DISEÑOS FACTORIALES 3 ᵏ Un diseño factorial 3ᵏ es un arreglo de k factores que tienen tres niveles cada uno. Se hará referencia a los tres niveles de los factores como bajo, medio y alto. Existen varias notaciones ara reresentar estos niveles de los factores como bajo, medio y alto. Existen varias notaciones ara reresentar los niveles de los factores! una osibilidad es reresentar los niveles de los factores con los d"gitos # $bajo%, & $medio% y ' $alto%. (ada combinaci)n de tratamientos del diseño 3ᵏ se denotara or k d"gitos, donde el rimer digito indica el nivel del factor A, el segundo digito indica el nivel del factor B,…, y el digito k-ésimo indica el nivel de factor K. *or ejemlo en un diseño factorial +, se tiene-
donde $#,#% denota la combinaci)n de tratamientos corresondiente a A y B ambos en el nivel bajo, y $#.&%denota la combinaci)n de tratamientos corresondiente a A en el nivel bajo y B en el nivel intermedio. (uando los niveles de un factor, or ejemlo A son tres, el efecto de ese factor estará reejado en la variabilidad de tres totales de tratamientos, (A)₀, (A)₁ y (A)₂; donde (A)ᵢ reresenta el total de los tratamientos con nivel i del factor A. /ambi0n el efecto del factor A se uede estudiar con dos contrastes ortogonales entre esos tres totales. 1s" al efecto rincial de un factor con tres niveles se le asocian dos grados de libertad. 2e acuerdo al modelo lineal, se tienen dos comaraciones indeendientes ara A, dados or las 3las-
El efecto de B tiene dos comaraciones indeendientes entre columnas-
En el sistema de los diseños 3ᵏ , cuando los factores son cuantitativos, es com4n denotar los niveles bajo, intermedio y alto con 5&, # y 6& resectivamente. Este diseño es una de las alternativas exerimentales que ermite estudiar efectos de curvatura, además de efectos lineales y de interacci)n.
El diseño mas simle del sistema 3ᵏ es el diseño 3, el cual tiene dos factores, cada uno con tres niveles obteniendo un total de 7 tratamientos diferentes. 8os nueve tratamientos se ueden escribir de varias maneras, algunas de las cuales se muestra en la tabla 7.&#
El modelo estad"stico ara el diseño 3 se uede escribir considerando el efecto individual de cada factor y de la interacci)n entre ambos, como se resenta a continuaci)n-
(on i, j = 0, 1, 2 y k =1,9, r , y donde! :i es el efecto del factor A, βj reresenta el efecto de B y (αβ)ij es la interacci)n entre los dos factores. )ij = 0 $no hay En consecuencia, se contrasta la hi)tesis H ₀ : ( α β interacci)n de los factores A y B sobre la variable resuesta%,
1l igual que en los diseños 2ᵏ , si esta hi)tesis no se recha;a entonces se contrastan las hi)tesis- i. H ₀ : αi = 0 $no hay efecto signi3cativo del factor A son la variable resuesta% y ii. H ₀ : Βj = 0 $no hay efecto
signi3cativo del factor B sobre variable resuesta%. Estas hi)tesis se ju;garan en 1<=>1, are ello las sumas de cuadrados ara los tres efectos incluidos en el modelo 7.? se calculan mediante los m0todos usuales al utili;ar diagramas de estructuras. En este caso dichas sumas están dadas or-
8a suma de cuadrados total se obtiene de forma usual,
y la de error se calcula con la diferencia
8os grados de libertad asociados con cada suma de cuadrados de esta 4ltima relaci)n son, resectivamente-
(on base en los resultados en la tabla 7.&& se resenta el análisis de varian;a ara el diseño +.
