CAPÍTULO 4 Conceptos básicos en diseños factoriales 4.1. Diseños Diseños factoriales factoriales con dos factores factores 4.2. Diseños Diseños factoriales factoriales con tres factores factores 4.3. Diseño Diseño factorial factorial eneral eneral 4.4. !odelos !odelos de efectos efectos aleatorios aleatorios 4.". Uso de #n soft$are soft$are estad%st estad%stico ico
Instituto Tecnológico de
Biol. Raúl Jiménez
Diseñ Diseños os fact factori orial ales es ! !
Competencias
&'plicar c#ando #n diseño de e'peri(entos es #n diseño factorial) describiendo los conceptos básicos *#e estos in+ol#cran , (ostrado c-(o se ace tal e'peri(entaci-n. Desarrollar los diseños factoriales de dos , tres factores. Conocer el diseño factorial eneral , diferenciar los (odelos de efectos fi/os con los (odelos de efectos aleatorios. 0nterpretar correcta(ente los análisis ráficos , el análisis de +ariana en los diseños factoriales. Conceptos básicos en diseños factoriales
&s frec#ente *#e en (#cos procesos e'istan +arios factores de los *#e es necesario in+estiar de (anera si(#ltánea s# infl#encia sobre #na o +arias +ariables de resp#esta) donde cada factor tiene la (is(a i(portancia a priori desde el (o(ento *#e se decide est#diarl est#diarlo) o) , es poco /#stificab /#stificable le s#poner s#poner de ante(ano ante(ano *#e los factores no interactan interactan entre s%. Los diseños diseños e'peri(entales e'peri(entales *#e per(iten per(iten est#diar est#diar de (anera (anera si(#ltánea si(#ltánea el efecto de +arios factores son los lla(ados diseños factoriales. &l ob/eti+o de #n diseño factorial factorial es est#diar est#diar el efecto de +arios +arios factores factores sobre #na o +arias resp#estas o caracter%sticas de calidad , deter(inar #na co(binaci-n de ni+e ni+ele less de los los fact factor ores es en la c#al c#al el dese dese(p (peñ eñoo del del proc proces esoo sea sea (e/o (e/orr *#e *#e en las las condiciones de operaci-n act#ales es decir) encontrar n#e+as condiciones de operaci-n del proceso *#e eli(inen o dis(in#,an ciertos proble(a de calidad en la +ariable de salida. Los factor factores es p#e p#eden den ser de tipo tipo c#alita c#alitati+ ti+oo (á*#i (á*#inas nas)) tipos tipos de (ateri (aterial) al) operador) la presencia o a#sencia de #na operaci-n pre+ia) etc.5) o de tipo c#antitati+o te(perat#ra) #(edad) +elocidad) presi-n) etc.5. Para poder est#diar la (anera en *#e incl#,e cada factor sobre la +ariable resp#esta) es necesario eleir al (enos dos ni+eles de pr#eba para cada #no de ellos tres (á*#inas) dos operadores) tres +elocidades) dos te(perat#ras) etc.5. Con el diseño factorial co(pleta se corren aleatoria(ente en el proceso todas las posibles co(binaciones *#e p#eden for(arse con los ni+eles seleccionados. Un diseño de e'peri(entos factorial o arrelo factorial es el con/#nto de p#ntos e'peri(en e'peri(entales tales o trata(iento trata(ientoss *#e p#ed p#eden en for(arse for(arse considera considerando ndo todas todas las las posibles posibles co(binaciones de los ni+eles de los factores. Por e/e(plo) con 6 7 2 factores) a(bos con dos ni+eles ni+eles de pr#eba) pr#eba) se for(a el diseño diseño factorial factorial ) *#e consiste consiste de c#atro co(binaciones o p#ntos e'peri(entales. Considerando otra +e 6 7 2 factores) pero aora #no con tres ni+eles , el otro con con dos ni+eles) ni+eles) se p#e p#eden den constr#i constr#irr 3 ' 2 co(bin co(binaci acione oness *#e dan l#a l#arr al diseñ diseñoo factorial 3 ' 2. Obser+e *#e en el no(bre del diseño factorial +a i(pl%cita el n(ero de trata(ientos *#e lo co(ponen. Para obtener el n(ero de corridas e'peri(entales se (#ltiplica el n(ero de trata(ientos por el n(ero de r8plicas) donde #na r8plica se lle+a a cabo cada +e *#e se repite el arrelo co(pleto. !ás en eneral) la fa(ilia de diseños factoriales consiste de 6 factores) todos con dos ni+eles de pr#eba , la fa(ilia de diseños factoriales consiste de 6 factores
#$%&T'()
Diseños
cada #no con tres ni+eles de pr#eba. &s claro *#e si los 6 factores no tienen la (is(a cantidad de ni+eles) entonces no se p#ede factoriar de esta for(a) , debe escribirse el prod#cto de (anera (ás e'pl%cita9 por e/e(plo con 6 7 3 factores) el pri(ero con c#atro ni+eles , los dos restantes con dos ni+eles) se tiene el diseño factorial ) *#e consiste de 1: co(binaciones de ni+eles diferentes.
4.1. Diseños factoriales con dos factores &l e'peri(ento factorial (ás sencillo es en el *#e inter+ienen sola(ente dos factores) por e/e(plo) A , ;.
