DISEÑOS FACTORIALES RESUELTOS

ESTADISTICA APLICADA 2 Solución Ejercicios propuestos Experimento factorial 1. El gerente de “Mercados P&C” desea desea conocer el efecto que la publicidad y la promoción pueden ejercer sobre la venta de uno de sus productos de consumo popular. Las ventas, en miles de dólares, durante un mes, de 16 mercados escogidos al azar en un experimento diseñado de dos factores con 4 repeticiones se muestran en la siguiente tabla:

Promoción Con descuento Sin descuento

Publicidad Con propaganda Sin propaganda 110.5 105.4 50.4 45.8

90.7 95.8 40.6 44.9

80.5 78.6 35.8 40.1

60.8 65.8 20.7 25.7

Los datos se encuentran en la hoja Ventas. Realice la prueba estadística a un nivel de significación de 5%. a. Evalúe los supuestos Normalidad de los errores: Hipótesis: H0: Los errores se distribuyen normalmente H1: Los errores no se distribuyen normalmente Nivel de significación: α = 0.05 Estadístico de prueba: AD = 0.538 P-valor: P = 0.141 Decisión: Como p-valor > 0.05, no se rechaza H0 Conclusión: Con un nivel de significación del 5%, se cumple que los errores se distribuyen normalmente.

Homogeneidad de varianzas: Hipótesis: Ho: Las varianzas varianzas son son homogéneas homogéneas H1: Las varianzas varianzas no son homogéneas Nivel de significación: α = 0.05 Estadístico de prueba: Barlett = 2.00 P-valor: P = 0.573 1

Decisión: Como p-valor > 0.05, no se rechaza Ho Conclusión: Con un nivel de significación del 5%, se cumple el supuesto de homogeneidad de varianzas. Primer Paso: Prueba de Hipótesis para la Interacción b. ¿Afecta la interacción entre la promoción y publicidad a las ventas?

Hipótesis: H0: No existe interacción entre la promoción y publicidad. H1: Existe interacción entre la promoción y publicidad. Nivel de significación: α = 0.05 Estadístico de prueba: F = 3.05 P-valor: 0.106 Decisión: Como p-valor < 0.05, no se rechaza Ho. Conclusión: Con un nivel de significación del 5%, se puede afirmar que la interacción entre la promoción y publicidad no afecta de forma diferenciada las ventas. ¿Es necesario realizar Efectos principales? Justifique. Si es necesario realizar efectos principales ya que la interacción no afecta de forma diferenciada a las ventas.

Segundo Paso: Prueba de Hipótesis de Efectos principales Para Publicidad: c. ¿Afecta la publicidad a las ventas?

Hipótesis: H0: La publicidad no afecta a las ventas. H1: La publicidad afecta a las ventas. Nivel de significación: α = 0.05 Estadístico de prueba: F=28.78 P-valor: 0.000 Decisión: Se rechaza H0 Conclusión: A un nivel de significación del 5%, la publicidad afecta a las ventas.

2

Para Promoción: d. ¿Afecta la promoción a las ventas?

Hipótesis: H0: La promoción no afecta a las ventas. H1: La promoción afecta a las ventas. Nivel de significación: α = 0.05 Estadístico de prueba: F = 136.90 P-valor: 0.000 Decisión: Se rechaza H0 Conclusión: A un nivel de significación del 5%, la promoción afecta a las ventas. Tercer Paso: Comparaciones Múltiples e. ¿Cuál de las promociones es más eficaz? ¿Cuál de las publicidades es más eficaz?

Hipótesis: Ho: µij = µkl H1: µij ≠ µkl j

ij≠kl

Nivel de significación: α = 0.05 Promociones Comparaciones por parejas de Tukey: Respuesta = Ventas, Término = Promoción Promoción 1 2

N 8 8

Media 86.0125 38.0000

Agrupación A B

Publicidad Comparaciones por parejas de Tukey: Respuesta = Ventas, Término = Publicidad Publicidad 1 2

N 8 8

Media 73.0125 51.0000

Agrupación A B

Conclusión Promociones

A un nivel de significación del 5%, la promoción con descuento es la más eficaz.

Conclusión Publicidad

A un nivel de significación del 5%, la publicidad con propaganda es la más eficaz.

