UNIVERSIDAD UNIVER SIDAD NACIONAL NACIONA L DEL SANTA SANTA FACULT ACULTA A D DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL “ DIAGRAMA MOMENTO-CURVATURA DE SECCIONES DE CONCRETO ARMADO” CURSO
:
DOCENTE :
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
ING. IVAN IVAN LEON MALO MAL O
NUEVO CHIMBOTE - ENERO , 2017
1
El diagrama de Momento-Curv Curvat atur ura, a, de secc seccio ion nes de conc concrreto, eto, depe depend nde e principalmente de los diagramas esfuerzo deformación de los materiales que lo conforman es conforman es decir decir del concreto del concreto y y del del acero acero de de refuerzo refuerzo.. Las gráficas Las gráficas de esfuerzo de esfuerzo deformación deformación del concreto del concreto a compresión tienen compresión tienen un una a rama ascend ascendent ente e casi casi linea lineall cuya cuya pendie pendiente nte varia varia de acuerdo a la resi resist sten enci cia a y se extiende hasta extiende hasta aproximadamente aproximadamente 1 1//3 f ´c a 1 a 1//2 f ´c. Posteriormente adoptan Posteriormente adoptan la la forma forma de una una pará parábo bola la inver inverti tida da cuyo cuyo vért vértic ice e corre corresp spon onde de al esfu esfuer erzo zo máx máximo imo en compresión. compresión. Luego tienden a descender, hasta la ruptura. ruptura. Para ello basado en ensayos de ensayos de laboratorio laboratorio y y fórmulas fórmulas matemáticas matemáticas se se ha ha llegado llegado a a diferentes diferentes modelos modelos tales como tales como:: A
60 f c'
M(
40
) P ,
f c' f c'
o zr
= 2 f' c
0
A
B Parábola
0.15 f' c
B e fu
c
C
s
20
E
C
'c
0.001
c
c 0.00 0. 002 2
0.00 0. 003 3
0.00 0. 004 4
Deformación
Curvas esfuerz esfuerzo-de o-deformación formación para cilindros cilindr os de concreto cargados a compresión un iaxial (Paulay y Priestley, 1992)
A 0
0.004
El modelo de Hogn Hognestad estad (Hognestad,1951) 2
La principal La principal fuente fuente de de ductilidad ductilidad de de las las estructuras estructuras de de concreto concreto armado armado reside reside en en la la gran gran capa capaci cida dad d de acer acero o para para resi resist stir ir cicl ciclos os repe repeti tittivos ivos de carg cargas as,, sin sin una disminución significativa disminución significativa de de su su resistencia, resistencia, aun aun cuando cuando se se encuentra encuentra en en niveles niveles muy muy altos de deformación de deformación (Bonett, Bonett, 2003) 2003). Los Los diagramas esfuerzo deformación esfuerzo deformación de las varillas corrugadas varillas corrugadas ASTM ASTM 615 615--Grado 60 Grado 60 (varillas (varillas de de construcción), construcción), pueden pueden ser ser : f s
D
f su su
f s
Tan ' = Esh
B
f y
C
f y
'
Tan = E s
Tan = Es
s
A
y
sh
Modelo Mode lo trili trilinea neall
su
s
y
su
Modelo Elasto-Perfect Elasto-Perfectamente amente Plásti Plástico co
El modelo para El modelo para el el acero acero que que vamos vamos a a desarrollar desarrollar es el es el modelo modelo elasto elasto--perfectamente plástico, que plástico, que es es el el más más sencillo sencillo para para utilizar utilizar . 3