&l efecto de #n factor se define co(o el ca(bio obser+ado en la +ariable de resp#esta debido a #n ca(bio de ni+el de tal factor. &n partic#lar) los efectos principales son los ca(bios en la (edia de la +ariable de resp#esta *#e se deben a la acci-n indi+id#al de cada factor. &n t8r(inos (ate(áticos) el efecto principal de #n factor con dos ni+eles es la diferencia entre la resp#esta (edia obser+ada c#ando tal factor est#+o en s# pri(er ni+el) , la resp#esta (edia obser+ada c#ando el factor est#+o en s# se#ndo ni+el. &/e(plo Diseño factorial . =#pona *#e en #n proceso de fer(entaci-n te*#ilera) se tienen dos factores A9 tipo de levadura , ; : temperatura) cada #no con dos ni+eles denotados por respecti+a(ente. La resp#esta de inter8s es el rendi(iento del proceso de fer(entaci-n. &n la tabla 4.1 se (#estran los c#atro trata(ientos o p#ntos del diseño factorial ) , entre par8ntesis se a indicado cada ni+el con los c-dios 1) >15. &n el e'peri(ento oriinal cada trata(iento se corri- tres +eces tres r8plicas5) lo c#al da #n total de 12 corridas del proceso pero) por si(plicidad) en la lti(a col#(na de la tabla 4.1 s-lo se anotaron los res#ltados de la pri(era r8plica. Tabla 4.1 Diseño factorial
A9 Le+ad#ra
;9 Te(perat#ra ?9 @endi(iento 2 41 :3 4"
Para los datos de la tabla 4.1) los efectos principales están dados por
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&fecto A 7 &fecto ; 7 por lo *#e en t8r(inos absol#tos el efecto principal de ; es (a,or. Por otra parte) se dice *#e dos factores interactan entre s% o tienen #n efecto de interacción sobre la +ariable de resp#esta) c#ando el efecto de #n factor depende del ni+el en *#e se enc#entra el otro. Por e/e(plo) los factores A , ; interactan si el efecto de A es (#, diferente en cada ni+el de ;) o +ice+ersa. Aora +ea(os esto con los datos de la tabla 4.19 el efecto de A c#ando ; es ba/a está deter(inado por &fecto A con ; ba/o5 7 41 > 2 7 13 , c#ando la te(perat#ra es alta) el efecto de A es &fecto A con ; alta5 7 4" > :3 7 13 Co(o estos dos efectos de A en f#nci-n del ni+el de ; son (#, diferentes) entonces es e+idencia de *#e la elecci-n (ás con+eniente del ni+el de A depende del ni+el en *#e est8 ;) , +ice+ersa. &s decir) eso es e+idencia de *#e los factores de A , ; interactan sobre ?. &n la práctica) el cálc#lo del efecto A en cada ni+el de ; no se ace) , (ás bien se calc#la el efecto lobal de la interacci-n de los dos factores) *#e se denotan por A; , se calc#lan co(o la diferencia entre la resp#esta (edia c#ando a(bos factores se enc#entran en el ( is(o ni+el9 >1) >15 1) 15) , la resp#esta (edia c#ando los factores se enc#entran en ni+eles op#estos9 >1) 15 1) >15. Para el e/e(plo) el efecto de interacci-n levadura x temperatura está dado por
Los +alores absol#tos sin i(portar el sino5 de los efectos principales , del efecto de interacci-n son #na (edida de i(portancia de s# efecto sobre la +ariable de resp#esta. =in e(baro) co(o se tienen esti(aciones (#estrales) para saber si los efectos son estad%stica(ente sinificati+os diferentes de coro5 se re*#iere el análisis de +ariana ABOA5. Modelo estadístico
Con #n diseño factorial se p#eden est#diar los dos efectos indi+id#ales , el efecto de interacci-n de a(bos factores. &n t8r(inos estad%sticos) lo *#e se afir(a es *#e el co(porta(iento de la resp#esta ? en el e'peri(ento con 6 r8plicas se podr%a describir (ediante el (odelo de efectos9
donde es la (edia eneral) es el efecto debido al i>8si(o ni+el del factor es el efecto del />8si(o ni+el del factor ;) representa al efecto de interacci-n en la
co(binaci-n es el error aleatorio *#e s#pone si#e #na distrib#ci-n con (edia cero , +ariana constante , son independientes entre s%. Para *#e la esti(aci-n de los pará(etros en este (odelo sea nica) se introd#cen las restricciones9
&s decir) los efectos dados en el (odelo son des+iaciones respecto de la (edia lobal. P#ede #sarse el análisis de +ariana para probar ip-tesis relati+as a los efectos principales de los factores A , ; , la interacci-n A;. &n este (odelo) las ip-tesis de inter8s para los tres efectos son9
&stas ip-tesis se pr#eban (ediante la t8cnica de análisis de +ariana *#e para #n diseño factorial con r8plicas res#lta de desco(poner la +ariaci-n total co(o)
donde los respecti+os rados de libertad de cada #na de ellas son9
&l factor en los rados de libertad de la s#(a de c#adrados del error 5 señala *#e se necesitan al (enos dos r8plicas del e'peri(ento para calc#lar ese co(ponente ,) por ende) para constr#ir #na tabla de ABOA. @ecorde(os *#e las s#(as de c#adrados di+ididas entre s#s correspondientes rados de libertad se lla(a c#adrados (edios . Al di+idir 8stos entre el c#adrado (edio del error se obtienen estad%sticos de pr#eba con distrib#ci-n . Toda esta infor(aci-n se sintetia en la si#iente tabla9 ABOA para el diseño factorial =C EL &fecto A &fecto ; &fecto A; &rror Total
C!
alor>p
=i el +alor>p es (enor al ni+el de sinificancia prefi/ado) se recaa la ip-tesis n#la , se concl#,e *#e el correspondiente efecto está acti+o o infl#,e en la +ariable de resp#esta.
