación. El punto A, se alcanza cuando el hormigón llega a su máximo esfuerzo a la tracción. En la figura 1.6 se aprecia que la capacidad a flexión del punto A es muy baja por este motivo muchas veces se lo ignora, pero estrictamente es el comienzo del rango elástico. El punto Y, se determina cuando el acero a tracción alcanza el punto de fluencia, definido por un esfuerzo f y , y una deformación y . En varios estudios se considera el rango elástico a la recta que une el origen de coordenadas con el punto Y. El punto S, se obtiene cuando el acero a tracción se encuentra al inicio de la zona de endurecimiento, es decir al final de la plataforma de fluencia, en el modelo trilineal del acero indicado en la figura 1.2, se tendría este punto en la deformación sh . El punto U, se halla cuando el hormigón llega a su máxima deformación útil a compresión u . No es la falla de la sección del elemento. Existe un punto adicional que tiene una menor capacidad a flexión y mayor deformación que corresponde al colapso, este punto de fallo F más interesa para evaluar daño, Aguiar y Barbat (1997). Pero para fines prácticos los cuatro puntos indicados son los más importantes.
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
13
Figura 1.6 Diagrama momento curvatura de una viga doblemente armada resuelta en capítulo 4.
1.5
RÓTULA PLÁSTICA
Es muy común trabajar el diagrama momento curvatura en base a tres puntos notables: A, Y, U. En consecuencia el punto S, se suele ignorarlo. Ahora bien una definición bastante utilizada en el campo de la Ingeniería Sísmica es el de Rótula Plástica, se define este punto como aquel en que la sección no es capaz de absorber mayor momento a flexión y empieza únicamente a rotar.
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El punto Y, descrito en el apartado anterior no es el inicio de la rótula plástica. En la figura 1.7 se presenta con las coordenadas Y' , M n , se obtiene este punto por el criterio de iguales áreas. El área del diagrama momento curvatura inicial debe ser igual al área del modelo bilineal indicado en la figura 1.7 en función del punto de inicio de la rótula plástica. En la realidad no existe la rótula plástica pero es una definición que se la utiliza en el campo de la Ingeniería Sísmica para encontrar fórmulas que simplifican algún problema. En el presente libro no se trabaja con la definición de rótula plástica sino en base a los puntos notables indicados.
1.6
FÓRMULAS APROXIMADAS
Para encontrar los puntos notables A, Y, U, del diagrama momento curvatura, existen fórmulas aproximadas que se pueden utilizarlas cuando no se dispone de un programa de ordenador. Estás fórmulas se presentan a continuación.
1.6.1
Vigas simplemente armadas Punto A
M A A
I f C t ct M A E c I
f ct 0.10 f c' I
b h3
C t
h 2 ( 1.10)
12
donde C t es la distancia del centro de gravedad de la sección a la fibra más traccionada; f ct es el esfuerzo máximo a tracción del hormigón, I es el momento de inercia de la sección. Las restantes variables han sido ya indicadas.
Punto Y
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO Punto U
M U As f y d
donde U
U
As f y d 1.7 b f c'
. . m . m . m . . m . m . 15
U
Ú
c
c
( 1.12)
es la deformación máxima útil del hormigón, para análisis se considera
0.004 . Este valor es para cuando no se considera la contribución de la armadura
transversal, al considerar el confinamiento del hormigón el valor de En la ecuación que define el eje neutro c se ha considerado
1.6.2
As f y 0.7225 b f c'
Vigas doblemente armadas
1
U es
mayor al anotado.
0.85
Para el cálculo del punto A se procede de igual manera que en el caso de vigas simplemente armadas.
Punto Y
M
A f jd A b d
k
jd A b d
d
k
n
n
E E
d n d Y
k d
n
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16
1.6.3
Formulario general para Vigas y Column as Punto A
P I f ct o C t A
M A
A b h
A
M A E c I
( 1.15)
donde Po es la fuerza axial de compresión. Las otras variables han sido ya definidas.