3

2. El gerente de “ MS Company ” desea conocer el efecto que la marca de un celular y el centro de mantenimiento pueden ejercer sobre los costos de reparación de los productos. Los costos, en nuevos soles, durante un mes, de 24 celulares escogidos al azar en un experimento diseñado de dos factores con 4 repeticiones se muestran en la siguiente tabla:

Marca de celular

Samsung

Apple

Centro de mantenimiento San Isidro San Borja Miraflores 120 170 310 130 190 330 160 210 320 154 240 324 310 240 160 303 210 120 323 270 150 310 250 110

Los datos se encuentran en la hoja Costos . Realice la prueba estadística respectiva a un nivel de significación de 5%. a. Evalúe los supuestos Normalidad de los errores: Hipótesis: H0: Los errores se distribuyen normalmente H1: Los errores no se distribuyen normalmente Nivel de significación: α = 0.05 Estadístico de prueba: AD = 0.127 P-valor: P = 0.982 Decisión: Como p-valor > 0.05, no se rechaza Ho Conclusión: Con un nivel de significación del 5%, se cumple que los errores se distribuyen normalmente.

Homogeneidad de varianzas: Hipótesis: H0: Las varianzas son homogéneas H1: Las varianzas no son homogéneas Nivel de significación:α = 0.05 Estadístico de prueba: Barlett = 6.46 P-valor: P = 0.264 Decisión: Como p-valor > 0.05, no se rechaza Ho Conclusión: Con un nivel de significación del 5%, se cumple el supuesto de homogeneidad de varianzas. 4

Primer Paso: Prueba de Hipótesis para la Interacción b. ¿Afecta los centros de mantenimiento y la marca del celular a los costos de reparación?

Hipótesis: H0: No existe interacción entre la marca del celular y los centros de mantenimiento. H1: Existe interacción entre la marca del celular y los centros de mantenimiento. Nivel de significación: α = 0.05 Estadístico de prueba: F = 150.87 P-valor: P = 0.000 Decisión: Como p-valor < 0.05, se rechaza Ho. Conclusión: Con un nivel de significación del 5%, se puede afirmar que la interacción entre la marca del celular y el centro de mantenimiento afecta de forma diferenciada los costos de reparación. ¿Es necesario realizar Efectos principales? Justifique. No es necesario realizar efectos principales ya que la interacción afecta de forma diferenciada a los costos de reparación.

Segundo Paso: Comparaciones Múltiples c. ¿Cuál de las interacciones entre marcas y centros de mantenimientos es más eficaz? Hipótesis: Ho: µij = µkl H1: µij ≠ µkl j ij≠kl Nivel de significación: α = 0.05 Marca*Centro Comparaciones por parejas de Tukey: Respuesta = Costos, Término = Marca*Centro Agrupar información utilizando el método de Tukey y una confianza de 95% Marca*Centro Samsung Miraflores Apple San Isidro Apple San Borja Samsung San Borja Samsung San Isidro Apple Miraflores

N 4 4 4 4 4 4

Media 321.0 311.5 242.5 202.5 141.0 135.0

Agrupación A A B B C C

Las medias que no comparten una letra son significativamente diferentes.

Conclusión

A un nivel de significancia del 5%, la interacción entre Samsung – San Isidro y Apple – Miraflores son las más eficaces ya que generan menores costos de reparación. 5

Solución Ejercicios complementarios Experimento factorial 1. El jefe de una empresa agroindustrial desea analizar tres variedades de espárragos (A, B y C) y cuatro tipos de fertilizante (Frontex, Silux y Esso) para ser utilizados en la región norte del país. Para ver si alguna variedad o un tipo de fertilizante afectan de manera diferenciada a la producción, cada combinación de variedad de planta y tipo de fertilizante se utiliza en tres terrenos diferentes resultando los datos de producciones por hectárea de la tabla siguiente:

Variedad de espárrago A

B

C

Frontex

Silux

Esso

10.5 9.2 7.9 8.1 8.6 10.1 16.1 15.3 17.5

12.8 11.2 13.3 12.7 13.7 11.5 16.6 19.2 18.5

12.1 12.6 14.0 14.4 15.4 13.7 20.8 18.0 21.0

Los datos se encuentran en la hoja Producción. Realice la prueba estadística respectiva a un nivel de significación de 1%.

a. Evalúe los supuestos Prueba de normalidad de errores: H0: Los errores se distribuyen normalmente. H1: Los errores no se distribuyen normalmente. α = 0.01

6

AD = 0.741 P-valor=0.047 > 0.01 No Rho. Con un nivel de significación del 1%, se cumple el supuesto de normalidad de errores.