@ecorde(os la notaci-n de p#ntos para representar s#(as , (edias9
Con esta notaci-n la s#(a de c#adrados totales es9
donde B 7 es el total de obser+aciones en el e'peri(ento. Las s#(as de c#adrados de efectos son9
, al final) al restar 8stas del total) se obtiene la s#(a de c#adrados del error co(o9
&/e(plo Considere(os #n e'peri(ento en el *#e se *#iere est#diar el efecto de los factores A9 prof#ndidad de corte sobre el acabado de #n (etal , ;9 +elocidad de ali(entaci-n. A#n*#e los factores son de nat#ralea contin#a) en este proceso s-lo se p#ede traba/ar en 4 , 3 ni+eles) respecti+a(ente. Por ello) se decide correr #n factorial co(pleto 4 ' 3 con tres r8plicas) *#e per(itirá obtener toda la infor(aci-n rele+ante en relaci-n al efecto de esos factores sobre el acabado. Al aleatoriar las 3: pr#ebas se obtienen los datos de la si#iente tabla9
Datos del e'peri(ento factorial 4 ' 3 d a d F)1" i d n # f o r P F)1 9 A
F)21 F)24 Total
;9 +elocidad F)2F F)2" F)3F G4 H2 HH :4 1H : 2:: H 2HH :F 1F2 GH H 1F4 : 22F 1F4 2HF HH 2H G3 H" 2 HH 1F 2:2 1F 3F2 11F 31G H2 H" HH HH 1F4 114 1F4 2HH 11F 313 111 332 H: HH 1FG HGH 1 1G1 1 24:
Total G:3 F 1 H44
&l acabado 5 está en #nidades de ra(os e interesa (ini(iar s# +alor De ac#erdo a esto para obtener el ABOA para el e/e(plo) calc#le(os los totales necesarios. De donde9
La s#(a de c#adrados totales , la s#(a de c#adrados del error están dadas por
Con esta infor(aci-n se constr#,e el análisis de +ariana de la tabla 4.2. Del ABOA se concl#,e *#e los tres efectos A9 +elocidad) ;9 prof#ndidad , A; están acti+os o infl#,en en el acabado. Dado *#e el efecto de interaci-n A; res#lta sinificati+o) práctica(ente toda la infor(aci-n rele+ante del e'peri(ento se aprecia en s# representaci-n ráfica fi#ra 4.15. B-tese *#e aparecen tantas l%neas co(o ni+eles tena el factor *#e se dib#/a en la parte de arriba) *#e en este caso es la prof#ndidad con s#s c#atro ni+eles *#e se denotan con la escala de >1 a 1. La sinificancia de la interacci-n detectada por el ABOA se obser+a en el eco de *#e las l%neas en la fi#ra ".1 tienen pendientes relati+a(ente diferentes. Co(o lo *#e interesa es (ini(iar la +ariable de resp#esta) se obser+a *#e a (a,or +elocidad , prof#ndidad a, #na tendencia a obtener peores acabados. Ade(ás se +e *#e c#ando se tiene +elocidad
alta 5 el efecto de prof#ndidad es (enor +8ase la dispersi-n de las l%neas en la fi#ra c#ando la +elocidad es alta5. Por lo tanto) las condiciones de operaci-n o trata(iento *#e con+ienen es prof#ndidad , +elocidad ba/as 5. &l ABOA de la tabla ".2 se dice *#e no está deslosado) ,a *#e c#ando en #n e'peri(ento a, factores c#antitati+os con (ás de dos ni+eles) el ABOA se p#ede deslosar para est#diar con (a,or detalle en el efecto de tal factor. Tabla ".2 ABOA para el e/e(plo =C EL 3 1:F." 2 ;9 +elocidad A9 prof#ndidad 2 12")1F 3 ""G)FG : A; :H)33 24 &rror : "32)F 3" Total
C! alor>p 1 "F)2" "")F2 F)FFFF GF)3G 24):: F)FFFF H2)4 3)23 F)F1F 2)G2
&l plantea(iento de ip-tesis *#edar%a de la si#iente (anera9 Con s# ni+el de sinificancia co(o con s#s rados de libertad respecti+a(ente tene(os *#e el +alor de cr%tica es9 , =e concl#,e *#e =e recaa =e recaa =e acepta Resultado arrojado en Minitab para el ejemplo anterior Factores: Corridas base: Bloques base:
Réplicas: 3 Total de corridas: 36 Total de bloques: 1
2
12 1
Número de niveles: ! 3
Modelo lineal general: RESPUESTA vs. PRFUNDDAD! "E#$%DAD Factor #RF$N%&%'% ' "./0C&%'% B
Tipo (i)o (i)o
Niveles 3
"alores *+1,! *+1-! *+21! *+2 *+2*! *+2,! *+3*
'nlisis de variana para R.#$.T'4 utiliando C a)ustada para pruebas Fuente #RF$N%&%'% ' "./0C&%'% B #RF+8"./+ 'B .rror Total
5/ 3 2 6
2 3,
C sec+ 212,411 316*4,* ,,74*6 6-9433 6,324**
C a)ust+ 212,411 316*4,* ,,74*6 6-9433
C a)ust+ 7*-437 1,-*42, 924- 2-472
F
2466 ,,4*2 3423
#
*4*** *4*** *4*1-
#om*aración de
+
Comparación de medias
Las co(paraciones de (edias se introd#/eron en la secci-n IIDiseño co(pleta(ente al aar , ABOAII del cap%t#lo 2) para desp#8s de #n ABOA en el *#e se recaa ) in+estiar c#áles (edias ca#sa las diferencias detectadas. &l ABOA s-lo indica *#e al (enos #n par de ni+eles del factor sinificati+o son diferentes entre s%) pero no dice c#áles son. Por facilidad) denote(os los c#atro ni+eles de la prof#ndidad A5 del e/e(plo anterior co(o as% co(o los tres ni+eles de la +elocidad ;5 co(o &ntonces es) los seis pares de ip-tesis para co(parar las (edias del factor A son9
(ientras *#e para el factor ; se tienen los tres pares de ip-tesis)
Para probar estas ip-tesis con el (8todo L=D abr%a *#e calc#lar las diferencias (#estrales en el +alor absol#to , co(pararlas con la diferencia (%ni(a sinificati+a. Cabe aclarar *#e este análisis es enañoso c#ando el efecto de interacci-n es sinificati+o. Por ello) , s-lo por il#strar el (8todo) se pr#eban las ip-tesis del factor A inorando por el (o(ento la interacci-n. La diferencia (%ni(a sinificati+a para co(parar los ni+eles del factor A) está dada por9
