CONCEPTOS BÁSICOS EN DISEÑOS FACTORIALES FACTORIALES Se llaman Diseños Factoriales a aquellos experimentos en los que se estudia simultáneamente dos o más factores, y donde los tratamientos se forman por la combinación de los diferentes niveles de cada uno de los factores. Los Dise Diseños ños facto factoria riales les se emple emplean an en todos todos los los campo campos s de la inves investig tigac ación ión,, son son muy tile tiles s en investigaciones exploratorias en las que poco se sabe acerca de muc!os factores. "l ob#etivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores factores sobre una o varias respuestas respuestas o carac caracter ter$s $stic ticas as de calid calidad ad y deter determin minar ar una una combi combina nació ción n de nivele niveles s de los los factor factores es en la cual cual el desempeño del proceso sea me#or que en las condiciones de operación actuales% es decir, encontrar nuevas condiciones condiciones de operación operación del proceso que eliminen o disminuyan disminuyan ciertos problema de calidad en la variable de salida. Los factores pueden ser de tipo &ualitativo 'máquinas, tipos de material, operador, la presencia o ausencia de una operación previa, etc.(, o de tipo cuantitativo 'temperatura, !umedad, velocidad, presión, etc.(. )ara poder estudiar la manera en que influye cada factor sobre la variable respuesta, es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada uno de ellos 'tres máquinas, dos operadores, tres velocidades, dos temperaturas, etc.(. &on el diseño factorial completa se corren aleatoriamente en el proceso todas las posibles combinaciones que pueden formarse con los niveles seleccionados
CONCEPTOS GENERALES: F*&+-. F*&+-. "s un con#unto de tratamientos tratamientos de una misma clase o caracter$stica. caracter$stica. "#emplo/ tipos de riego, dosis de fertili0ación, variedades de cultivo, mane#o de crian0as, etc.
F*&+-1*L. "s una combinación de factores para formar tratamientos.
213"L"S D" 42 F*&+-. Son los diferentes tratamientos que pertenecen a un determinado factor. factor. Se acostumbra acostumbra simboli0ar algn elemento 5i6 por la letra minscula que representa al factor y el valor del respectivo sub$ndice.
DISEÑOS FACTORIALES CON DOS FACTORES
Interacción en el experiment !e !" #actre" En el modelo de bloques aleatorizados que se estudio en forma previa, se supuso que en cada bloque se tomaba una observación de cada tratamiento. Si la suposición del modelo es correcta, es decir, si los bloques y los tratamientos son los únicos efectos reales y la interacción no existe, el valor esperado del error cuadrático de la media es la σ 2 varianza, varianza, , del error experimental. Sin embargo, suponga que existe interacción entre los tratamientos y los bloques, como lo indica el modelo
yij = μ
α
β
La interacción $ la interpretación !e l" e#ect" principale" Desde el punto de vista del experimentador, parecer$a necesario llegar a una prueba significativa sobre la existencia de interacción, al separar la variación del error verdadero de aquel que se debe a la interacción. Los efectos principales, * y 7, adoptan un significado distinto en presencia de la interacción. "n general, !abr$a situaciones experimentales en las cuales el factor * tuviera un efecto positivo sobre la respuesta en un nivel del factor 7% en tanto que con un nivel distinto de este, el efecto de * ser$a negativo. *qu$ se usa el termino efecto positivo para indicar que el producto o la respuesta se incrementa conforme los niveles de un factor dado aumentan de acuerdo con cierto orden definido. "n el mismo sentido un efecto negativo corresponde a una disminución del producto para niveles crecientes del factor.
Por ejemplo. &onsidere los datos siguientes de la temperatura 'factor * con niveles t 8, t9, t:, en orden creciente( y tiempo de secado d 8, d9, d: 'tambi;n en orden creciente(. La respuesta se expresa en porcenta#e de sólidos. "stos datos son !ipot;ticos por completo y se dan para ilustrar un aspecto.