Prueba de Homogeneidad de varianzas: H0: Existe homogeneidad de varianzas. H1: No existe Homogeneidad de varianzas. α = 0.01 Prueba de varianzas iguales: RESID1 vs. Fertilizante, Variedad Fertilizante

Variedad

Esso

A

Prueba de Bartlett Valor p

0.997

B C Frontex

A B C

Silux

A B C 0

5

10

15

20

25

30

35

Intervalos de confianza de Bonferroni de 95% para Desv.Est.

Bartlett = 1.11 P-valor = 0.997 > 0.01 No Rho. A un nivel de significancia del 1%, se cumple el supuesto de homogeneidad de varianzas.

b. ¿Se puede afirmar si alguna variedad de espárrago, algún fertilizante o alguna combinación de estos determina la mayor producción? H0: No hay interacción entre los niveles de la variedad del esparrago y el tipo de fertilizante que influya en el promedio de producción. H1: Existe interacción entre los niveles de la variedad del esparrago y el tipo de fertilizante que influya en el promedio de producción. α = 0.01 Análisis de Varianza Fuente Fertilizante Variedad Fertilizante*Variedad Error Total

GL 2 2 4 18 26

SC Ajust. 86.681 242.687 5.646 25.507 360.521

MC Ajust. 43.340 121.344 1.411 1.417

Valor F 30.59 85.63 1.00

Valor p 0.000 0.000 0.435

F = 1.00 P – valor = 0.435 > α No rechazo Ho Conclusión: Con un nivel de significación del 1%, no hay interacción entre los niveles de la variedad del esparrago y el tipo de fertilizante que influya en el promedio de producción. 7

Efectos Principales: H0: No hay efecto de los niveles de la variedad del esparrago sobre el promedio de producción H1: Hay efecto de los niveles de la variedad del esparrago sobre sobre el promedio de producción α = 0.01 F = 85.63 P – valor = 0.000 < α. Se rechaza Ho Conclusión: Con un nivel de significación del 1%, hay efecto de los niveles de la variedad del esparrago sobre el promedio de producción

H0: No hay efecto de los niveles de los tipos de fertilizante sobre sobre el promedio de producción H1: Hay efecto de los niveles de los tipos de fertilizante sobre sobre el promedio de producción α = 0.01 F = 30.59 P – valor = 0.000 < α. Se rechaza Ho Conclusión: Con un nivel de significación del 3%, hay efecto de los niveles de los tipos de fertilizante sobre sobre el promedio de producción

c. ¿Qué variedad de esparrago y/o tipo de fertilizante, de acuerdo si afectan de forma conjunta o independiente se obtiene una mayor resistencia producción? Variedad de Esparrago: H0: µi = µ j H1: µi ≠ µ j para todo i ≠ j

α = 0.01

Comparaciones por parejas de Tukey: Respuesta = Produccion, Término = Variedad Agrupar información utilizando el método de Tukey y una confianza de 99% Variedad C B A

N 9 9 9

Media 18.1111 12.0222 11.5111

Agrupación A B B


Con un nivel de significación del 1%, con la variedad de esparrago A se obtiene un mayor promedio de producción.

8

Tipo de Fertilizante: H0: µi = µ j H1: µi ≠ µ j para todo i ≠

α = 0.01

Comparaciones por parejas de Tukey: Respuesta = Produccion, Término = Fertilizante Agrupar información utilizando el método de Tukey y una confianza de 99% Fertilizante Esso Silux Frontex

N 9 9 9

Media 15.7778 14.3889 11.4778

Agrupación A A B


Con un nivel de significación del 1%, con el fertilizante Esso o Silux se obtiene un mayor promedio de producción.