f c'
= 2 f' c
0
f c'
c
B Parábola
0.15 f' c C
c
c A 0
0.004
4
De los ensayos de laboratorio se pueden sacar varias conclusiones: • La deformación correspondiente a los esfuerzos máximos para la mayoría de concretos en compresión es aproximadamente de 0.002. • En la parte descendente del diagrama los concretos menos resistentes tienen menor pendiente que los concretos de mayor resistencia. • Los concretos de mayor resistencia tienen mayor módulo de elasticidad. Para determinar la fuerza resultante que actúa en la sección transversal del elemento y la distancia donde actúa esta fuerza con respecto a la parte superior se calculan coeficientes, denominados k1 y k 2, que van a representar porcentajes de área rectangular y de distancia respectivamente. Estos valores de k 1 y k2 se pueden determinar de la siguiente manera:
f c' f c'
Además, X'=K 2 c X
X'
A=K1 f'c
(0,0)
c
0
c
u
5
Determinación de K1: El coeficiente de k 1 es un porcentaje del área por debajo de la parábola o por debajo de la curva con respecto al área de un rectángulo de valor , entonces solo es una relación: Para 0 ≤ ≤
2 ( ) =
Desarrollando la integral se tiene:
1 (3 ) = 3
Para ≤ ≤
=
15 ( ) 2 ( ) + 100( )
Desarrollando la integral se tiene:
1 (40 + 31 + 120 102 9 ) = 120 ( + ) 6
Determinación de K2: El coeficiente de k 2 es un porcentaje de distancia de la diferencia de = ′ con respecto al valor de la deformación , entonces la relación será: Para 0 ≤ ≤
2 ( 1 ) = 2 ( )
Desarrollando la integral se tiene:
Para ≤ ≤
=
1
1 (4 ) = 4 (3 )
15 ( ) 2 ( ) + 100( ) 15 ( ) 2 ( ) + 100( )
Desarrollando la integral se tiene:
1 (40 31 60 + 51 + 3 10 + 7 ) = (40 + 31 + 120 102 9 ) 7
Finalmente, estos coeficientes K1, K2 nos servirán para evaluar la fuerza resultante generada por los esfuerzos de compresión y la ubicación del punto de aplicación de la fuerza, respectivamente. A continuación se muestran los valores de K1 y K2 con = 0.002mm/mm y = 0.004mm/mm. DEFORMACIÓN
K1
K2
0
0
0.00005
DEFORMACIÓN
K1
K2
0
0.0013
0.50917
0.02479
0.33403
0.001325
0.000075
0.03703
0.33439
0.0001
0.04917
0.000125
DEFORMACIÓN
K1
K2
0.35638
0.00255
0.73411
0.39436
0.5162
0.35695
0.002575
0.73629
0.39525
0.00135
0.52313
0.35753
0.0026
0.7384
0.39613
0.33475
0.001375
0.52995
0.35811
0.002625
0.74045
0.39701
0.0612
0.33511
0.0014
0.53667
0.3587
0.00265
0.74245
0.39788
0.00015
0.07313
0.33547
0.001425
0.54328
0.35929
0.002675
0.74439
0.39875
0.000175
0.08495
0.33584
0.00145
0.54979
0.35989
0.0027
0.74628
0.39961
0.0002
0.09667
0.33621
0.001475
0.5562
0.3605
0.002725
0.74812
0.40047
0.000225
0.10828
0.33658
0.0015
0.5625
0.36111
0.00275
0.74991
0.40132
0.00025
0.11979
0.33696
0.001525
0.5687
0.36173
0.002775
0.75164
0.40217
0.000275
0.1312
0.33734
0.00155
0.57479
0.36236
0.0028
0.75333
0.40302
0.0003
0.1425
0.33772
0.001575
0.58078
0.36299
0.002825
0.75498
0.40385
0.000325
0.1537
0.33811
0.0016
0.58667
0.36364
0.00285
0.75658
0.40469
0.00035
0.16479