Donde es el p#nto porcent#al 1FF de la distrib#ci-n T de =t#dent) los rados de libertad del c#adrado (edio del error) , son el total de obser+aciones en los ni+eles del factor A) *#e están co(parando. De esta (anera) en el e/e(plo) co(o es #n diseño balanceado 7 7 H entonces)
De los totales (arinales dados en el renl-n inferior de la tabla donde se representan los datos del e'peri(ento factorial 4 ' 3) se obtienen las (edias del factor A) al di+idir entre H) *#e son el n(ero de (ediciones in+ol#cradas en cada total. As%) las seis posibles diferencias (#estrales en +alor absol#to res#ltan ser9
donde s-lo la pri(er diferencia res#lta no sinificati+a) es decir) se acepta en ca(bio) en las cinco co(paraciones restantes se recaa . &/ercicios 1.> La pint#ra tapaporo de a+iones se aplica en s#perficies de al#(inio #tiliando dos (8todos9 por in(ersi-n , por aspersi-n. &l ob/eto de la pint#ra tapaporo es (e/orar la aderencia de la pint#ra) , en al#nas partes p#ede aplicarse #tiliando c#al*#iera de los dos (8todos. Al r#po de inenieros responsable del proceso de esta operaci-n le interesa saber si tres pint#ras tapaporo diferentes difieren en s#s propiedades de aderencia. =e reali- #n e'peri(ento factorial para in+estiar el efecto *#e tiene el tipo de pint#ra tapaporo , el (8todo de aplicaci-n sobre la aderencia de la pint#ra. =e pintaron tres e/e(plares de pr#eba con cada pint#ra #tiliando cada #no de los (8todos de aplicaci-n) se aplico la pint#ra final) , se (idi- la f#era de aderencia. Probe(os la ip-tesis apropiada , sa*#e(os concl#siones 0n(ersi-n Aspersi-n Tipo de tapaporo 1 4.F) 4)" 4.3 12. ".4) 4.H) ".: 1".H 2 ".:) 4.H) ".4 1".H ".) :.1) :.3 1.2 3 3.) 3.G) 4.F 11." ".") ".F) ".F 1"." 4F.2 4H.: Resultado en Minitab Dise&o 'a(torial de m)ltiples niveles Factores: Corridas base: Bloques base:
2 6 1
Réplicas: Total de corridas: Total de bloques:
3
11
Número de niveles: 3! 2
Modelo lineal general: Respuesta vs. Tapaporo! Ad*eren(ia Factor Tapaporo
Tipo (i)o
Niveles 3
"alores 1! 2! 3
2.G 34.1 2G.F H. 7
+
#$%&T'()
'derencia
Diseños
(i)o
2
&nmersi;n! 'spersi;n
'nlisis de variana para Respuesta4 utiliando C a)ustada para pruebas Fuente Tapaporo 'derencia Tapaporo8'derencia .rror Total < *42-67
5/
C sec+ 4,-11 49*-9 *4211 *49-67 1*4717-
2 1 2
12 17
R=cuad+ < 9*479>
C a)ust+ 4,-11 49*-9 *4211 *49-67
C a)ust+ 2429*6 49*-9 *412*6 *4*-22
F
#
274-6 ,947* 147
*4*** *4*** *4269
R=cuad+?a)ustado@ < -6496>
Dado *#e #tilia(os #n 7 F.F" , p#esto *#e el +alor de tanto para el factor A tipo de pint#ra5 co(o para el factor ;tipo de aplicaci-n5) con s# ni+el de sinificancia co(o con s#s rados de libertad respecti+a(ente tene(os , . =e concl#,e *#e los efectos principales del tipo de pint#ra tapaporo , del (8todo de aplicaci-n afectan la f#era de aderencia. Ade(ás) p#esto *#e 1)" ) no a, indicios de interacci-n entre estos factores. &n la lti(a col#(na del ABOA se (#estra el +alor P para cada cociente . Obs8r+ese *#e los +alores P de los dos estad%sticos de pr#eba para los efectos principales son considerable(ente (enores *#e F)F" (ientras *#e el +alor P para el estad%stico de pr#eba de la interacci-n es (a,or *#e F)F". =e recaa =e recaa =e acepta
2.> =e presentan los res#ltados de #n e'peri(ento en el *#e inter+iene #na bater%a de al(acena(iento #sada en el (ecanis(o de lana(iento de #n (isil tierra>aire para carar al o(bro. P#eden #sarse tres tipos de (ateriales para acer las placas de la bater%a. &l ob/eti+o es diseñar #na bater%a *#e se (antena relati+a(ente sin alteraciones por la te(perat#ra a(biente. La resp#esta de salida de la bater%a es la +ida efecti+a en oras. =e seleccionan tres ni+eles de te(perat#ra , se corre #n e'peri(ento factorial con c#atro replicas. Los datos son los si#ientes9 !aterial 1 2 3
Te(perat#ra ;a/a !edia 13F 1"" 34 4F G4 1F F G" 1"F 1 13: 122 1"H 12: 1F: 11" 13 11F 1G4 12F 1: 1:F 1"F 13H
Alta 2F GF 2 " 2" GF " 4" H: 1F4 2 :F
a5 Pr#ebe las ip-tesis apropiadas , sa*#e concl#siones #tiliando el análisis de