8a artici)n de la interacci)n de dos factores AB uede hacerse de dos maneras. El rimer m0todo consiste en subdividir AB en dos cuadrados latinos ortogonales y el segundo m0todo divide esta interacci)n en cuatro comonentes con un solo grado de libertad que corresonden a A L B L; A L BC ; AC B L y AC BC , este m0todo tiene sentido siemre y cuando los factores involucrados sean cuantitativos. 8os dos cuadrados latinos ortogonales que se obtienen mediante el rimer m0todo, se muestran en la 3gura 7.?, los cuales se obtienen al reali;ar la descomosici)n en las comonentes A¹B¹ y A¹B² de la interacci)n. (ada una de estas comonentes tiene dos grados de libertad. Se usa la terminolog"a de gruos, como se muestra en el anexo de este ca"tulo, orque si los niveles $#! &! '% de A y B se denotan or x1 y x2, resectivamente, entonces se encuentra que las letras ocuan una celda de acuerdo con el siguiente atr)n-
En la 3gura 7.?, los dos factores A y B corresonden a las y las columnas, resectivamente, de un cuadrado latino + x +. 1demás, estos dos cuadrados latinos son ortogonales, es decir, si uno de los cuadrados se suerone sobre el otro, cada letra del rimer cuadrado aarecer"a exactamente una ve; con cada letra del segundo cuadrado. *or ejemlo, en el cuadrado A1 B se observa que la celda inferior derecha corresonde a x1 = 2 y x2 = 2! or lo tanto, x1 + 2x2 = 2 + 2(2) = 6 = 0 (mod 3%, y ! ocuar"a dicha celda. 8as sumas de cuadrados, usando teor"a de gruos, asociadas a A¹B¹ y A¹B² son, resectivamente-
8os comonentes A¹B¹ y A¹B² de la interacci)n AB no tienen signi3cado real y or lo general no se incluyen en la tabla de análisis de varian;a.
Sin embargo, esta artici)n, en gran medida arbitraria, es muy 4til ara construir diseños más comlejos. 1demás no hay relaci)n entre los comonentes A¹B¹ y A¹B² de la interacci)n y las comonentes A L B L; A L BC ; AC B L y AC BC.
E@EA*8= & En Buehl $'##&% se resenta un exerimento en donde un entom)logo reali;) un exerimento sobre la energ"a consumida or las abejas al beber, ara determinar el efecto de la temeratura del ambiente y la viscosidad del l"quido en el consumo de energ"a. 8os niveles de temeratura $/% fueron '#, +# y C# D(, la viscosidad del l"quido se control) or las concentraciones de sacarosa $S%, que eran de '#, C# y #F del total de s)lidos disueltos en el l"quido que beb"an las abejas. El entom)logo registr) la energ"a gastada or las abejas en joulesGsegundo. 8os datos que se resentan en la tabla 7.&' corresonden a tres r0licas de cada uno de los nueve tratamientos en 2(1.
El modelo rouesto ara este conjunto de datos es-
con i, j = 0, 1,2 y k =1, 2, 3 y, donde! yijk es la energ"a gastada en la i-ésim" temeratura j-ésim" concentraci)n de sacarosa y k-ésim" r0lica, :i es el efecto de la i-ésim" temeratura, Hj es el efecto de la j-ésim" concentraci)n de sacarosa y $:H% ij es el efecto de interacci)n entre la i-ésim" temeratura y j-ésim" concentraci)n de sacarosa. 8as sumas de cuadrados de los efectos están dadas or-
8os grados de libertad de SC(T), SC(S) y SC(TS) son 2, 2 y 4 , resectivamente. En total el exerimento tiene (3²) - 1 = 26 grados de libertad, y entonces quedan ' 5 ' 5 ' 5 C I &J grados de libertad ara la SCE. 1l articionar la suma de cuadrados de la interacci)n /S, los dos cuadrados latinos ortogonales que se obtienen se muestran en la 3gura 7., los cuales se obtienen al reali;ar la descomosici)n en las comonentes /KSK y /KS de la interacci)n. (ada una de estas comonentes tiene dos grados de libertad. 8as sumas de cuadrados asociadas a /KSK y /KS son, resectivamente-
Entonces obs0rvese que
8as exresiones usuales ara la suma de cuadrados de los contrastes se obtienen a artir de la exresi)n $7.&%. En articular, al hacer uso de la tabla 7.&C, la suma de cuadrados asociada al efecto A L es-
En la exresion anterior los simbolos $'#%! - - - ! $#'% denotan los totales de los tratamientos con esos niveles de los factores en el orden indicado. 2e forma semejante se obtienen todas las S( de los ocho contrastes, dos de ellas son-
E@EA*8= '.
(onsidere los datos del ejemlo 7.C, suonga que se desea investigar el efecto de curvatura de la temeratura del ambiente y viscosidad del l"quido sobre la energ"a gastada or las abejas. En la tabla 7.&? se resentan las diferentes sumas de cuadrados, algunas de las sumas resentadas en dicha tabla son-
1 artir de los resultados de la tabla 7.&?, observese que-
2e la tabla 7.&, se concluye que el efecto lineal de la temeratura del ambiente cambia linealmente al cambiar los niveles del F de sacarosa,
ya que # = $; %& ' #(1;1;;$) = *; *1. 8os demás efectos en los que se descomone la interacci)n no son signi3cativos.