Punto Y
M Y c
pt c
0.5 f c' b d 2 1
d ' d
y
p t '
c
c
0.7
pt c
1
2
pt
o
o
o
c
y
y
1.05
d
Y
pt pt '
1
2
4
y
c
pt '
1
C 2 1.05
y
pt pt '
1 2
( 1.16 )
U
y
k
Po b d f c'
y
c
As' f y b d f c'
'
c
2
y
1
c
pt
2
o
0.75
As f y b d f c' 1
c
y
o
0.03 1 k d
C 2 y
1
0.45 0.84 p t
Las formulas indicadas en (1.16) fueron propuestas por Y. Park (1985) tienen un respaldo teórico y experimental basado en el ensayo de 400 elementos. Las variables todavía no definidas, son: d ' es el recubrimiento de la armadura a compresión, o es la deformación del hormigón asociado a la máxima resistencia. Se ha mantenido en lo posible la nomenclatura utilizada por Y. Park.
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
p
0.5
b
C 1
0.5
b
C 2 C 1
L 0.5 d L 0.5 d
1 0.27 u
1
0
0.45
1
0.84
L 0.5 d 5
0.185 u
5
pw 0.4
2 pt '
p t
u 5
o
L 4 d
u 5
y
2.5
u 5
y
L 4 d
L 2.5 d
b
f c'
donde s es la rotación por corte, longitud del elemento.
1.6.4
y
Para pt ' 0
0.002
u
0.3
C 1 1 1.9 pt 2.4
0.002
s
o
Para pt '
0.002
s
2
s
C 1 1.05
C 2 s
2
b
17
b
es el esfuerzo promedio de adherencia y L es la
Ejemplo de Aplicación N. 4, para una viga dobl emente armada
Determinar los puntos A, Y, U, de la relación momento curvatura, para la viga cuya sección transversal se indica en la figura 1.8, utilizando los formularios indicados en el presente apartado. Los datos de la viga son: A 35 47 cm 2 A ' 18 84 cm 2 b 40 cm
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18
Figura 1.8 Descripción de sección transversal de viga de ejemplo N. 4. Punto Y
pt pt '
35.47 4200 40 55 210 18.84 4200 40 55 210
0.322455 0.171273
pt pt ' 0.493728 0.002 y
c
k
0.493728
2 2
4 0.952381
0.0021 5 .0 55.0
0.952381 0.090909
0.322455 0.090909 0.171273
0.493728
0.952381
2 0.952381
0.390496
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
19
Punto U
C 1
1.05 1.05 0.005966
b
0.002 s
6 .0 0.55
0.0002
0 .5
0.5 0.006264
p
0.006264
0.006266
0.5 0.006264 2
0.0002
0.006266
0.218 1.2 2.15
exp 0.654 1.2
0.0021
0.38
0.4067
Pero la ductilidad por curvatura no debe ser menor que 1. Por lo tanto
U
M U
1
0.005966 1 / m. 1.24
0.15 0.322455
67.975
81.001 Tm.
Con el objeto de ver el grado de confianza de los resultados obtenidos se encontró los puntos A, Y, U, utilizando el programa CEINCI1 Aguiar (1996, 1999), se consideró para el efecto que los estribos de la viga son de 10 mm. de diámetro y están espaciados cada 10 cm. En la tabla 1.3 se indican los resultados encontrados de las dos maneras y se aprecia que hay una muy buena correlación en los momentos pero no así en las curvaturas. Tabla 1.3 Puntos Notables del diagrama momento curvatura obtenidos con formulario y con CEINCI1. Ejemplo N. 4
Punto A (1/m.)
M A (Tm.) Y (1/m.)
Formulari o 0.000332
CEINCI1 0.0005657
5.278
8.093
0.005966
0.007920
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
c
c
0.010276 0.35 0.002 0.75
0.001597
1 0.952381
0.0021
1 0.142857
21
0.001597 0.7
0.31713
0.001597
0.142857
0.002
0.541572
1 0.142857
M Y 0.5 2100 0.3 0.35 2
0.31713
0.31713 2 0.142857
0.136054
2
0.31713
0.191429
0.541572 0.191429
M Y 16.8918 Tm. Punto U
M U s
1.24
0.15 0.191429
0.0002 2.30 0.5 0.35
16.8918
19.3117 Tm.
0.000329
b
1.05
1.436288 1.05
p
0.5 0.01259 0.01259
0.5 0.136054
0 .5
0.136054 0.3
0.01259 2
0.010276 0.000329 2
0.01259 0.01259
0.218 1.2 2.15
0.0021
exp 0.645 1.2
0.38
1.0
1
u
Y
Tabla 1.4 Puntos Notables del diagrama momento curvatura obtenidos con formulario y con CEINCI1. Ejemplo N. 5
Punto A (1/m.)