b5 +ariana con 7 F.F" c5 Analice ráfica(ente la interacci-n d5 Analice los resid#ales de este e'peri(ento 3.> &n #n art%c#lo se describe #n e'peri(ento para in+estiar el efecto de dos factores tipo de cristal , tipo de f-sforo5 sobre la brillante de #n cinescopio. La +ariable de resp#esta (edia es la corriente en (icroa(peres5 necesaria para obtener #n ni+el especifico de brillante. Los datos se presentan en la si#iente tabla9 Tipo de Tipo de f-sforo cristal 1 2 3 1 2F 3FF 2HF 2HF 31F 2" 2" 2H" 2HF 23F 2:F 22F 2 23" 24F 22" 24F 23" 23F a5 &n#ncie las ip-tesis de inter8s en este e'peri(ento b5 Pr#ebe las ip-tesis anteriores , sa*#e concl#siones #tiliando análisis de +ariana con 7 F.F" c5 Analice los resid#ales de este e'peri(ento 4.> =e cond#/o #n e'peri(ento para deter(inar si la te(perat#ra del f#eo o la posici-n en el orno afectan la densidad de end#reci(iento de #n ánodo de carbono. Los datos son los si#ientes9 Posici-n Te(perat#ra 5 FF 2" "F 1 "GF 1 F:3 ":" ":" 1 FF "1F "3 1 F43 "HF 2 "2 H "2: "4G 1 F2: "3 "21 1 FF4 "32 a5 &n#ncie las ip-tesis de inter8s b5 Pr#ebe las ip-tesis anteriores #tiliando el análisis de +ariana con 7 F.F". JA *#8 concl#siones se lleaK c5 Utiliando el (8todo de la L=D de iser) in+estiar las diferencias entre la (edia de la densidad del end#reci(iento de los ánodos en los tres diferentes ni+eles de te(perat#ra 4.2. Diseños factoriales con tres factores C#ando se *#iere in+estiar la infl#encia de tres factores A) ; , C5 sobre #na o (ás +ariables de resp#esta) , el n(ero de ni+eles de pr#eba en cada #no de los factores es a) b , c) respecti+a(ente) se p#ede constr#ir el arrelo factorial ) *#e consiste de trata(ientos o p#ntos e'peri(entales. &ntre los arrelos de este tipo *#e se #tilian con frec#encia en aplicaciones di+ersas se enc#entran9 el factorial ) el
factorial , los factoriales (i'tos con no (ás de c#atro ni+eles en dos de los factores) por e/e(plo) el factorial 4 ' 3 ' 2 , el factorial 4 ' 4 ' 2) por (encionar dos de ellos. Hipótesis de interés
&l est#dio factorial de tres factores A) ; , C5 per(ite in+estiar los efectos9 A) ;) C) A;) AC) ;C , A;C) donde el ni+el de deslose o detalle con el *#e p#eden est#diarse depende del n(ero de ni+eles #tiliando en cada factor. Por e/e(plo) si #n factor se pr#eba en dos ni+eles) todo s# efecto (arinal indi+id#al5 es lineal) o sea *#e s# efecto indi+id#al no se p#ede desco(poner pero) si t#+iera tres ni+eles s# efecto (arinal se p#ede desco(poner en #na parte lineal , otra c#adrática p#ra. &n res#(en) se tienen siete efectos de inter8s sin considerar deslose) , con ellos se p#eden plantar las siete ip-tesis n#las
cada #na apare/ada con s# correspondiente ip-tesis alternati+a. &l ABOA para probar estas ip-tesis se (#estran en la si#iente tabla. ABOA para el diseño a ' b ' c =C EL &fecto A &fecto ; &fecto C &fecto A; &fecto AC &fecto ;C &fecto A;C &rror Total
C!
alor>p
Al efecto c#,o +alor>p sea (enor al +alor especificado para alfa) se declara estad%stica(ente sinificati+o o se dice *#e está acti+o. Las s#(as de c#adrados son (#, si(ilares a las obtenidas para dos factores abrá *#e considerar #n s#b%ndice adicional para el tercer factor) , co(enando otra +ea) por la s#(a total de c#adrados) 8stas res#ltan ser9
donde B 7
es el total de obser+aciones en el e'peri(ento. Las s#(as de c#adrados
Diseños factoriales con tres
+
de efectos son9
Al restar 8stas del total) la s#(a de c#adrados del error res#lta ser
c#,os respecti+os rados de libertad se dan en la tabla anterior. Una +e eco el ABOA) se procede a interpretar los efectos acti+os) , l#eo a#n*#e no necesaria(ente desp#8s5 a dianosticar la calidad del (odelo. &/e(plo &l e'peri(ento. =e desea in+estiar el efecto del tipo de s#spensi-n A5) abert#ra de (alla ;5 , te(perat#ra de cicla/e C5 en el +ol#(en de sedi(entaci-n ?5 de #na s#spensi-n. Para ello se decide correr #n e'peri(ento factorial 3 ' 2 ' 2 con seis r8plicas) , las obser+aciones obtenidas en las G2 corridas e'peri(entales se (#estran en la si#iente tabla9
:F) G") G" :) GF) GF "") "3) "3 "") "") ""
:G) G3) G3 :G) :) : "2) "2) "G "2) "4) "4
:2) :) :" G:) :") :" 44) 44) 4" 4) 4) 4"
G1) F) F G2) F) F :F) :F) :F :G) :G) :"
G:) G1) G" GF) :) G3 "2) "1) "F "2) 4) "4
G") G") G" G") G") GG ":) "") "G "H) "F) ""
Los ni+eles de pr#eba para cada factor) tanto en #nidades oriinales co(o en #nidades codificadas) se (#estran en la si#iente tabla
actor
U. oriinales U. codificadas ;a/o !edio Alto ;a/o !edio Alto >1 F 1 A9 Tipo de s#spensi-n > >1 1 > ;9 Abert#ra de (alla 4F :F >1 1 > > F 3F C9 Te(perat#ra &l análisis de +ariana para este e/e(plo se (#estra en la si#iente tabla. De a*#% se concl#,e *#e no infl#,en los efectos A;C) AC ni A) dado *#e s# +alor>p es (a,or *#e . Por otra parte) se enc#entran acti+os los efectos ;) C) A; , en (enor (edida ;C. Mstos son los c#atro efectos *#e se deben interpretar. Los efectos *#e no infl#,eron se p#eden eli(inar (andándolos al t8r(ino error. &l ABOA si(plificado) pero con el efecto A note *#e el en a(bos ABOA= es práctica(ente i#al. &n eneral se reco(ienda interpretar s-lo los efectos sinificati+os. Dise&o 'a(torial de m)ltiples niveles Factores: Corridas base: Bloques base:
3
12 1
Réplicas: Total de corridas: Total de bloques:
6
72 1
Número de niveles: 3! 2! 2
Modelo lineal general: Respuesta vs. Suspensi+n! Abertura de malla! ... Factor uspensi;n 'bertura de temperatura
Tipo (i)o malla (i)o (i)o
Niveles 3 2 2
"alores '1! '2! '3 B1! B2 C1! C2