"s evidente que el efecto de la temperatura es positivo sobre el porcenta#e de sólidos con el tiempo de secado d8, pero negativo para el tiempo alto d :. "sta interacción clara entre la temperatura y el tiempo de secado tiene un inter;s notorio para el biólogo% pero, con base en los totales de las respuestas para las temperaturas t 8, t9, t:, la suma de los cuadrados de la temperatura, SSA, producir$a un valor de cero.
Necesidad de observaciones múltiples "n el experimento de dos factores, la interacción y el error experimental solo se separan si se !acen observaciones mltiples con las distintas combinaciones de tratamiento. )ara máxima eficiencia, con cada combinación debe !aber el mismo nmero n de observaciones.
Análisis de varianza de dos factores )ara presentar las formulas generales para el análisis de varian0a de un experimento de dos factores se n utili0a observaciones repetidas en un diseño por completo aleatorio, debe considerarse el caso de repeticiones de las combinaciones de tratamiento determinadas por a niveles del factor * y b niveles el factor 7. las observaciones pueden clasificarse usando un arreglo rectangular, donde los reglones representan los niveles del factor * y las columnas los del factor 7. cada combinación de tratamiento n define una celda del arreglo. *s$, se tienen ab celdas, cada una de las cuales contiene abn
observaciones. "n la tabla 8<.8 se muestran las +abla 8<.8/ "xperimentos con dos factores con
n
observaciones.
repeticiones
Las observaciones en la celda ' ij (;sima constituyen una muestra aleatoria de tamaño n de una población que se supone tiene distribución normal con media μij y varian0a σ 9. Se supone que todas las ab poblaciones tienen la misma varian0a
σ
9
.
Se definen los s$mbolos siguientes , que son de utilidad y algunos de los cuales se utili0aron en la tabla 8<.8/ = ij .> suma de las observaciones en la (ij)-ésima celda = i ..> suma de las observaciones para el i-ésimo nivel del factor *. =. j .> suma de las observaciones para el j-ésimo nivel del factor 7. =?> suma de todas las
abn
observaciones.
@ ij . > media de las observaciones en la (ij)-ésima celda. @i..> media de las observaciones para el i-ésimo nivel del factor A. ӯ. j .= media de las observaciones para el j-ésimo nivel del factor 7.
@?> media de todas las
abn observaciones
Modelo e hipótesis para el problema con dos factores &ada observación de la tabla 8<8 puede escribirse en la siguiente forma/
yijk = μij + ϵ ijk
ijk
ϵ
Donde
mide las desviaciones con respecto de la media
μij
de los valores
observaciones en la
( ij )− é + sima celda. Si ( αβ ) ij denota el efecto de la interacción del
nivel del factor * y ;l
j − ésimo nivel del factor 7,
efecto del
j − ésimo nivel del factor 7,
μij= μ + αi + βj +¿
α el efecto del i
i −ésimo
i −ésimo nivel del factor *,
μ la media con#unta escribimos
( αβ ) ij +ϵ ijk
= entonces, yijk = μ + αi + βj + ( αβ ) ij + ϵ ijk
ara cada! i " #,2 ,..., a; j " #,2 ,..., b; k " #,2 ,..., n, $on restricciones!
%onde!
μ
! Es la media general.
αi
! Es el efecto &positivo o negativo' debido al i−ésimo nivel del factor (.
βj
! Es el efecto &positivo o negativo' del j − ésimo nivel del factor ).
yijk
βj el
( αβ ) ij ! *epresenta al efecto de interacción en la combinación ij . ijk
ϵ
! Es el error aleatorio que supone sigue una distribución con media cero y varianza constante
σ ( N ( 0, σ ) )
y son independientes entre s+.
as tres -ipótesis por probar son las siguientes!
Participación de la variabilidad en el caso de dos factores +eorema 8<.8 1dentidad de la suma de cuadrados.
Simbólicamente la suma de cuadrados se escribe as$/
SST = SSA + SSB + SS AB + SSE
Donde/
SSA y SSB se denominan la suma de cuadrados para los efectos principales * y 7. SS ( AB )
suma de cuadrados de la interacción para * y 7.
SSE es la suma de errores al cuadrado.