2. El director de control de calidad de una fábrica de telas desea estudiar el efecto de sus 4 operadores (A, B, C, y D) y sus 3 máquinas (I, II, III) sobre la resistencia al rompimiento (en libras) del material de sarga de lana. Un lote del material se cortó en piezas de una yarda cuadrada y éstas fueron asignadas aleatoriamente, de tres en tres, a las doce combinaciones generadas por los 4 operarios y las 3 máquinas. A continuación se presentan los resultados:

I A 115 115 119

B 117 114 114

II C 109 110 106

D 112 115 111

A 111 108 114

B 105 102 106

III C 100 103 101

D 105 107 107

A 109 110 107

B 110 113 114

C 103 102 105

D 108 111 110

Los datos se encuentran en la hoja Resistencia . Realice la prueba estadística respectiva a un nivel de significación de 5%.

a. Evalúe los supuestos Prueba de normalidad de errores: H0: Los errores se distribuyen normalmente. H1: Los errores no se distribuyen normalmente. α = 0.05

9

AD = 0.586 P – valor = 0.117 > 0.05 No Rho. Con un nivel de significación del 5%, se cumple el supuesto de normalidad de errores.

Prueba de Homogeneidad de varianzas: H0: Existe homogeneidad de varianzas. H1: No existe Homogeneidad de varianzas. α = 0.05 Prueba de varianzas iguales: RESID1 vs. Operador, Maquina O pe ra do r A

Maq ui na I

Prueba de Bartlett Va lo r p

II

0 .9 9 6

III B

I II III

C

I II III

D

I II III

0

10

20

30

40

50

60

70


Bartlett = 2.44 P-valor = 0.996 > 0.05 No Rho. A un nivel de significancia del 5%, se cumple el supuesto de homogeneidad de varianzas.

b. ¿Se puede afirmar si algún operador, algún tipo de maquina o alguna combinación afecta a la resistencia del rompimiento? H0: No hay interacción entre los niveles del tipo de máquina y el operador que influya en la resistencia promedio al rompimiento H1: Existe interacción entre los niveles del tipo de máquina y el operador que influya en la resistencia promedio al rompimiento α = 0.05 10

Análisis de Varianza Fuente Operador Maquina Operador*Maquina Error Total

GL 3 2 6 24 35

SC Ajust. 301.11 329.39 86.39 90.67 807.56

MC Ajust. 100.370 164.694 14.398 3.778

Valor F 26.57 43.60 3.81

Valor p 0.000 0.000 0.008

F = 3.81 P – valor = 0.008 < α. Se rechaza Ho Conclusión: Con un nivel de significación del 5%, Existe interacción entre los niveles del tipo de máquina y el operador que influya en la resistencia promedio al rompimiento

c. ¿Qué operador y/o tipo de máquina, de acuerdo si afectan de forma conjunta o independiente se obtiene una mayor resistencia al rompimiento? Ho: µij = µkl H1: µij ≠ µkl j

ij≠kl

α = 0.05

Comparaciones por parejas de Tukey: Respuesta = Resistencia, Término = Operador*Maquina Agrupar información utilizando el método de Tukey y una confianza de 95% Operador*Maquina A I B I D I B III A II D III A III C I D II B II C III C II

N 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Media 116.333 115.000 112.667 112.333 111.000 109.667 108.667 108.333 106.333 104.333 103.333 101.333

Agrupación A A A A A

B B B B B

C C C C C C

D D D D D

E E E E E

F F F F F

G G G G


Con un nivel de significación del 5%, con la interacción Operador A - Maquina I, Operador B - Maquina I, Operador D - Maquina I, Operador B - Maquina III y Operador A - Maquina II se obtiene una mayor resistencia al rompimiento

3. Una empresa agroindustrial del norte del país dedicada a la exportación de espárragos, en donde la característica más importante es el tiempo de conservación (semanas) de los espárragos. Uno de los ingenieros dentro de la empresa desea evaluar si la variedad del esparrago (A, B y C) y el sistema de enfriamiento (Pro –frio, Mega – frio y Súper-frio) al cual se sometido el espárrago para su conservación influyen en el tiempo de conservación de los espárragos. Para esto, se diseña un experimento con tres variedades de espárragos y tres sistemas de enfriamiento. Los resultados se muestran a continuación:

11

Sistema de Enfriamiento Pro - Frio

Mega - Frio

Súper - Frio

A 51.9 51 51 48.6 49.5 49.2 46.5 48 50.1

Variedad de esparrago B 50.7 51.3 51.6 47.1 49.2 50.7 50.7 47.1 51

C 53.7 50.4 53.4 49.2 50.7 49.2 49.8 48.6 48.9

Los datos se encuentran en la hoja Conservación. Realice la prueba estadística respectiva a un nivel de significación de 3%.

a. Evalúe los supuestos. Prueba de normalidad de errores: H0: Los errores se distribuyen normalmente. H1: Los errores no se distribuyen normalmente. α = 0.03

AD = 0.463 P-valor=0.237 > 0.03 No Rho. Con un nivel de significación del 3%, se cumple el supuesto de normalidad de errores. Prueba de Homogeneidad de varianzas: H0: Existe homogeneidad de varianzas. H1: No existe Homogeneidad de varianzas. α = 0.03

12

Prueba de varianzas iguales: RESID1 vs. Sistema, Variedad Sis te ma

Va ri ed ad

Mega-Frio

A

Prueba de Bartlett Val or p

0 .2 63

B C

Pro-Frio

A B C

Super-Frio

A B C 0

10

20

30

40


Bartlett = 10.03 P – valor = 0.263 > 0.03 No Rho. A un nivel de significancia del 3%, se cumple el supuesto de homogeneidad de varianzas.

b. ¿Afecta la variedad del esparrago y el sistema de enfriamiento de forma conjunta en el tiempo de conservación del espárrago? ¿La variedad del esparrago afecta en el tiempo de conservación del espárrago? ¿El sistema de enfriamiento afecta en el tiempo de conservación del espárrago? H0: No hay interacción entre los niveles de la variedad del esparrago y el sistema de enfriamiento que influya en el tiempo promedio de conservación del esparrago. H1: Existe interacción entre los niveles de la variedad del esparrago y el sistema de enfriamiento que influya en el tiempo promedio de conservación del esparrago. α = 0.03 Análisis de Varianza Fuente Sistema Variedad Sistema*Variedad Error Total

GL 2 2 4 18 26

SC Ajust. 39.420 3.660 3.360 32.820 79.260

MC Ajust. 19.7100 1.8300 0.8400 1.8233

Valor F 10.81 1.00 0.46

Valor p 0.001 0.386 0.764

F = 0.46 P – valor = 0.764 > α No rechazo Ho Conclusión: Con un nivel de significación del 3%, no hay interacción entre los niveles de la variedad del esparrago y el sistema de enfriamiento que influya en el tiempo promedio de conservación del esparrago.

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Efectos Principales: H0: No hay efecto de los niveles de la variedad del esparrago sobre el tiempo promedio de conservación del esparrago. H1: Hay efecto de los niveles de la variedad del esparrago sobre el tiempo promedio de conservación del esparrago. α = 0.03 F = 1.00 P – valor = 0.386 > α No rechazo Ho Conclusión: Con un nivel de significación del 3%, No hay efecto de los niveles de la variedad del esparrago sobre el tiempo promedio de conservación del esparrago.

H0: No hay efecto de los niveles de los sistemas de enfriamiento sobre el tiempo promedio de conservación del esparrago. H1: Hay efecto de los niveles de los sistemas de enfriamiento sobre el tiempo promedio de conservación del esparrago. α = 0.03 F = 10.81 P – valor = 0.001 > α Se rechaza Ho Conclusión: Con un nivel de significación del 3%, hay efecto de los niveles de los sistemas de enfriamiento sobre el tiempo promedio de conservación del esparrago.

c. ¿Qué sistema de enfriamiento y/o variedad de esparrago, de acuerdo si afectan de forma conjunta o independientemente se obtiene un mayor tiempo de conservación de los espárragos? H0: µi = µ j H1: µi ≠ µ j para todo i ≠ j

α = 0.03

Comparaciones por parejas de Tukey: Respuesta = Tiempo, Término = Sistema Agrupar información utilizando el método de Tukey y una confianza de 97% Sistema Pro-Frio Mega-Frio Súper-Frio

N 9 9 9

Media 51.6667 49.2667 48.9667

Agrupación A B B


Con un nivel de significación del 3%, con el sistema de enfriamiento Pro-Frio se obtiene un mayor tiempo promedio de conservación de los espárragos.