0.3385
0.001625
0.59245
0.36429
0.002875
0.75813
0.40551
0.000375
0.17578
0.33889
0.00165
0.59813
0.36494
0.0029
0.75964
0.40633
0.0004
0.18667
0.33929
0.001675
0.6037
0.36561
0.002925
0.76111
0.40715
0.000425
0.19745
0.33969
0.0017
0.60917
0.36628
0.00295
0.76254
0.40796
0.00045
0.20813
0.34009
0.001725
0.61453
0.36696
0.002975
0.76393
0.40876
0.000475
0.2187
0.3405
0.00175
0.61979
0.36765
0.003
0.76528
0.40956
0.0005
0.22917
0.34091
0.001775
0.62495
0.36834
0.003025
0.76659
0.41035
8
DEFORMACIÓN
K1
K2
0.000525
0.23953
0.00055
D EFORMACIÓN
K1
K2
0.34132
0.0018
0.63
0.24979
0.34174
0.001825
0.000575
0.25995
0.34217
0.0006
0.27
0.000625
D EFORMACIÓN
K1
K2
0.36905
0.00305
0.76787
0.41114
0.63495
0.36976
0.003075
0.7691
0.41192
0.00185
0.63979
0.37048
0.0031
0.77031
0.41269
0.34259
0.001875
0.64453
0.37121
0.003125
0.77148
0.41346
0.27995
0.34302
0.0019
0.64917
0.37195
0.00315
0.77262
0.41423
0.00065
0.28979
0.34346
0.001925
0.6537
0.3727
0.003175
0.77372
0.41498
0.000675
0.29953
0.3439
0.00195
0.65813
0.37346
0.0032
0.77479
0.41574
0.0007
0.30917
0.34434
0.001975
0.66245
0.37422
0.003225
0.77583
0.41648
0.000725
0.3187
0.34479
0.002
0.66667
0.375
0.00325
0.77684
0.41723
0.00075
0.32813
0.34524
0.002025
0.67077
0.37579
0.003275
0.77782
0.41796
0.000775
0.33745
0.34569
0.00205
0.67475
0.3766
0.0033
0.77878
0.41869
0.0008
0.34667
0.34615
0.002075
0.67861
0.37743
0.003325
0.7797
0.41942
0.000825
0.35578
0.34662
0.0021
0.68236
0.37828
0.00335
0.78059
0.42014
0.00085
0.36479
0.34709
0.002125
0.686
0.37914
0.003375
0.78146
0.42085
0.000875
0.3737
0.34756
0.00215
0.68953
0.38
0.0034
0.7823
0.42156
0.0009
0.3825
0.34804
0.002175
0.69296
0.38088
0.003425
0.78312
0.42227
0.000925
0.3912
0.34852
0.0022
0.69629
0.38177
0.00345
0.78391
0.42297
0.00095
0.39979
0.34901
0.002225
0.69952
0.38266
0.003475
0.78468
0.42366
0.000975
0.40828
0.3495
0.00225
0.70266
0.38355
0.0035
0.78542
0.42435
0.001
0.41667
0.35
0.002275
0.70571
0.38445
0.003525
0.78613
0.42503
0.001025
0.42495
0.3505
0.0023
0.70868
0.38536
0.00355
0.78683
0.42571
0.00105
0.43313
0.35101
0.002325
0.71156
0.38626
0.003575
0.7875
0.42639
9
DEFORMACIÓN
K1
K2
0.001075
0.4412
0.0011
DEFORMACIÓN
K1
K2
0.35152
0.00235
0.71436
0.44917
0.35204
0.002375
0.001125
0.45703
0.35256
0.00115
0.46479
0.001175
DEFORMACIÓN
K1
K2
0.38717
0.0036
0.78815
0.42706
0.71708
0.38807
0.003625
0.78878
0.42772
0.0024
0.71972
0.38897
0.00365
0.78938
0.42838
0.35309
0.002425
0.72229
0.38988
0.003675
0.78997
0.42904
0.47245
0.35363
0.00245
0.72479
0.39078
0.0037
0.79053
0.42969
0.0012
0.48
0.35417
0.002475
0.72722
0.39168
0.003725
0.79107
0.43034
0.001225
0.48745
0.35471
0.0025
0.72958
0.39258
0.00375
0.7916
0.43098
0.00125
0.49479
0.35526
0.002525
0.73188
0.39347
0.003775
0.7921
0.43162
0.001275
0.50203
0.35582
0.004
0.79583
0.43717
En concreto armado, se define ductilidad de una sección a la capacidad de deformación que tiene y se expresa como:
= Dónde: , es la ductilidad de la sección; , es la curvatura última y , es la curvatura de fluencia.