'nlisis de variana para Respuesta4 utiliando C a)ustada para pruebas Fuente uspensi;n 'bertura de malla temperatura uspensi;n8'bertura de malla uspensi;n8temperatura 'bertura de malla8temperatura uspensi;n8'bertura de malla8 temperatura .rror Total
<
347,37
R=cuad+
<
5/
C sec+
2 1 1 2 2 1 2
134-6 -*4,*
6* 71
-9491>
7--42, *4-6 ,64-9 314*3
C a)ust+ 134-6 -*4,* 6*-6472 7--42, *4-6 ,64-9 314*3
C a)ust+ 6493 -*4,* 6*-6472 39413 2*43 ,64-9 1,4,1
-1467
-1467
14*3
6*-6472
-33947-
R=cuad+?a)ustado@ < --4*6>
0bservaciones inusuales de Respuesta
0bs 23 36 ,2
Respuesta 6*4**** 764**** -64****
')uste 7246667 664-333 7246667
')uste . 14,29* 14,29* 14,29*
Residuo =1246667 941667 1343333
Residuo estndar =347* R 246- R 349* R
R denota una observaci;n con un residuo estandariado Arande+
F
#
*49 342, 3349* 2-41* 146 4*6 1411
*4613 *4*** *4*** *4*** *421 *4*9 *433-
Dado *#e #tilia(os #n 7 F.F" , p#esto *#e el +alor de ) con s# ni+el de sinificancia co(o con s#s rados de libertad en tablas respecti+a(ente tene(os , . =e acepta =e recaa =e recaa ) =e recaa =e acepta ) =e recaa &/ercicios 1.> =e in+estian el porcenta/e de la concentraci-n de (adera d#ra en la p#lpa cr#da) la libertad de orientaci-n de la fibra o lof) , el tie(po de cocci-n de la p#lpa en c#anto a s#s efectos sobre la resistencia del papel. &n la si#iente tabla se (#estran los datos de #n e'peri(ento factorial con tres factores. Porcenta/e de la Concentraci-n de !adera d#ra 1F 1" 2F
1." oras de tie(po de cocci-n lof 3"F "FF :"F H:.: HG.H HH.4 H:.F H:.F HH. H." H:.F H.4 HG.2 H:.H HG.: HG." H".: HG.4 H:.: H:.2 H.1
2.F oras de tie(po de cocci-n lof 3"F "FF :"F H.4 HH.: 1FFF.: H.: 1FF.4 1FF.H HG." H.G HH.F H.1 H:.F HH.F HG.: HG.F H." H.4 HG. HH.
a Analice los datos #sando el análisis de +ariana ba/o el s#p#esto de *#e todos los factores son fi/os. Use b5 &nc#entre los +alores de P de los cocientes del inciso a 2.> &l departa(ento de control de calidad de #na planta de acabados te'tiles est#dia los efectos de +arios factores sobre el teñido de #na tela co(binada de alod-n , fibra sint8tica *#e se #sa para acer ca(isas. =e seleccionan tres operadores) tres d#raciones del ciclo , dos te(perat#ras) , tres e/e(plares de pr#eba pe*#eños de tela se tiñeron ba/o cada con/#nto de condiciones. La tela ter(inada se co(par- con #n patr-n , se asino #na p#nt#aci-n n#(8rica. Los res#ltados se presentan en la tabla si#iente Te(perat#ra D#raci-n del ciclo 4F "F :F
3FF Operador 1 2 3 23 2G 31 24 2 32 2" 2: 2 3: 34 33 3" 3 34 3: 3H 3" 2 3" 2: 24 3" 2G 2G 34 2"
3"F Operador 1 2 3 24 3 34 23 3: 3: 2 3" 3H 3G 34 34 3H 3 3: 3" 3: 31 2: 3: 2 2H 3G 2: 2" 34 34
a5 &n#ncie , pr#ebe las ip-tesis apropiadas #sando el análisis de +ariana con 3.> Un ineniero (ecánico est#dia la r#osidad s#perficial de #na piea prod#cida en #na operaci-n de corte de (etal. =on de inter8s tres factores9 la rapide de ali(entaci-n A5) la prof#ndidad del corte ;5 , el án#lo de la erra(ienta C5. A los tres factores se les a asinado dos ni+eles) , se corren dos r8plicas de #n diseño factorial Prof#ndidad del corte F.F2" p#lada F.F4 p#lada @apide de Nn#lo de la erra(ienta ali(entaci-n 1" 2" 1" 2" 3F p#l(in H 11 H 1F G 1F 11 3F p#l(in 1F 1F 12 1: 12 13 1" 14
a Analice los datos #sando el análisis de +ariana ba/o el s#p#esto de *#e todos los factores son fi/os. Use b5 &nc#entre los +alores de P de los cocientes del inciso a
4.3. Diseño factorial general
Lo *#e se a dico para los dos diseños factoriales con 2 , 3 factores p#ede e'tenderse fácil(ente para c#ando se tienen (ás factores. Considerarse factores A) ;) C)) Q con ni+eles respecti+a(ente) donde la letra Q denota al >8si(o o lti(o factor del con/#nto a est#diar) no necesaria(ente el #nd8ci(o) *#e es el l#ar de esta letra en el alfabeto. Con estos ni+eles , factores se p#ede constr#ir el diseño factorial eneral *#e consiste de trata(ientos o p#ntos de pr#eba. Con este diseño se p#eden est#diar efectos principales) interacciones dobles) interacciones triples) , as% s#cesi+a(ente asta la nica interacci-n de los factores A;CQ5. &l cálc#lo del n(ero de interacciones de cierta cantidad de factores se ace (ediante la operaci-n Rco(binaciones de en *#e c#enta el n(ero de diferentes (aneras de seleccionar R factores de los ) donde
7
Por e/e(plo) el diseño factorial tiene cinco efectos principales) 1F interacciones dobles) 1F interacciones triples) cinco interacciones c#ádr#ples , #na interacci-n *#%nt#ple) lo c#al da #n total de 31 efectos. Por s# parte) el factorial ta(bi8n tiene este (is(o n(ero de efectos) pero al contar con tres ni+eles en cada factor) cada efecto principal se p#ede desco(poner en s# parte lineal , c#adrática. Cabe destacar *#e (ientras el diseño factorial tiene 32 trata(ientos) el factorial tiene 243) #na cantidad de trata(ientos dif%cil de (ane/ar. A#n si p#diera correrse) representa #na opci-n (#, inefica ade(ás) e'isten arrelos e'peri(entales (ás pe*#eños , eficientes.