M A (Tm.) Y (1/m.)
M Y (Tm.)
Formulari o 0.001095
CEINCI1 0.001508
3.747
4.83
0.010276
0.016206
16.892
17.41
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
23
curvatura d. Se define la demanda de ductilidad por curvatura
d
, con la siguiente relación:
d
( 1.19 )
d y
Por otra parte, se define la reserva de ductilidad por curvatura r , como la diferencia entre la capacidad de ductilidad y la demanda de ductilidad, por curvatura. u
d
y
y
r
( 1.20 )
Mientras más alta sea la reserva de ductilidad por curvatura de los diferentes elementos que conforman una estructura, mejor será el comportamiento sísmico que se espera de la edificación, toda vez que se permitirá la redistribución de momentos, se obligará a que otros elementos adyacentes a los que están sobrecargados absorban parte de las cargas, aliviando de esta manera las zonas recargadas.
1.7.3 Redistr ibución de Momentos Para que se de la redistribución de momentos, es necesario que los elementos tengan suficiente reserva de ductilidad por curvatura, en las secciones críticas que son los extremos de los elementos. El Código ACI-02 calcula en forma muy burda esta reserva de ductilidad en función de la cuantía del acero a tracción , del acero a compresión ' y de la cuantía balanceada b y permite que el momento negativo en los extremos de elementos continuos a flexión pueda incrementarse o disminuirse en no más de lo indicado en la ecuación (1.21).
20 1
(
') b
'
Si
es mayor que 0.5 el ACI-02 no permite redistribución de momentos. b
( 1.21 )
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unos nuevos cortantes que actuarán sobre las columnas. Se puede únicamente cambiar los momentos en los extremos de las vigas, dejando constante el momento en el centro del tramo. Para lograr el equilibrio, ante cargas verticales, se considera que la viga se encuentra simplemente apoyada. Por lo tanto, los momentos se consideran superpuestos sobre la base de una línea recta que une los momentos de los extremos de las vigas. Las secciones de las vigas, cuyos momentos se han reducido debido a la redistribución, ingresaran al rango no lineal, en forma anticipada pero tienen suficiente reserva de ductilidad por curvatura y esto implica que tienen suficiente reserva de ductilidad por rotación, lo que permite que el hormigón trabaje a grandes deformaciones y la sección rote inelásticamente transmitiendo las acciones a otros elementos.
1.7.4 Inercias Agrietadas Una vez que se tiene la relación momento curvatura de una sección, definida por un modelo numérico de cálculo similar al indicado en la figura 1.6 o 1.10, se puede encontrar la rigidez a flexión EI, para diferentes condiciones a las cuales puede estar sujeto el elemento. Si la sección no experimenta daño, significa que estrictamente el momento actuante es menor que M A, en este caso se tiene:
EI
M A
EI g
( 1.22 )
A
donde I g es la inercia no agrietada de la sección transversal del elemento y E es el módulo de elasticidad del material. Si en la figura 1.10, se une el punto Y, con el origen se determina la rigidez a flexión agrietada EI cr .
EI cr
M y y
( 1.23 )
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Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 Icr = 0.5 Ig Icr = 0.8 Ig Icr = 0.2 Ig
Para Vigas. Para Columnas. Para Muros Estructurales.
Normativa Sismo Resistente de Colombia NSR-98 Estado Límite de Servicio Icr = 0.5 Ig Icr = 1.0 Ig Icr = 1.0 Ig Icr = 0.5 Ig Icr = 0.35 Ig
Para Vigas. Para Columnas. Para Muros no fisurados Para Muros fisurados Para Losas, en sistemas losa-columna
Estado Límite de Resistencia Icr = 0.35 Ig Icr = 0.70 Ig Icr = 0.70 Ig Icr = 0.35 Ig Icr = 0.25 Ig
Para Vigas. Para Columnas. Para Muros no fisurados Para Muros fisurados Para Losas, en sistemas losa-columna
En la Norma NSR-98 se puede apreciar que el valor de I cr depende del Estado de Diseño, si se espera poco daño (Estado Límite de Servicio) los valores de I cr son más altos en relación a cuando se espera más daño (Estado Límite de Resistencia). Es importante destacar que cuando se trabaja con Inercias Agrietadas todos los elementos de la estructura se ven reducidos su rigidez pero esto no es cierto ya que no todos los elementos van a ingresar al rango no lineal durante un sismo muy severo. Esto es una debilidad de trabajar con I cr .