10
En concreto armado hay varias maneras de calcular los puntos o coordenadas del diagrama momento-curvatura, se puede considerar un primer punto cuando ocurre el primer agrietamiento de la sección, un segundo punto la fluencia del acero y un tercer punto cuando ocurre la fractura del concreto; está manera es la que vamos a utilizar en el siguiente ejemplo, para una sección simplemente reforzada. El procedimiento usual es darse valores de deformación del concreto, obtener los valores de K1 y K2, realizar la compatibilidad de deformaciones, realizar el equilibrio de momento, obtener las variables como la profundidad del bloque en compresión y si el acero fluye o no (el valor máximo del esfuerzo del acero es de , por ser elastoplástico). EJEMPLO1: Calcular la ductilidad de sección de la vigueta simplificada de losa aligerada de 10cmx20cm, que cuenta con dos varillas de refuerzo, de diámetro 3/8 ” con un recubrimiento de 2.50 cm al eje de las varillas. El esfuerzo de fluencia del acero es de fy = 4200kg/cm² y la resistencia del concreto es f 'c = 210kg/cm². Además: d = 0.175m = 2x10˄6 kg/cm² = 217370 kg/cm² n ≈ 9 (relación modular)
f c' 210 kg/cm²
23/8"
0.20 m
0.15 f' c
178.5 kg/cm²
1.42Cm²
0.10 m
c 0.002
0.004
11
Solución: a) Primer punto del diagrama momento curvatura: agrietamiento del concreto, transformando el área de acero a un área de concreto en comportamiento elástico
10.40
Y
0.175
0.20
A s (n-1)/2
A s (n-1)/2
0.10 m
=
10 20 10 + 1.42 8 17.5 10 20 + 1.42(8) =
2198.8 211.36
= 10.40 10(20) = + 10 20 0.40 + 1.42 8 7.10 12
= 7271.32
12
Calculando el esfuerzo de agrietamiento del concreto, se tiene:
= 2 … (1) = 28.98/ ≡ 29/ Calculando el momento correspondiente, éste será el momento de agrietamiento de la sección
29(7271.32) 210868.28 = … (2) = (20 10.40) = 9.6 (20 ) = . . ≈ . . Determinando el esfuerzo en el concreto :
21965.44(10.40) = = = = 31.42/ 7271.32
La deformación del concreto será:
31.42 = = = 1.445(10)− 217370
13
La curvatura correspondiente es:
. ()− = = = . ()− / .
b) Fluencia del acero: se determinará una fórmula para determinar la ubicación del eje neutro “c” c
c
K 1 f'c bc
K2c c d-K 2 c d
h 1.42cm²
d-c
A s f y y
b
= … (3) = … (4) =
(5)
14
Sabemos que K1 toma el valor de la siguiente ecuación siempre y cuando la deformación del concreto esté en el rango de 0 ≤ ≤ = 0.002:
1 (3 ) = 3 Reemplazando en la ecuación (3), se tiene:
1 (3 ) = … (6) 3 De la compatibilidad de las deformaciones del gráfico anterior se tiene:
= ( ) Reemplazando en la ecuación (6) se tiene:
1 (3 ) = 3 ( ) 1 3 ( ) = 3 ( ) ( )
15
1 3 ( ) ( ) = 3 ( ) 1 ) = ( ) (3 3 1 3 3 = 2 + 3 Finalmente se tiene una ecuación cúbica, donde se obtiene “c”, para la condición de fluencia del acero de refuerzo. Notar que esta ecuación solo es aplicable para secciones donde se tiene solamente acero en tracción (es decir trabaja solamente en flexión) y no tiene carga axial.