Diseño factorial
+
De ac#erdo con lo antes dico) en el factorial eneral se p#eden plantear ip-tesis *#e se pr#eban (ediante el análisis de +ariana. =i se tienen r8plicas. Las pri(eras tres col#(nas de este ABOA se (#estran en la si#iente tabla ABOA para el diseño factorial eneral
=C
EL
&rror Total
La s#(a de c#adrados totales está dada por9
donde B 7 es el total de obser+aciones en el e'peri(ento. Las s#(as de c#adrados de efectos son9
Al final) la s#(a de c#adrados del error se calc#la por s#stracci-n)
&n el ABOA para el factorial eneral se obser+a la necesidad de contar con al (enos dos r8plicas del e'peri(ento para calc#lar la s#(a de c#adrados del error 5) , co(pletar toda la tabla ABOA. =in e(baro) esta necesidad de r8plicas ) *#e se a (encionado). &s para el caso irreal de *#e interesan los efectos. Pero res#lta *#e) con e'cepci-n del factorial ) en #n factorial co(pleto práctica(ente n#nca interesan todos s#s posibles efectos) p#esto *#e en t8r(inos enerales s-lo al#nos de i nc i pi odef t a r e t o ellos están acti+os. Elpr ) *#e en este conte'to ta(bi8n se lla(a principio de esparcidad de efectos) dice *#e la (a,or%a de la +ariabilidad obser+ada se debe a #nos pocos de los efectos posibles por lo co(n se debe a al#nos efectos principales e interacciones dobles.
4.4. Modelos de efectos aleatorios
0odelo de efectos
!
co(o en efectos fi/os. Lo *#e aora con efectos aleatorios5 tiene sentido es ablar de la +ariana con la *#e el factor aleatorio contrib#,e a la +ariaci-n total es decir) es preciso esti(ar dica +ariana , probar si s# contrib#ci-n a la +ariabilidad total es sinificati+a. El caso de dos factores aleatorios.
=i se consideran dos factores aleatorios A , ;) de los c#ales se pr#eban ni+eles eleidos de #na poblaci-n rande de ni+eles) entonces si los trata(ientos se replican +eces) el (odelo de efectos aleatorios es
donde es la (edia eneral) es el efecto debido al ni+el del factor A) es el efecto del ni+el del factor ;) representa al efecto de interacci-n en la co(binaci-n , es el error aleatorio *#e se s#pone si#e #na distrib#ci-n nor(al con (edia cero , +ariana constante) , son independientes entre s%. &l aspecto de este (odelo es i#al al de efectos fi/os) pero el eco de *#e los efectos sean aleatorios i(plica *#e no tiene sentido probar ip-tesis directa(ente sobre tales efectos (edidas5) sino *#e aora el inter8s se enfoca en est#diar la +ariana de dicos efectos. Para ello) se s#pone *#e los t8r(inos son +ariables aleatorias independientes nor(ales) con (edia cero , +arianas ) ) ) , ) respecti+a(ente. De esta (anera) si se calc#la la +ariana en a(bos lados del (odelo anterior) se obtiene el (odelo de co(ponentes de +ariana dado por9 S
S
S
donde ) ) son las contrib#ciones de cada efecto a la +ariaci-n total , se lla(an co(ponentes de +ariana es el co(ponente de +ariana debido al error aleatorio. Las ip-tesis de inter8s son
Los cálc#los necesarios para probar estas ip-tesis in+ol#cran las (is(as s#(as de c#adrados del (odelo de efectos fi/os diseños factoriales con dos factores5) de las c#ales se obtienen los correspondientes c#adrados (edios. Para obtener los estad%sticos de pr#eba apropiados debe to(arse en c#enta *#e los +alores esperados de los c#adrados (edios son
de tal for(a *#e para probar la ip-tesis (encionadas) los estad%sticos de pr#eba apropiados en el ABOA son
respecti+a(ente. Obser+e *#e en el (odelo de efectos aleatorios los c#adrados (edios de los efectos principales se co(paran con el c#adrado (edio de la interacci-n) , no con el c#adrado (edio del error) co(o se ace en el (odelo de efectos fi/os. &n caso de recaar al#na de las ip-tesis sobre las +arianas) se concl#,e *#e el efecto correspondiente contrib#,e de (anera sinificati+a a la +ariaci-n de la resp#esta. La concl#si-n práctica no consiste en deter(inar el (e/or trata(iento) sino *#e eneral(ente se trad#ce en to(ar (edidas para *#e la contrib#ci-n del co(ponente de +ariana se red#ca. Al resol+er las ec#aciones dadas por los +alores esperados de c#adrados (edios para los co(ponentes de +ariana) se obtienen esti(adores de 8stos en f#nci-n de los c#adrados (edios del error) esto es)
&/e(plo &n #na co(pañ%a dedicada a la fabricaci-n de bo(bas , +ál+#las) al#nos co(ponentes cr%ticos tienen tolerancias (#, estrecas *#e son dif%ciles de c#(plir. De a*#% *#e sea necesario esti(ar el error de (edici-n con el fin de +er la posibilidad de red#cirlo para c#(plir con las especificaciones. &l anco de #na piea partic#lar es #na caracter%stica de calidad cr%tica) c#,as especificaciones son :H F)4((. =e elien dos inspectores al aar , siete pieas para correr #n e'peri(ento) a fin de esti(ar la contrib#ci-n de los inspectores) de las pieas , del error aleatorio repetibilidad5 en la +ariabilidad total obser+ada. &l e'peri(ento #tiliado se (#estra en la si#iente tabla9