La suma de los grados de libertad se efecta de acuerdo a la identidad/
abn −1=( a −1 ) + ( b− 1 )+ ( a−1 ) ( b −1 )+ ab ( n−1 )
Formación de los cuadrados de la media Si dividimos cada una de las sumas de los cuadrados en el lado derec!o de la identidad de la suma de cuadrados entre su nmero correspondiente de grados de libertad, obtenemos los cuatro estad$sticos
Los cálculos del problema de análisis de la varian0a para un experimento de dos factores con repeticiones, por lo general, se resume como se ilustra en la tabla 8<.9.
abla !".# *nálisis de varian0a para el experimento de los factores con
n
repeticiones.
n
$jemplo. %e dise&os factoriales con dos factores Se aplican pinturas tapa poros para aeronaves en superficies de aluminio, con dos m;todos/ inmersión y rociado. La finalidad del tapa poros es me#orar la ad!esión de la pintura, y puede aplicarse en algunas partes utili0ando cualquier m;todo. "l grupo de ingenier$a de procesos responsable de esta operación está interesado en saber si existen diferencias entre tres tapa poros diferentes en cuanto a sus propiedades de ad!esión. )ara investigar el efecto que tienen el tipo de pintura tapa poros y el m;todo de aplicación sobre la ad!esión de la pintura, se reali0a un diseño factorial. )ara ello, se pintan tres muestras con cada tapa poro utili0ando cada m;todo de aplicación, despu;s se aplica una capa final de pintura y a continuación se mide la fuer0a de ad!esión. Los datos son los siguientes/
Entonces,
a = 3,
b = 2,
n = 3, N = 18.
Las medias de las observaciones son:
Las sumas de cuadrados son:
SST =¿
SS A =¿
SS B =¿
SS AB=¿
SS E =¿
f
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Arados de libertad
Bedia cuadrática
Factor A
".()
#
#.#*
#+.+(+,
Factor -
".*!
!
".*!
(*.(!(#
nteraccion A-
.#"
#
.!#
!."("(
$rror
.**
!#
./)#(
otal
!/.+#
!+
'alculada
%0$120 FA'23A4$0 '2N 3$0 FA'23$0
"n esta sección consideramos un experimento con tres factores, *, 7, &, en los niveles respectivamente, en un diseño completamente aleatorio. Suponga de nuevo observaciones para cada una de las
a,b y c,
que se tiene
n
abc combinaciones de tratamientos. Debemos proceder a reali0ar
las pruebas de significancia para los tres efectos principales.
Modelo para el e5perimento con tres factores "l modelo para el experimento con tres factores es
i kl = + αi + + k + ( α i + ( α ik + (
k + ( α
i k + ϵ i kl
i =1,2, ….,a; j=1,2, … . , b ; k =1,2, … . , c ; y l =1,2, … . , n ,
Donde/
αi βj γk son los efectos principales
( αβ ) ij ( αγ ) ik ( βγ ) jk
son los efectos de la interacción de dos factores, que tiene la misma
interpretación que en el experimento con dos factores.
( αβγ ) ijk las
se denomina el efecto de la interacción de tres factores y representa la no aditividad de
( αβ ) ij , sobre los diferentes niveles del factor &.
La suma de todos de todos los efectos principales es igual a cero, y la suma sobre cualquiera de los sub$ndices de los efectos de la interacción entre dos y tres factores es igual a cero. Se !ace la participación de la suma de los cuadrados en oc!o t;rminos, donde cada uno presenta una fuente de variación de los que se obtiene estimadores independientes de σ 9 cuando todos los efectos principales y de la interacción son iguales a cero. Si los efectos de cualquier factor dado o interacción no son iguales a cero, entonces la media cuadrática estimará la varian0a del error mas un componente debido al efecto sistemático en cuestión.
0uma de cuadrados para un e5perimento de tres factores
Los promedios en las formulas se definen como/
6 … . > promedio de todas las abcn observaciones 6 i… > promedio de las observaciones para el 6 . j .. =¿ promedio de las observaciones para el 6
.. k .