1.7.5 Índices de daño sísmico local
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visión es que se tome en cuenta este sismo en el diseño y no únicamente el sismo raro, que se tome en cuenta y que se verifique el desempeño que va a tener la edificación acorde a lo indicado en las tablas 1.6 y 1.7. Lo propio se puede indicar para el sismo ocasional, que tiene una alta probabilidad de registrarse durante la vida útil de la estructura. Finalmente se ha añadido un nuevo evento denominado sismo muy raro, con una baja probabilidad de ocurrencia. Tabla 1.5 Parámetros de los sismos de análisis establecidos por el Comité VISION 2000. PROBABILIDAD PERÍODO DE SISMO VIDA ÚTIL DE EXCEDENCIA RETORNO
1.9
Frecuente
30 años
50%
43 años
Ocasional
50 años
50%
72 años
Raro
50 años
10%
475 años
Muy Raro
100 años
10%
970 años
COMPORTAMIENTO ESPERADO
En la tabla 1.6, se indica una descripción muy resumida de las definiciones utilizadas por el Comité 2000 para los diferentes niveles de desempeño, expresado en términos de los efectos que un sismo puede dejar en las edificaciones. Tabla 1.6 Definiciones del desempeño estructural según las publicaciones NEHRP y VISION 2000. GUIA NEHRP VISION 2000 DESCRIPCIÓN Operacional
Completamente Operacional
La edificación permanece en condiciones aptas para su uso normal, se esperan daños mínimos. Todos los sistemas de abastecimiento y líneas vitales deben estar en funcionamiento, de tal manera que el edificio entra en funcionamiento inmediatamente.
Inmediatamente Ocupacional
Ocupacional
No hay daño significativo a la estructura la misma que se mantiene muy cerca de la resistencia y rigidez
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En el Volumen I, se indica en varias paginas el desempeño y por su redacción se aprecia que está dirigido al público en general y más no exclusivamente a los proyectistas estructurales. De acuerdo al uso que va a tener una estructura, el Comité VISION 2000, ha presentado un nivel mínimo de desempeño, el mismo que se indica en la tabla 1.7, para tres tipos de edificaciones: básica, esencial y de seguridad crítica. La visión a futuro de diseño sísmico de estructuras, consiste en verificar el desempeño en términos estructurales y económicos que va a tener la edificación para cada uno de los sismos indicados en la tabla 1.7, de acuerdo al uso de la misma. Esta verificación se la realiza sobre la base de las distorsiones máximas permitidas, en base al grado de daño local y global de la estructura y en base al Índice de Desempeño. El costo de construcción es una variable importante que no se debe descuidar en las decisiones que se adopten, es muy probable que inicialmente se tenga una estructura con un bajo costo pero que va a sufrir demasiado daño en elementos no estructurales ante un sismo frecuente y el costo de reparación sea tan grande a más de las molestias que esto conlleva que a lo mejor se decide en hacer una estructura más resistente. Tabla 1.7 Sismos de análisis y desempeño esperado en las edificaciones. Sismo de Análisi s
INMEDIATAMEN SEGURIDAD DE OPERACIONAL TE VIDA OCUPACIONAL
PREVENCIÓN DE COLAPSO
Frecuente Ocasional Raro Muy Raro Edificaciones básicas, como residencias y oficinas. Edificaciones esenciales como hospitales, destacamentos militares, bomberos, etc. Edificaciones de seguridad crítica. En la nueva filosofía de diseño sísmico, el análisis estático no lineal, es el soporte de varias metodologías que se han propuesto para encontrar la respuesta sísmica de una edificación y dentro de este análisis la determinación de la curva de capacidad resistente, es la
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