1 3 (3 + ) = 2 + 3 Reemplazando, se tiene:
1 (210)(10)(3 17.5 0.002 0.0021 (3 0.002 0.0021 + 0.0021 ) ) 3 0.002 (1.42)(4200) = 17.5 2(17.5) + 16
Solucionando, tenemos:
29342.72 0.0002205 0.00001701 = 306.25 35 + 0.5 5.47 35 + 306.25 = 0,
: = 6.159
Con este valor hay que verificar la deformación de ≤ 0.002, ya que el K1 utilizado fue para 0 ≤ ≤ = 0.002 c
6.159 d
11.341 y = 0.0021
0.0021(6.159) = = 0.00114 11.341 17
Calculando la curvatura de fluencia, tenemos:
. = = = . ()− / . Calculando el momento de fluencia:
= ( ) 1 = 4 1 = 4
4 3
4 0.002 0.00114 3 0.002 0.00114
= 0.353
= 1.42 4200 17.5 0.353 6.159 = . . ≈ .
18
c) Rotura de concreto
c
K 1 f'c bc
c
K2 c c d-K 2 c d
h 1.42cm²
d-c
A s f y y
= 0.004 →
= 0.79583 = 0.43717
Del gráfico se vamos que: = , despejando, se tiene:
1.42(4200) = = 3.568 0.79583(210)(10) Calculando la curvatura última:
0.004 = = 3.568 = ()− /
19
Calculando el momento, tenemos:
= ( ) = 1.42(4200)(17.5 0.43717(3.568)) = . . ≈ . . Se muestra a continuación el diagrama momento curvatura simplificado, para tres puntos calculados. M 1000
Fluencia del acero
Fractura del concreto
900
c = 0.004
800 700 600 500 400 300 200
Agrietamiento del concreto
100
-5
(10 )
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Calculando la ductilidad de curvatura de la sección, se tiene:
112.1(10)− = = 18 51(10)−
→ = 6.056
20
EJEMPLO2: Calcular la ductilidad de sección de la columna de 25cmx50cm, que cuenta con cuatro varillas de refuerzo, de diámetro 5/8 ” con un recubrimiento de 5.00 cm al eje de las varillas. El esfuerzo de fluencia del acero es de fy = 4200kg/cm² y la resistencia del concreto es f 'c = 210kg/cm². 0.05
Además: d = 0.45m y d’ = 0.05m = 2x10˄6 kg/cm² = 217370 kg/cm² n ≈ 9 (relación modular) P = 100 Tn (Carga axial)
25/8" 0.40
0.50 m
25/8" 0.05 0.25 m
Solución:
c d'
0.05
4.00cm²
25/8" 0.40
0.50 m
25/8"
c
A's f's K 1 f'c bc
K2 c
's c
h/2
d-K 2 c d
h 4.00cm²
P d-c
A s f s
h/2
s
0.05
M
0.25 m
21
Haciendo equilibrio de fuerzas, se tiene:
+ = Compatibilizando las deformaciones, se tiene:
= = Ley constitutiva, se tiene:
=
=
=
≤
=
( ) ≤
a)Para una deformación de:
= 0.41667 = 0.001 → = 0.35
Reemplazando en la ecuación de equilibrio, se tiene:
2 10
0.001 5 4 + 0.41667 210 25 2 10
0.001 45 4 = 100000 22
2187.5175 84000 400000 = 0 → = 42.684 Reemplazando los valores tenemos:
= = 2 10
= = 2 10
0.001 42.684 5 ≈ 1766 / 42.684 0.001 45 42.684 ≈ 109 / 42.684
También la curvatura:
=
. = = . ()− / .