> promedio de las observaciones para el
i −ésimo nivel del factor *. j − ésimo nivel del factor 7. k −ésimo nivel del factor &. i−ésimo nivel de * y el
j− ésimo
6 i . k . > promedio de las observaciones para el
i−ésimo
nivel de * y el
k −ésimo
nivel de &.
6 . jk. >promedio de las observaciones para el
j − ésimo
nivel de 7 y el
k −ésimo
nivel de &.
6 ijk. > promedio de las observaciones para la
( ijk )−ésima combinación de tratamientos.
6 ij .. > promedio de las observaciones para el
nivel
de 7.
Los cálculos en la tabla de análisis de varian0a para un problema de tres factores con repetición en cada combinación de factores, se resumen en la tabla 8<.C. n
abla !".+ *23* para el experimento de tres factores con Fuente de variación
0uma de cuadrados
7rados de libertad
repeticiones
'uadrado de la media cuadrátic a
f
'alculada
$fecto principal 2
A -
a −1
SSA
SSB
b −1
2
s1
f 1 =
2
s
2
2
s2
s1
f 1 =
s2 2
s
' SSC
c −1
2
2
s3
f 1 =
s3 2
s
n corridas de
nteracción de dos factores 2
A-
A'
SS ( AB)
( a −1 ) ( b −1)
s4
SS ( AC )
( a −1 ) ( c −1 )
s5
2
f 1 =
s4 2
s
2
2
f 1 =
s5 2
s
-' SS ( BC )
( b −1 ) ( c −1 )
2
2
s6
f 1 =
s6 2
s
nteraccion de tres factores A-'
2
SS ( ABC )
( a − 1 ) ( b −1 ) ( c − 1 )
s7
$rror
SSE
abc ( n −1)
s
otal
SST
abcn −1
2
f 1 =
s7 2
s
2
)ara el experimento de tres factores con una sola corrida experimental por combinación, debe usarse el análisis de la tabla 8<.C con n =1 y el empleo de la suma de cuadrados de la interacción ABC para SSE . "n este caso, suponemos que los efectos de la interacción
de modo que
[
]
a
b
c
SS ( ABC ) n ( αβγ ) 2 ijk =σ 2 E =σ 2 + ( a−1 ) ( b −1 ) ( c −1 ) ( a− 1 ) ( b −1 ) ( c −1 ) i=1 j=1 k =1
∑∑∑
( αβγ ) ijk son todos iguales a cero
$jemplo. %e dise&os con tres factores
Fuente de variación
0uma de cuadrados
7rados de libertad
'uadrado de la media cuadrátic a
f
'alculada
$fecto principal 2
A -
'
a −1
SSA
SSB
b −1
2
s1
f 1 =
2
s
2
2
s2
s1
f 1 =
s2 2
s
SSC
c −1 2
2
s3
f 1 =
s3 2
s
nteracción de dos factores 2
A-
A'
SS ( AB)
( a −1 ) ( b −1)
s4
SS ( AC )
( a −1 ) ( c −1 )
s5
2
f 1 =
s4 2
s
2
2
f 1 =
s5 2
s
-' SS ( BC )
( b −1 ) ( c −1 )
2
2
s6
f 1 =
s6 2
s
nteraccion de tres factores A-'
2
SS ( ABC )
( a − 1 ) ( b −1 ) ( c − 1 )
s7
$rror
SSE
abc ( n −1)
s
otal
SST
abcn −1
2
2
f 1 =
s7 2
s
%ise&o general factorial
+odos los *nálisis !ec!os para los Diseños de dos y tres Factores pueden extenderse al caso Aeneral en el que existen a niveles del Factor *, b niveles del Factor 7, c niveles del Factor &,?., y as$ sucesivamente, ordenados en un "xperimento Factorial. )or lo tanto, en general !abrá un total de abc…n observaciones si existe n r;plicas en el "xperimento &ompleto.