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4. PEGAFORTE es un pegamento en polvo para pegar mayólicas sobre superficies de cemento u otros materiales, siendo una de sus características más importantes la duración de las mayólicas en la superficie sin ser removidas. Un ingeniero industrial desea evaluar si la temperatura (°C) a la que está expuesta y el tipo de superficie (cemento, losetas y madera) donde fue aplicado el pegamento influyen en la duración (meses). Para esto, se diseña un experimento con cuatro temperaturas (°C) y tres tipos de superficie. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Tipo de superficie Cemento

Loseta

Madera

24°C 21.5 21.5 21.9 21.7 21.4 21.4 20.9 21.0 20.6

Temperatura 28°C 30°C 21.1 20.9 20.8 21.0 21.4 20.7 20.5 21.0 20.2 21.3 20.6 21.4 20.0 20.3 20.3 20.2 20.1 20.5

32°C 22.1 21.8 22.4 21.5 20.2 21.6 20.0 20.3 20.8

Los datos se encuentran en la hoja Duración. Realice la prueba estadística respectiva a un nivel de significación de 5%.

a. Evalúe los supuestos. Prueba de normalidad de errores: H0: Los errores se distribuyen normalmente. H1: Los errores no se distribuyen normalmente. α = 0.05

AD = 0.368 P-valor=0.411 > 0.05 No Rho. Con un nivel de significación del 5%, se cumple el supuesto de normalidad de errores. 15

Prueba de Homogeneidad de varianzas: H0: Existe homogeneidad de varianzas. H1: No existe Homogeneidad de varianzas. α = 0.05 Prueba de varianzas iguales: RESID1 vs. Superficie, Temperatura Superficie

Temperatura

Cemento

24°C

Prueba de Bartlett Val or p

28°C

0 .3 77

30°C 32°C Loseta

24°C 28°C 30°C 32°C

Madera

24°C 28°C 30°C 32°C

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18


Bartlett = 11.83 P – valor = 0.377 > 0.05 No Rho. A un nivel de significancia del 5%, se cumple el supuesto de homogeneidad de varianzas.

b. ¿Afecta la temperatura de exposición y el tipo de superficie de manera conjunta la duración? ¿Afecta la temperatura de exposición en la duración? ¿Afecta el tipo de superficie en la duración? H0: No hay interacción entre los niveles de la temperatura de exposición y el tipo de superficie que influya en la duración promedio. H1: Existe interacción entre los niveles de la temperatura de exposición y el tipo de superficie que influya en la duración promedio. α = 0.05 Análisis de Varianza Fuente Superficie Temperatura Superficie*Temperatura Error Total

GL 2 3 6 24 35

SC Ajust. 6.271 3.321 2.072 2.473 14.136

MC Ajust. 3.1353 1.1069 0.3453 0.1031

Valor F 30.42 10.74 3.35

Valor p 0.000 0.000 0.015

F = 3.35 P – valor = 0.015 < α .Se rechaza H 0 Conclusión: Con un nivel de significación del 5%, Existe interacción entre los niveles de la temperatura de exposición y el tipo de superficie que influya en la duración promedio.

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c. ¿Qué tipo de superficie y/o temperatura, de acuerdo si afectan de forma conjunta o independientemente se obtiene una mayor duración? Ho: µij = µkl H1: µij ≠ µkl j

ij≠kl

α = 0.05

Comparaciones por parejas de Tukey: Respuesta = Duracion, Término = Superficie*Temperatura Agrupar información utilizando el método de Tukey y una confianza de 95% Superficie*Temperatura Cemento 32°C Cemento 24°C Loseta 24°C Loseta 30°C Cemento 28°C Loseta 32°C Cemento 30°C Madera 24°C Loseta 28°C Madera 32°C Madera 30°C Madera 28°C

N 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Media 22.1000 21.6333 21.5000 21.2333 21.1000 21.1000 20.8667 20.8333 20.4333 20.3667 20.3333 20.1333

Agrupación A A B A B A B C B C B C B C D B C D C D C D C D D


Con un nivel de significación del 5%, con la interacción Cemento – 32°C, Cemento – 24°C, Loseta – 24°C y Loseta – 30°C se obtiene una mayor duración.

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DISEÑOS FACTORIALES RESUELTOS

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