Haciendo equilibrio, el momento sería:
=
ℎ ℎ ℎ + + ( 5) 2 2 2 23
A's f's K 1 f'c bc
d' 4.00cm²
c
K2 c h/2
M
d-K 2 c
d
P
4.00cm²
A s f s
= 0.41667 210 25(42.684)
h/2
50 0.35 42.684 2
+ 1766(4)
50 50 5 + 109(4) ( 5) 2 2
= . . b)Para una deformación de:
= 0.002 →
= 0.66667 = 0.375
Reemplazando en la ecuación de equilibrio, se tiene:
2 10
0.002 5 4 + 0.66667 210 25 2 10
0.002 45 4 = 100000 24
3500 68000 800000 = 0 → = 27.685 Reemplazando los valores tenemos:
= = 2 10
= = 2 10
0.002 27.685 5 ≈ 3278 / 27.685
0.002 45 27.685 ≈ 2502 / 27.685
También la curvatura:
=
. = = . ()− / .
Haciendo equilibrio, el momento sería:
=
ℎ ℎ ℎ + + ( 5) 2 2 2 25
d' 4.00cm²
c
A's f's K 1 f'c bc
K2 c h/2
M
d-K 2 c
d
P
4.00cm²
A s f s
= 0.66667 210 25(27.685)
h/2
50 0.375 27.685 2
+ 3278(4)
50 50 5 + 2502(4) ( 5) 2 2
= . . c)Para una deformación de:
= 0.002612 →
= 0. 73939 = 0.39655
Reemplazando en la ecuación de equilibrio, se tiene:
2 10
0.002612 5 4 + 0. 73939 210 25 2 10
0.002612 45 4 = 100000 26
3881. 7975 58208 1044800 = 0 → = 25.535 Reemplazando los valores tenemos:
= = 2 10
= = 2 10
0.002612 25.535 5 ≈ 4200 / 25.535 0.002612 45 25.535 ≈ 3982 / 25.535
También la curvatura:
=
. = = . ()− / .
Haciendo equilibrio, el momento sería:
=
ℎ ℎ ℎ + + ( 5) 2 2 2 27
A's f's K 1 f'c bc
d' 4.00cm²
c
K2 c h/2
M
d-K 2 c
d
P
4.00cm²
A s f s
h/2
50 0.3965 25.535 2
= 0. 73939 210 25(25.535)
+ 4200(4)
50 50 5 + 3982(4) ( 5) 2 2
= . . d)Para una deformación de:
= 0.003 →
= 0. 76528 = 0.40956
Haciendo equilibrio de fuerzas, habíamos obtenido:
+ = Pero: y , fluyen, así que = , entonces se tiene:
= 28
0. 76528 210 25 = 100000 → 4017.72 = 100000 → = 24.89 Los valores de: están fluyendo.
= 4200 / = 4200 / También la curvatura:
=
. = = . ()− / .
Haciendo equilibrio, el momento sería:
=
ℎ ℎ ℎ + + ( 5) 2 2 2
29
A's f's K 1 f'c bc
d' 4.00cm²
c
K2 c h/2
M
d-K 2 c
d
P
4.00cm²
A s f s
h/2
50 0.40956 24.89 2
= 0. 76528 210 25(24.89)
+ 4200(4)
50 50 5 + 4200(4) ( 5) 2 2
= . . e)Para una deformación de:
= 0.004 →
= 0. 79583 = 0.43717
Haciendo equilibrio de fuerzas, habíamos obtenido:
+ = Pero: y , están fluyendo, así que = , entonces se tiene:
= 30
0.79583 210 25 = 100000 → 4178.1075 = 100000 → = 23.93 Los valores de: están fluyendo.
= 4200 / = 4200 / También la curvatura:
=
. = = . ()− / .
Haciendo equilibrio, el momento sería:
=
ℎ ℎ ℎ + + ( 5) 2 2 2
31