4na generali0ación del Bodelo Lineal del Diseño Factorial Aeneral estar$a dado por/
M2%$420 %$ $F$'20 A4$A2320
Los experimentos en los que los tratamientos o los niveles de tratamiento son preseleccionados por el experimentador, a diferencia de aquellos que se eligen al a0ar, se denominan experimentos de efectos fi#os o experimentos de modelo . )ara el modelo de efectos fi#os, las inferencias se !acen solo sobre aquellos tratamientos particulares que se usó en el experimento &on frecuencia es importante que el experimentador sea capa0 de !acer inferencias acerca de una población de tratamientos usando un experimento en el que los tratamientos usando un experimento en el que los tratamientos empleados se eligieron al a0ar de entre la población. )or e#emplo un biólogo qui0á est; interesado en que si !ay o no una varian0a significativa en cierta caracter$stica fisiológica debida a un tipo de animal. Los tipos de animales en realidad se usan en el experimento se eligen al a0ar y representan los efectos del tratamiento.
Modelo 8 suposiciones para el modelo de efectos aleatorios "l modelo de efectos aleatorios de un solo factor, que con frecuencia recibe el nombre de modelo 11, se denota como el modelo de efectos fi#os pero sus t;rminos toman significados diferentes. La respuesta yij = μ + α i+ ϵ ij
*!ora es un valor de la variable aleatoria/ yij = μ + A i + Eij
&on/ i =1,2 …,k y j =1,2 … , n ,
Donde A i
2
+iene distribución normal y son independientes con media>E y varian0a Eij
de la
Eij
. *l igual q para el efecto de modelos fi#os, las
σ α y son independientes
tambi;n tienen distribución normal y son
2
independientes, con media igual a cero y varian0a σ .
bserve que para un experimento del modelo 11, la varian0a aleatoria k
Ai ∑ = i 1
*dopta el valor n
α ∑ =
i
i 1
= ya no se aplica la restricción de que la suma de estas
α i
sea igual a cero.
eorema para el modelo del análisis de varian0a de un solo factor, de efectos aleatorios, E ( SSA )=( k −1 ) σ + n ( k −1 ) σ α y E ( SSE )= K (n −1) σ 2
2
2
La tabla 8:.8< muestra los cuadrados esperados de la media para un experimento tanto del modelo como del modelo . Los cálculos para un experimento de los modelos se e#ecutan exactamente de la misma forma que para el experimento del modelo .
Ta%la &'(&)
)ara el modelo de efectos aleatorios, las !ipótesis de que todos los efectos del tratamiento son iguales a cero se escriben como sigue/ ipótesis para un experimento del modelo . 2 0 : σ α =0
•
2
1 : σ α ! 0
"sta !ipótesis indica que los tratamientos diferentes no contribuyen en absoluto a la variabilidad de la 2
respuesta. De la tabla 8:.8<, es evidente que tanto 0
s 1 como
s
2
2
son estimadores de
σ cuando
es verdad y que la ra0ón 2
f =
s1 s
2
"s un valor de la variable aleatoria F que tiene la distribución f con
k −1 y
k ( n−1 ) grados de
libertad.
"stimación de los componentes de la varian0a 2
La tabla 8<.8: tambi;n se utili0a para estimar los componentes de la varian0a 2
estima
2
σ +n σ α y s
2
2
σ y σ α . &omo
2
s1
2
estima
σ
2
σ = s , σ α = 2
2
2
s1−s
2
n
%ise&o aleatorio por blo9ues: con blo9ues al azar "n un experimento completo con bloques aleatorios, donde los bloques representan d$as, es concebible que el experimentador quisiera que los resultados se apliquen no solo a los d$as reales utili0ados en el análisis, sino a cada d$a del año. "ntonces el seleccionar$a al a0ar los d$as en que se aria el experimento, as$ como los tratamientos y el uso de modelos de efectos aleatorios
yij = μ + B j + ϵ ij
Los cuadrados esperados de la media para un modelo 11 de diseño por bloques por completo aleatorios se obtienen, usando el mismo procedimiento que para el problema de un solo factor, y se presenta #unto con aquellos para un experimento del modelo 1 como se aprecia en la tabla 8:.8C
abla !;.!+ cuadrados esperados de la media para un diseño por bloques completamente aleatorios.