B(ero de pieas 1 2 3 4 " : G
0nspector 1 2 :H)3 :H):F 3H)G2 :H)F :H)" :H)GF :H)"F :H)"F :H)4 :H)4F :H)": :H)4F :H)HF GF)F2
0nspector 1 2 :H):2 :H)"2 :H)G :H)HF :H)GF :H)H2 :H)4: :H)"F :H)"F :H)42 :H): :H):4 :H)H4 :H)
B-tese *#e cada inspector (ide dos +eces cada piea. =ean los inspectores el factor A , las pieas el factor ;) el pri(ero con dos ni+eles , el se#ndo con siete ni+eles) en a(bos casos seleccionados al aar. &l (odelo de co(ponentes de +ariana prop#esto para describir estos datos es donde es el co(ponente de +ariana de los inspectores) es el co(ponente debido a las pieas) es el co(ponente de interacci-n de a(bos factores , es el co(ponente aleatorio. 0nteresa probar las ip-tesis9
, esti(ar los co(ponentes de +ariana. &l ABOA para probar estas ip-tesis se (#estran en la si#iente tabla. A9 0nsp. ;9 Piea A; &rror Total
=C F)FFF3: F)G"1: F)F313 F)FHG F)F3
EL 1 : : 14 2G
C! alor>p F)FFF3: F)F:H F)F43 F)12"2 24)FG F)FFFF F)FF"2 F)G" F):1:H F)FF:H
Las tres pri(eras col#(nas se obtienen i#al *#e el (odelo de efectos fi/os) pero las dos lti(as deben correirse de ac#erdo con el estad%stico de pr#eba apropiado para #n (odelo de efectos aleatorios , 5. Los +alor>p indican *#e la +ariabilidad de las pieas es estad%stica(ente diferente a cero) (ientras *#e la +ariabilidad de los inspectores , de la interacci-n inspector ' piea no es sinificati+a es i#al a cero5. Desde el p#nto de +ista del ob/eti+o del e'peri(ento) los res#ltados del ABOA son los deseados9 la reprod#cibilidad S 5 es estad%stica(ente i#al a cero) es decir) los inspectores no afectan el proceso de (edici-n. La esti(aci-n de los co(ponentes de +ariana) a partir de los c#adros (edios) *#eda co(o9
De a*#% se concl#,e *#e la reprod#cibilidad S 5 no tiene contrib#ci-n , la repetibilidad e'presada co(o ".1" es i#al a F)42. =i este +alor se co(para con la tolerancia de F.) se enc#entra *#e oc#pa "3 de 8sta) c#ando lo deseable es *#e este porcenta/e sea (enor al 1F) por lo *#e el instr#(ento es inadec#ado para discri(inar entre pieas b#enas , (alas.
4.". so de !n soft"are estadístico tili#ando Minitab
1.&l pri(er paso consisten en seleccionar la opci-n Estadísticas del !en Principal de !initab ,) dentro de esa opci-n) seleccionar la opci-n D$E l#eo %actorial , Crear diseño factorial co(o se presenta en la si#iente i#ra.
2. Co(o consec#encia de la acci-n anterior le debe aparecer la si#iente pantalla &&Crear diseño factorial''. &l paso en esta pantalla será seleccionar en Tipo de diseño la casilla de Diseño factorial completo general l#eo escoer el n(ero de factores considerados en el e'peri(ento en n#estro e/e(plo son dos factores9 A , ;5) por tanto en la casilla &&()mero de factores'' #sted deberá tener el n(ero 2. L#eo
'so de
!
debe opri(ir el bot-n de la opci-n &&Diseños'' para poder escoer s# diseño) n(ero de repeticiones , otras opciones. 3.&n la si#iente +entana escribir el no(bre de n#estros factores A , ;) ade(ás de indicar el n#(ero de ni+eles para a(bos 4 , 3 respecti+a(ente5) ta(bi8n indicará *#e realia(os tres repeticiones por trata(iento) para esto en la casilla &&()mero de replicas'') #sted deberá tener el +alor de 3. inalice esta pantalla opri(iendo &&*ceptar''. &sto lo de+ol+erá a la pantalla anterior &&Crear diseño factorial''.
4.De +#elta en la pantalla &&Crear diseño factorial''. =eleccionar factores , aparecerá #na si#iente +entana.
&n la casilla &&+ipo'' seleccionar te'to para a(bos factores) &&,alores de ni-el'' ) indicar los +alores correspondientes tanto para el factor A as% co(o para el factor ;) l#eo indicar aceptar) lo *#e lo lle+ara n#e+a(ente a la pantalla &&Crear diseño factorial''.
".De +#elta a la pantalla &&Crear diseño factorial'' opri(a &&*ceptar''. !0B0TA; le creará la si#iente pantalla. !initab crea las col#(nas de los trata(ientos) lo nico *#e #sted tiene *#e inresar a !0B0TA; es #na col#(na con la resp#esta del e'peri(ento. Proceda entonces a inresar los datos en la col#(na CG
:.Una +e capt#rados los datos estos datos deberán corresponder al factor A con respecto a factor ; de ac#erdo a la tabla oriinal5 en s# correspondiente renl-n. &l si#iente paso es reresar al paso 1.
s-lo *#e esta +e seleccionar%a la sec#encia9 &&Estadísticas'' se#ida de &&D$E'' &&%actorial'' , &&*nali#ar diseño factorial''.
&sta acci-n res#ltará en la pantalla donde s-lo es necesario indicar la col#(na de la +ariable de resp#esta &&/esp!esta'' se#ido de aceptar , !0B0TA; le ofrecerá el res#ltado correspondiente.
Para capt#rar los datos en !initab) de tres factores) es id8ntico al de dos factores) solo *#e en la +entana correspondiente indicar *#e se trata de tres factores) , se aplica la (is(a sec#encia.
